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$: Matemática - frsf.utn.edu.ar · Recordemos que la suma de varias fracciones con igual denominador es la fracción con el mismo denominador que aquellas y el numerador es la suma$
MATERIA

Matemática PROFESOR Vicino Anabela Primer Año

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL. FACULTAD REGIONAL SANTA FE Departamento Ingeniería Eléctrica [email protected] www.frsf.utn.edu.ar

1

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL. FACULTAD REGIONAL SANTA FE Departamento Ingeniería Eléctrica [email protected] | www.frsf.utn.edu.ar

CAPITULO 1: CONJUNTOS NUMERICOS

NÚMEROS NATURALES

Recordemos que el conjunto de los números naturales N está constituido por los números 1,2,3,4,5,...,

100,...,.n...., con los cuales contamos, ordenamos y realizamos las operaciones de suma y multiplicación, siendo

el resultado de estas operaciones también un número natural, sin embargo no ocurre lo mismo con la resta y con

la división.

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características:

Es un conjunto infinito.

Tiene primer elemento, no tiene último elemento.

Todo número natural tiene un sucesor, es decir, cada número natural, tiene un consecutivo.

Todo número natural, salvo el uno, tiene antecesor.

Entre dos números naturales consecutivos, no existe otro número natural, por eso se dice que el

conjunto es discreto.

Por ser un conjunto ordenado, es posible representar a los números naturales en una recta, eligiendo como

origen el cero, que puede ser incluido también en el conjunto, usando en ese caso el símbolo N0 para denotarlo.

NÚMEROS ENTEROS

Recordemos que la resta en el conjunto de los números naturales siempre es posible cuando el

minuendo es mayor que el sustraendo, en caso contrario no es posible. Para resolver este problema

necesitamos ampliar el campo numérico introduciendo el cero y los opuestos de los números naturales,

llamados números enteros negativos.

Obtenemos el conjunto de los números enteros: ZZZ 0 = {…, − 3, − 2, −1, 0,1, 2, 3, 4,

5,…}

Definición: Si x es un número entero – x es el opuesto de x.

Ejemplos: a) Sea x = −7, su opuesto es −x = 7. b) Sea x = 4, su opuesto es −x = −4.

Los enteros se pueden ordenar, las operaciones de suma, resta y producto dan como resultado un

número entero, sin embargo no ocurre lo mismo con la división, por ejemplo 8 dividido 3 no da un

número entero.

2


Debemos destacar que el conjunto Z tiene las siguientes características:

Es un conjunto infinito.

No tiene ni primer elemento ni último.

Es un conjunto discreto.

Cada número entero tiene un antecesor y un sucesor.

Valor absoluto

Para cada número entero x definimos el valor absoluto de x, que indicamos |x|, como sigue:

Si el número x es positivo o cero, su valor absoluto es el mismo número y es su opuesto, –x, si el número es

negativo. Simbólicamente:

Definición:

El valor absoluto de un número se interpreta geométricamente como la distancia que existe entre el número y el

0 en la recta numérica.

Por lo tanto, recordemos que:

Ejemplos:

|3| = 3; | −3| = −(−3) = 3

Geométricamente, los ejemplos anteriores quedan representado en la recta por:

NÚMEROS RACIONALES

x

xx

0

0

x

x

si

si

El valor absoluto de cada número entero, es un número no negativo

3


Nos vemos en la necesidad de ampliar nuevamente nuestro campo numérico, puesto que con los números

enteros podemos “contar” pero no siempre “medir”. Para expresar medidas necesitamos números que

representen “partes de la unidad”, de aquí surge la idea de número fraccionario: la mitad, la tercera parte, las dos

quintas partes,...de una unidad.

El conjunto de los números enteros unido al conjunto de todas las fracciones constituye el conjunto de los

números racionales, al que denotamos por Q.

Definición:

Cuando en una fracción, el numerador y el denominador son números primos entre sí, decimos que la fracción

es irreducible.

Características de Q

Q es un conjunto denso, es decir que entre dos números racionales hay infinitos números racionales.

En Q no podemos hablar de sucesores o antecesores.

Fracciones equivalentes

A menudo trabajaremos con fracciones equivalentes, por lo tanto, es útil recordar que: “Dos fracciones son

equivalentes o iguales si representan la misma cantidad.”

Dos fracciones ba

y dc

son equivalentes si y solo si a.d = b.c

Usamos este resultado para verificar que 102

y 51

son equivalentes, pues 2 • 5 = 10 • 1, en cambio 43

y 2521

no

son equivalentes, pues 3.25 ≠ 4.21

Orden en Q

Dadas dos fracciones ba

y dc

siendo b.d > 0. Diremos que: ba

> dc

a.d > b.c o ba

< dc

a.d < b.c

Propiedades:

Una fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa.

Un número racional ba

es el cociente de dos números enteros a y b, donde a es el numerador y b es

el denominador.

4


Dadas dos fracciones positivas de igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.

Dadas dos fracciones positivas de igual numerador es mayor la que tiene menor denominador.

Dadas dos fracciones positivas con distinto denominador y numerador, se llevan a fracciones equivalentes

con igual denominador (o numerador) para hacer la comparación.

Dadas dos fracciones negativas es mayor aquella cuyo valor absoluto es menor.

Operaciones con fracciones

Suma

Recordemos que la suma de varias fracciones con igual denominador es la fracción con el mismo denominador

que aquellas y el numerador es la suma de los numeradores.

Si las fracciones tienen distinto denominador, se buscan fracciones equivalentes a las dadas que tengan igual

denominador y después se suman de la forma indicada anteriormente. Es conveniente usar como denominador

para las fracciones equivalentes, el mínimo común múltiplo.

Ejemplos: 98

9512

95

91

92

1529

157630

157

156

1530

157

522

En general: Dados dos números racionales ba

y dc

se define la suma y resta como

dbcbda

dc

ba

...

y db

cbdadc

ba

...

Multiplicación

El producto de varias fracciones es otra fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores y

como denominador el producto de los denominadores.

dbca

dc

ba

...

Ejemplo:

185

3610

4.95.2

45.

92

5


⋅

División

Para dividir dos fracciones, podemos multiplicar al dividendo por la fracción reciproca o inversa del divisor.

cbda

cd

ba

dc

ba

.

..:

Ejemplo:

61

366

4.93.2

43.

92

34:

92

NÚMEROS IRRACIONALES

Algunos decimales no son exactos ni periódicos. Recordemos de geometría al número π que se usa para calcular

longitudes de circunferencias y áreas de círculos, para el cual la aproximación más usual es 3.1416. La

representación decimal de este número continúa interminablemente sin repetición.

Gracias a la tecnología que ahora tenemos, una computadora calculó π como decimal hasta cien cifras, he aquí

algunas:

π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 ........

Los pitagóricos fueron quienes descubrieron los números irracionales al aplicar el Teorema de Pitágoras en un

triángulo cuyos catetos eran iguales a la unidad. Cuando calcularon la hipotenusa se encontraron que medía 2

y que no era un número natural. Para ellos los números naturales constituían el principio de todas las cosas, por

esta causa, mantuvieron el descubrimiento de los irracionales en el más estricto secreto.

