METODO DE INTEGRACION

POR SUSTITUCION

TRIGONOMETRICA

CALCULO INTEGRAL

𝑎2 − 𝑢2

PARA ESTE CASO, SE REALIZARÁ LA

SUSTITUCION SIGUIENTE UTILIZANDO COMO

“u” UNA NUEVA VARIABLE:

𝒂𝟐 − 𝒖𝟐 ⇒ 𝒖 = 𝒂 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝛽

𝑢2 − 𝑎2

PARA ESTE CASO, SE REALIZARÁ LA

SUSTITUCION SIGUIENTE UTILIZANDO COMO

“u” UNA NUEVA VARIABLE:

𝑢𝟐 − 𝑎𝟐 ⇒ 𝒖 = 𝒂 ∗ 𝑠𝑒𝑐 𝛽

𝑢2 + 𝑎2

PARA ESTE CASO, SE REALIZARÁ LA

SUSTITUCION SIGUIENTE UTILIZANDO COMO

“u” UNA NUEVA VARIABLE:

𝑢𝟐 + 𝑎𝟐 ⇒ 𝒖 = 𝒂 ∗ 𝑡𝑎𝑛 𝛽

𝑠𝑒𝑛2 𝛽 + cos2 𝛽 = 1

𝑠𝑒𝑛2𝛽 = 1 − cos2 𝛽 cos2 𝛽 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝛽1 + 𝑡𝑔2 𝛽 = sec 𝛽

𝑡𝑔2𝛽 = sec2 𝛽 − 1 sec2 𝛽 − 𝑡𝑔2𝛽 = 1

𝑠𝑒𝑛𝛽 =1

c𝑠𝑐 𝛽csc 𝛽 =

1

𝑠𝑒𝑛 𝛽

𝑐𝑜𝑠𝛽 =1

sec 𝛽sec 𝛽 =

1

cos 𝛽

𝑡𝑔 𝛽 =1

𝑐𝑡𝑔 𝛽𝑐𝑡𝑔 𝛽 =

1

𝑡𝑔 𝛽

𝑑𝑥

9 − 𝑥232

SOLUCION:

AL ANALIZAR UN POQUITO DE ESTA INTEGRAL, VEMOS QUE TIENE DEL TIPO

𝑎2 − 𝑢2, DONDE SE REALIZARA LA SUSTITUCION SIGUIENTE:

𝑎2 = 9 𝑢2 = 𝑥2

𝑎 = 3 𝑢 = 𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

ASI QUE, SUSTITUYENDO, SE OBTIENE LO SIGUIENTE:

𝑑𝑥

9 − 𝑥232

= 𝑑𝑢

𝑎2 − 𝑢232

Y TAMBIEN REALIZAR LA SUSTITUCION SIGUIENTE PARA ESTE TIPO DE CASOS:

𝑢 = 𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑑𝑢 = 𝑎 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑑𝛽

Y POR LO TANTO:

𝑑𝑢

𝑎2 − 𝑢232

= 𝑑𝑢

𝑎2 − 𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝛽 232

= 𝑎 ∗ cos𝛽 𝑑𝛽

𝑎2 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝛽32

= 𝑎 ∗ cos 𝛽 𝑑𝛽

𝑎2 cos2 𝛽32

= 𝑎 ∗ cos 𝛽 𝑑𝛽

𝑎232 cos2 𝛽

32

= 𝑎 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑑𝛽

𝑎3 𝑐𝑜𝑠3𝛽

=1

𝑎2

𝑑𝛽

cos2 𝛽=1

𝑎2 sec2 𝛽 𝑑𝛽 =

1

𝑎2𝑡𝑔 𝛽 + 𝐶

Y RECORDANDO LAS SUSTITUCIONES QUE SE REALIZARON EN EL PROCESO DE

LA SOLUCION DEL PROBLEMA, SE VUELVEN A DESPEJAR, QUEDANDO DE LA

SIGUIENTE MANERA:

𝑠𝑒𝑛 𝛽 =𝑢

𝑎

cos 𝛽 =𝑎2 − 𝑢2

𝑎

𝑡𝑔 𝛽 =𝑢

𝑎2 − 𝑢2

1

𝑎2𝑡𝑔 𝛽 + 𝐶 =

1

𝑎2∗

𝑢

𝑎2 − 𝑢2+ 𝐶

Y RECORDANDO QUE:𝑎2 = 9 𝑎 = 3𝑢2 = 𝑥2 𝑢 = 𝑥

1

𝑎2∗

𝑢

𝑎2 − 𝑢2+ 𝐶 =

1

9∗

𝑥

9 − 𝑥2+ 𝐶

𝑑𝑥

9 − 𝑥232

=1

9∗

𝑥

9 − 𝑥2+ 𝐶

𝑑𝑧

𝑧2 + 632

SOLUCION:𝑎2 = 6 𝑢2 = 𝑧2

𝑎 = 6 𝑢 = 𝑧𝑑𝑢 = 𝑑𝑧

𝑑𝑧

𝑧2 + 632

= 𝑑𝑢

𝑢2 + 𝑎232

𝑢 = 𝑎 ∗ 𝑡𝑔 𝛽𝑑𝑢 = 𝑎 ∗ sec2 𝛽 𝑑𝛽

𝑑𝑢

𝑢2 + 𝑎232

= 𝑎 ∗ sec2 𝛽 𝑑𝛽

𝑎 ∗ 𝑡𝑔 𝛽 2 + 𝑎232

= 𝑎 ∗ sec2 𝛽 𝑑𝛽

𝑎2𝑡𝑔2𝛽 + 𝑎232

= 𝑎 ∗ sec2 𝛽 𝑑𝛽

𝑎2 𝑡𝑔2 𝛽 + 132

= 𝑎 ∗ sec2 𝛽 𝑑𝛽

𝑎2 sec2 𝛽32

= 𝑎 ∗ sec2 𝛽 𝑑𝛽

𝑎3 𝑠𝑒𝑐3𝛽=1

𝑎2 𝑑𝛽

sec 𝛽=1

𝑎2 cos𝛽 𝑑𝛽

=1

𝑎2𝑠𝑒𝑛 𝛽 + 𝐶

Y AL REALIZAR EL TRIANGULO RECTANGULO CON SUS RESPECTIVAS VARIABLES,

TOMAREMOS LO SIGUIENTE:

