KOMPLEKS ANALİ -

Click here to load reader

  • date post

    16-Oct-2021
  • Category

    Documents

  • view

    3
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of KOMPLEKS ANALİ -

1
GR Kompleks düzlemde bir bölgede meydana gelen bir fiziksel problem, örnein kararl durum scaklklar, elektrostatik, ideal sv ak vs., baz koullarn salanmas durumunda bir harmonik fonksiyon ile ifade edilebilmektedir. Verilen bir bölgede harmonik olan ve bölgenin snr üzerinde baz koullar salayan bir ),( yx fonksiyonunu bulma problemine Dirichlet problemi ad verilir.
Eer iki reel deikenli ve reel deerli bir ),( yx fonksiyonu basit balantl bir D bölgesinde harmonik ise bu durumda ),( yx nin D de bir ),( yx harmonik elenii vardr. Bu durumda ),(),()( yxiyxzF analitik fonksiyonuna kompleks potansiyel ad verilir.
)(zF kompleks potansiyelinin bir çok fiziksel yorumu vardr. Örnein sv aknda sabityx ),( denklemi epotansiyellere ve sabityx ),( denklemi aknt dorularna
karlk gelirler ve bunlar birbirini dik keserler. Konform dönüüm bir bölgedeki açlar yön ve büyüklük bakmndan koruyan bir analitik fonksiyondur. Bir konform dönüüm ile z-düzleminde bir D bölgesindeki problemin çözümünün kolayca elde edilebilmesi için bu bölge w-düzlemindeki bir G bölgesine dönütürülür. Bu durumda eer bir bire-bir konform dönüüm ),(),()( yxivyxuzfw ve
),( yx , D de harmonik bir fonksiyon ise ters dönüüm ile elde edilen
),(),,(),( vuyvuxvu fonksiyonu da G de harmoniktir. Yani, konform dönüüm altnda Laplace denklemi ve snr koullar deimez kalr. Böylece D deki bir snr deer problemi
)(zfw konform dönüümü ile G üzerinde yeni bir snr deer problemine karlk getirilmi olur. Problemin çözümü bu bölgelerden birisinde elde edildiinde dieri üzerindeki çözüm ters dönüüm ile kolayca elde edilir. Burada incelenmi olan konform dönüüm teknikleri ile çözülebilen fiziksel problemler (kararl durum s ak, elektrostatik ve ideal sv ak) gerçek hayattaki uygulamalardr ve çözümleri üç-boyutlu kartezyen uzayda verilir. Böyle problemler genellikle üç deikenli Laplace denklemi, üç-boyutlu vektör fonksiyonlarnn curl ve divergensini içerir. Kompleks analiz x ve y deikenlerini içerdiinden, xy -düzlemine dik eksen boyunca koordinatl noktalarda çözümün deimedii özel durumu göz önüne alnmaktadr. Bu ders notu, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü dördüncü snf örencilerine okutulmakta olan bir yar yllk Kompleks Analiz dersi için hazrlanmtr. Bunun için özellikle Mathews, J.H. and Howell, R.W. [2] ve Özkn, .K. [3] nn kitaplarndan geni ölçüde yararlanlmtr.
Prof.Dr. Ayhan ERBETÇ
2
0. ÖN BLGLER 0.1. Analitik Fonksiyonlar Tanm 0.1.1. D kompleks düzlemde bir bölge ve f , D üzerinde tanml kompleks deerli
bir fonksiyon olsun. Eer bir Dz 0 için