Otra manera de obtener números irracionales es escribir un número cuyas cifras decimales sean infinitas y no

presenten periodicidad:

0.1234567891011121314151617181920...., -2.16716781678916711672....

El nombre de “irracional” proviene del hecho de que no se puede expresar como razón de dos enteros.

Las raíces cuadradas de los números naturales que no son exactas como 2 , 5 , 5 ,… se representan

exactamente aplicando el Teorema de Pitágoras en la recta numérica.

Otros ejemplos de números irracionales: 2

51 ; 5π; etc.

6


NÚMEROS REALES

El conjunto de número reales se lo denomina R. Está formado por la unión del conjunto de los números

racionales con los números irracionales. Conservando todas los operaciones y propiedades de los mismos.

Existe una correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta: a cada punto de la recta le

corresponde un número real y viceversa, por ello decimos que los números reales cubren la recta.

A continuación daremos las propiedades fundamentales de las operaciones en los números reales. Sean a, b y c

números reales:

La suma satisface las siguientes propiedades:

a) Asociativa: cbacba ;

b) Conmutativa: abba ;

c) Existencia de elemento neutro: aaa 00/0 ;

d) Existencia del elemento opuesto: 0/, aaaaaa

El producto satisface las siguientes propiedades:

a) Asociativa: cbacba .... ;

b) Conmutativa: abba .. ;

c) Existencia de elemento neutro: ∃ 1∈ R / a .1 =1 .a =a ;

d) Existencia del elemento recíproco o inverso: ∀ a ∈ R a ≠0,∃ a−1 ∈ R / a.a-1 = a-1.a = 1.

e) Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma: cabacba ...

La diferencia o resta se define a partir de la definición de suma: a – b = a + (-b) , ∀ a , b ∈ R

El cociente se define a partir de la definición de producto: b ≠ 0, a:b = a.b-1 , ∀ a , b ∈ R

Observación: El 0 no tiene elemento inverso o recíproco.

POTENCIACION

∀ a , b ∈ N el producto de n veces el factor a se denomina potenciación y se lo simboliza de la siguiente

manera:

aaaaa n ..... con n ≥ 2.

Donde a recibe el nombre de base de la potencia y n se llama exponente.

7


25= 2.2.2.2.2 = 32

(-3)4 = (-3).(-3).(-3).(-3) = 81

Propiedades:

a) El producto de varias potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la

suma de los exponentes de los factores: mnmn aaa .

3222.2 523

8133.3 43

b) El cociente de varias potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la

resta de los exponentes de los factores: mnmn aaa :

222:2 123

933.3 23

c) La potenciación es distributiva respecto del producto y del cociente:

n

nnn

nnn

ba

baba

baba

:

..

44:162:42:4

369.43.23.2222

222

d) La potencia de un numero elevado a otra potencia, es igual a la base de esa potencia elevada al producto

de los exponentes: mnmn aa .

20

522

632

22

33

e) Si el exponente es negativo, obtenemos: nn

aa 1

827

23

23

32

91

313

3

333

22

8


f) La potencia no verifica la propiedad conmutativa: an na

34 43

g) La potencia NO es distributiva respecto de la suma o resta: nnn

nnn

baba

baba

25532 22 y 222222 323213943232

h) La potencia de cualquier numero real, no nulo, elevado al exponente 0 es igual a 1: a0 = 1

RADICACION

La raíz n-ésima de un número real a, denotada por n a :

abba nn

Donde n se denota índice, a se denomina radicando y b se denomina raíz n-ésima de a.

8228 33

Recordar que la raíz de un radicando negativo con un índice par no tiene solución en el conjunto de los números

reales.

Propiedades:

a) La radicación NO es distributiva en la suma o resta: nnn baba

75

3425

916916

b) La radicación es distributiva respecto del producto o del cociente: nnn

nnn

baba

baba

::

..

22:44:164:16

63.29.49.4

9


c) La potencia m de la raíz n de numero a es igual a la raíz n de la potencia m de a: n mmn aa

3 223 88

d) La radicación se puede escribir como potencia: nn aa1

21

66

e) La raíz m-esima de la raíz n-esima de a, es igual a la raíz de a donde el índice es el producto de los

índices: mnm n aa .

26464 63

EJERCICIOS 1

1) Suprimir los paréntesis y calcular la suma algebraica:

a) 16 + ( 15 – 2 ) + ( 7 – 3 ) + 3=

b) ( 35 – 6 ) - ( 9 – 6 ) + 16=

c) 30 – [ 4 + ( 12 – 4) – 3 [ (10 – 3 ) ] ]=

d) 40 + (23 – 7) + [ 7 + (5 – 3). 4]=

2) Resolver los ejercicios combinados:

a) 60- {[5(6 – 3) + (8 – 2):3]2}= b) 15 – 12:3 + 2 + 6:3= c) [5(4 – 2) + 20:(4 + 1) + 1]:5=

d) {[18 – 6 – 2(8 – 4) + 3(5 – 2) + 2 ]:3 } 2 = e)

f)

h) 312710

31 i)

1512:

54 j)

325

51

32.6

31

643

21

31

41

234

61

)g51

31

75

10


k)

37

27

72

35 l)

92

31:2

72

29 m)

5,0

81

211 3

2

n)

301 181

437.1,0 o)

12

927,0.

321,0

31

p)

31

12

343512.2

53

43 q)

906

23

871

31 1

3 r) 02 291:

312

41

3) Calcular:

a) 3 63 233 3 3.3.316 b) 33326 1010:10 c) 321365 3.23:3

d) 043435 22:2 e) 111241268 7:77:7 f) 22:22 45

g) 13151114 2:22.2

4) Simplificar:

a)

52

5

32

35

3421

.::

ba

babba b)

53

31

53

810

24257

..:.

abba

bababa

c)

52

3

32

123 :. tpptm m ≠ 0; t >0; p ≠ 0

d)

23

22223

331

525

..3

.27.

cba

cba con a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

e)

6 5 24

111 .

aa

baba a > 0 b > 0

11


5) Indicar cual de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Modificar las expresiones para que resulten

verdaderas.

a) 632

641)

21( yy b) 22 4 baabba c) 1

3

35

22.

aa

aa

d) 1

912432

22

2

yxyx

yx e) 6 53. aaa

INTERVALOS

En el conjunto R de los números reales están definidas las relaciones “menor que” (<), “mayor que” (>),

“menor o igual que” (≤) y “mayor o igual que” (≥).

Cuando un número real b cumple simultáneamente que es mayor que un número a y menor que c (a < b y b <

c) se puede expresar por la triple desigualdad: a < b < c

El conjunto de todos los números reales comprendidos entre a y b lo simbolizamos:

A = {x ∈ R / a < x < b}

Un número real x pertenecerá al conjunto A si satisface la desigualdad a < x< b, es decir cumple que a < x y

x < b.

Orden y Desigualad:

Si a y b son números reales diremos que:

a es menor que b si (b-a) es positivo, y lo escribimos: a < b.

a es menor o igual que b si (b-a) es positivo o nulo, y lo escribimos: a ≤ b.

a es mayor que b si (b-a) es negativo, y lo escribimos: a > b.

a es mayor o igual que b si (b-a) es negativo o nulo, y lo escribimos: a ≥ b.

