26/02/2015

1

Copyright febrero de 2015 por TECSUP

NIVELACION

Matemticas

II CICLO

TECNOLOGIA MECANICA ELECTRICA

Mg. Luis Carlos Moreno Fuentes

INFORMACION DEL CURSO

CODIGO PG2014

NOMBRE

CURSO Matematicas DEPARTAMENTO

INFORMACION DEL PLAN DE TEMA

TIPO

PLAN

N HORAS

X SESIN 2 terico-Practico APROBADO POR:

SIST. DE EVALUACION

N

SESIONES 6 sesiones de Aula FECHA APROBACION

NIVEL 2

CURRICUL

A C9-2014-1 AUTORIZADO POR:

PROGRAMA Tecnologa Mecanica Electrica FECHA AUTORIZACION

OBJETIVOS

1

Familiarizarse con operaciones matemticas de algebra , trigonometra y calculo superior en tres dimensiones para reforzar su

formacion en matemticas

2 Identificar las aplicaciones de operaciones algebraicas y trigonomtricas en problemas que contengan tres incgnitas.

CLASE COMPETENCIAS, CAPACIDADES

TERMINALES A OBTENER

UNIDADES DE

FORMACION

CONTENIDOS DIDACTICA / MEDIOS

1

Graficar, puntos, segmentos de recta en

un sistema de coordenadas cartesianas

en tres dimensiones Geometria del espacio

Sistema de coordenadas

rectangulares en tres dimensiones.

Punto en el espacio. Distancia

entre puntos en 3D. Definicin de

vector, elementos de un vector.

Calculo del Modulo de un vector.

Tipos de vectores

Se utiliza multimedia, pizarra.

Ejercicios de aplicacin.

2

Realizar operaciones de suma y resta de

vectores Adicin de vectores

Operaciones con vectores,

Mtodos para operaciones de

suma y resta de vectores

unidimensionales y en el plano

Se utiliza multimedia, pizarra.

Ejercicios de aplicacin.

3

Operar con las funciones trigonomtricas

para obtener los valores de los ngulos.

Evaluar aprendizaje Trigonometra

Circulo unitario. Razones

trigonomtricas de un ngulo

agudo. Razones trigonomtricas

inversas. Obtencin de ngulos y

catetos y usando trigonometra.

Se utiliza multimedia, pizarra.

Ejercicios de aplicacin.

4

Resuelve problemas de sistemas de

ecuaciones lineales con 3 incognitas Algebra

Determinantes de 2x2 y 3x3.

Sistema de ecuaciones lineales de

3 incognitas. Metodo de cramer.

Solucion de una ecuacion

cuadratica.

Se utiliza multimedia, pizarra.

Ejercicios de aplicacin.

5

Diferenciar las dos formas de producto de

vectores Producto de vectores

Producto escalar. Angulo entre dos

rectas. Producto Vectorial y sus

propiedades.

Se utiliza multimedia, pizarra.

Ejercicios de aplicacin.

6

Resolver problemas de integrales

definidas aplicando el teorema de barrow.

Evaluar aprendizaje Clculo Integral Integral definida. Regla de Barrow

Se utiliza multimedia, pizarra.

Ejercicios de aplicacin.

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2

Sistema de coordenadas rectangulares en dos y tres dimensiones.

Punto en el espacio en 2D y 3D.

Distancia entre puntos en 3D.

1ra Clase

Puntos en el plano. Coordenadas

Un sistema de referencia en el plano est formado por dos rectas: OX (llamada eje de abscisas) y OY (llamada eje de ordenadas) que se cortan en un punto O (llamado origen de coordenadas)

X

Y

O 1

1

P

p1

p2 (p1, p2) Cada punto del plano queda unvocamente determinado por sus coordenadas

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3

Sistema de coordenadas cartesianas en 2D y 3D

Puntos en 2D y 3D

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4

Sistema a derechas

Graficar el punto

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5

Distancia entre dos puntos

Rpta: d=10.5u

Cual es la distancia

d=???

?????????

Hallar la distancia entre los siguientes dos

puntos

RPTA:

d=(5-4)2+(12-

7)21/2

D=10.3u

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6

Calcular la distancia del segmento en cada caso

d=7.81 u d=6.32 u

EJERCICIOS

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Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A

(origen) al punto B (extremo).

VECTOR

Elementos de un vector

X+

La direccin del vector es la direccin de la recta que contiene al vector o de

cualquier recta paralela a ella.