limiti varsa bu durumda f ye 0z da diferensiyellenebilirdir denir. Bu limite f nin 0z daki
türevi denir ve 0zf ile gösterilir.
Tanm 0.1.2. D kompleks düzlemde bir bölge ve f , D üzerinde tanml kompleks deerli
bir fonksiyon olsun. Eer bir Dz 0 için 0zf mevcut ve 0z n bir komuluundaki her
noktada zf türevi varsa bu durumda f ye 0z da analitiktir denir. Eer f D nin her
noktasnda analitik ise veya edeer olarak f D nin her noktasnda diferensiyellenebilir ise bu durumda f ye D de analitik denir Tanm 0.1.3. D kompleks düzlemde bir bölge ve f , D üzerinde tanml kompleks deerli
bir fonksiyon olsun. Eer bir Dz 0 için f , 0z da analitik deil fakat 0z n her
komuluundaki en az bir noktada analitik ise bu durumda 0z a f nin bir singüler noktas
denir. Eer f , bir 0z singüler noktasnn bir komuluunda bulunan her noktada analitik ise
0z a ayrk singüler nokta ad verilir.
Tanm 0.1.4. C kompleks düzlemin tamamnda analitik olan bir fonksiyona tam fonksiyon denir. Teorem 0.1.5. Eer ),(),( yxivyxuzfw fonksiyonu bir D bölgesinde analitik ise bu durumda reel deerli u ve v fonksiyonlar D bölgesinde harmoniktir. Yani, u ve v nin D de sürekli birinci ve ikinci mertebeden ksmi türevleri vardr ve burada ikinci ksmi türevler için
0,0 yyxxyyxx vvuu
Laplace denklemi salanr. Teorem 0.1.6. Eer D kompleks düzlemde basit balantl bir bölge ve ),( yxu D de harmonik bir fonksiyon ise bu durumda ),( yxu nin D de daima bir ),( yxv harmonik elenii vardr. Yani öyle bir ),( yxv reel deerli fonksiyonu bulunabilir ki
),(),( yxivyxuzfw fonksiyonu D de analitiktir. 0.2. Konform Dönüümler
3
Tanm 0.2.1. zfw , 0z noktasnn bir komuluunda tanml bir dönüüm olsun. Eer
f , 0z dan geçen yönlendirilmi eriler arasndaki açlar yön ve büyüklük bakmndan
koruyorsa bu durumda zfw dönüümüne 0z da konformdur denir.
Teorem 0.2.2. zfw , 0z noktasnn bir komuluunda tanml bir dönüüm olsun. Eer
0( ) 0f z ise bu durumda f , 0z da konformdur.
Örnek 0.2.3. Zezf dönüümü kompleks düzlemin tamamnda konformdur. Çözüm. Cz için 0 Zezf olduu açktr. Çünkü 0sincos yieyee xxZ olmas durumunda ayn anda 0sincos yy olmas gerekir ki bu mümkün deildir. Dolaysyla f kompleks düzlemin tamamnda konformdur. Örnein birbirini dik kesen
byveax dorularnn görüntüleri de dik kesiirler:
yeyx
olduundan bbyeaxdenye ax ,, (yani, orijin merkezli ae
yarçapl çember ve orijinden çkan pozitif reel eksen ile b açs yapan n) elde edilir. ae ve b arasndaki aç diktir, çünkü merkezden çkan bir n ile çemberi kestii noktadaki teet dorusu birbirine dik olur.
Örnek 0.2.4. zzfw sin)( dönüümü Ryx , 22
düey eridini bire-bir ve
konform olarak 0,1 vu ve 0,1 vu nlar boyunca kesilmi w-düzlemi üzerine dönütürür. Çözüm. yxiyxzivu sinhcoscoshsinsin denkleminden
yxv
yxu
sinhcos
coshsin
olan 1 cossin 2
u hiperbolleridir. ax dorusunun görüntüsü a pozitif iken
hiperbolün sa dal ve a negatif iken hiperbolün sol daldr. 0x dorusunun görüntüsü v-
eksenidir (Benzer düünceyle byx , 22
yatay doru parçalar odaklar )0,1( olan
1 sinhcosh 2
u elipsleri üzerine dönüür. by doru parçasnn görüntüsü b pozitif
iken elipsin üst yars ve b negatif iken elipsin alt yarsdr). Verilen erit üzerinde 0cos)( zzf olduundan dönüüm konformdur.
4
Örnek 0.2.5. Ters sinüs fonksiyonunun esas deeri olan zArczfw sin)( fonksiyonu:
vuivuwiyx sinhcoscoshsinsin den 1 cossin 2
2
2
2
u
y
u
edilirse bu denklem xy -düzleminde odaklar )0,1( olan hiperbol gösterir. Odaklara olan uzaklklar fark usin2 dur. Dolaysyla hiperbol üzerinde bulunan bir ),( yx noktas için
2222 )1()1(sin2 yxyxu
denklemi salanr. Buradan
sin 2
tArc eitsizlii
2
2
2
v
y
v
x denkleminde v sabit kabul
edildiinde odaklar )0,1( ve büyük eksen uzunluu vcosh2 olan elips elde edilir. Dolaysyla elips üzerinde bulunan bir ),( yx noktas için
2222 )1()1(cosh2 yxyxv
denklemi salanr. Buradan
2222 yxyx Arcyyxv
elde edilir. Örnek 0.2.4. de z ve w nin rollerini deitirdiimizde görürüz ki zArcw sin fonksiyonu
0,1 yx ve 0,1 yx nlar boyunca kesilmi z-düzlemini bire-bir ve konform
olarak Rvu , 22
altnda 0Im z üst yar-düzleminin 0, 22
vu
yar-düzleminin 0, 22
Örnek 0.2.6. zizzw arglnlog fonksiyonu ar ve br çemberleri arasndaki


