NIVELACION TRIGONOMETRICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA FACULTAD DE TECNOLOGA Y CIENCIAS APLICADAS NIVELACIN TRIGONOMTRICA TOPOGRAFA II

1

TOPOGRAFA II BOLILLA 7

NIVELACIN TRIGONOMTRICA AO 2010


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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA Facultad de Tecnologa Y Ciencias Aplicadas

Carrera de ingeniera en Agrimensura Topografa II

BOLILLA N 7

8- NIVELACIN TRIGONOMTRICA

a) Clculo de desniveles y alturas para distancias cortas y largas. b) Nivelacin Trigonomtrica simultanea y recproca. c) Aplicaciones de la Nivelacin Trigonomtrica. d) Errores que se cometen en la Nivelacin Trigonomtrica. e) Compensacin de la Nivelacin Trigonomtrica. f) Aplicacin de la Estacin total en el mtodo.

NIVELACIN TRIGONOMTRICA

El mtodo de nivelacin trigonomtrica o por pendientes es de utilidad, cuando los puntos entre los que se desea conocer el desnivel se encuentran alejados pero existe visibilidad entre ellos, siendo de gran aplicacin en terrenos montaosos. Este mtodo de nivelacin es ms preciso que el de nivelacin Baromtrica y menos que el de nivelacin Geomtrica, obtenindose resultados con errores que oscilan entre los 10 cm. y 1 m. Para realizar una nivelacin Trigonomtrica se debe tener convenientemente materializados y sealizados los puntos entre los que se quiere conocer el desnivel, siendo necesario conocer la distancia topogrfica o la distancia inclinada y el ngulo vertical. Para el clculo del desnivel, donde los puntos no estn muy separados y la superficie de referencia que se considera es plana, se utiliza la siguiente figura y frmula:


3

tagDh = sihh +=

sitagDh +=

Donde: -i: Altura del instrumento utilizado para medir el ngulo . -s: Altura de la seal donde se apunta. -D: Distancia horizontal. -D: Distancia inclinada. - : Angulo vertical medido. D y D` Se pueden medir por mtodos trigonomtricos, triangulacin, interseccin directa o inversa, distancimetro, telmetro, etc. MEDICIN DE NGULOS VERTICALES Se mide con teodolito, que trae un crculo vertical similar al crculo horizontal, en lo que respecta a la graduacin; la diferencia sustancial que existe entre ambos crculos, es que el crculo horizontal se mantiene fijo y la alidada la que gira, mientras que para las lecturas verticales el crculo vertical se encuentra solidario al anteojo girando con l, siendo los ndices los que se mantienen fijos a la alidada y definen una lnea horizontal. La graduacin del crculo vertical en los teodolitos modernos es continua de 0 a 360, pudiendo tener el origen en la direccin del Zenit, del Nadir, o del horizonte.

0 180 90 z

270 90 270 90 180 0 N

180 0 270 = -90

La lectura que se obtiene segn cada uno de los casos anteriormente expresados se denomina, Z = Distancia Cenital, N = Distancia Nadiral, = ngulo de Altura o Depresin, siendo fcilmente relacionables entre si con las siguientes expresiones:

Z = 90 - = 90 - Z N = 180 - Z Z = 180 - N = N 90 N = 90 +


4

90

180

Zenit

0

90

0

180 270

Circulo Verticl

Linea de los Indices

Tornillo Micromtrico

Eje del Nivel

El anteojo, el crculo y la lnea de los ndices, se encuentran dispuestos de forma similar al grfico precedente, debindose cumplir que la lnea de los ndices se mantenga horizontal permanentemente cualquiera sea la posicin del anteojo, para ello el teodolito cuenta con un nivel tubular solidario al ndice y cuyo eje debe ser paralelo a la lnea de los ndices; Si esto ltimo no se cumple el teodolito est afectado de ERROR DE INDICE. Para verificar en forma rpida si un teodolito tiene error de ndices, se ubica el eje de colimacin del anteojo perfectamente horizontal producindose en esas condiciones una lectura de 90 o 270, si esto no ocurre existe error de ndice. Otra forma ms efectiva de determinar el error de ndice es realizando las siguientes operaciones: -Elegir un punto bien definido. -Bisectar el punto elegido y realizar la lectura en posicin I (Z1 ). -Dar vuelta campana, bisectar nuevamente el punto y leer en posicin II (Z2) -Ejecutar la operacin Z1 + Z2= 360, si esto no se cumple el teodolito est afectado de error de ndice. Para determinar cual es el valor del error de ndice Z y el valor de la lectura Z sin la influencia del mismo, analizaremos los siguientes grficos