Propiedades de las desigualdades

Propiedad Transitiva: Si a < b y b < c entonces a < c.

Propiedad Aditiva: Si a < b y c < d entonces a + c < b + d.

Si a < b y k es cualquier número real a + k < b + k.

Si a < b y k R a.k < b.k .

Si a < b y k R- a.k > b.k.

Intervalos y Semirrectas:

12


Los conjuntos numéricos más frecuentes son los intervalos de la recta real.

Sean:

Intervalo Abierto: (a, b) = {x R: a < x < b}

Intervalo Cerrado: [a, b] = {x R: a ≤ x ≤ b}

Intervalos Semiabierto: [a, b)= {x R: a ≤ x < b} , (a , b] = {x R: a< x ≤ b

Intervalos no acotados o semirrecta: [a, ∞) = {x R: x ≥ a} , (a, ∞)= {x R: x > a }

Desigualdades con Valor Absoluto. Propiedades.

|-a| = |a|

|a.b| = |a|.|b|

ba

ba

baba Desigualdad triangular

ba es equivalente a: bab

ba es equivalente a: ba o ba

EJERCICIOS 2:

1) Escribir cada desigualdad utilizando notación de intervalo y luego graficar.

a) 40 x b) 64 x c) 13 x d) x 2 e) x21

2) Escribir como desigualdad los siguientes intervalos y clasificar.

a) [2, 5] b)

27;

43

c)

49;2 d) 5;3 e) 3; f) ;1

LOGARITMO DE UN NÚMERO REAL

Sean a y b números reales positivos, con 1a , diremos que c es el logaritmo en base a de b si y solo si a

elevado a la n es igual a b. En símbolos:

cbLog a ba c

13


Ejemplos:

382 Log porque 23 = 8

133

1 Log porque 331 1

015 Log en general 50 = 1

122 Log en general 21 = 2

4bLog no existe.

0bLog no existe.

Propiedades: Sean a, b, c reales positivos y 1a

cb aa si y solo si b = c

cbcb aaa loglog.log

cbcb aaa loglog:log

bnb an

a log.log donde n

abb

c

ca log

loglog con 1c

1log aa

01log a

Si cb aa loglog entonces b = c.

EJERCICIOS 3:

Calcular usando definición y propiedades de logaritmo.

a) 5log20log b) 2502 4log c) 21log7log 33 d)

21log100log

21

55

Ecuaciones con logaritmo. Recordemos que una ecuación es una igualdad con una o más incógnitas. La definición y las propiedades de

logaritmo nos permiten resolver estas ecuaciones.

¿Cuál es la solución de la ecuación x4log21 ?

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Por definición tenemos: 421

x

Luego reescribimos como potencia de igual base 222 x , usando propiedad obtenemos que -x =2, por lo

tanto x = 2.

05log2log 33 xx

05

2log3 xx 03

52

xx 1

52

xx 552 xxx

Luego 010log10log55log5.2log 3333

EJERCICIOS 4:

Resolver y verificar las siguientes ecuaciones.

a) 61log x b) 03log)2(log 233 xx c) 12log2log 55 xx

d) 531 LogxLogxLogxLog e) 255 1212 xLogxLog

f) )(324 xLogxLogLog

Lenguaje Algebraico y Ecuaciones e Inecuaciones.

Ecuaciones y resolución de problemas

Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números y letras ligadas mediante operaciones algebraicas.

Las letras, cuyos valores son desconocidos, se llaman incógnitas. Resolver una ecuación consiste en

transformar la igualdad en otra equivalente más sencilla, hasta obtener la solución, que es el valor de la

incógnita que hace cierta la igualdad inicial. Una expresión como 3321 xxx es una ecuación,

sólo es cierta para x = 10. La solución es x = 10.

Hay ecuaciones con muchas soluciones, e incluso infinitas soluciones, por ejemplo, x + y = 1, sen x = 0 y

otras que no tienen solución como: x + 3 = x. Por lo tanto, resolver una ecuación es obtener las soluciones, si

existen, que la satisfacen.

Para resolver una ecuación se utiliza las propiedades de la relación de igualdad y las propiedades de los

números.

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Ejemplos: Resolver las ecuaciones.

a)

42:82:2

8235332

532

xxx

xx

b)

43:123:3

123122225

1225153215155

321553235

xxx

xxxxxxxxxxxx

Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Se llama ecuación de primer grado con una incógnita a una expresión de la forma:

ax + b = 0 con a ≠ 0, a, b ∈ R (1)

Se llama de primer grado porque la incógnita sólo aparece elevada a la potencia uno.

Ejemplos:

1. Consideremos la ecuación x − 2 = 5x − 3, no es de la forma (1), pero operando algebraicamente obtenemos

4114 xx que es solución de la ecuación.

2. Sea x = x − 3, operamos y obtenemos 0 x = − 3, no existe ningún número real x que satisfaga la igualdad. Por

lo tanto, esta ecuación no tiene solución.

3. Expresiones como: x = x ó 3x − 2 = 2 (x − 1) + x, tienen infinitas soluciones, son ciertas para cualquier

número real, son identidades.

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Se llama ecuación de segundo grado con una incógnita a una expresión de la forma:

02 cbxax donde cba ,, y a ≠ 0.

Observemos que la incógnita esta elevada a la segunda potencia, por lo tanto es de grado dos y la llamamos

ecuación cuadrática.

Una ecuación cuadrática tiene a lo más dos raíces reales.

16


Ejemplos:

1) 4004 2 x ecuación cuadrática donde b = 0 y c = 0, por lo tanto .

y x2 = -10

2) 0102 tt en esta ecuación el termino c = 0,

si reescribimos la ecuación obtenemos 010 tt donde el primer miembro es un producto de dos factores t y

(t – 10). Sabemos que si el producto de dos factores es igual a cero, entonces uno de los factores es cero, por lo

tanto t = 0 o t – 10 = 0. Luego t1= 0 y t2 = 10.

3) 08102 xx en este ejemplo la ecuación cuadrática esta completa y no es tan sencillo despejar la

incógnita como en los ejemplos anteriores. Para este tipo de ecuaciones introducimos la formula, que llamamos

resolvente: a

cabbx.2

..42

2,1

En este ejemplo, a = 1, b = 10 y c = 8 por lo tanto, utilizando la formula, obtenemos:

2105.210

242010

232010010

1.2)8.(10.41010

2,12,1

2,1

2

2,1

xx

xx

Luego 10551 x y 10552 x

Esta ecuación tiene dos soluciones reales.

4) 0169 2 xx utilizando resolvente con a = 9, b = 6 y c = 1, obtenemos:

31

186

1806

1836366

9.21.9.466

2,12,12,12,1

2

2,1

xxxxx

Para este ejemplo, tenemos que la solución es 31

21 xx

5) 0522 xx donde a = 1, b = -2 y c = 5

2162

22042

1.25.1.422 2

2,1

x

101001004004 122 xxxx

17


Tenemos que el radicando es un número negativo, sabemos que dicha raíz no tiene solución en los reales (más

adelante analizaremos este tipo de raíces), por lo tanto dicha ecuación cuadrática, no tiene solución.