5
olduundan buabra lnln , Rv sonsuz düey eridi elde edilir. Tanm 0.2.7. 1D ve 2D kompleks düzlemde iki bölge olsun. Eer bir 21: DDf birebir
ve üzerine konform dönüümü varsa bu durumda 1D ve 2D ye konform edeerdir denir. Teorem 0.2.8. (Riemann Dönüüm Teoremi) Eer CG kompleks düzlemin basit balantl bir alt bölgesi ise bu durumda G , D birim dairesine konform edeerdir.
Tanm 0.2.9. dcba ,,, kompleks sabitler ve bcad olmak üzere dcz
baz zS


biçimindeki bir dönüüme kesirli lineer dönüüm veya Mobiüs dönüümü denir. Bir kesirli lineer dönüüm, çemberler ve dorular yine çemberler ve dorulara dönütürür.
Teorem 0.2.10. Bir dcz
Örnek 0.2.11. z
1
)1( kesirli lineer dönüümü 1z birim diskini 0Im w üst yar-
düzlemine dönütüren bir bire-bir konform dönüümdür. Çözüm. Gerçekten,
0)1()1(1 1
zi w
Yani, 0Im w elde edilir. Verilen bölgede 0 zw olduundan dönüüm konformdur. Ayrca,
22
22
2222
22
)1(
2
)1(
1
denirse bu durumda (0.2) denklemine göre 01,0 22 yxy üst yarm çemberi üzerinde bulunan iyxz noktalar pozitif u-ekseni üzerine dönüür. Benzer ekilde alt yar çember negatif u-ekseni üzerine dönüür.
6
1. LAPLACE DENKLEMNN DEMEZL VE HARMONK FONKSYONLAR ÇN SINIR DEER PROBLEMLER
1.1. Laplace Denkleminin Deimezlii
Aadaki teorem uygun bir konform dönüüm altnda Laplace denkleminin nasl deimez kaldn göstermektedir. Teorem 1.1.1. (Laplace denkleminin deimezlii) yxivyxuzfw ,, z - düzlemindeki bir D bölgesini w -düzlemindeki bir G bölgesine dönütüren birebir ve üzerine bir konform dönüüm olsun. Eer yx, D üzerinde sürekli birinci ve ikinci
mertebeden ksmi türevlere sahip bir fonksiyon ise bu durumda wfz 1 ters dönüümü
yardmyla yx, fonksiyonu
bileke fonksiyonuna dönüür. Bu fonksiyon G üzerinde sürekli ikinci ksmi türevlere sahiptir ve yxvyxuyx ,,,, salanr. Bu durumda Laplace denklemi deimez kalr. Yani, 00 vvuuyyxx






dir. Buradan
ivuf analitik olduundan xyyx vuvu , Cauchy-Riemann denklemleri salanr ve
0,0 yyxxyyxx vvuu yani u ile v D de harmoniktir. Ayrca,
22222 zfvvuuivuzf yxyxxx
vvuuyyxx zf 2
elde edilir. f, D de konform olduundan 0)( zf dr dolaysyla Laplace denklemi konform dönüüm altnda deimez kalr. Örnek 1.1.2. 1, xyyx fonksiyonu ve zLogivuw dönüümünü göz önüne alalm. 0Im z üst yar-düzleminde zLog esas logaritma fonksiyonu Teorem 1.1.1 in artlarn salar. Bu fonksiyonun tersi viveeiyx uw sincos dir. Böylece, vex u cos ve vey u sin dir. bileke fonksiyonu 1sincos1sincos, 2 vvevevevu uuu dir. zLogw altnda 0Im z n görüntüsü vu 0, erididir. Kolayca
gösterilebilir ki yx, üst yar-düzlemde ve vu, de eritte harmoniktir.
Örnek 1.1.3. 1
gösteriniz.
dönüümünü göz önüne alalm. Bu dönüüm 1z birim dairesini
0Re w sa yar-düzlemi üzerine bir bire-bir konform dönüümdür.