5

90

Zenit Zenit27

0270

180

I POSICION

90

Z

L.I.Z

Z1

0

Z

180

L.I.

Z Z1

0

Zenit27

0

0

90

II POSICION

L.I.

Z

180

ZZ

Z`Z2

1 2 3

Del grfico 1 se obtiene: ZZZ = 1 (I) Del grfico 3 se obtiene

ZZZZZZ

ZZZZZ

+==

=

=

2

2

2

360360

360``

:

ZZZ += 2360 (II)

Restando I II: 36020 21 += ZZZ

1802

3602 2121 +

=+= ZZZZZZ

1802

21

+= ZZZ

Valor del Error de ndice

Para conocer el valor de la distancia cenital verdadera, es decir sin la influencia del error de ndice leer en las dos posiciones y aplicar la frmula que surge de sumar I + II:

1802

3602 211 +

=+=ZZZZZZ

1802

21 +

=

ZZZ (III) Distancia Cenital Verdadera


6

Otra manera de obtener la distancia cenital verdadera es afectando todas las lecturas en posicin I de una correccin igual y de signo contrario al error. Nota: La figura 2 se realiza al solo efecto de ayudar al entendimiento del paso de la figura 1 ( Posicin I ) a la figura 2 ( Posicin II ).

Correccin del Error de ndice. Para eliminar el error de ndice que afecta a un teodolito se puede realizar de dos maneras: 1.- Modificando la posicin del eje del nivel hasta que quede paralelo a la lnea de los ndices. 2.- Modificando la posicin del eje de colimacin. De los dos mtodos el primero es el ms conveniente porque con el segundo se corre el riesgo de introducirle al teodolito otros errores ( Colimacin).

Los pasos a cumplir son los siguientes para el primer mtodo: Elegir un punto bien definido que se pueda bisectar con buena precisin. Con el teodolito en posicin I , apuntar y realizar la lectura ( Z1). Con el teodolito en posicin II , apuntar y realizar la lectura (Z2). Calcular Z con la formula III. Se bisecta nuevamente el punto, con el teodolito en posicin I. Trabajando con el tornillo de calado del nivel de ndice se provoca Z. Al ejecutar el paso anterior el nivel de ndice se descorrige, debindose calar nuevamente con los tornillos propios del nivel.

Para el segundo mtodo: a, b, c y d son iguales al primero. Provocar la lectura Z calculada manteniendo el nivel de ndice calado. Realizado el paso anterior, se observar que el centro del retculo no coincide con la imagen del punto, debindose desplazar al retculo en sentido vertical hasta provocar la puntera correcta. Estos dos mtodos, como en cualquier mtodo de correccin debe reiterarse el procedimiento varias veces para achicar lo ms posible el error residual.

Mtodos de medicin de ngulos verticales.

1.- Mtodo Sencillo: Se hace la lectura de todos los ngulos verticales en una sola posicin ( PI o PII ); para eliminar la influencia del error de ndice, a las lecturas se las debe afectar con la correccin Z . 2.- Mtodo de Compensacin: En este mtodo la lectura de los ngulos se hace en las dos posiciones ( PI y PII ), obteniendo el valor de Z mediante la frmula III; en este caso no es necesario realizar ninguna correccin ya que se elimina la influencia del error de ndice, disminuyendo adems la posibilidad de cometer un error grosero.

