Tema 3Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 1 Tema 3: Nivelacin Trigonomtrica Tema 3Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 2NDICE 1. INTRODUCCIN - Desnivel- Cotas y altitudes. 2. FUNDAMENTO DE LA NIVELACIN TRIGONOMTRICA. 5.1Frmula general. 5.2Correcciones 5.3Frmula general aplicada 3. INCERTIDUMBRE EN LA DETERMINACIN DEL DESNIVEL 3.1 FUENTES DE INCERTIDUMBRE -Incertidumbre en la determinacin de la altura del aparato. -Incertidumbre en la determinacin de la altura de seal. -Incertidumbre en la determinacin del trmino "t". 3.2 INCERTIDUMBRE FINAL 4. EQUIPOS TOPOGRFICOS. ANLISIS DE METODOLOGA. 4.1 Clculo de desniveles con estaciones totales y semitotales. A)Montajes coaxiales. B)Montajes excntricos B.1 Con visuales paralelas. B.2 Con visuales no paralelas. 4.2 Clculo de desniveles con taqumetro y mira. 5. COEFICIENTE K DE REFRACCIN. 5.1Determinacin experimental del coeficiente k de refraccin 5.2Reduccin de visuales al terreno. 6. MTODOS DE NIVELACIN TRIGONOMTRICA SIMPLE. 6.1 NIVELACIN TRIGONOMTRICA SIMPLE. 6.2 NIVELACIN POR ESTACIONES RECPROCAS. Tema 3Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 3-Mtodo de campo. -Clculo del desnivel final. -Directo: HAB. -Recproco: HBA. -Discrepancia. -Tolerancia. -Valor final: medias aritmticas o ponderadas. -Precisin. -Altitud. -Aplicaciones. 6.3 NIVELACIN POR VISUALES RECPROCAS Y SIMULTANEAS. -Frmula general. -Precisin. 7. NIVELACIN TRIGONOMTRICA COMPUESTA. 7.1 Lneas de nivelacin. -Por estaciones alternas. -Por estaciones recprocas. -Trabajo de campo. -Determinacin de desniveles. -Directos. -Recprocos. -Aplicar tolerancia. -Promedios. -Corrida de altitudes. -Error de cierre. -Tolerancia final. -Compensacin (mtodos clsicos). -Proporcional a los desniveles. -Proporcional a las distancias. -Proporcional a las tolerancias. -Partes iguales a todos los tramos. 7.2Redes de nivelacin por estaciones recprocas y simultaneas. -Proyecto. -Metodologa de observacin. -Ajuste por MMCC. 8. BIBLIOGRAFA COMPLEMENTARIA. Tema 3Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 4 1. INTRODUCCIN -DESNIVEL. -COTAS Y ALTITUDES. Definido el desnivel como la cota de un punto referida a la superficie de nivel que pasa por otro, entendemos por nivelacin (Higgins1): "Nivelacineselartededeterminarlasdiferenciasenelevacindepuntossobrela superficieterrestreconelpropsitode(a)trazarcontornoslineales;(b)dibujar secciones verticales que representen la forma de una superficie, y (c) establecer puntos a una elevacin determinada, definida en proyectos de construccin". En Topografa se supone a efectos altimtricos, la Tierra esfrica. Las superficies de nivel sontambinesferas,concntricasconlaformageneraldelaTierrayporlotanto equidistantes. Hastapocasrecientesseclasificabanlosmtodosaltimtricosodenivelacin atendiendo al tipo de visual cenital utilizada. En estas fechas, podemos volver a retomar este mismo criterio. Definimos: *Nivelacinconvisualescenitalesdecualquierinclinacin:nivelacin trigonomtrica. *nivelacin con visuales exclusivamente horizontales: nivelacin geomtrica. *nivelacin sin visuales cenitales: nivelacin GPS. LanivelacinGPS,havenidoarelevaralanivelacinbaromtricaretomandosus mtodos y su vocabulario de forma inconsciente.

En la actualidad la precisin en Topografa se expresa en partes por milln (ppm.) de la unidadmedida,valorquecorrespondealtrminoquetradicionalmentesedefinacomo error kilomtrico o eK,, en altimetra. Pretendemosdelimitarelrangodeprecisindelosmtodosdenivelacinexistentes, describiendoconminuciosidadlasituacindelanivelacintrigonomtrica,enlaquela estadaverticalhacedidosulugaralossistemasdeMED,yrealizandounasomera presentacindelosresultadosqueseestnobteniendoconlanivelacinporvisuales recprocas y simultneas y con la nivelacin con las tcnicas de GPS. Nuestro objetivo consiste en delimitar el lugar que cada mtodo ocupa en el campo de la nivelacin y las tendencias futuras de los mismos. Como encualquier estudio comparado pretendemos estudiar el presente para entender el futuro. La primera parte se presenta acontinuacin,analizandolosindicadoresdelaprecisinenlasnivelaciones trigonomtricas. Unavezobtenidaslascotashayquereferirlospuntosalasuperficiedereferencia origen, obtenindose las altitudes de los puntos observados. 1.HIGGINS, A.L. (1957): pg. 60. Tema 3Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 5 2. FUNDAMENTO DE LA NIVELACIN TRIGONOMTRICA (NT). 2.1.FORMULA GENERAL. 2.2.CORRECCIONES A APLICAR AL DESNIVEL OBSERVADO POR NT. 2.3.FORMULA GENERAL APLICADA. 2.1FORMULA GENERAL Hemos definido nivelacin trigonomtrica como el mtodo altimtrico que permite obtenerdesnivelesentrepuntos,conobservacionesdedistanciascenitalesde cualquier inclinacin. SupongamosestacionadoelinstrumentoenelpuntoA,yquesesitaelprisma paralaMEDenelpuntoB.Elmodelotericodemedidaquedareflejadoenel siguiente grfico. Del grfico se puede deducir fcilmente la expresin por la que se podr obtener el desnivel, y que ser igual a: EnTopografa,siempreesnecesarioreferirseadostiposdevariables:aquellas quedeterminanelgradodeincertidumbreenelqueseencuentranlas observacionesrealizadas(enelcursoanteriorseestudiabancomoerrores accidentales);yaquellasvariablesqueafectanalasobservacionessiguiendo leyes fsicas. stas ltimas, al ser conocidas las causas que las producen, pueden cuantificarseydebenaplicarselascorreccionesqueeliminansusefectosenlas medidas topogrficas. 