1
8
1.2. Belirli Snr Koullarn Salayan Bir Harmonik Fonksiyonun Bulunmas Örnek 1.2.1. bza Re düey eridinde harmonik olan bir yxu , fonksiyonu bulunuz
öyle ki ax ve bx düey dorular üzerinde srasyla 1,u a y U ve 2,u b y U snr
deerlerini alsn. Çözüm: Sezgisel olarak yxu , nin sadece x in bir fonksiyonu olduunu ve 0xx
biçimindeki düey dorular boyunca sabit deerler aldn düünürüz. Yani,
RybxaxPyxu ,,, dir ve 0,, yxuyxu yyxx Laplace
denklemi 0 xP olmasn gerektirir. Buradan m ve n sabit olmak üzere
P x mx n
dir. 1,u a y P a U ve 2,u b y P b U snr koullarnn salanabilmesi için
2 1 1,
b a
ekil 1
Not: Eer bir eri boyunca bir harmonik fonksiyonu sabit kalrsa bu eriye nin düzey
erisi denir. xy -düzlemindeki bir Cyx , düzey erisi bir yxivyxuzfw ,, konform dönüümü altnda uv -düzleminde Cyxvyxu ,,,( düzey erisine dönüür. Bu durumda özel olarak xy -düzlemindeki bir bölge üzerinde nin sabit bir deer ald herhangi snr parças, kendisine uv -düzleminde karlk gelen öyle bir eriye dönüür ki, bu eri boyunca nin deeri sabit kalr. Yani, ilk problemdeki C
9
koulu, dönütürülmü problem üzerine tanr. Daha açk olarak bir konform dönüüm ile üzerindeki snr koullar deimez kalr. Örnek 1.2.2. ,0 zArg daire kesmesinde harmonik olan bir yx, fonksiyonu bulunuz öyle ki
0r , ,,
0,0,
2
1
Cyx
xCx
snr deerlerini alsn. Çözüm. zArg fonksiyonu verilen daire kesmesinde harmoniktir ve orijinden çkan nlar boyunca sabittir (ekil 2). a ve b reel sabitler olmak üzere bir çözümün zArgbayx ,
olduunu görürüz. Snr koullarndan zArg CC
Cyx
olduu ortaya çkar.
ekil 2 Ek. 1 2 1 2, 0Arg z daire kesmesinde harmonik olan bir ,x y
fonksiyonu bulunuz öyle ki
2 1
( , ) ( ) C C
10
Örnek 1.2.3. Rz 1 halkasnda harmonik olan bir yx, fonksiyonu bulunuz öyle ki
1z iken 1, Kyx
Rz iken 2, Kyx
snr deerlerini alsn. Çözüm. Örnek 1.2.2 dekine benzer düünce ile, 0,ln zz için harmoniktir. Buradan
z R

bulunur. ekil 3 de görüldüü gibi sabityx , düzey erileri iç içe çemberlerdir.
ekil 3 Ek. 1 20 R z R halkasnda harmonik olan bir yx, fonksiyonu bulunuz öyle ki
1z R iken 1, Kyx
2z R iken 2, Kyx
snr deerlerini alsn.
Cevap. )ln(ln lnln
11
1.3. Dirichlet Problemi D kompleks düzlemde bir bölge olsun ve D nin snrnn uç uca birletirilmi parçal düzgün erilerden olutuunu kabul edelim. Dirichlet problemi, D de harmonik ve D nin snr üzerinde belirli deerleri alan bir fonksiyonu bulma problemidir. Örnek 1.3.1. Gösteriniz ki
0 0
1 tan
1 , uwArg


fonksiyonu 0Im w üst yar-düzleminde harmoniktir ve 0uu için 00, u
0uu için 10, u
fonksiyonu 0Im w üst yar-düzleminde analitiktir ve dolaysyla onun imajiner ksm olan
0
1 uwArg
fonksiyonu harmoniktir.
Not: Burada tArc tan fonksiyonu deer kümesi tArc tan0 olan ters tanjant
fonksiyonunu gösterir ve 2
çözümünü elde ederiz. Teorem 1.3.2. (Üst yar-düzlem için N-deer Dirichlet problemi) 121 ,..., Nuuu 1N tane
reel sabit olmak üzere
12
11
1
10
,0,
2,...,2,1,,0,
,0,
snr koullarn salar.
ekil 4 spat: (1.1) denklemindeki toplamn her bir terimi 0Im w da harmonik olduundan de burada harmoniktir. nin belirtilen snr koullarn saladn göstermek için j yi sabit
tutalm ve 1 jj uuu diyelim. Örnek 1.3.1 den
jkuuArg k ,0 1





olduu göz önüne alnarak kalan snr koullarnn saland kolayca gösterilebilir. Örnek 1.3.3. 0Im z üst yar-düzleminde harmonik olan öyle bir yx, fonksiyonu bulunuz ki aadaki ekil 5 de belirtilen snr koullarn salasn.
13