Para realizar una lectura de ngulo vertical, en un teodolito que cuenta con nivel de ndice, debe seguirse el siguiente procedimiento: Bisectar el punto. Calar el nivel de ndice. Verificar la biseccin. Realizar la lectura.


7

CALCULO DEL DESNIVEL TENIENDO EN CUENTA LA INFLUENCIA DE LA CURVATURA TERRESTRE Y LA REFRACCIN ATMOSFRICA.

Cuando la distancia entre los puntos que se quiere conocer el desnivel es grande, la superficie de referencia a utilizar no debe ser plana por lo tanto ya no es til la frmula

sitagDh += . Es necesario buscar otra que contemple la curvatura de la tierra, es decir una frmula que sirva para determinar el desnivel, cuando la superficie de referencia sea un casco de esfera o un casco de elipsoide. Para facilitar la demostracin en este curso se considera que la superficie de referencia es un casco de esfera puesto que a la tierra se la toma como una esfera.

Centro de la Tierra

Nivel del Mar

R

Sup. de

Nivel que

pasa por

190

D0

DD1

Sup. de Nivel qu

e

pasa por 2

HM

Ch

hs

i

1

2

C

Para encontrar la frmula que nos permita obtener el desnivel entre dos puntos, es decir, la diferencia de altura que existe entre las superficies de nivel paralelas y concntricas que pasan por los puntos, se observa en el grfico que se puede plantear la siguiente ecuacin:

( )

901

=

=++=

DDtagDh

IVCsihh

El ngulo es prcticamente 90 difiriendo de este valor en 1 a los 30 m. de separacin, 1 a los 1850 m. de separacin, 1 a los 111 Km. de separacin y 90 a los 10.000 Km. de separacin. El valor C es el error introducido por la esfericidad de la tierra y su valor se lo calcula utilizando el tringulo rectngulo, de la siguiente manera:


8

RC

RDC

RDCRCRRDCR

22

2)(2

2222222

+=

+=+++=+

El valor de 2C se lo desprecia frente al gran valor de R resultando por lo tanto:

RDC2

2

=

Reemplazando en la frmula IV las expresiones equivalentes a h y h resulta :

siR

DtagDh ++=

2

2

V

Debido al efecto de la refraccin atmosfrica el rayo visual no describe una trayectoria recta, si un arco, que provoca que la lectura del ngulo vertical sea mayor, de lo que debiera ser si esta fuera recta; por lo tanto si esto no se tiene en cuenta el desnivel calculado ser mayor. Para calcular y eliminar la influencia de este error por refraccin se considera que el arco descripto por el rayo visual, tiene un radio de curvatura 8 veces mayor al radio de la tierra produciendo un error 8 veces menor que el de esfericidad de la tierra, y su expresin es la siguiente:

RDk

RD

RDC

22125,0

281

81 222

===

0,125 = K = Coeficiente de refraccin de la Nivelacin Trigonomtrica. Para eliminar la influencia de este error se debe introducir en la expresin V su valor, resultando:

siR

DkR

DtagDh ++=

22

22

siR

DktagDh ++=2

)1(2

VI

Para una mejor comprensin de la influencia y magnitud de los errores de esfericidad de la tierra y refraccin atmosfrica, se analizar desde que distancia mnima hay que considerarlos para no superar un error prefijado.

[ ]KmDk

RDkRD

RDk =

=

== 66,12012

12

2)1( 2

2

Ejemplo: =10 cm. D? D = 120,66 x 0,0001 = 1,2 km.

Tambin es necesario advertir que la distancia a considerar para el clculo del desnivel debe ser la existente a la altura de trabajo, pero en muchas ocasiones puede resultar que la distancia con que se cuenta es la distancia D0 al nivel del mar obtenida por coordenadas que difunde el I.G.M. Por lo expresado se debe llevar ese valor de D0 a la altura de trabajo, que cuando se realiza gran altura, la diferencia entre D y D0. (reducida al nivel del mar) puede alcanzar valores importantes.


