Circunferência trigonométrica

É uma circunferência de orientada de raio unitário (r = 1), cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal.

Mas para isso devemos juntar a essa estrutura as seguintes convenções.De forma que poderemos definir como circunferência trigonométrica.

1) O ponto A (1, 0) é a origem de todos

os arcos a serem medidos na

circunferência.

2) Caso um arco for medido no sentido

horário, então a essa medida será

atribuído o sinal negativo ( - ).

3) Caso um arco for medido no sentido

anti-horário, então a essa medida será

atribuído o sinal positivo ( + ).

4) Os eixos coordenados dividem o

plano cartesiano em quatro regiões

denominadas quadrantes; esses

quadrantes são contados no sentido

anti-horário, a partir do ponto A.

Arcos Côngruos Dois arcos trigonométricos são côngruos quando têm a mesma origem e mesma extremidade.

Exemplo:

Levando-se em conta a circunferência trigonométrica a seguir:

Partindo do ponto A e girando duas voltas completas no sentido anti-horário, associamos as seguintes medidas aos pontos A, B, A’, B’:

Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no

primeiro quadrante e M' o simétrico de M em relação ao eixo

OX, estes pontos M e M' possuem a mesma abscissa e as

ordenadas possuem sinais opostos.

Sejam A=(1,0) um ponto da

circunferência, a o ângulo

correspondente ao arco AM e b o ângulo

correspondente ao arco AM', obtemos:

sen(a) = -sen(b)

cos(a) = cos(b)

tan(a) = -tan(b)

Simetria em relação ao eixo OX

Simetria em relação ao eixo OY

Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no

primeiro quadrante, e seja M' simétrico a M em relação ao eixo OY, estes

pontos M e M' possuem a mesma ordenada e as abscissa são

simétricas.

Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o

ângulo correspondente ao arco AM e b o

ângulo correspondente ao arco AM'. Desse

modo:

sen(a) = sen(b)

cos(a) = -cos(b)

tan(a) = -tan(b)

Simetria em relação à origem

Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no

primeiro quadrante, e seja M' simétrico de M em relação a origem, estes

pontos M e M' possuem ordenadas e abscissas simétricas.

Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o

ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo

correspondente ao arco AM'. Desse modo:

sen(a) = -sen(b)

cos(a) = -cos(b)

tan(a) = tan(b)

Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis

Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns

ângulos que aparecem com muita frequência em exercícios e

aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples

observação no círculo trigonométrico.

Chamamos de função seno a função f: R → R que a cada número real x, associa o seno desse número:

f: R → R, f(x) = sen x

O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ;visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do seno, –1 ≤ sen x ≤ 1, ou seja:

Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R.

Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] .

Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k em Z.

Sinal da Função:

Como seno x é a ordenada do ponto-

extremidade do arco:

f(x) = sen x é positiva no 1 e 2

quadrantes (ordenada positiva)

f(x) = sen x é negativa no 3 e 4

quadrantes (ordenada negativa)

Gráfico da função seno (senóide).

Exemplos:

1) Esboçar o gráfico da função y = 2 senx.

2) Esboçar o gráfico da função y = 3+2sen x.

3) Esboçar o gráfico da função y = sen 2x.

4) Esboçar o gráfico da função y = sen (∏/2 – x).

Através de alguns exemplos, mostramos a influência de

cada coeficiente nas funções y = a (+-) b.sen (cx + d),

concluindo que:

o parâmetro c influencia no período da função que é

calculado por ;

o parâmetro b é a amplitude da curva, ou seja, a altura da

curva;

o parâmetro a é o responsável pelo deslocamento vertical

da curva, enquanto que d provoca translação no sentido

horizontal ;

a imagem é o intervalo [a - b , a + b] ;

se d = 0 , então o gráfico da função seno passa pelo ponto

(0, a) , enquanto que a função cosseno passa pelo ponto (0,

a + b) ou (0, a – b), dependendo do sinal do parâmetro b.

Sinais da função

Domínio: R

· Im(f) = [-1;1]

· A função é par: cosx = cos(-x)

· Crescente: 3o e 4o quadrante

· Decrescente: 1o e 2o quadrante

1Q: cosseno positivo

2Q: cosseno negativo

3Q: cosseno negativo

4Q: cosseno positivo

GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO (cossenóide)

As alterações na função cosseno ocorrem quando promovemos operações no valor de cos x antes ou após o cálculo do valor de cosseno. Assim temos:

y = a (+ -) b cos(cx + d)

a = indica aumento na altura das ondas

gladiolação, amplitude.

b = indica alteração no período da função.

se b entre -1 e +1 _função aumenta período;

se b > 1 ou b < -1 _ período diminui

se b positivo _desenho normal;

se b negativo _gráfico rebate como espelho

c = provoca deslocamento horizontal da função.

se c > 0 _ desloca para esquerda ;

se c < 0 _ desloca para a direita

d = provoca deslocamento vertical da função.

se d > 0 - função sobe, se d < 0 _ função desce

Exemplos:

y = 2 cos x

y = 3 cos 2x

y = - 2cos x

y = -2 + 3cos x/2