2.2 CORRECCIONES A APLICAR AL DESNIVEL OBSERVADO POR NT. En la nivelacin trigonomtrica existen dos efectos que han de ser eliminados: 1)LainfluenciadelacurvaturadelaTierra,queda lugar a la correccin por esfericidad. m i t HB ABABA + = Tema 3Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 62)Lainfluenciadelarefraccindelrayodeluzqueprovienedelpunto visado, que origina la correccin por refraccin. 3)CORRECCIN POR ESFERICIDAD. Supuestasesfricaslassuperficiesdenivelyuninstrumentoestacionadoenel puntoA,desdeelquesevisaalpuntoB,debemostenerencuentaquelas medidas topogrficas se realizan en un plano tangente a la superficie terrestre en un punto en el que esta estacionado el instrumento. B2 El desnivel que se obtiene BB1 no corresponde al real BB2. Si despreciamos el ngulow,nguloenelcentrodelaTierra(lasdistanciasenTopografason cortascomparadasconlalongituddelradioterrestre)podramosconsiderar BB1=BB3;yportantoelerrordeesfericidadestararepresentadoporel segmentoB2B3.Trasunanlisismatemticodelafigura,seobtieneel siguiente valor: CD2Re2= + Esta correccin siempre ser positiva, tal como se desprende del grfico. 4)CORRECCIN POR REFRACCIN. El rayo que proviene del punto visado no sigue una trayectoria rectilnea, sino quevasufriendosucesivasrefraccionesaliratravesandounaatmsferade densidad variable. Esta situacin produce un efecto, que se refleja en el siguiente grfico. Tema 3Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 7 La distancia cenital que medimos corresponde a la tangente al rayo de luz enelcentropticodelteodolito,yesconellaconlaquesecalculala posicin de B, que queda situado en la posicin B1. La distancia BB1, es el denominado error por refraccin, que con el signo negativo, toma el valor de: C KDR(para 2 K=RR'r2= ) Esta expresin corresponde al coeficiente de refraccin K, de valor igual a lamitaddelarelacinexistenteentreelradiodelaTierrayelradiode curvatura de la trayectoria del rayo de luz que proviene del punto visado. Con esta definicin, para condiciones normales en Espaa, K toma el valor de 0.08. Otros autores definen el coeficiente K como la relacin directa entre los dos radiosmencionados.EnestasituacinKtomaunvalorde0.16en condiciones normales en nuestro pas. CadavezesmsfrecuentequeelcoeficienteKderefraccinsecalcul paralascondicionesyellugardetrabajoespecfico,noutilizndosela generalizacindevaloresquehemoscitado.Elmtodoparala determinacindelcoeficienteconsisteenlarealizacindevisuales reciprocas y simultneas entre dos puntos extremo de la zona de trabajo, siguiendolametodologadeobservacinyclculoqueexponemosenel apartado 5. La correccin por refraccin se considera, en la deduccin realizada, como negativa, tal como se muestra en la figura. Esto supone que el rayo de luz sigueunatrayectoriacncavahaciaelsuelo(encondicionesnormalesla densidaddelaatmsferadecreceamedidaquenoselevamos).Cuando esteseaelcasoaconsiderar,ysielcoeficienteKsedetermina experimentalmente,lserquiennosintroduzcaelcaminodeinfluencia producido del cambio de la concavidad, apareciendo con signo negativo. CORRECCIN CONJUNTA. Teniendo en cuenta que la correccin por esfericidad viene dada por: CD2Re2= + y que la correccin por refraccin se calcula con: C KDRr2= la correccin conjunta de los dos errores mencionados vendr dado por: C C12DRKDR(0.5 K)DRe r2 2 2+ = = Tema 3Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 8 2.3FORMULA GENERAL APLICADA EN NT. Paradeterminarlosefectosdeestosdoserroressistemticos,conocidala expresin que nos permite obtener su influencia para cada caso en particular, se modifica la formula general de la nivelacin trigonomtrica. R) (DK) (0.5 m i t H2 BAB ABABA + + = Frmula cuyo uso se recomienda siempre en los trabajos topogrficos, sin ningn tipo de condicionante. Recomendamos realizar el siguiente ejercicio: Hoja 5: Clculo de desniveles por NT. 3.INCERTIDUMBRE EN LA DETERMINACIN DEL DESNIVEL 3.1.FUENTES DE INCERTIDUMBRE. 3.2INCERTIDUMBRE FINAL EN LA DETERMINACIN DEL DESNIVEL POR NT Cuandohablamosdeunequipotopogrficoactual,nosestamosrefiriendoalas estaciones totales. Las caractersticas de las mismas, definidas en las Normas ISO 1900, podramos generalizarlas en: *Distancimetro de infrarrojos: .Alcance: 2.000 m .Precisin: 3 mm. 3 ppm. *Teodolito: .Sensibilidad: 30cc. .Aumentos: 30. .Apreciacin segn la casa comercial: 2cc. Elestudiodelasfuentesdeincertidumbresevaarealizarexponiendoun planteamientoterico,yposteriormenteseparticularizaraestemodelode equipotopogrfico,paraircuantificandoelvalordelasmagnitudesalasquese hace referencia en cada caso. Recomendamos estudiar este apartado con el ejercicio: Hoja 6 y 7: Conceptos y terminologa en el clculo de incertidumbres en NT. 3.1FUENTES DE INCERTIDUMBRE. Tema 3Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 9 A.Termino i B.Termino t .Incertidumbre en la medida de la distancia geomtrica. . Incertidumbre en la medida de la distancia cenital. .Incertidumbre total en el trmino t. C.Trmino m .Incertidumbre en la medida directa de m. .Incertidumbrerespectoalaalturaalaqueseharealizadolapuntera cenital. .Incertidumbre total en el trmino m. Elestudiodelasfuentesqueoriginanincertidumbreenlanivelacin trigonomtrica, obliga a analizar los tres trminos que intervienen en su clculo: i, tym.Cadaunodeellosintroduceungradodeincertidumbreeneldesnivel obtenido con este mtodo de nivelacin. Denominaremos: *ei : al error o incertidumbre al evaluar el trmino i, *et : al error o incertidumbre al evaluar el trmino t, *em : al error o incertidumbre al evaluar el trmino m. Cuandohayamoscuantificadoestasvariables,elerrortotaldeldesnivelvendr dadoporlacomponentecuadrticadelosmismos,yaquesetratadeerrores independientes y de los que no conocemos la direccin en la que actan. A.