9

D

DH

R

D

Nivel del Mar

RHDDD

DRHD

RD

HD

DDDDDD

00

00

00

+=

==+==

01 DRHD

+=

H = altura media sobre el nivel del mar. Introduciendo la correccin de la distancia al nivel del mar en la frmula VI

siR

DktagRHDh ++

+=

2)1(1

2

0 VII

Ejemplo: para verificar cual es la magnitud que puede alcanzar D para H = 1 km. y D0= 10 km. Si R = 6.370 km

. 00015,06370

10 = DD xD0

D = 0,00015 x 10 = 1,5 m

En el Segundo trmino de la frmula definitiva VII la distancia puede ser la reducida o no ya que el error que se comete al no considerar la distancia reducida es insignificante. En la determinacin del desnivel h, es el coeficiente de refraccin K, el ms inseguro puesto que vara rpidamente en el transcurso del da entre 0,08 y 0,2 en virtud de la variacin de la temperatura, humedad y presin tomndose el valor de 0,13 como promedio diario obtenido experimentalmente; Por esto se considera la hora ms conveniente para realizar la nivelacin trigonomtrica es al medio da. El valor de K se lo puede obtener utilizando la formula VI


10

( )[ ])(22)1(2

)1(2

istagDhD

Rk

siR

DktagDh

+=

++=

h y D, se los debe conocer previamente en la forma ms precisa posible. Debe medrselos en el momento de la determinacin.

( )[ ])(21 2 istagDhDRk +=

MTODOS PARA ELIMINAR LA INFLUENCIA DE K

ESTACIONANDO A UNA DISTANCIA EQUIDISTANTE DE LOS PUNTOS La influencia en la determinacin de h del valor de K se la puede eliminar estacionando el teodolito a una distancia equidistante de los dos puntos entre los que se quiere conocer el desnivel.

s1

i1

h1

h1 h2s2

h2

i2

D1 D2

1 2

P

( ) ( )( )21112221

12122

12

2112221

21211221

222222

111111

)(2

1

212

1

tagtagDtagDtagDh

ssiiDDRk

tagDtagDh

ssiihhh

siDRk

tagDh

siDRk

tagDh

==

+

+=

===

+

+=

+

+=

( )1221 tagtagDh = Expresin que permite calcular el desnivel entre dos puntos sin la influencia del coeficiente de correccin por refraccin. Este mtodo no es prctico puesto que resulta


11

casi imposible o al menos muy dificultoso, determinar el punto de estacin que resulte a la misma distancia de ambos puntos entre los que se quiere conocer el desnivel. NIVELACIN TRIGONOMETRICA SIMULTANEA Y RECIPROCA

Con este mtodo se obtiene el desnivel entre los puntos sin la influencia del factor de correccin K; Para su ejecucin es necesario contar con dos teodolitos, para estacionarlos en cada uno de los puntos entre los que se desea conocer el desnivel y leer en forma simultnea el ngulo vertical Z. Otra ventaja importante de este mtodo es que el resultado se obtiene como promedio de dos observaciones. Si la distancia no es grande puede realizarse con el empleo de un solo teodolito, teniendo la precaucin de que no transcurra mucho tiempo, para asegurar que las condiciones atmosfricas no varen demasiado. Con el fin de encontrar la frmula que permita calcular el desnivel, recurriremos al teorema de las tangentes aplicndolo al tringulo 1C2 de la figura.

Z1

Z2

12

k

H2

R

C

C`

H1 D0

D

( )( ) 2

21212

180180

2

2

22

11

11

22

+

=

+

+=

+=

+=

+=

+

=

+

tag

tag

CCCC

ZZ

HRCHRC

tag

tag

baab

( )

2180

2

2180

2

180180

180

=+

=+

=+

+=

=++

tagtag


12

Reempezando en 1

21802

180180 2211

12

12

++

=

+++

+

tag

ZZtag

HRHRHRHR

Despejando H2 H1 ( )