EJERCICIOS 5:

1) Despeja de las siguientes fórmulas las variables indicadas.

a) S = 2Prh, despeja r b) S = 4Pr2, despeja r c) txpEfE

, despeja x

d) cba111

k1 , despeja k e) bBs

21 T pP , despeja s

2) Indicar cual de las ecuaciones son de primer grado y luego encontrar su solución.

a) 6

11152

1

xx b) 52

12

xx

c) 3

25

x

x

3) Resolver las ecuaciones.

a)

1

2710722 xxx b)

23

61

512

xxx

c) 445246 xxx

d) 22342.232 xxx

4) Plantear la ecuación y resolver.

a) La suma de tres números enteros consecutivos es 48. ¿Cuánto vale cada número?

b) Encuentre tres números impares consecutivos cuya suma es igual a 117.

c) De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido, después la tercera parte del resto y

quedan aún 1600 litros. Calcular la capacidad del depósito en centímetros cúbicos.

d) La suma de la sexta parte de un número y el triple de su consecutivo es cuarenta y uno. ¿Cuál es este

número?

e) Javier gasto la mitad de sus ahorros en un par de zapatillas, un tercio de lo que le quedaba en un CD y le

quedan $30. ¿Cuánto dinero tenia ahorrado? ¿Cuánto gasto?

5) Resolver las ecuaciones cuadráticas, clasificar la solución.

a) 0642 2 xx b) 211.7 ttt c) 022 xx d) 03.7 vv

18


e) 32.5742 xx f) 012 t g) 1422 xx

6) El cuadrado de un número entero es igual al siguiente multiplicado por -4. ¿Cuál es el número?

7) ¿Cuál es el número cuyo triple supera en dos a su cuadrado?

8) Algunas ecuaciones más para practicar.

a) 83

21

32 2

2

x b)

43

125

3611

x c)

52

31

31

65

41 xx

d) 2241

3123

xx e)

32

317 2 x f)

403

5131 3 x

g) 22 2334 xxx h) 122 xxxx

Ecuaciones e inecuaciones con Valor absoluto

Utilizando la definición y las propiedades de valor absoluto que trabajamos en la página 2 y 13, podemos

resolver ecuaciones e inecuaciones.

Ejemplo 1:

|x| - 5 = 1, por definición sabemos que

6

51

15

x

x

x

entonces 6,6. SC

Ejemplo 2:

132 x aplicamos definición.

o

242132132

xx

xx

→ C.S = {-2, -1}

Ejemplo 3:

x

xx

0

0

x

x

si

si

122

132

xx

x

19


|3x + 6| + |x + 2| = 16 → |3.(x + 2)| + |x + 2| = 16

3|x + 2| + |x + 2| = 16

4|x + 2| = 16

|x + 2| = 4

Luego → x + 2 = 4 o - x - 2 = 4

x = 2 x = - 6 entonces C.S = {-6, 2}

Ejemplo 4:

5

3232

xxx

y 1

32

xx

5,1. SC

Otra forma:

512323

32332

xx

xx

Ejemplo 5:

|x + 1| > 2

x + 1 > 2 o x + 1 < -2 → C.S = (- ∞, -3) U (1, ∞)

x > 1 x < -3

EJERCICIOS 6:

1) Escriba en cada caso el conjunto solución que satisfacen la desigualdad y representarla gráficamente.

a) 23 x b) 217 x c) 41 x y 31 x

d) 12 x y 312 x e) 173 x y 312 x

2) Determinar para que valores de x se verifica y representar gráficamente la solución de las desigualdades.

a) 223 x b) 0971 x c) 1425 x

20


d) 1024 x e) 7572

x f) 2431 x g) 35374 x

Ecuaciones con dos incógnitas

Ya hemos visto ecuaciones del tipo a x + b = 0 (de primer grado con una incógnita) y ahora veremos ecuaciones

de primer grado con dos incógnitas, del tipo ax + by + c = 0 con a, b, c ∈ R. Tiene como solución un par de

valores (x, y) que la satisfacen. A este tipo de ecuaciones también se las suele llamar ecuaciones lineales. La

linealidad viene dada por que ambas incógnitas están elevadas a la potencia uno y no se multiplican entre sí.

Ejemplos:

1) 02 yx es una ecuación lineal con dos variables, x e y, que tiene infinitas soluciones, por ejemplo

24

yx

255

y

x

12

yx

etc. También podemos escribir dichas soluciones, como par ordenado (4,

2); (5, 5/2); (-2, -1), et.

2) Al determinar las fuerzas F1 y F2 que actúan sobre una viga, podemos tener la formula 20042 21 FF , que

tiene como soluciones: (99, 12); (80, 10), etc.

Más adelante seguiremos trabajando con ecuaciones lineales.

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Los sistemas lineales aparecen frecuentemente en situaciones de la física, química, ciencias naturales, etc.

como también en ciencias humanas y sociales, (economía, psicología, sociología).

Hay métodos convencionales de resolución de sistemas lineales: Sustitución, Eliminación (o Reducción por

suma o resta) e Igualación. Estos métodos se basan en una secuencia de operaciones elementales. Además hay

otros métodos: Gauss, Regla de Cramer (o Determinantes) que analizaremos en capítulos posteriores.

Repasaremos dos métodos de resolución de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Resolverlos, es encontrar la solución, es decir, el valor de las incógnitas, para ello se siguen ciertas técnicas que

dependen de la situación de cada sistema, pues cualquier método de resolución de sistemas es válido, ya que

proveen la misma solución.

21


Método de Sustitución

Como su nombre lo indica, se despeja una incógnita de una de las ecuaciones y se sustituye en la otra, es la

manera más natural de resolver un sistema. Los pasos a seguir para resolver un sistema de dos ecuaciones con

dos incógnitas son:

1. Elegimos una de las ecuaciones para despejar una de las incógnitas en términos de la otra, en general, es

la incógnita más fácil de despejar.

2. Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación y nos queda una ecuación en una incógnita y se

resuelve.

3. Luego, llevamos este resultado a la ecuación despejada en el paso 1 para obtener la otra incógnita.

4. Verificar la solución obtenida en ambas ecuaciones.

Ejemplos:

a) Resolver el sistema

262132

yxyx

Paso 1: Después de observar ambas ecuaciones, podemos despejar y de la primera ecuación:

xy32

31 (1)

Paso 2: Reemplazamos ahora en la segunda ecuación: 232

3162

xx

Nos queda una ecuación de primer grado en una incógnita, cuya solución es: 32

x Paso 3: El valor de y

correspondiente lo obtenemos sustituyendo este valor de x en (1):

91

32.

32

31

y

Por la tanto:

91,

32, yx

Paso 4: Sustituimos

91,

32

en ambas ecuaciones, para verificar que es solución:

22


2916

32.2

191.3

32.2

Como se verifican ambas, la solución es:

91,

32, yx

Este sistema tiene una única solución, por lo tanto lo llamaremos sistema determinado.

