Matematicas nivelacion

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     TEMA:

    “Hipérbola” 

    OBJETIVOS:Identificar cada uno de los elementos de la hipérbola para poder resolver ejercicios de

    aplicación.

    Aprender y aplicar correctamente las fórmulas que corresponden a la hipérbola para

    obtener los resultados deseados.

    DESARROLLO:

    Según (Castro, 2014) afirma que “La hipérbola es el lugar geométrico de los

     puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados

    focos, es constante.”

    1. Elementos de la hipérbola:

      Focos: Son los puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0).

      Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.

      Semieje real: a

      Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.

      Semieje imaginario: b

      Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

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      Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el

    eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario

    con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

    A (a, 0) ; A’ (-a,0) B (0, b); B’ (0,-b)

      Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los

    focos: PF y PF'.

      Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.

      Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.

      Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.

     

    Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.(Armendariz, 2010)

    Ejercicio:

    Dada la hipérbola de ecuación x2-9y

    2=9, calcula sus elementos

    Solución:

    9−

    = 1 

    a=3, b=1, c=√ 32

    + 12

    = √ 10   e = 

     =

    √ 

     

    Focos: F (√ 10,0) y F’ (-√ 10,0)

    Vértices: A (3,0); A’ (-3,0) B (0,1) y B’ (0,-1) 

    2. Relación Fundamental

    Por definición, la diferencia de distancias PF’ –  PF es constante para cualquier punto P

    de la hipérbola. En particular, esta propiedad también se verifica para el punto A. Por lo

    tanto

    PF’ –  PF = AF’ –  AF = AF’ –  F’A’ = AA’ = 2a 

    c2 = a

    2+ b

    2

    3. Asíntotas

    Son las rectas r y r’ que pasan por el centro de la hipérbola y verifican que se acercan o

    se alejan las ramas de la misma.

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    R : =

     x r ’: = −

     x

    4. Excentricidad

    La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la

    hipérbola.

    =

     

    Si e = 0, se trata de una circunferencia.

    Si e = 1, se trata de una parábola.

    Si 0 < e < 1, se trata de una elipse.

    Si e > 1, se trata de una hipérbola.

    5. Ecuaciones:

    Ecuación reducida:

    2

    2−

    2

    2= 1 

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    Ecuación en otros casos.

    Hipérbola con los focos en el eje de ordenadas.

    2

    2 − 2

    2 = 1 

    Hipérbola centrada fuera del origen.

    (−ℎ)2

    2+

    (−)2

    2= 1 

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    Ejercicios:

    Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la

    excentricidad de las siguientes hipérbolas.

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    Representa gráficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices y

    la excentricidad de las siguientes hipérbolas:

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    (Armendariz, 2010)

    Bibliografía

    Armendariz, L. (15 de Enero de 2010). Geoan. Obtenido de Geoan:

    http://www.geoan.com/conicas/ecuacion_hiperbola.html

    Castro, L. (2014). Matemática. Quito: El telégrafo.

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