El mdulo del vector es la longitud del segmento AB, se representa por

El sentido del vector es el que va desde el origen A al extremo B.

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SIMBOLOGIA

Representacin de un vector

Y

X+

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CALCULO DEL MODULO DE UN VECTOR

Coordenadas de un vector

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10

Tipos de vectores

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11

Operaciones con vectores

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SUMA GEOMTRICA DE VECTORES

Conociendo dos vectores , la suma de estos no solo depender de su mdulos, sino

tambin de sus respectivas direcciones, o

sea del ngulo que estos forman.

Existen varios mtodos geomtricos para sumar o restar vectores.

ByA

B

A

Se emplea para sumar o restar dos vectores coplanares concurrentes:

La suma o resta de dos vectores depende de sus

mdulos y tambin del ngulo que estos forman.

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SUMA DE DOS VECTORES

Sean los vectores y el ngulo que estos forman, para sumar estos vectores

debemos proceder del siguiente modo:

CosABBAR 2222

ByA

B

A

a) Juntar los orgenes de los vectores A y B observando el ngulo que estos forman.

b) Por el extremo de cada vector

trace una paralela al otro

vector formando el

paralelogramo.

c) El vector resultante R es el vector

que parte del origen comn y que se

halla sobre una de las diagonales del

paralelogramo.

En esta ecuacin no debe

reemplazarse los mdulos de A o B.

d) Para hallar el mdulo del vector resultante se debe usar el mtodo del paralelogramo.

CosABBAR 2222

PROCEDIMIENTO

B

A

B

A

A

B

R

BAR

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a) Invertir el sentido del vector

con el objeto de obtener el

vector opuesto y poder construir la diferencia.

DIFERENCIA DE VECTORES

Sean los vectores y el ngulo que estos forman, para hallar la diferencia debemos:

ByA

1802222

CosABBABA

CosABBABA 2222

B

B

b) Seguir el procedimiento

del mtodo del

paralelogramo. En la frmula del paralelogramo:

De la trigonometra se sabe que: Cos(180 - ) = - Cos

Luego:

A

180

B

B

B

BA

A

180

B

A

Sean los vectores que deben sumarse segn el mtodo del tringulo.

Vectorialmente:

ByA

Se emplea para sumar dos vectores ordenndolos secuencial mente, el valor resultante se trazar desde el primer origen hasta el ltimo extremo.

PROCEDIMIENTO

a) Ordenar los vectores colocando un vector despus de otro

b) El vector resultante se traza desde el primer origen hasta el ltimo extremo.

R

BAR

En esta ecuacin no se

debe reemplazar los

mdulos de los vectores Sen

R

Sen

B

Sen

A

Ley de Senos:

ByA

B

A

A

R

B

180

A 180

B

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Si ordenamos secuencialmente 3

ms vectores tal como se hace en el

mtodo del tringulo, el mtodo se

denomina POLGONO.

Sean

CyBA , los vectores que sumaremos segn este mtodo Procedimient

o 1.Ordenar los vectores

colocando un vector despus de otro

uniendo extremo con origen

ByA

2) El vector resultante se traza desde el

primer origen hasta el ultimo extremo.

Vectorialmente:

CBAR

En esta ecuacin no se deben remplazar los

mdulos de CBA

,,

A

B

C

A

R

B

C

BC

A

A

B

C

D

Entonces si se tiene los

siguientes vectores

El vector resultante

de la suma de todos

ellos ser:

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A B

C

D

DCBAR

R

Ejemplo 8:

Hallar el vector resultante de la suma de los

siguientes vectores

A B

C

A B

C R = 2

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VECTOR UNITARIO

El vector unitario de un vector es otro vector en la misma direccin y cuyo mdulo es la unidad.

En el diagrama se observa un vector ; si en la misma direccin de

trazamos otro vector de mdulo igual a la unidad diremos que es el

vector unitario de .

Mdulo:

C

C

C

c

Matemticamente el vector unitario se halla dividiendo el vector entre

su respectivo mdulo.

C

C

x

c

y

C

cCC

1

c

Vectores unitarios en el plano

ij

x

y

i Vector unitario en la direccin del eje x+ j Vector unitario en la direccin del eje y+

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VECTOR UNITARIOS PRINCIPALES En cualquier direccin es posible determinar el

respectivo vector unitario, en el plano cartesiano unitario,

en la direccin x e y, los vectores unitarios reciben nombres especiales, estos son i y j respectivamente

i = 1; 0 en la direccin horizontal.

j = 0; 1 en la direccin

vertical.