𝑠𝑒𝑛 𝛽 =𝑢

𝑢2 + 𝑎2

𝑐𝑜𝑠𝛽 =𝑎

𝑢2 + 𝑎2

tg 𝛽 =𝑢

𝑎

Y TAMBIEN RECORDAR QUE

𝑎2 = 6 𝑢2 = 𝑥2

𝑢 = 𝑥

1

𝑎2𝑠𝑒𝑛 𝛽 + 𝐶 =

𝑢

𝑎2 𝑢2 + 𝑎2+ 𝐶 =

𝑥

6 𝑥2 + 6+ 𝐶

∴ 𝑑𝑧

𝑧2 + 632

=𝑥

6 𝑥2 + 6+ 𝐶

𝑥2 − 25

𝑥𝑑𝑥

SOLUCION:

𝑢2 = 𝑥2 𝑎2 = 25𝑢 = 𝑥 𝑎 = 5𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑥2 − 25

𝑥𝑑𝑥 =

𝑢2 − 𝑎2

𝑢𝑑𝑢

𝑢 = 𝑎 ∗ sec 𝛽𝑑𝑢 = 𝑎 ∗ sec 𝛽 𝑡𝑔 𝛽 𝑑𝛽

𝑢2 − 𝑎2

𝑢𝑑𝑢 =

𝑎2 sec2 𝛽 − 𝑎2

𝑎 ∗ sec 𝛽𝑎 ∗ sec 𝛽 ∗ 𝑡𝑔 𝛽 𝑑𝛽 = 𝑡𝑔 𝛽 𝑎2 sec2 𝛽 − 1 𝑑𝛽

= 𝑡𝑔 𝛽 𝑎2𝑡𝑔2𝛽𝑑𝛽 = 𝑎 𝑡𝑔 𝛽 ∗ 𝑡𝑔 𝛽 𝑑𝛽 = 𝑎 𝑡𝑔2 𝛽 𝑑𝛽 = 𝑎 (sec2 𝛽 − 1)𝑑𝛽

= 𝑎 𝑠𝑒𝑐2 𝛽 𝑑𝛽 − 𝑎 𝑑𝛽 = 𝑎 𝑡𝑔 𝛽 − 𝑎 ∗ 𝛽 + 𝐶

Y AL ANALIZAR EL TRIANGULO, SUSTITUIMOS LO SIGUIENTE PARA “tg B”:

𝑠𝑒𝑛 𝛽 =𝑢2 − 𝑎2

𝑢

cos𝛽 =𝑎

𝑢

𝑡𝑔 𝛽 =𝑢2 − 𝑎2

𝑎

𝑎 𝑡𝑔 𝛽 − 𝑎 ∗ 𝛽 + 𝐶 = 𝑎 ∗𝑢2 − 𝑎2

𝑎− 𝑎 ∗ 𝛽 + 𝐶

PARA EL CASO DE “beta”, SE DESPEJARA CUALQUIERA DE ESAS FUNCIONES

TRIGONOMETRICAS Y, POR LOGICA, SE TRANSFORMARAN A FUNCIONES

INVERSAS TRIGONOMETRICAS (ES DECIR, arc sen, arc cos y/o arc tg). PARA

OBTENER UNA FACILIDAD ALTA, DESPEJAREMOS BETA PARA LA FUNCION

“COS”, ES DECIR:

cos𝛽 =𝑎

𝑢⇒ 𝛽 = 𝑎𝑟𝑐 cos

𝑎

𝑢

Y VOLVIENDO A LA SOLUCION:

𝑎 ∗𝑢2 − 𝑎2

𝑎− 𝑎 ∗ 𝛽 + 𝐶 = 𝑎 ∗

𝑢2 − 𝑎2

𝑎− 𝑎 ∗ 𝑎𝑟𝑐 cos

𝑎

𝑢+ 𝐶

Y SIN OLVIDAR QUE:

𝑎2 = 25 𝑢2 = 𝑥2

𝑎 = 5 𝑢 = 𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑎 ∗𝑢2 − 𝑎2

𝑎− 𝑎 ∗ 𝑎𝑟𝑐 cos

𝑎

𝑢+ 𝐶 = 5 ∗

𝑥2 − 25

5− 5 ∗ 𝑎𝑟𝑐 cos

5

𝑥+ 𝐶

= 𝑥2 − 25 − 5 ∗ 𝑎𝑟𝑐 cos5

𝑥+ 𝐶

∴ 𝑥2 − 25

𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 − 25 − 5 ∗ 𝑎𝑟𝑐 cos

5

𝑥+ 𝐶

BIBLIOGRAFIAS

W. SWOKOWSKI, EARL, “CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA”, SEGUNDA

EDICION, E.U.A, 1097 PAGS.

Garza Olvera, Benjamín, Cálculo Integral, Matemáticas VDGETI, 1ra

Edición, 269-275 págs.

AGUILAR, Gerardo y Castro, Jaime, “PROBLEMARIOS DE CÁLCULO

INTEGRAL”, 1ra edición, División Iberoamericana, Julio 2003, págs. 37-38.