2) Hay ecuaciones como,

4538106

yxyx

en donde, al multiplicar por 2 la segunda ecuación, obtenemos la

primera ecuación, en este caso el sistema tiene infinitas soluciones.

Por lo tanto, en forma general la solución del sistema se puede expresar como

tt

35

34, donde t es un

número real. Para cualquier número real que se asigne a t, obtenemos el valor de y correspondiente, en este

caso, se dice que el sistema es indeterminado.

Para ambos ejemplos, los sistemas son compatibles, porque podemos obtener una solución. Existen sistemas en

los cuales no podemos encontrar solución, estos los llamamos incompatibles.

Por ejemplo

252452

yxyx

despejamos y de la primera ecuación xy52

54 y la reemplazamos en la

segunda, obtenemos:

202242

252

5452

xxx

xx

¡ABSURDO!

Por lo tanto el sistema no tiene solución.

Por lo tanto un Sistema de Ecuaciones lineales con dos incógnitas puede tener una, infinitas o no tener solución.

23


Método Igualación.

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar sus

expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta se obtiene fácilmente el valor de

la otra incógnita.

Por ejemplo: Resolver el siguiente sistema.

262132

yxyx

Paso 1: despejar una de las variables en ambas ecuaciones, en este caso despejamos la variable “y”

xyyx

xyyx

31

31262

32

31132

Paso 2: igualamos las variables para obtener una ecuación lineal con una incógnita y resolvemos.

32

31

31

32

31

x

xx

yy

Sistema de Ecuaciones Lineales

Sistema Compatible

Solución Única Sistema Determinado

Infinitas Soluciones Sistema Indeterminado

Sistema Incompatible

No tiene solución

24


Paso 3:

xyyx

xyyx

31

31262

32

31132

reemplazamos 32

x en las ecuaciones par obtener el valor de “y”

91

92

31

32.

31

31

31

31

91

94

31

32.

32

31

32

31

yyyxy

yyyxy

Por lo tanto el conjunto solución es

91,

32

EJERCICIOS 7:

1) Resolver los sistemas por el método que creas conveniente. Clasificar su solución.

a)

132143

yxyx

b)

1545

169

xy

yx c)

457

53

473

yx

yx

d)

)1(3104)(21xy

yxx e)

yx

yx

41

51

2434 f)

yxyx

26753

2) Considere los siguientes sistemas de ecuaciones

a)

pnymx

yx 223 b)

834 yxpnymx

Indica los valores de m, n y p en cada uno para que cada sistema resulte:

I. Compatible Determinado.

II. Incompatible

III. Compatible Indeterminado.

25


3) Encontrar el valor de k para que el sistema tenga la solución indicada.

a)

220516

ykxkyx

23,1, yx b)

kyxkyx

5029510

2,1, yx

4) Plantear y resolver los problemas.

a) Una empresa de viajes y turismos cuenta con micros que trasladan 48 pasajeros sentados y con varios

minibuses con capacidad para 12 personas. La última vez que las 8 unidades viajaron juntas completas,

trasladaron 204 personas. ¿Con cuantos micros y minibases cuenta la empresa?

b) Un teatro tiene 180 butacas, entre platea y pullman. La entrada para pullman cuesta $12 y para platea

cuesta $20. Si la recaudación total de la función de ayer, a sala llena, fue $2800, ¿cuántas butacas en

platea y cuántas en pullman tiene el teatro?

c) Un moderno buque de turismo tiene camarotes dobles (dos camas) y simples (1 cama). Si se ofertan 65

camarotes que en total tienen 105 camas, averiguar el número de camarotes de cada tipo.

d) Dos amigos fueron de visita a una granja en la que había pavos y corderos. Al salir uno de ellos le

pregunto al otro: “¿Cuántos pavos y corderos había? Averígualo, vi 72 ojos y 122 patas”

26


CAPITULO 2: POLINOMIOS

Llamaremos expresión algebraica a toda combinación de letras y/o números vinculados entre si por las

operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia de exponentes racional.

Monomios son expresiones algebraicas en las que las variables están multiplicadas entre sí y/o por constantes,

es decir, no intervienen ni suma ni resta. Un monomio es un polinomio de un solo término.

Ejemplos: 3x, 9.5 xy , -4x7, xya,

La constante del monomio se llama coeficiente; en los ejemplos anteriores, son coeficientes: 3, 5 , -4 y 1

respectivamente. La, o las variables, de un monomio se la llama parte literal del monomio.

Dos monomios del mismo grado, con las mismas variables elevadas a las mismas potencias, son

semejantes.

Ejemplos: yx 2

31

y yx25 son semejantes. Caso contrario, zxy 33 y xyz3 ya que tienen el mismo

coeficiente y las mismas variables pero no así los exponentes.

En la suma de monomios, solo podemos sumar aquellos términos que sean semejantes. La suma de

monomios no semejantes, por ejemplo: 5x + 3x2 nunca es otro monomio, en este caso particular la suma nos da

un binomio.

Un binomio es la suma de dos monomios no semejantes, un trinomio, de tres y en general, un polinomio es la

suma algebraica de cualquier número de monomios no semejantes (en particular, un monomio también es

polinomio).

Una expresión racional entera recibe el nombre de polinomio, es decir que la variable solo puede tener

exponentes enteros positivos.

Por lo tanto: Un polinomio en una variable real es una expresión algebraica de la forma:

011

1 ... axaxaxaxP nn

nn

donde Zn

ia se denomina coeficiente.

A n lo llamamos grado del polinomio, ya que es el exponente mayor que afecta a la variable.

0na se denomina coeficiente principal

a0 se denomina término independiente.

Ejemplos:

a) 432 20312 xxxxxp en este polinomio n = 4, a0 = 2, a1 = 1, a2 = 3, a3 = 0 y a4 = -2

27


b) 0001 23 xxxxq el grado es n = 3, a0 = a1 = a2 = 0, a3 = 1

c) 3xr aquí solo tenemos termino independiente, a0 = -3.

En general no se escriben los términos con coeficientes nulos, como tampoco el coeficiente igual a 1. Entonces

los polinomios de los ejemplos a) y b) se escriben:

42 232 xxxxp y 3xxq

Por esto podemos decir que ambos polinomios están incompletos, pero en a) y b) los polinomios están

completos y ordenados.

Recordemos:

Si un polinomio está incompleto, es posible completarlo escribiendo las potencias de la variable que faltan con

coeficiente cero.

Polinomio Nulo: un polinomio es nulo, cuando todos sus términos tienen coeficientes igual a cero. Lo

simbolizamos con 0

...0000000 20 xxxx

Valor Numérico: Es el numero real que se obtiene al reemplazar las letras (variables) que intervienen en la

expresión por números reales determinados y efectuar las operaciones indicadas, siempre que sea posible.

Ejemplo:

132 3 xxxP buscamos el valor numérico de P(0), P(1) y P(-2)

110.30.20 2 P

013211.31.21 2 P

1578164.212.32.22 2 P

Un polinomio en una variable esta ordenado cuando todos sus términos están dispuestos de

modo que los exponentes aumenten o disminuyan desde el primer término hasta el último. La

ordenación será creciente o decreciente según los exponentes de la variable, vayan de menor a

mayor o viceversa.