-Error o incertidumbre al evaluar el trmino i: ei La indeterminacin que puede existir en la medida de la altura de aparato, depender de la precisin y el esmero con el que el operador realice esta operacin. La experiencia propia junto a la de otros profesionales, me permite afirmar queesteerrorpuedereducirseamediocentmetro.Esteserelvalor extremo que consideraremos que interviene en la obtencin del desnivel. ei 5 mm B.-Error o incertidumbre al evaluar el trmino t: et Para determinar la cuanta de la incertidumbre que introducimos en el error total del desnivel debido al error en la determinacin del trmino t, se hace necesario analizar cmo se obtiene. Noexisteacuerdoentrelosautores,acercadeladenominacindela distancia que se obtiene con MED. Mientras unos se resisten a denominarla distancia geomtrica por no corresponder al concepto estricto de la misma, otrosautoreslautilizansiempre.SeaDABladistanciamedidayVABla distancia cenital al prisma. Tema 3Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 10 Segn la figura: BABA BADtV cos =de donde: tAB = DAB cos VAB Aunquelaestacintotalpermitaobtenerladistanciareducida(olas coordenadas)directamente,nopodemosolvidarquelorealizaconun microprocesadorquetomalosmismosdatosdecampoquelosque consideramos aqu, y que las incertidumbres son inherentes a los datos de campo.Porellodebemosreferirnosaladistanciamedidayaladistancia cenital obtenida como las variables que intervienen en la incertidumbre deltermino t. Estas dos variables tienen incertidumbres propias del proceso de su medicin. El trmino t viene dado por: t = D cos V y es funcin de dos variables: D y V; t = f (D,V) Aplicando la ley de transmisin de errores, podemos escribir: efDefVet22D22V2= |\

|.|+ |\

|.| siendo eD la incertidumbre en la medida de la distancia geomtrica y eV la existente en la medida del ngulo cenital. Calculamos las derivadas parciales: fDcos V = fV D sen V = Tema 3Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 11Sustituyendo queda: e (cos V)e (D sen V)et2 2D2 2 2V2= + y finalmente podemos escribir: e (cos V)e (D sen V)et2D2 2 2V2= + Antesdeprocederalclculodeesteerrorenlosdistintoscasos,es necesario estudiar y cuantificar los trminos eD Y eV. a)Error o incertidumbre en la distancia medida: eD Lamedidaelectromagnticadedistanciasvienecaracterizadapor las casas comerciales con un error estndar o desviacin tpica, que denominaremosev.Esteconstadedostrminos:elprimeroviene dado por una constante; y el segundo, es proporcional a la distancia medida,yseexpresaenpartespormilln(ppm)oloqueeslo mismo, error en mm por Km medido. Para las estaciones totales a las que aqu nos referimos, este error puede tomar valores de este tipo: ppm mm ev3 3 = Esteerror,muchosautores,loidentificanconelrangode incertidumbrequeseintroduceenladistanciaconMED.Sin embargoexistenotrostrminosquenopuedenolvidarsecuando este mtodo se aplica a la Topografa, y que sirven para caracterizar elinstrumentalutilizadoenlamaterializacindelasealyel estacionamiento. Estos errores son: *error de estacin: ee, *error de seal: es, *error por inclinacin de jaln: ej. El error total en la distancia medida con MED, eD, viene dado por: 2 2 2 2j s e v De e e e e + + + = Error de estacin: ee Ennuestroestudioaplicadopodemosconsiderarquelaestacin total se va a situar sobre un trpode y se estacionar con plomada ptica. Esto va a dar lugar a un error de estacin (ee) menor de 2 mm. ee 2 mm Tema 3Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 12Error de seal: es Ahorabienlaseal,elprisma,puedesituarsesobreuntrpodeo sobre un jaln. Si se sita sobre un trpode alcanzaremos incertidumbres de 2 mm, peroconjalnstossernsuperiores,pudiendoconsiderarse valores en torno a 1 cm. es (prisma sobre trpode) 2 mm es (prisma sobre jaln) 10 mm Error por inclinacin de jaln: ej Existefinalmenteotracausadeerror.Setratadelerrorquese introduce en la distancia medida por inclinacin de jaln. Lainclinacindejaln,experimentalmente,secontabilizaen1gsi eneltrabajoseutilizaunnivelesfricodemanoyen3gsila medicinserealizasinloconelniveldescorregido(valores superiores los detecta visualmente el operador). Denominamos P al punto ideal de puntera, P1 el real y P2 el punto dondelavisualrealcortaraalaideal.LlamemosCalcentrode emisindelaparatodeMEDquecoincideconelcentropticodel anteojo. Hemosindicadoanteriormentequelainclinacindejalnnuncasera superior a 3g, por ello podemos considerar que el segmento CP coincide con elsegmentoCP2yqueladistanciaPP2 esdespreciable.Ladistancia geomtrica medida CP1, no ser la que corresponde al grfico 1, en el que seexponalasituacinidealdemedicin.Elerroraparecerepresentado por el segmento P2P1, y lo denominaremos ej. Para cuantificarlo analizaremos el tringulo P2BP1. Llamaremos al ngulo de inclinacin del jaln. Aplicando el teorema del seno: Tema 3Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 13esenmsen (100)j=+ siendo el ngulo de pendiente. Como sen(100+) es igual al cos , obtenemos la siguiente expresin. esen mcos j = y finalmente: e m sen cos j = Paratomarconcienciadelacuantadelejsehanconfeccionadolas siguientes tablas ej (mm): con