Matemática - frsf.utn.edu.ar · PDF fileRecordemos que la suma de varias fracciones con...

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  • MATERIA

    Matemtica PROFESOR Vicino Anabela Primer Ao

    UNIVERSIDAD TECNOLGICA NACIONAL. FACULTAD REGIONAL SANTA FE Departamento Ingeniera Elctrica mecatronica@frsf.utn.edu.ar www.frsf.utn.edu.ar

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    CAPITULO 1: CONJUNTOS NUMERICOS

    NMEROS NATURALES

    Recordemos que el conjunto de los nmeros naturales N est constituido por los nmeros 1,2,3,4,5,...,

    100,...,.n...., con los cuales contamos, ordenamos y realizamos las operaciones de suma y multiplicacin, siendo

    el resultado de estas operaciones tambin un nmero natural, sin embargo no ocurre lo mismo con la resta y con

    la divisin.

    El conjunto de los nmeros naturales tiene las siguientes caractersticas:

    Es un conjunto infinito.

    Tiene primer elemento, no tiene ltimo elemento.

    Todo nmero natural tiene un sucesor, es decir, cada nmero natural, tiene un consecutivo.

    Todo nmero natural, salvo el uno, tiene antecesor.

    Entre dos nmeros naturales consecutivos, no existe otro nmero natural, por eso se dice que el

    conjunto es discreto.

    Por ser un conjunto ordenado, es posible representar a los nmeros naturales en una recta, eligiendo como

    origen el cero, que puede ser incluido tambin en el conjunto, usando en ese caso el smbolo N0 para denotarlo.

    NMEROS ENTEROS

    Recordemos que la resta en el conjunto de los nmeros naturales siempre es posible cuando el

    minuendo es mayor que el sustraendo, en caso contrario no es posible. Para resolver este problema

    necesitamos ampliar el campo numrico introduciendo el cero y los opuestos de los nmeros naturales,

    llamados nmeros enteros negativos.

    Obtenemos el conjunto de los nmeros enteros: ZZZ 0 = {, 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, 4, 5,}

    Definicin: Si x es un nmero entero x es el opuesto de x.

    Ejemplos: a) Sea x = 7, su opuesto es x = 7. b) Sea x = 4, su opuesto es x = 4.

    Los enteros se pueden ordenar, las operaciones de suma, resta y producto dan como resultado un

    nmero entero, sin embargo no ocurre lo mismo con la divisin, por ejemplo 8 dividido 3 no da un

    nmero entero.

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    Debemos destacar que el conjunto Z tiene las siguientes caractersticas:

    Es un conjunto infinito.

    No tiene ni primer elemento ni ltimo.

    Es un conjunto discreto.

    Cada nmero entero tiene un antecesor y un sucesor.

    Valor absoluto

    Para cada nmero entero x definimos el valor absoluto de x, que indicamos |x|, como sigue:

    Si el nmero x es positivo o cero, su valor absoluto es el mismo nmero y es su opuesto, x, si el nmero es

    negativo. Simblicamente:

    Definicin:

    El valor absoluto de un nmero se interpreta geomtricamente como la distancia que existe entre el nmero y el

    0 en la recta numrica.

    Por lo tanto, recordemos que:

    Ejemplos:

    |3| = 3; | 3| = (3) = 3

    Geomtricamente, los ejemplos anteriores quedan representado en la recta por:

    NMEROS RACIONALES

    x

    xx

    0

    0

    x

    x

    si

    si

    El valor absoluto de cada nmero entero, es un nmero no negativo

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    Nos vemos en la necesidad de ampliar nuevamente nuestro campo numrico, puesto que con los nmeros

    enteros podemos contar pero no siempre medir. Para expresar medidas necesitamos nmeros que

    representen partes de la unidad, de aqu surge la idea de nmero fraccionario: la mitad, la tercera parte, las dos

    quintas partes,...de una unidad.

    El conjunto de los nmeros enteros unido al conjunto de todas las fracciones constituye el conjunto de los

    nmeros racionales, al que denotamos por Q.

    Definicin:

    Cuando en una fraccin, el numerador y el denominador son nmeros primos entre s, decimos que la fraccin

    es irreducible.

    Caractersticas de Q

    Q es un conjunto denso, es decir que entre dos nmeros racionales hay infinitos nmeros racionales.

    En Q no podemos hablar de sucesores o antecesores.