Un polinomio en una variable está completo cuando figuran todas las potencias de la variable

menores al grado del polinomio.

28


Operaciones fundamentales:

Sumas y restas

Para sumar dos o más polinomios se agrupan los monomios semejantes. A la resta de dos polinomios la

transformamos en suma, sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplos 1:

Sean T(x) y L(x) polinomios, donde 132)( 23 xxxxT y 3324)( 324 xxxxL y la suma T(x)

+ L(x) se puede escribir como:

T(x) + L(x) = 132 23 xxx + ( 3324 324 xxx ) = 4324 34 xxx

O con la ubicación de la suma de números naturales, para esto el polinomio debe estar completo y ordenado en

forma decreciente:

Ejemplo 2:

xxxxxJ 243416)( 453 452 34263)( xxxxxU

235452453 3161034263243416)( xxxxxxxxxxxxUxJ

Donde - U(x) es el polinomio opuesto de U(x)

Multiplicación.

El producto de dos monomios es otro monomio con coeficiente igual al producto de los coeficientes de

los factores y el grado es suma de los grados de los factores.

Ejemplo:

725

533.

51 xxx

En la multiplicación de un polinomio por un monomio, aplicamos la propiedad distributiva del producto

respecto a la suma:

Ejemplo:

30234 234 xxxx

132 23 xxx

43024 234 xxxx 4324 34 xxx

29


(x + y)(x - y) = (x - y)(x + y) = x2 – y2

256

23242

342

2621.2.23.2

213.2

xxx

xxxxx

xxx

Para multiplicar polinomios, lo hacemos aplicando reiteradamente la propiedad distributiva, es decir, se

multiplica cada término de uno por cada término del otro, así por ejemplo:

24578

245578

2223252535

2325

1283

19432

1283454

32

524.232.254

32.

5432.2

xxxxx

xxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxx

Productos Notables:

Algunos productos o identidades importantes, que utilizaremos en varias oportunidades. A estos productos los

llamamos, productos notables.

DIFERENCIA DE CUADRADOS: El producto de la suma de dos términos por las diferencia de los

mismo, es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos términos.

CUADRADO DE UN BINOMIO: El producto de un binomio por si mismo recibe el nombre de

cuadrado del binomio

Por lo anterior la expresión “ 22 2 baba ” recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto.

Entonces

22222 2..... bababbaababbabbaaabababa

222 2 bababa

30


CUBO DE UN BINOMIO: Al elevar al cubo un binomio tenemos la siguiente expresión:

Al desarrollar el producto siempre obtenemos la misma estructura, es decir, se obtienen expresiones

algebraicas equivalentes:

Se denomina cuadrinomio cubo perfecto y las expresiones son

equivalentes.

DIVISION DE POLINOMIOS

Cociente de dos monomios:

El cociente de dos monomios, uno de grado m y otro de grado n, con m ≥ n, es otro monomio, cuyo grado

es la diferencia de los grados y el coeficiente se obtiene dividiendo los coeficientes de los monomios dados,

es decir:

2242

424 55

5255:25 xx

xxxx

División de un polinomio por un monomio:

Para dividir un polinomio en un monomio se aplica la propiedad distributiva, solo es posible de derecha a

izquierda. El resultado no siempre es un polinomio.

25

23

25

22

232:)523( 23

3434

xxxx

xx

xxxxxx

División de dos polinomios:

Sean P(x) y Q(x) dos polinomios con Q(x) ≠0, tal que gr P(x) =grQ(x). Entonces existen dos polinomios

únicos C(x) y R(x) tales que:

P(x) = Q(x).C(x) + R(x) con gr R(x) < grQ(x).

Llamaremos a P(x) dividendo, a Q(x) divisor, a C(x) cociente y a R(x) resto.

32232223 332. babbaababababababa

bababa 23

32233 33 babbaaba

31


Cuando R(x) = 0 la división es exacta por lo que P(x) = Q(x).C(x) y se dice que Q(x) es un factor de P(x) o que

P(x) es divisible por Q(x).

Ejemplo:

Realizar el cociente entre 152 43 xxxxP y 322 xxxQ

Paso 1: completamos y ordenamos en forma decreciente los polinomios P(x) y Q(x).

1025152 23443 xxxxxPxxxxP

Paso 2: 1025 234 xxxx 322 xx

234 15105 xxx 39125 2 xx

xxx 23 1512

xxx 362412 23

13539 2 xx

1177839 2 xx

118113 x

En resumen:

Para calcular el 1º término del cociente, dividir el término de mayor grado de P(x) por el término de mayor

grado del divisor. Luego se multiplica el término del cociente recién obtenido por todos los términos del divisor

y se coloca el resultado abajo de los términos de P(x) que le sean semejantes.

Por ultimo se resta y se considera este resultado, un resto parcial, como el próximo dividendo

Se repiten los paso anteriores con el “nuevo” dividendo hasta obtener el resto grado menor que el grado del

divisor.

Obtenemos: 39125 2 xxxC y 118113 xxR

Entonces:

11811339125.32125 2234 xxxxxxxx

32


Coeficientes del dividendo. Opuesto del término

independiente del divisor.

Existe un método que permite realizar la división de polinomios de manera más sencilla, pero

lamentablemente solo puede aplicarse si el divisor es de la forma (x – a).

Para resolver este tipo de cocientes debemos aplicar la Regla de Ruffini.

Veamos como resolverlo mediante un ejemplo:

Dados P(x)= -x-5+2x3 y Q(x)= x+2

Hallemos el cociente y el resto de P(x):Q(x)

Recordando lo trabajado en la división anterior, el dividendo tiene que estar completo y ordenado. Para

poder aplicar la regla, solo vamos a trabajar con los coeficientes del polinomio ordenado y completo. Estos

coeficientes se ubican de la siguiente manera:

Primero completamos y ordenamos el polinomio 502 23 xxxxP

En la parte superior derecha se ubican los coeficientes del polinomio dividendo.

En la parte izquierda se ubica el opuesto del término independiente del divisor, es decir (- 2).

El coeficiente principal se baja primero sin ser modificado, luego se lo multiplica por el opuesto del término

independiente del divisor y se suma el resultado al segundo coeficiente del dividendo y así sucesivamente.

Resto

Por lo tanto el polinomio cociente es 742 2 xxxC y el resto 19xR .

La Regla de Ruffini la podemos aplicar sólo cuando dividimos un polinomio P(x) por otro de la forma (x − a), el

cociente C(x) obtenido, es un polinomio de grado menor en una unidad al de P(x) y el resto R(x) es una

constante.

EJERCICIOS 1:

1) Realiza las siguientes adiciones de polinomios.

Coeficientes del

polinomio cociente

33


a) )37()515,3( 22 zzzz

b)

ññññññññ 2

211

415

21 423253

c)

kkkkkk 47

3164245 222

d)

ggggg

34355162

34 22

2) Encuentra el Valor Numérico del siguiente polinomio ( 33 23 aaa ) para a=2, a=3 y a=0.

3) Resuelve los siguientes productos.