nivel esferico (beta menor o igua a 1g)V/M 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00100/0 20 22 24 25 27 28 30 3199/101 20 22 24 25 27 28 30 3198/102 20 22 24 25 27 28 30 3197/103 20 22 24 25 27 28 30 3196/104 20 22 24 25 27 28 30 3195/105 20 22 24 25 27 28 30 3294/106 21 22 24 25 27 28 30 3293/107 21 22 24 25 27 28 30 3292/108 21 22 24 25 27 28 30 3291/109 21 22 24 25 27 29 30 3290/110 21 22 24 25 27 29 30 3289/111 21 22 24 26 27 29 30 3288/112 21 22 24 26 27 29 30 3287/113 21 22 24 26 27 29 30 3286/114 21 23 24 26 27 29 31 3285/115 21 23 24 26 27 29 31 32 La influencia del ngulo cenital es despreciable, variaciones mximas de 1 mmenelintervalodedistanciascenitalesestudiadas(10085/115).La altura a la que se ha visado es un efecto a tener en cuenta. Los errores se estudian para conocer que variables son las que hay que tener en cuenta, cual es su valor y cuales tienen efectos despreciables. Tema 3Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 14ej (mm): sin nivel esferico (beta menor o igua a 3g)V/M 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00100/0 61 66 71 75 80 85 90 9499/101 61 66 71 75 80 85 90 9498/102 61 66 71 75 80 85 90 9497/103 61 66 71 75 80 85 90 9496/104 61 66 71 75 80 85 90 9495/105 61 66 71 76 80 85 90 9594/106 62 66 71 76 80 85 90 9593/107 62 66 71 76 81 85 90 9592/108 62 66 71 76 81 85 90 9591/109 62 67 72 76 81 86 90 9590/110 62 67 72 76 81 86 91 9589/111 62 67 72 77 81 86 91 9688/112 62 67 72 77 82 86 91 9687/113 63 68 72 77 82 87 91 9686/114 63 68 72 77 82 87 92 9785/115 63 68 73 78 82 87 92 97 El ngulo cenital influye ms : 3 mm en el intervalo estudiado, la influencia es menor y los efectos de cualquier variacin tambin. La variacin por m osciladesde6cm,conalturasdesealde1.30,hasta 10 cm con alturas de seal de 2.00 m El error total en la distancia medida con MED, eD, viene dado por e e e e eD v2e2s2j2= + + + Para las estaciones totales que estudiamos: ev= 3 mm. 3 ppm. ee= 2 mm. es= 2 mm. con prisma sobre tripode. es= 10 mm. con prisma sobre jaln. ej=Lainfluenciadelavariacindeladistanciacenital despreciable. Considerando la altura del prima mnima de 1,30. - Con nivel esfrico ej= 20 mm. - Sin nivel esfrico ej= 61 mm. Paralasituacinmsusualenlaqueelprismasecolocasobreunjaln con nivel esfrico y tendiendo a realizar lectura lo ms bajas posibles (caso general 1.30 m.), el error en distancias ser: e23 mmD = . Generalizandoesteplanteamiento.enlamedidaelectromagnticade distancias, se recomienda el uso de trpode con el prisma, bien sea que el prismasesitedirectamentesobreloqueeltrpodeseutilizacomo elementoauxiliarparanivelar,porlainfluenciadelerrorejnosloen altimetra sino tambin en planimetra. Tema 3Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 15 b) Error o incertidumbre en el termino V : eV DenominamosporeVelerrorpordireccincenital.Tradicionalmentese considera que viene dado por: e e e eV ver2lec2pun2= + + y las expresiones de estas errores segn algunos autores son: e112svercc= e23aleccc= |.|

\| + =1004A1A60eccpun Las expresiones generales para obtener este trmino, segn estudiastis en la asignatura Topografa I son: a) Verticalidad. Nivel de eclmetro simple

Siendo scc la sensibilidad.ccvs e31= Nivel de eclmetro de coincidencia. ccvs e201= Compensador automtico Siendo C p la caracterstica de precisin. p vC e = Sensor de inclinacin. 0 ve Tema 3Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 16b) Lectura. Sistema ptico mecnico. nm eL132=siendo: mel ltimo salto en pantalla. n el nmero de observaciones. Sistema electrnico. 31eLme =siendo meel ltimo salto en pantalla en el sistema electrnico. c) Puntera nKACevp1=siendo: Cvel coeficiente de observacin cenital A los aumentos del anteojo. K la constante de mayoracin n el nmero de observaciones realizadas. Con regla de Besseln= 2. Las caractersticas del teodolito de la estacin total que estamos considerando son s= 50ccA = 30x a = 1cc. Ahorabiennopodemosconsiderarlaapreciacinquenosproporcionalacasa comercialcomodatoaintroducirenelerrordelectura,puestoqueestevalorse obtieneporinterpolacinynotienecarcterrelacionadoconlaprecisinreal. Experimentalmentesehademostrado;queconestosequiposloquesisepuede asegurar es una representatividad en las lecturas de 8cc. La expresin del error de la lectura en las estaciones totales debe situarse por el valor que en la definicin de lascaractersticasdelinstrumentoaparececomodesviacintpicadelamedida angular, que tiende a asemejarse a este valor experimental. Elerrorquesecometepordireccincenital,conestasconsideracionesconel primer modelo de ecuaciones es: e10Vcc= y con las nuevas formulaciones resulta del mismo orden. En las condiciones de trabajo mencionadas el error por distancia geomtrica medida era: 3 5 , 1 KTema 3Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 17 e23 mm.D = El valor total de la influencia de estos errores en el trmino t, lo podemos obtener por la siguiente expresin, deducida en un apartado anterior. e (cosV) e (DsenV) et2D2 2 2V2= + Acontinuacinsepresentalatablaconlosresultadosobtenidos,enfuncindela distancia y de la distancia cenital. La variacin de distancia cenital no influye en el error en t a partir de 800 m, y la de 500 a 800 supone un error de 1 mm en el intervalo de 100 a 85/115 estudiado. En un caso concreto hay que calcular los valores que toma et en funcin del equipo utilizdo y de las caractersticas de la observacin. Tema 