22

22

22212

22122

2

12

cot2

90

290

22

0

1212

211212

12

12

112212

12

tagRRRDSi

ZZtagtag

RHHRh

HHHR

HHRHHR

tagagtaghHH

tag

ZZtagHHR

HH

m

===

++=

==+

++=++

==

=

+++

=

21 120

ZZtag

RHDh m

+=

En la frmula obtenida con este mtodo, se puede observar que intervienen dos lecturas del ngulo vertical, lo que da mayor peso al resultado y adems no aparece la inseguridad del factor K. Tambin es posible con este mtodo, calcular el valor del coeficiente de Refraccin K; utilizando los. tringulos C21 y C12 de la figura se obtiene la formula

APLICACIONES DE LA NIVELACION TRIGONOMETRICA : Se determinar la altura de una torre, respecto a un punto fijo que se encuentra en las inmediaciones de la torre y del cual se conoce su altura o cota H. . Se debe medir la distancia D entre dos puntos donde se estaciona un teodolito, distinguindose dos procedimientos distintos segn sea la disposicin de los puntos respecto a la torre. 1) Los puntos forman una base transversal respecto a la torre. 2) Los puntos determinan una base alineada con la torre.

Primer procedimiento


13

D

r2r1

h1 h2

12

D1 D2

D1` D2

`

Estacionado en el punto 1 se determina: r1, y 1 Estacionado en el punto 2 se determina: r2, y 2 En primer lugar es necesario conocer las distancias D1 y D2 lo que se logra resolviendo el tringulo horizontal 12T.

( )D

sen

senDDsen

senD

sen

Dsen

Dsen

D

==

+=

==

21

21

180

Conociendo D1 y D2 se puede calcular h1 y h2

2220220222

1110110111

tagDrHhrHHtagDhtagDrHhrHHtagDh++++==

++++==

Obtenindose con este procedimiento dos valores de la altura de la torre, que permiten tener mayor seguridad del resultado. Segundo Procedimiento.


14

D x

r2 r1

m

h2h1

`

La distancia desde el punto 2 al pi de la torre (x) no es posible medirla, pero si la distancia entre 1 y 2; Deducindose de la figura:

( )

mhhmrrhhaghxD

agmhaghx

===

=+

==

121221

1

12

cot

cotcot

Restando

agagagmDh

agmagaghDagmaghaghD

cotcotcot

cot)cot(cotcotcotcot

1

1

11

=

+=

+=

agagagmD

rHHhrHHcotcot

cot10110

++=++=

De la expresin que permite calcular H se deduce que a m es necesario medirlo con mucha exactitud porque est duplicado por la cotg y como es pequeo, cotg es muy grande, un pequeo error que se cometa en la determinacin de m se multiplica por un nmero grande, ejerciendo gran influencia en la determinacin de H.

TEORIA DE ERRORES DE LA NIVELACIN TRIGONOMTRICA

Para analizar los errores, y su influencia en la determinacin de los desniveles con la nivelacin trigonomtrica se utiliza la frmula:

sikR

DR

DtagDh ++=

22

22

En esta frmula se observa que para conocer h es necesario saber el valor de D , , R, K , i y s. A R. (radio de la tierra) se lo puede considerar invariable y no afectado de error; los valores de i y s (altura de aparato y seal) inciden directamente en el


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resultado de h , por lo tanto, debe medrselo con mucho cuidado para evitar cualquier posibilidad de error grosero, siendo suficiente medirlos con una cinta centimetrada. Los valores de D, y K intervienen en los trminos 1, 2, y 3, para determinar como influyen y con cual precisin se los debe medir se analizar cada trmino en forma independiente. 1-

==

===

dDdhcteD

dDtagdhctetagDh

2cos

1.

.

De 1- concluimos que para pendientes suaves, un error en la determinacin de la distancia no influye mucho, pero si aumenta su influencia en forma notable cuando aumenta la pendiente, ya que tg varia de o a . Ejemplo:

dD

dh

dh

= 10 = 60 tg = 0,176 tg = 1,73 + dg = 0,176 dD +dh = 1,73 Dd


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De 2- se concluye que para pendientes suaves, el error en la determinacin del ngulo su influencia es mucho menor que cuando la pendiente es grande.