4) Resuelve

)1(2)12(3)1(2) 222 jjjja )1(3)1(5)12(21) 222 hhhhb

5) Dados: 32)( 2 xxP 15)( xxQ y 726)( 23 xxxR

Resuelve los siguientes cálculos combinados.

a) P(x).Q(x) – R(x) = b) R(x).[Q(x) + P(x)] =

6) Siendo 324 3752)( xxxxA 13)( xxB 35 32)( xxxC 25 321)( xxxD

Halla los resultados de:

a) A(x).[B(x) + C(x)] =

b) [D(x).C(x)] - [A(x)-B(x)] =

c) [B(x)]2 + 3.D(x) - 6.C(x) =

d) [B(x)]3 – A(x) =

23 5

31)2)( wwwa ))(1236)( 223 vvvvb ttttc 2525) 66

)2)(1)( 2335 ppppppf ))(1)( 23 qqqqe

)132)(32)( 23 nnnng

)213)(

213)( 22 ssd

34


7) Hallar el cociente y el resto de cada división.

a) 2:472 23 xxxx

b) 3:106 43 xxxx

c)

32:3

32

65

32

21 234 xxxxx

8) Calcular el o los valores de m donde las divisiones son exactas.

a) 5:)3( 23 xxmxx b) 3:152 23 xmxxx

Teorema del Resto

Para el ejemplo anterior donde y 2 xxQ , se pedía que encontremos el cociente

y resto, si solo nos interesa analizar el resto de la división, calculamos:

195216522.22 3 PR

Este teorema nos ayuda a investigar si un polinomio es divisible por otro de la forma (x – a), es decir, bastara

con encontrar P(a). Si P(a) = 0, entonces P(x) será divisible por (x – a), si P(a) ≠0 no lo será.

Raíces de un polinomio.

Obtenemos así una conclusión importante:

Si a es raíz de P(x) entonces el polinomio es divisible por (x - a), por lo tanto a P(x) podemos expresarlo de la

forma:

P(x)=(x - a).C(x)

Donde C(x) es el cociente de P(x):(x – a).

El resto de la división de un polinomio P(x) por otro de la forma (x – a), es igual a P(a)

52 3 xxxP

Decimos que un número real a es raíz o cero de un polinomio P(x) si y solo si se verifica que P(a)=0

35


Para encontrar las raíces de algunos polinomios, podemos igualar a cero la expresión y resolver la igualdad, por

ejemplo:

El número real 22

a es raíz o cero de

011142.21

222

22

122

2

P

xxP

El polinomio 22 xxQ no admite ceros o raíces reales porque al plantear

2

202

2

2

x

xx

no existen

reales que satisfacen la igualdad.

Para encontrar los ceros o raíces de cbxaxxP 2 , tenemos 02 cbxax y las raíces de esta

expresión las encontramos mediante la resolvente (como trabajamos en el capitulo 1), por lo tanto

aacbbx

242

2,1

Sea 12 2 xxxZ , haciendo resolvente

431

4811

2.21.2.411 2

2,1

x donde x1

= 1 y x2 = ½

Para polinomios del tipo 1243 23 xxxxP debemos introducir el Lema de Gauss, este nos

ayuda a encontrar las raíces de cualquier polinomio.

Para el polinomio 1243 23 xxxxP a0=12 y a3=1, P(x) admite raíz racional, entonces debemos

buscar los divisores de p y q para obtener las posibles raíces del P(x).

Luego:

112,6,4,3,2,1

qp

las posibles raíces son 12,6,4,3,2,1 qp

Encontramos las raíces utilizando el Teorema del Resto.

Lema de Gauss: Sea 011

1 ... axaxaxaxP nn

nn

un polinomio con coeficientes enteros.

Si P(x) admite al número entero a como raíz, entonces a es divisor de a0.

Si P(x) admite al número racional qpa como raíz, entonces p es divisor de a0 y q

es divisor de an.

36


0121227273

7812122727381281282

40128128210124311

20124311

PPPPPP

x = -3 es raíz de P(x). Haciendo Ruffini:

Luego 43 2 xxxP , haciendo resolvente para x2 + 4 observamos que no tiene raíces reales.

Es posible que un polinomio tenga varias raíces iguales, por ejemplo: 22 22244 xxxxx ,

en este caso a = 2 es raíz de multiplicidad 2.

Si observamos los ejemplos anteriores, la cantidad de raíces de un polinomio depende del grado del mismo, en

general:

Ejemplo: ¿Cuáles son las raíces de P(x)=2(x – 1).(x + 3)3?

Teorema Fundamental del Algebra: un polinomio con coeficientes reales de grado n tiene n raíces

reales o complejas contadas con su multiplicidad.

El polinomio 011

1 ... axaxaxaxP nn

nn

puede escribirse en su forma factorizada, como producto de los binomios que forman las raíces, de la siguiente manera: nn rxrxrxaxP ...21 donde an es el coeficiente principal y ri las n raíces.

Si an es igual a 1, decimos que el polinomio es mónico.

37


Teniendo en cuenta el teorema fundamental del algebra, tenemos que el grado del polinomio es 4, por lo tanto el

polinomio tiene 4 raíces: r1=1 con multiplicidad 1 y r2=-3 con multiplicidad 3.

FACTORIZACION DE POLINOMIOS.

Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de factores primos.

Para factorizar un polinomio utilizamos distintos métodos, los más utilizados son:

Factor Común: Una expresión algebraica es factor común de todos los términos de un polinomio cuando

aparece multiplicando en cada uno de esos términos.

Ejemplo 1: En la expresión 52325 1248 wzxzxzx , el factor común es 4x2z. Entonces

43252325 3241248 wzxzxzxwzxzxzx debemos tener en cuenta que las variables que saco como

factor común, deben estar siempre elevadas a la menor potencia.

Ejemplo 2: en algunos casos es necesario sacar factor común (-1). 142142 22 xxxx

Factor común por grupo: Una expresión algebraica puede no tener un único factor común en todos los

términos sino factores comunes distintos en cada grupo de términos. Si luego de asociar convenientemente se

puede extraer un único factor común habremos factoreado.

Ejemplo 1: en la expresión myxxxymmx 352615 2 no existen factores comunes a todos los

términos, pero agrupando podemos obtener:

xmyxxyxyxmxxxymymmx

32552253523615 2

Escribimos el polinomio como producto de factores.

Trinomio cuadrado perfecto

Anteriormente vimos que 222 2 bababa por lo tanto cualquier polinomio de la forma

22 2 baba se puede factorizar como un binomio al cuadrado.

Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo:

38


i) Se busca a los cuadrados y se determina a sus bases

ii) Se comprueba que el otro término sea el duplo de las bases de dichos cuadrados

iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cuadrado de una suma o al cuadrado de una

diferencia.

Ejemplo 1:

En la expresión 144 2 xx los cuadrados perfectos son 4x2 y 1 y sus bases 2x y 1 respectivamente. Además

el duplo de las bases 2.2x.1= 4x que verifica el segundo termino del trinomio, por lo tanto

22 12144 xxx

Ejemplo 2: para 22424 20425 ypxpyx los cuadrados son 25x4y2 y 4p4 donde sus bases son 5x2y y 2p.