2Nivelacin Trigonomtrica 18 Error o incertidumbre al evaluar el termino t (mm.): et V/D 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.000 1.500 2.000 100g 2 3 5 6 8 9 11 13 14 16 24 31 99g/101g 2 3 5 6 8 9 11 13 14 16 24 31 98g/102g 2 3 5 6 8 9 11 13 14 16 24 31 97g/103g 2 3 5 6 8 9 11 13 14 16 24 31 96g/104g 2 3 5 6 8 10 11 13 14 16 24 31 95g/105g 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16 24 31 94g/106g 3 4 5 7 8 10 11 13 14 16 24 31 93g/107g 3 4 5 7 8 10 11 13 14 16 24 31 92g/108g 3 4 5 7 8 10 11 13 14 16 24 31 91g/109g 4 4 6 7 8 10 11 13 14 16 24 31 90g/110g 4 5 6 7 9 10 11 13 14 16 24 31 89g/111g 4 5 6 7 9 10 12 13 14 16 24 31 88g/112g 5 5 6 8 9 10 12 13 15 16 24 31 87g/113g 5 6 7 8 9 10 12 13 15 16 24 31 86g/114g 5 6 7 8 9 10 12 13 15 16 24 31 85g/115g 6 6 7 8 9 11 12 13 15 16 24 31 Tema 3 Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 19C. Error o incertidumbre al evaluar el trmino m : em Denominamos error en m al error total que se introduce en el desnivel por hacer la puntera a un prisma situado sobre un trpode o un jaln. Existen dos factores a tener en cuenta, cada uno de los cuales introduce un margendeerrorenlalecturam.Elprimeroseproduceenlapropia medicindelaalturadelaseal:em,yelsegundocorrespondienteala incertidumbrerespectoalaalturaalaqueseharealizadolapuntera cenital: em. 1 Error en la medida directa de la altura de la seal: em Para analizarlo, tenemos que diferenciar dos casos posibles. a)Si el prisma est sobre jaln. Enestasituacinlaalturadelasealseobtieneleyendola graduacin que aparece en el propio jaln y la causa del error viene dadoporlaposibleinclinacindelaseal.Laalturaquetomamos comovalorparalosclculoseslaobtenidadirectamentedela graduacin que aparece en el jaln: m. Sieljalnestainclinado,estaaltura mnocorrespondeala alturareal(desconocida).Denominamosalarealmyalngulo de inclinacin. De la figura: m'mcos= De donde: m' m cos= El error vendr dado por la diferencia entre el que utilizamos para el clculo y el que corresponde al modelo observacin: e' m m'm = Tema 3 Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 20Sustituyendo: e' m m cosm (1 cos m = = ) Si se trabaja con nivel esfrico ( 1g) m 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00e'm(mm) 0,16 ,,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,, 0,24 DESPRECIABLE. Si se trabaja sin nivel esfrico o con el nivel descorregido ( 3g): m 1,30 1,4 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00e'm(mm) 1 2 2 2 2 2 2 2 b)Si el prisma esta sobre, o con trpode Siseutilizaunprismasobretrpodeoesteseleaadeunjaln, debemoshacerreferenciaalerrorenlamedidadelaalturadel trpode y el prisma, sobre la seal. Se mide con un flexometro y de modoanlogoaladeterminacindelaalturadeaparatopodemos considerar un valor extremo de 5 mm. e'( con tripode) 5 mm.m 2Incertidumbrerespectoalaalturadesealalaqueseha realizado la puntera cenital: em Es esta otra causa de error habitualmente olvidada y de gran importancia en el tema que nos ocupa. Consiste en la incertidumbre existente sobre el punto del prisma al que corresponde la lectura de la medida cenital medida por tratarse de un instrumento de MED. Esteerrortieneunainfluenciaexperimentalde1a2centmetrosen distanciasde100a500m,yalcanzavaloresdehasta4cmcuandose hace necesario situar 3 o ms prismas en distancias de 2 km. En la escala de distancias, que estamos evaluando, vamos a considerar los siguientes valores: m 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1500 2000e"m 10 20 30 40 Paracualquierdistanciaintermediapuederealizarseunainterpolacin lineal entre estos valores. 3 Error total en m Paradeterminarlainfluenciadeestosdoserroresrealizaremosla componente cuadrtica de ambos: Tema 3 Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 21e e' e"m m2m2= + Los resultados se reflejan en las siguientes tablas: *) para alturas mnimas de jaln y usando nivel esfrico, el error total en m es la incertidumbre de la altura de puntera: m 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1500 2000e'm DESPRECIABLEe"m 10 13 15 18 20 22 24 26 28 30 35 40em 10 13 15 18 20 22 24 26 28 30 35 40 Para hacer posible el calculo del error total en el desnivel, en la fila del em se han interpolado los valores con los datos que se indicaron en el apartado anterior. **) para prisma situado sobre trpode: D 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1500 2000e'm 5 5 5 5e"m 10 20 30 40em 11 21 30 40

Podemosobservarquenoexisteapenasdiferenciasenlos resultadosqueseobtienenparaelerrorenm,enelusodeun instrumental u otro al situar el prisma sobre la seal. Apartirde1000m.lainfluenciadelerrorporincertidumbreenla posicin cenital de la altura sobre el prisma es tal, que el error de la lecturadirectadelaalturamesdespreciable.Estoenfatizala necesidad de utilizar placas de puntera que aseguren la altura a la queseproyectanlasvisualescenitales.Consideramosqueconlas actualesnoseconsigueysehacenecesarioutilizarsistemaspor todos conocidos, tales como el de situar detrs del prisma una hoja de papel blanco con un extremo del limite donde ha de realizarse la punteracenital.Esnecesarioquelascasasconstructorasde equipos topogrficos sigan considerando este problema. 