    Fracciones equivalentes

    A menudo trabajaremos con fracciones equivalentes, por lo tanto, es til recordar que: Dos fracciones son

    equivalentes o iguales si representan la misma cantidad.

    Dos fracciones ba

    y dc

    son equivalentes si y solo si a.d = b.c

    Usamos este resultado para verificar que 102

    y 51

    son equivalentes, pues 2 5 = 10 1, en cambio 43

    y 2521

    no

    son equivalentes, pues 3.25 4.21

    Orden en Q

    Dadas dos fracciones ba

    y dc

    siendo b.d > 0. Diremos que: ba

    > dc

    a.d > b.c o ba

    < dc

    a.d < b.c

    Propiedades:

    Una fraccin positiva es mayor que cualquier fraccin negativa.

    Un nmero racional ba

    es el cociente de dos nmeros enteros a y b, donde a es el numerador y b es

    el denominador.

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    Dadas dos fracciones positivas de igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.

    Dadas dos fracciones positivas de igual numerador es mayor la que tiene menor denominador.

    Dadas dos fracciones positivas con distinto denominador y numerador, se llevan a fracciones equivalentes

    con igual denominador (o numerador) para hacer la comparacin.

    Dadas dos fracciones negativas es mayor aquella cuyo valor absoluto es menor.

    Operaciones con fracciones

    Suma

    Recordemos que la suma de varias fracciones con igual denominador es la fraccin con el mismo denominador

    que aquellas y el numerador es la suma de los numeradores.

    Si las fracciones tienen distinto denominador, se buscan fracciones equivalentes a las dadas que tengan igual

    denominador y despus se suman de la forma indicada anteriormente. Es conveniente usar como denominador

    para las fracciones equivalentes, el mnimo comn mltiplo.

    Ejemplos: 98

    9512

    95

    91

    92

    1529

    157630

    157

    156

    1530

    157

    522

    En general: Dados dos nmeros racionales ba

    y dc

    se define la suma y resta como

    dbcbda

    dc

    ba

    ...

    y db

    cbdadc

    ba

    ...

    Multiplicacin

    El producto de varias fracciones es otra fraccin que tiene como numerador el producto de los numeradores y

    como denominador el producto de los denominadores.

    dbca

    dc

    ba

    ...

    Ejemplo:

    185

    3610

    4.95.2

    45.

    92

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    Divisin

    Para dividir dos fracciones, podemos multiplicar al dividendo por la fraccin reciproca o inversa del divisor.

    cbda

    cd

    ba

    dc

    ba

    .

    ..:

    Ejemplo:

    61

    366

    4.93.2

    43.

    92

    34:

    92

    NMEROS IRRACIONALES

    Algunos decimales no son exactos ni peridicos. Recordemos de geometra al nmero que se usa para calcular

    longitudes de circunferencias y reas de crculos, para el cual la aproximacin ms usual es 3.1416. La

    representacin decimal de este nmero contina interminablemente sin repeticin.

    Gracias a la tecnologa que ahora tenemos, una computadora calcul como decimal hasta cien cifras, he aqu

    algunas:

    = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 ........

    Los pitagricos fueron quienes descubrieron los nmeros irracionales al aplicar el Teorema de Pitgoras en un

    tringulo cuyos catetos eran iguales a la unidad. Cuando calcularon la hipotenusa se encontraron que meda 2 y que no era un nmero natural. Para ellos los nmeros naturales constituan el principio de todas las cosas, por

    esta causa, mantuvieron el descubrimiento de los irracionales en el ms estricto secreto.

    Otra manera de obtener nmeros irracionales es escribir un nmero cuyas cifras decimales sean infinitas y no

    presenten periodicidad:

    0.1234567891011121314151617181920...., -2.16716781678916711672....

    El nombre de irracional proviene del hecho de que no se puede expresar como razn de dos enteros.

    Las races cuadradas de los nmeros naturales que no son exactas como 2 , 5 , 5 , se representan

    exactamente aplicando el Teorema de Pitgoras en la recta numrica.

    Otros ejemplos de nmeros irracionales: 2

    51 ; 5; etc.

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    NMEROS REALES

    El conjunto de nmero reales se lo denomina R. Est formado por la unin del conjunto de los nmeros

    racionales con los nmeros irracionales. Conservando todas los operaciones y propiedades de los mismos.

    Existe una correspondencia entre los nmeros reales y los puntos de la recta: a cada punto de la recta le

    corresponde un nmero real y viceversa, por