Cualquier vector puede ser expresado en funcin de

los vectores unitarios principales i y j

X - i

Y

i

j

- j

Vectores unitarios en el espacio

x y

z

ij

k

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VECTORES UNITARIOS , ,

1

1

1

Los vectores unitarios , y se encuentran en los ejes x, y y z

x

y

z

Se llaman unitarios

por que su magnitud

es la unidad

= = =

Cualquier vector se puede escribir

utilizando los vectores unitarios , y

Por ejemplo, el vector definido por el punto P=(4, 5,

-6) se puede escribir de la

forma:

4

5

x

y

z = (4,5, 6)

= (4,5,6)

Y utilizando los vectores unitarios

- 6

= 4 + 5 6

= 4 + 5 6

= 4 + 5 6

Podemos graficar el

vector si es necesario

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TRIGONOMETRIA

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Triangulo rectngulo

Cateto AB es opuesto a y tambin adyacente al ngulo

Cateto BC es opuesto a y tambin adyacente al ngulo

Circulo unidad en trigonometra

El crculo trigonomtrico, o

goniomtrico, es aquel crculo cuyo

centro coincide con el origen de

coordenadas del plano cartesiano y

cuyo radio mide la unidad. El crculo

trigonomtrico tiene la ventaja de

ser una herramienta prctica en el

manejo de los conceptos de

trigonometra, pero al mismo tiempo

es un apoyo terico, pues ayuda a

fundamentar y tener una idea

precisa y formal de las funciones

trigonomtricas. A travs del crculo trigonomtrico se puede obtener de forma

manual o analtica el valor aproximado de las razones

trigonomtricas para un ngulo determinado si se dispone de los

instrumentos geomtricos necesarios.

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x=Cos , y=

Sen

Valores de Seno y Coseno

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SENO

COSENO

TANGENTE

COTANGENTE

SECANTE

COSECANTE

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Signos de las Razones Trigonometricas

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29

Localizaciones en el circulo unitario

F.T. 0, 90, 180, 270

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30

FUNCION PERIODICA SENO Y COSENO

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31

ANGULOS DE REFERENCIA

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Rpta:

a-=10.7

b= 11.8

=25

RAZONES TRIGONOMETRICAS

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33

Tringulos notables

R.T. de tringulos notables

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36

Hallar el valor de x en cada una de la siguientes

figuras

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Determinantes de 2x2 y 3x3. Solucin

Sistema de ecuaciones lineales de 3 incgnitas.

Mtodo de Cramer.

Solucin de una ecuacin cuadrtica.

Clase 4

DETERMINANTES

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Determinante de orden 3 Se resuelve aplicando la regla de sarrus

SISTEMA DE ECUACIONES CON 3

INCOGNITAS

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

Solucin

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METODO DE CRAMER

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SISTEMA DE ECUACIONES CON 3

INCOGNITAS

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

Solucin

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Ejercicios.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

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Ecuacin cuadrtica

La ecuacin cuadrtica o tambin conocida

como la ecuacin de segundo grado es aquella

ecuacin que obedece a un polinomio de segundo

grado de la forma ax2 + bx + c igual a cero.

Donde el coeficiente "a" es necesariamente

diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene

una ecuacin lineal o de primer orden)

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Solucin

X1=6/18=1/3

X2=6/18=1/3

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PRODUCTO ESCALAR

Este producto nos permitir calcular ngulos

entre dos vectores y adems proyecciones

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PRODUCTO ESCALAR

Dado dos vectores A y B llamaremos producto escalar de A y B al nmero real

determinado por:

A B = | A | | B | cos

Dado dos vectores A y B llamaremos producto escalar de A y B al nmero real

determinado por:

A B = | A | | B | cos

De forma inmediata se deduce que el producto escalar de dos vectores

perpendiculares es nulo (si AB =/2 y cos /2=0). Por otra parte el producto escalar de un vector por si mismo es igual a su mdulo al cuadrado

(A A=A2).

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Por lo que se obtiene finalmente la expresin del producto

escalar de dos vectores en funcin de sus componentes

rectangulares.