3.2 INCERTIDUMBRE FINAL EN LA DETERMINACIN DEL DESNIVEL POR NT. Elerrortotaleneldesnivelvendrdadoporlacomponentecuadrticadelos errores reseados: 2m2t2i He e e e + + = Del anlisis efectuado anteriormente se han obtenido os siguientes valores: Error en i:e5 mmi . Error en t: e (cos V)e (D sen V)et2D2 2 2V2= + Tema 3 Nivelacin Trigonomtrica M. Farjas 22Error en m:e e' e"m m2m2= + Siendo: me ( ) cos 1 = m e m melos siguientes valores: m 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1500 2000e"m 10 20 30 40 Conestosdatossehaelaboradolasiguientetabla(correspondeauncaso concreto,conunametodologayunequipodecaractersticasespecficas)enla que aparecen valores de precisin de la nivelacin trigonomtrica en funcin de la variacin de distancias y de ngulos cenitales. Tema 3 Nivelacin Trigonomtrica 23 PRECISION DEL DESNIVEL OBTENIDO POR NIVELACION TRIGONOMETRICA (mm): eH. V/D 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.000 1.500 2.000 100g 99g/101g 24 98g/102g 97g/103g 11 96g/104g 25 95g/105g 14 94g/106g 93g/107g 172022272932344351 92g/108g 91g/109g 90g/110g 12 89g/111g 88g/112g 87g/113g 15 86g/114g 85g/115g 13 Tema 3 Nivelacin TrigonomtricaM. Farjas24 Antesdefinalizaresteapartadoquisieradestacarelhechodequeelerroro incertidumbreenlosdesnivelesresultantesdenivelacionestrigonomtricas,no dependedelasdistanciascenitalesobservadas.Lamayorfuentedeerror radica en la indeterminacin en la puntera al prisma2. Finalmentenoolvidemoselestudiodelerrorqueseintroduceenlamedida electromagntica de distancias por la inclinacin del jaln, con valores mnimos de 2cm.Sehacerecomendableelusodetrpodesparaprismasenlaobservacin planimtricaderedesbsicasydepoligonacin,oelusodeestacionessin prisma. Se recomienda realizar el ejercicio siguiente: Hoja 8: Clculo de incertidumbres en desniveles obtenidos por NT. 4.EQUIPOS TOPOGRFICOS. ANLISIS DE METODOLOGA. Antes de proceder a analizar los mtodos propios de la NT, nos vamos a detener enelestudiodecasosconcretosdedeterminadoinstrumentaltopogrfico,as como en la metodologa a aplicar en el tratamiento de datos en cada situacin. 4.1CALCULO DE DESNIVELES CON ESTACIONES TOTALES O SEMITOTALES. A) EQUIPOS COAXIALES. Estos equipos disponen de un nico anteojo por el que se realiza la puntera que nos permite obtener las lecturas angulares, y por el que se lleva a cabo la emisin de ondas para la medida electromagntica de distancias. Este es el caso general al que se refiere toda la exposicin que hemos realizado. El esquema de toma de datos de campo es el siguiente: 2.Error presentado por D. Rafael Ferrer Torio y D. Benjamn Pia Patn en su libro Metodologas Topogrficas (1991). Tema 3 Nivelacin TrigonomtricaM. Farjas25 Y el trmino t, lo obtendremos por la siguiente expresin: V cos D t = El desnivel ser igual a: R) (DK) (0.5 m i t H2 BAB ABABA + + = B) MONTAJES EXCNTRICOS. Estosequiposdisponendeunsistemademedidadedistanciasexcntricoalde medidaangular.Setratademontajesquesupusieronungranavanceenla medidaelectromagnticadedistanciasperoquehanquedadoendesuso.No obstantecreemosnecesarioqueelalumnoseplanteecmollevaracabosu utilizacinyquerealiceelplanteamientotericocorrespondienteaesta metodologa,convistasafuturosequipososituacionesalosquetengaisque enfrentaros, por ejemplo GPS+estaciones totales. Podemos encontrarnos con tipos de equipos: B.1Montaje excntrico con posibilidad de visuales paralelas. Son aquellos en los que las placas de puntera vienen preparadas para realizar la puntera angular, a una distancia igual a la excentricidad del montaje. Enstoscasosesnecesariocomprobarquetantoeljalncomoelmontaje teodolito-distancimetrotienenunadistanciadeexcentricidadidntica,loque generalmenteeslomismoqueindicarqueamboselementossondelamisma marca comercial. El esquema de toma dedatos sera: Lamedidadelngulosehacealaplacadepunteraqueestarpordebajodel prisma y a una separacin igual a la distancia que hay entre los ejes del aparato de medida angular y el del distancimetro. Elclculoserealizadeformaanlogaalplanteadoenelcasoanterior(equipos coaxiales)puestoquelalecturacenitalescompatibleconladistanciaD,enel clculo del trmino t; y por lo tanto del desnivel.

Tema 3 Nivelacin TrigonomtricaM. Farjas26 V B.2Montaje excntrico con visuales no paralelas. En estos casos los equipos no vienen preparados para realizar la puntera como en elcasoanterior,yesnecesariorealizartantolapunteraangularcomolade distancias al mismo prisma. El esquema de toma de datos sera el siguiente: Elplanteamientotericonosobligaadeterminarelvalordelnguloe,que permite corregir la lectura cenital. De la figura: senVDe sen d= senVDd e = sen Considerandoqueelnguloetomaunvalormuypequeo,podremoshacerla aproximacin de que el valor del sen e es igual al valor del ngulo en radianes: e senVDd e = = sen Y para operar en el sistema centesimal: ccr (senV)Dd ecc= El trmino t se obtendr con el ngulo cenital corregido: ) e V ( cos D t + = Y el desnivel por la expresin: R) (DK) (0.5 m i t H2 BAB ABABA + + = d Tema 3 Nivelacin TrigonomtricaM. Farjas27 Antes de generalizar esta metodologa de clculo, debemos plantearnos cul es elordendelasmagnitudesdelasqueseesttratando.Lafiguraquenospermite analizarlas es la siguiente: Tendremosquedeterminarelerrorqueseproducealnotenerencuentael nguloe.Realizamoslosdosclculos:concorreccinysincorreccin,y obtendremosporladiferenciadeambos,lascuantasenlasqueafectaeste problema de falta de paralelismo de las visuales en los montajes excntricos. EN EL DESNIVEL: Calculo del desnivel teniendo en cuenta el termino e.: B A B ABAm d i ) e V ( cos D m i t H + + + = + = Calculo del desnivel sin tener en cuenta el termino