Ejemplo:

dh

dh

D

d

d

= 10 = 60 2cos = 0,969 2cos = 0,25 1/ 2cos = 1,03 1/ 2cos = 4

dDdh = 03,1 dDdh = 4

Se tratar de analizar a partir de 1- y 2- el caso inverso en el cual se fija una precisin en la determinacin del desnivel, debindose calcular con que precisin deben medirse D y .

"

cos

cos

1_2

cot_12

2

==

==

dhD

ddDdh

gdhdDdDtagdh

Ejemplo: dh = 10 cm. D = 500 m. 30

"312062651050000

30cos3.1730cot10

2

==

==

cmcm

d

cmgdD

Habiendo obtenido las precisiones con la cual se debe medir D y debe procederse a elegir el instrumental de medicin adecuado. Para la eleccin del instrumental se comenzar recordando que el clculo de probabilidades demuestra; que con el error medio de una serie de mediciones existe un 68,2% de esas mediciones que son menores que el error medio, por lo tanto existe un 31,8% de esas mediciones que son mayores que el error; Que dos veces el error medio de esa misma serie, el 97% de esas mediciones tiene un error menor y solo un 3% superar el error medio; Con el mismo razonamiento se puede asegurar que si se considera tres veces el error medio existe un 99,9% de mediciones de esa serie que est por debajo del error. Tambin es oportuno recordar que tolerancia es el mximo error que se debe cometer en la obtencin de un resultado.


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De lo expresado en los prrafos anteriores se concluye que el dD y d calculados en el ejemplo, son la tolerancia y si se desea estar seguro de que el resultado est dentro de la tolerancia, es necesario elegir un instrumento que permite obtener un error medio tres veces menor que los valores calculados.

"103"31

3

.7,53

3,173

===

===

Td

cmTdD

Precisin que debe asegurar el instrumental y el mtodo seleccionado. Del anlisis del trmino 2 se concluye, que puede no tenerse en cuenta su influencia debido al gran valor de R ya que al diferenciar respecto de D, siempre 2R queda como divisor. Para el anlisis del tercer trmino, se procede a diferenciar en funcin de K obtenindose:

dkR

DdhkR

Dh kk == 22

22

Como el valor de K es inseguro se considera dK K = 0,13 y se tiene

kR

Ddh =2

2

***

Ejemplo: para D = 1000 m mm

m

mdhk 02,10102,013,0127400001000 22

===

para D = 500 m.

mmm

mdhk 26,00026,013,012740000500 22

===

En la formula *** se observa que la influencia del error por refraccin aumenta con el cuadrado de la distancia, es decir, dh es directamente proporcional al cuadrado de la distancia. El error total se lo puede calcular de la siguiente manera: dh = kdhdh 22 + Del anlisis anterior y fundamental de los trminos 1 y 3 se deduce que a medida que aumenta la distancia D, la influencia del error del ngulo ; por lo tanto se analizar cuando ambos errores son iguales, es decir d = dk.

[ ]5,0

""5,0

"

13,020626512740

"

22"2

1cos"cos

22

22

kmDddD

ddk

RDkR

DdDdkR

Ddh

dDdh

k

==

=

===

=

[ ]kmDd = 2" ****

De esta ltima expresin **** se obtiene como conclusin que no es conveniente medir con una precisin mayor a D en kilmetro, puesto que dK es ms importante cuando se supera esa distancia.


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COMPENSACIN DE LA NIVELACIN TRIGONOMETRICA Estacin Trigonomtrica doble: Si para determinar el desnivel entre dos puntos, se realiza estacin de teodolito en ambos, se obtiene dos valores del desnivel en forma independiente, resultando el promedio el desnivel buscado. El procedimiento de la nivelacin simultnea y recproca es un caso particular de estacin doble.