El duplo de las bases verifica, 2.5x2y.2p = 20x2yp que es el tercer termino de la expresión.

Como este término es negativo, tenemos: 2222424 2520425 pyxypxpyx

Cuatrinomio Cubo Perfecto:

Llamamos así a todo polinomio de la forma 33223 33 bababbaa

Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo:

i) Se busca a los cubos y se determina a sus bases

ii) Se comprueba que los otros términos sean el triple del cuadrado de una base por la otra base alternativamente

Ejemplo:

Para la expresión 8126 23 xxx los cubos perfectos son x3 y 8, sus bases son x y 2.

Además 22 62..3 xx y xx 122..3 2 se verifica el segundo y ercer termino de la expresión. Por lo tanto:

323 28126 xxxx

Diferencia de Cuadrados: Todo polinomio que es diferencia de cuadrados es igual al producto de la

diferencia de las bases de dichos cuadrados por la suma de las mismas, es decir:

bababa 22

Ejemplos:

* 44162 xxx

* 9292814 336 xxx

39


* xxx 111 2

NOTA: Otras factorizaciones especiales que pueden ayudarte.

2233

2233

babababababababa

EJERCICIOS 2:

1) Hallar las raíces de los siguientes polinomios y luego escribirlo en forma factorizada:

a) 241423 xxxxP siendo x=-3 una raíz.

b) 61133 234 xxxxxQ siendo x=-1 raíz de multiplicidad 2.

c) 4432 234 xxxxxR

2)

a) Construir un polinomio mónico de segundo grado que tenga a x=2 como raíz y donde el termino

independiente sea 3.

b) Escribir un polinomio de cuarto grado con raíces -2, 3 y –5. ¿Existe un único polinomio con estas

características? Justificar. Dar dos ejemplos más.

3) Factorizar las siguientes expresiones, combinando los casos de factoreo:

a) 526

1631255 bxbx b) 234

493 xxx c) 4352

323

83 xggx

d) vvv 456020 23 e) xxx 27183 23 f) 646 x g) 2555 23 xxx

h) 123 aaa i) axxaaa 44 324

4) Factorizar numerador y denominador de las expresiones algebraicas fraccionarias y luego simplificar.

a)

24

4

82 xxxx

b)

567

34

693

xxxxx

c)

11

2

2

xxxx

d)

4129

492

2

xxx

Tener presente que: el Lema de Gauss también se puede utilizar para factorizar polinomios.

40


RESPUESTAS

CAPITULO 1:

EJERCICIOS 1:

1) a) 36; b) 42; c) 39; d) 71

2) a) 26; b) 15; c) 3; d) 10; e) 25

; f) 10589

; g) 1211

; h) 12145

; i) -1; j) 157

; k) 42

127 ; l)

126811

; m)

367

; n) 2

19; o)

613

; p) 371103

; q) 109

; r) 45

3) a) 31, b) -2000; c) 27; d) 7; e) 8; f) -2; g) 4

a) 338

665

.

ba ; b) 32

52

.

ba ; c) 23

6 tm ; d) 37

43 ..3 ba ; e) 158

.

ba

4) a) F; b) V; c) V; d) V; e) V

EJERCICIOS 2:

1) a) 4;0 ; b) 6;4 ; c) 3;1 ; d) ;2 ; e)

21;

2) a) 52 x cerrado; b) 27

43

x semiabierto; c) 492 x semiabierto; d) 53 x

abierto; e) x < 3 infinito; f) 1x infinito.

EJERCICIOS 3:

a) 2; b) 500; c) -1; d) 1

EJERCICIOS 4:

a) x = 100001; b) x = 3; c) x = 3; d) ..36,26

855

x ; e) x = 17; f) x = 4

41


EJERCICIOS 5:

1) a) PhSr

2 ; b)

pSr

21

; c) t

Ptfx ; d)

abcabck

; e)

pPbBTs

2

2) a) 119

x ; b) NO; c) NO.

3) a) 3722

x ; b) x = 7; c) x = k, donde k Infinitas soluciones; d) x = -1

4) a) Los números son 15, 16 y 17; b) Los números son 37, 39 y 41; c) 4800 cm3; d) El número es 12;

e) Tenía ahorrado $900, gasto $450 en las zapatillas y $150 en CD.

5)

a) 3

1

2

1

xx

b) t = 2 c) 1

2

2

1

xx

d) 37

2

1

vv

e) 4

0

2

1

xx

f) 1

1

2

1

tt

g) Sin solución

real.

6) El número es -2.

7) El número es

8)

a)

21

21

2

1

x

x b)

4421

x c) 52

x d) 116

x

e) 31

x f) 21

x g)

109

0

2

1

x

x h)

40

2

1

xx

42


EJERCICIOS 6:

1) a) 1; b) 3;8 c) ;32; d) 1;3 e) 1;2

2)

a) 1

7

2

1

xx

b) c) x = 2 d) ;32;

e) 12;7 f)

34;4 g)

3;35

EJERCICIOS 7:

1) a)

45

.yx

sc Compatible Determinado.

b)

125

.y

xsc Compatible determinado.

c) Incompatible.

d)

13

.yx

sc Compatible determinado.

e)

1215

.yx

sc Compatible Determinado.

f) Incompatible.

43


2) a) Respuesta personal. b) respuesta personal

3) a) 41

k b) 101

k

4)

a) Hay 3 micros y 5 minibuses. b) Vendieron 80 entradas de platea y 100 de pullman.

c) Hay 40 camarotes dobles y 25 simples. d) Hay 11 pavos y 25 corderos.

CAPITULO 2:

EJERCICIOS 1:

1)

a) zz 12229 2 b) 4253

231

495

23 ñññññ c)

3131011 2 kk

d) 21043

10 gg

2) P (2) = -5; P(3) =0; P(0) = -3

3)

a) 34 1032 ww b) 345 1236 vvv c) 212 425 tt d)

419 4 s

e) qqqqq 4235 2 f) 23242 234578 ppppppp

44


g) 5432 32323

34 nnnnn

4) a) jj 673 2 b) 2

1725 2 hh

5) a) 101516 3 xx b) 143510221226 2354 xxxxx

6)

a) 68237945 96795158475 xxxxxxxxx

b) xxxxxxx 37626647 2487105

c) 35 18646 xxx

d) 423 2692024 xxxx

7) a) 0

72

xRxxC

b) 74

2893 23

xRxxxxC

c)

81

1572743

1825

65

41 23

xR

xxxxC

8) a) 528

m b) m = 2

EJERCICIOS 2:

1) a) 2

43

3

2

1

xxx

243 xxxxP b)

2113

4

3

2

1

xxxx

231 2 xxxxQ

45


c) 1

2

2

1

xx

22 21 xxxR

2) a) 3272 xx b) Respuesta personal.

3) a)

425

25

255 22 xxxbx b)

22

23

xx c)

xgxggx

21

21

83 32

d) 2

2320

vv e) 233 xx f) 422422 22 xxxxxx

g) 552 xx h) 11 2 aa i) 22 aaxaa

4) a) 22422

xxxx

b) 13

12 xx

c) 1

1x

d)

3232

x

x

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