e:. B A B ABAm d i + V cos D m i t' )' H ( + = + = El error en el desnivel ser:' ) H ( HBABA : )) e V ( cos (cosV D t' t+ = Esteerrorparadistanciasde10metros,yconcenitalesde85g (casomuy desfavorable) toma un valor de 4x 10 9 mm. Este valor nos permite concluir que lacorreccindecenitalesenelvalorcalculadoapartirdeladistanciade excentricidad,seacompletamentedespreciableparalasprecisionesquese consiguenconelmtododeNT.Esdecir,enlaprcticanoesnecesariorealizar ningun tipo de correccin. EN LA DISTANCIA REDUCIDA: Teniendo en cuenta el ngulo e. ) e V ( cos D Dr + = Sin tener en cuenta el ngulo e. V cos D (Dr)'= Tema 3 Nivelacin TrigonomtricaM. Farjas28 El error ser la diferencia de los dos valores. | | ) e V ( senV senD = (Dr)' Dr error + = Calculandovaloresnosencontramosqueparadistanciasde10metrosycon cenitales de 85 g , este error es de 2x 10 5 mm. Por lo tanto podemos prescindir del ngulo e a la hora de determinar el trmino t y la distancia reducida, cuando usamos estos equipos. 4.2 CALCULO DE DESNIVELES CON TQUIMETRO Y MIRA. A pesar de que es un mtodo que no se va a utilizar, lo incluimos para que no olvidis las expresiones de clculo. El esquema de toma de datos de campo es: Dr g senV2= tDrtan V= Y el desnivel vendr dado por: RDK) (0.5 m i t H2 BAB ABABA + + = Tema 3 Nivelacin TrigonomtricaM. Farjas29 5. COEFICIENTE K DE REFRACCIN 5.1 DETERMINACIN EXPERIMENTAL DEL COEFICIENTE K DE REFRACCIN. ParadeterminaelcoeficientederefraccinK bastar estacionar en los puntos A y B de los que seconozcaladistancia,D,quelosseparay efectuarsimultaneamentemedidasdelos ngulosverticalescorrespondientes.Comolaluz pordefectodescribeunarcoAB,lasdistancias cenitalesquesemidensonVyV,ycomolas condiciones atmosfricas son las mismas, por ser simultneaslasobservaciones,sernigualeslos ngulosr,derefraccin.EneltringuloOAB, cuyovrticeOeselcentrodelaTierra,puede establecerselasiguienterelacinentrelos ngulos: V r V rg+ = + + 200 ( ' )2 200 r V Vg= + + ( ' ) Dividiendo los dos miembros de est expresin por2 y teniendo en cuenta que rK =resulta: 221212200rK V Vg = = + ( ' ) Sienestexpresinsesustituyeporsuvaloryseexpresa( ' ) V Vg+ +200 en segundos, se tendr: KRDrV Vccg cc= + 052200 . ( ' ) enlasqueVyVsondistanciascenitalesreducidasalterreno(siguiente apartado). Tema 3 Nivelacin TrigonomtricaM. Farjas30 5.2 REDUCCIN DE LAS VISUALES AL TERRENO. Sea A el punto de estacin y B el punto visado, habindose medido en el primero ladistanciacenitalVm ,cuandoenrealidaddebieramedirselaV=AAB. Trazamos la recta AB paralela a AB, resultando que: V A AB = " por tanto:V Vm= + es decir que si se conocera V cuando se conozca . En el trangulo ABB se deduce que: sen" 'sen' "B BVA Bm= luego designando por iA a la altura de instrumento AA; y por mB a la de mira BB y siendo AB la distancia se obtiene que:

sen( )sen m iVDB Am= Despejando sen se obtiene: sen ( )sen = m iVDB A Dado que el ngulo es muy pequeo, expresado en segundos, se podr sustituir el seno por el ngulo quedando entonces: ccB Accm iVDr = ( )sen Elsignodelacorreccindependerde( ) m iB A .Ladistanciadeberaserla geomtricacorrespondiente a los puntos AB , pero dado la escasa pendiente que suelentenerlasvisualeslargasenTopografa,nohayningninconvenienteen tomar la reducida al horizonte. Tema 3 Nivelacin TrigonomtricaM. Farjas31 6. MTODOS DE NIVELACIN TRIGONOMTRICA SIMPLE -NIVELACIN TRIGONOMTRICA SIMPLE -NIVELACIN POR ESTACIONES RECPROCAS -Mtodo de campo. -Clculo del desnivel final. -Directo: HAB. -Recproco: HBA. -Discrepancia. -Tolerancia. -Valor final: medias aritmticas o ponderadas. -Precisin. -Altitud. -Aplicaciones. -NIVELACIN POR VISUALES RECPROCAS Y SIMULTANEAS -Frmula general. -Precisin. -Determinacin experimental del coeficiente k de refraccin. 6.1 NIVELACIN TRIGONOMTRICA SIMPLE Unanivelacintrigonomtricaessimplecuandoserealizaunanicavisual. SupongamosseaAelpuntodealtitudconocidayBelpuntocuyaaltitud queremos determinar. Porelmtododenivelacintrigonomtricasimplepuededeterminarsedelmodo que hemos indicado, el valor del desnivel existente entre ellos y la incertidumbre o precisin de dicho desnivel. La altitud del punto B vendr dada por: BA A BH H H + = Y la precisin o incertidumbre de esta altitud ser: 2 2BAA B HH He e e+ = EnelcasoenquenoconozcamoslaprecisindelaaltituddelpuntoA, unicamentepodremosobtenerlaprecisionrelativadelpuntoBconrespectoal punto A. 6.2 NT POR ESTACIONES RECIPROCAS. Para encontrar por este mtodo, el desnivel entre dos puntos A y B. se estaciona enAysevisaaB-situacina-;acontinuacinseinviertenlasposiciones relativas -situacin b- y se realizan nuevas medidas desde B. Como resultado de las observaciones se podr calcular: Tema 3 Nivelacin TrigonomtricaM. Farjas32 Situacin A Situacin B ) ( r e B ABABAC m i t H++ + = ) ( r e A BABABC m i t H++ + = Tericamente; ambos debern ser iguales y de signos contrarios. La discrepancia que entre ellos se presente dar idea de la precisin alcanzada y que en el caso de ser tolerable se toma como desnivel definitivo la semidiferencia: 2) (ABBA BAH HH + = Dichatoleranciaserfuncindelerrorquepuedaafectaracadaunodelos desniveles. 2 e TH = Laprecisindeldesnivelobtenidocomomediaaritmticadelosdosanteriores, tolerables, ser: 2eH Por ultimo la altitud del punto B vendr dada por: BA A BH H H + = Tema 3 Nivelacin TrigonomtricaM. Farjas33 La precisin de la altitud del punto B ser: 2 2BAA B HH He e e+ = 6.3 NT POR VISUALES RECPROCAS Y SIMULTANEAS. Este mtodo consiste en realizar de forma simultnea la observacin entre los dos puntos. PuedecalcularsetambineldesnivelentredospuntosAyB,estacionando instrumentos en los dos puntos y realizando observaciones verticales reciprocas y simultaneas,porloquelosefectosangularesdelarefraccin,r,enlasdos visuales sern iguales. Del tringulo AOB se produce sucesivamente: En el tringulo AOB OBsen 1) ) =OAsen2 Aplicamos el teorema: adbca ba bc dc d= +=+ ( ) (R HV + rR Hsen B A+=+V'+r( )| |( ) | | R H200 V rR Hsen 200 V' r