D

1

s2

s1

h1

i1

2i2

h2

h1h2

2222

1111

sihhsihh

+=+=

221 hhh +=

2) Determinacin de la cota de un punto partiendo de la cota de varios puntos

P1-H1P4-H4

P3-H3

P2-H2

P

D1 D4

D2 D3

h1 h4

h3h2


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Desde el punto P, al que se le quiere conocer la cota, se miden los ngulos verticales de las visuales a los puntos P1, P2, P3, P4, de cotas H1, H2, H3, H4, calculndose los desniveles h1, h2, h3, h4. Conociendo estos desniveles se puede calcular la cota de Hp1 = H1 + h1 Hp2 = H2 + h2 Hp3 = H3 + h3 Hp4 = H4 + h4 Deberan ser iguales porque se trata de la cota de un solo punto, pero como no da igual se obtiene la cota ms probable haciendo el promedio. Para sacar el promedio es necesario tener en cuenta que las distancias desde P a los puntos P1, P2, P3, P4, no es la misma por lo tanto los desniveles hi tienen distinto peso:

24

423

322

221

11

;1

;1

;1

DP

DP

DP

DP ====

El promedio pesado de las cotas se calcula con la siguiente frmula.

[ ][ ]

24

23

22

21

24

23

22

21

1111

11114321

DDDD

HD

HD

HD

HD

PHPH

PPPP

P

+++

+++

=

=

3) Compensacin de un rodeo Para estudiar este caso se considera el rodeo ms sencillo, que es un tringulo en el cual mediante nivelacin trigonomtrica, se obtiene el desnivel entre sus vrtices h1, h2, h3. La suma h1 + h2 + h3 = 0 ; para que esto ocurra evidentemente entre ellos deben tener signo diferente. Para determinar el signo de cada desnivel, se marca con una flecha en el sentido de subida, luego se elige un determinado sentido de giro para recorrer el polgono, considerando positivo el desnivel del lado en el cual la flecha se encuentra en el mismo sentido y viceversa, ser negativo, el desnivel entre los puntos que determinan el lado donde el sentido de la flecha es contrario al de giro. Para el caso planteado en la figura, se tiene que: h1 es positivo h2 es negativo debindose verificar que h1 h2 + h3 = 0 hi = 0 h3 es positivo

1

h1 h3

2 3 h2

Pero, como en la determinacin de los desniveles se comete error, resulta:

h1 h2 + h3 0 hi 0 h1 - h2 + h3 + w = 0 hi = w

w es el error de cierre de la nivelacin del Rodeo, debindose realizar una correccin C = -W, la cual se reparte en forma proporcional al cuadrado de las distancias.


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( h1 + V1 ) ( h2 + V2) + ( h3 + V3 ) = 0 donde V1 + V2 + V3 = C

232

32

22

13

222

32

22

12

212

32

22

11

22

DDDD

CV

DDDD

CV

DDDD

CV

DDCV i

ii

++

=

++

=

++

=

=

Ejemplo: h1 = 21,30 m D1 = 500 m D21 = 250000 m V1 = 0,158 m h2 = 35,18 m D2 = 850 m D22 = 722500 m V2 = 0,457 m h3 = 14,56 m D3 = 320 m D23 = 102400 m V3 = 0.065 m h= W = 0,68 m D2 = 1074900 m

h = ( 21,30 0,158 ) + ( -35,18 0,457 ) + ( 14,56 0,065 ) = 0

Los rodeos pueden ser polgonos de muchos lados, no solamente de tres. 3)Compensacin de una red de nivelacin

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Se considera una red a un conjunto de polgonos interrelacionados entre si por medio de alguno de sus elementos. La compensacin que se explica en el presente curso no es totalmente rigurosa y sirve para solucionar el problema en casos que no requiere gran precisin. Se analizar el caso de la figura, que consta de 4 rodeos o polgonos que se deben compensar en forma independiente cada uno de ellos y en un orden determinado. Es necesario tener en cuenta que los lados comunes ya corregidos en un rodeo no deben ser tocados en el rodeo siguiente y que para un rodeo tiene un signo y para el otro cambia. Una vez realizada la compensacin debe verificarse que cualquiera sea el recorrido, siempre la suma de los desniveles sea igual a cero.-

NIVELACION TRIGONOMETRICA

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