Producto escalar de los vectores unitarios rectangulares

positivos:

PRODUCTO ESCALAR

Como aplicacin inmediata del

producto escalar podemos

determinar el ngulo formado

por dos vectores. Igualando

expresiones

PRODUCTO ESCALAR

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a) A . B = B . A es conmutativo

b) A . (B + C) = A . B + A . C

c) (a . A) . B = A . (a. B) (para a R)

d) A . A > 0 (para A 0)

e) | A . B| < | A | . | B | (desigualdad de Cauchy - Schwarz)

f) Si A 0, B 0 y = 90 A . B = 0 (El producto escalar de vectores

ortogonales es nulo ya que el cos 90= 0.)

Propiedades

2,3 5,-1 = (2)(5) +(3)(-1)=10-3= 7

Ejemplo:

PRODUCTO ESCALAR

Si tenemos dos vectores A = a1 , a2 , . . ., an y B = b1 , b2 , . . ., bn el producto escalar entre ambos puede hallarse mediante la sumatoria del producto de cada una de sus

coordenadas.

A B = a1b1+ a2 b2 + . . . + an bn

PRODUCTO ESCALAR

Ejemplo: Hallar

k-j7i6B

k2-j5i3A

BA

15(-2)(-1)(5)(-7)(3)(6)BA

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PRODUCTO VECTORIAL

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El resultado de un producto vectorial es otro vector que es perpendicular

al plano en el que se encuentran ByA C

BxAC

A

Cu B

PRODUCTO VECTORIAL

|C|=| A x B | = A B sen

El producto vectorial de dos vectores A y B, se denota por AxB, su

resultado es un nuevo vector C, (AxB=C), su mdulo queda

definido de la forma que sigue:

Regla de la mano derecha

Dos vectores no nulos a y b son paralelos, si y slo si a b = 0.

TEOREMA Criterio de Vectores Paralelos

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El sentido de C coincide con el que tendra el avance de un

sacacorchos (rosca derecha) si lo dispusiramos en la direccin de C

hacindolo girar en el sentido de llevar el primer vector hacia el

segundo vector que se multiplica.

PRODUCTO VECTORIAL

Propiedades a) A x B = - (B x A) no es conmutativo

b) A x (B + C) = A x B + A x C

c) (a . A) x B = A x (a. B) ; (para a R)

d) A x B es perpendicular a los vectores A y B

e) (A x B) x C = A x (B x C)

f) (A x B)2 = (A . A) . (B . B) - (A . B)2

g) | A x B | = | A | | B | | sen |

Nota: El mdulo del producto vectorial se utiliza para calcular el rea del

paralelogramo determinado por los vectores.

Ejemplo: Hallar el rea del paralelogramo formado por los vectores :

A=2i+5j y B= 3i+2j

Solucin: A | 2, 5 x 3, 2 | = | (2 2)i - (5 3)j| = | 4i 15j| = 241

Finalmente podemos comentar que el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo. Lo mismo podemos decir del producto vectorial de un vector

por si mismo

PRODUCTO VECTORIAL

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Como consecuencia de la definicin, los productos vectoriales entre los

vectores unitarios sera,

PRODUCTO VECTORIAL

Ejemplo: Hallar

k-jiB

k-jiA

76

253

BxA

kxk))( -( -jxk))( -( -ixk))(( -

kxj))( -()jxj)( -(ixj))((

kxi))((jxi))((ixi))((C

CBxA

127262

157565

137363

Quedando finalmente

)(1412

5)(30

)(321

ij

ik

jkC

kjiC 51919

0

0

0

ijikjkC 1412530321

k j

k i

j i

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Mtodo de cramer

A este resultado tambin puede llegarse desarrollando el siguiente determinante

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Producto vectorial El producto vectorial lo realizamos asi

lo que nos conduce a obtener

kjiba21

21

31

31

32

32

bb

aa

bb

aa

bb

aa

321

321

bbb

aaa

kji

ba

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a) u = - 2i + 3j; v = - 7i + 4j c) u = i + 7j 3k; v = - i 7j + 3k

b) u = 10i + 7j - 3k; v = - 3i + 4j 3k d) u = 2i + 4j - 6k; v = - i j + 3k

Calcular el producto vectorial para los siguientes vectores

SON ORTOGONALES O

PARALELOS LOS SGTES

VECTORES:

a) u = 3i + 5j; v = - 6i -10j

b) u = 2i + 3j; v = 6i + 4j

c) u = 2i +3j; v = - 6i + 4j

d) u = 2i - 6j; v = - i + 3j