BgAg+ +=+ +

RH R HRH R Hsen(V+r) sen(V' sen(V r) sen(V' B AB A+ ++ += + + + sen ) sen r) r) Tema 3 Nivelacin TrigonomtricaM. Farjas34 Aplicamos el teorema: sen a sen b 2 cos a b2 sen a b2 =+ V r 1 200V' r 2 2001+ 2 + = 200+ + =+ + =$$$ $ 200 (V r) 200 (V' r) + + + = 200 200 V r V' r + = 0 V V' 2r2100+ += + 2 cot (1002) tg (V V'2) + tgtg ( V V'2 2) = tg tg( ) Aplicamos : arco = ngulo * Radio. D R = =DR Expresin que se introduce en la ecuacin: Como el ngulo es muy pequeo se puede aproximar por el ngulo (radianes) H HH2R2cos V r V' r2sen V rV' r 2 2sen V r V' r2cos V rV' r 2 A B BA ++=+ + + + + + + + HH2R Hcot V V' 2R2tg V V' 2 ABBB+ +=+ + HH H 2R)tg (V' V2ABA B+ +=tg( )2HHH2Rtg 2tg V' V2 ABA B+ += Tema 3 Nivelacin TrigonomtricaM. Farjas35 Para hallar el desnivel HABnecesitamos saber el desnivel medio. Ese desnivel, en comparacinconelradiodelaTierra,enmuypequeo.Despreciandoeste trmino: Expresin que permite calcular el desnivel entre los puntos A y B sin necesidad de tener en cuenta los efectos de esfericidad y refraccin. Debe hacerse notar que las distancias cenitales V y V son las que correspondera observarsinalturasdeinstrumentoyobjetodepuntera,esdecir,quelasque han sido observadas debern reducirse al terreno y como con la simultaneidad de las observaciones lo que se pretende es igualar los efectos de la refraccin, puede sustituirse por la condicin de operar en condiciones atmosfricas semejantes. 7.NIVELACIN TRIGONOMTRICA COMPUESTA -Lneas de nivelacin. -Por estaciones alternas. -Por estaciones recprocas. -Trabajo de campo. -Determinacin de desniveles. -Directos. -Recprocos. -Aplicar tolerancia. -Promedios. -Corrida de altitudes. -Error de cierre. -Tolerancia final. -Compensacin (mtodos clsicos). -Proporcional a los desniveles. -Proporcional a las distancias. -Proporcional a las tolerancias. -Partes iguales a todos los tramos. -Redes de nivelacin por estaciones recprocas y simultaneas. HHH 2RD2Rtg V' V2 ABA B+ +=( )H H H2RD2Rtg V' V2 ABA B= + +H 2R2RH H21RD tgV' V2 AB A B= ++

((HhmRD tg V' V2 AB= +

((12V V' tg DHHBABA= = Tema 3 Nivelacin TrigonomtricaM. Farjas36 -Proyecto. -Metodologa de observacin. -Ajuste por MMCC Concepto Lanivelacintrigonomtricacompuestaeselmtodoaltimtricoqueseaplicaen poligonacin.Sevaaanalizaresteprocedimientoaplicndoloaunproblemacuyo enunciado se os proporcionar en clase. Solamenteindicamosqueeltratamientodelclculoencadatramoserealizadeforma anloga al explicado en la NT simple por estaciones recprocas. Para la determinacin de los desniveles se dispone de dos determinaciones entre estaciones, obtenindose el valor final, a partir de la media aritmtica de ambas, siempre que la diferencia sea tolerable. Tolerancias Entre desniveles directo y recproco: 2 He e Precisin del desnivel de cada tramo. 2Hepromedio desnivel el en bre Incertidum= Tolerancia de cierre de la lnea de nivelacin: 2 n eeH 8.BIBLIOGRAFA COMPLEMENTARIA BRINKER,RussellC.;MINNICK,Roy(1987):TheSurveyingHandbook.Van Nostrand Reinhold Company. New York. 1270 pgs. BUCKNER,R.B.(1983):SurveyingmeasurementsandtheirAnalysis.Third Printing,May1991.LandmarkEnterprises,RanchoCordova,California.USA.276 pginas. BURNSIDE,C.D.(1982):ElectromagneticDistanceMeasurement.Editorial Granada. London. CHUECAPAZOS,M.(1983):Topografa.TomoI.EditorialDossat,S.A.Madrid, 1983. Tomo I.- Topografa Clsica. 634 pginas. DOMNGUEZGARCA-TEJERO,F.(1989):Topografageneralyaplicada.10 Edicin. Editorial Dossat, S.A. Madrid. 823 pginas. Tema 3 Nivelacin TrigonomtricaM. Farjas37 FERRERTORIO,Rafael;PIAPATON,Benjamin(1991b):Metodologas Topogrficas.E.T.S.deIngenierosdeCaminos,CanalesyPuertos,Santander.302 pginas. KAHMEN,Heribert(1988):VermessungskundeI.Fehlerlehre,Vermessungenund Berechnungen fr grossmassstbige Karten und Plne, Nivellieren. Walter de Gruyter. Berlin. New York. 270 pginas. KAHMEN,Heribert(1986):VermessungskundeII.Winkel-und Streckenmessgerte,Polygonierung,TriangulationundTrilateration, Satellitengeodsie. Walter de Gruyter. Berlin. New York. 320 pginas. GROSSMANN,WalterundKAHMEN,Heribert(1988):VermessungskundeIII. TrigonometrischeundbarometrischeHhenmessung,Tachymetrieund Ingenieurgeodsie. Walter de Gruyter. Berlin. New York. 247 pginas. HIGGINS,A.L.(1957):ElementarySurveying.London, 7 Impressin; Longmans, Grenn an Co. OJEDARUIZ,JosLuis(1984):MtodosTopogrficosyOficinaTcnica.1 Edicin. Autor. Madrid. 482 pginas. PEREZ MARTIN, Carlos (1981): "Clculo de Desniveles por Estaciones Recprocas y Simultaneas con Teodolito y Distancimetro. Precisin". Tcnica Topogrfica. Vol. IX. N 43. Septiembre - Octubre.pgs. 3-7. RUIZ MORALES, Mario (1991): Manual de Geodesia y Topografa. Primera Edicin. Proyecto Sur de Ediciones, S.A.L. Granada. 246 pginas. VALBUENADURAN,JoseLuis;SORIANOSANZ,MaraLuisa(1995):"La desorientacindelprismacomofuentedeerrorenlamedicindedistanciasy ngulos". Topografa y Cartografa. Vol. XII.- N 67. Marzo - Abril. Pgs. 6-15.