olur. 2,3,1,4 3210 aaaa ve 1,0,1 321 xxx deerlerini bu denklemde
yerine yazarsak


elde ederiz. Örnek 1.3.4. 0Im z üst yar-düzleminde harmonik olan bir yx, fonksiyonu bulunuz öyle ki
1,00,
1,10,
snr koullar salansn. Çözüm. Bu, 3-deer Dirichlet problemidir, 0,1,0 210 aaa ve 1,1 21 xx dir. (1.1)
denkleminden istenen fonksiyon
biçimindedir.
14
1.4. Basit rtibatl Bir Bölge çin N-Deer Dirichlet Problemi D basit irtibatl bir bölge, DC nin snr olan basit kapal çevre ve Nzzz ,,, 21 C
üzerinde bulunan ve pozitif yönde sralanm N tane nokta olsun. 1,,2,1 Nk için C
nin kz ve 1kz noktalar arasndaki parçasn kC ile ve Nz ile 1z arasndaki parçasn NC ile
gösterelim. Son olarak, Naaa ,,, 21 reel sabitler olsun. " D de harmonik ve
NCCCD 21 üzerinde sürekli bir yx, fonksiyonu bulmak istiyoruz öyle ki
11 ,, Ciyxzayx
22 ,, Ciyxzayx
NN Ciyxzayx ,,
ekil 6
yi bulmak için bir yöntem D yi 0Im w üst yar-düzlemine dönütüren bir
),(),()( yxivyxuzfw konform dönüümü bulmaktr öyle ki bu dönüüm ile N tane
Nzzz ,,, 21 noktalar w-düzleminde u-ekseni boyunca 1,,2,1 Nk için )( kk zfu
noktalarna ve Nz de Nu üzerine dönüür.
Laplace denkleminin deimezlii teoremini kullanrsak )(zfw konform dönüümü ile 0Im w üst yar-düzleminde yeni bir N-deer Dirichlet problemi elde edilir. Eer Naa 0 denirse bu durumda D deki Dirichlet probleminin yukarda verilen snr
koullarn salayan çözümü
N
u v a a a Arg f z u
v x y a a a Arc
u x y u
15



i
i
eiyxzyx
eiyxzyx
snr koullarn salayan bir ),( yx fonksiyonu bulunuz. Çözüm. Örnek 0.2.10 da gösterildii gibi
22
22
(1.2)
fonksiyonu 1z birim diskini 0Im w üst yar-düzlemine dönütüren bir bire-bir konform
dönüümdür. (1.2) denklemine göre 01,0 22 yxy üst yarm çemberi üzerinde bulunan iyxz noktalar pozitif u-ekseni üzerine dönüür. Benzer ekilde alt yar çember negatif u-ekseni üzerine dönüür. Ayrca, )(zfw konform dönüümü ile yeni bir Dirichlet problemi ortaya çkar: " 0Im w üst yar-düzleminde harmonik olan ve
0,1)0,(
0,0)0,(
ekil 7 Örnek 1.3.1 deki sonucu ve (1.2) denklemini kullanrsak
y
16
Örnek 1.4.2. :Im 0, 1H z z üst yar-diskinde harmonik olan ve
11,1)0,(
0,,0),(
Çözüm. z
zi ivuw
)1( dönüümü H yar-diskini 0,0: vuQ birinci bölgesi üzerine
dönütürür. 11,0 xy doru parças üzerinde bulunan iyxz noktalar da pozitif v- ekseni üzerine dönüür. imdi Q daki yeni Dirichlet problemi "Q da harmonik olan ve
0,1),0(
0,0)0,(
snr koullarn salayan bir ),( vu fonksiyonu bulunuz" eklindedir. Bu durumda önceki kesimdeki Örnek 1.2.2 deki ),( vu fonksiyonunun bulunmas yöntemi ile
u
y
10,1),0(
snr koullarn salayan bir ),( yx fonksiyonu bulunuz. Çözüm. xyiyxzivuw 2222 fonksiyonu çeyrek diski 1,0: wvH
üst yar diskinin üzerine dönütürür. H daki yeni Dirichlet problemi ekil 9 da gösterilmitir.
ekil 9 Örnek 1.4.2 deki sonuçtan H daki vu, çözümü
v
2 ,
22
dir. 2zw den 22222 yxvu ve xyv 42 dir, buradan G deki çözümü
xy
bulunur.
18



(1.3)
fonksiyonu 0Im z üst yar-düzleminde harmoniktir ve u sürekli iken xux 0, snr deerine sahiptir. spat. (1.3) denklemini N -deer Dirichlet probleminin sonuçlarndan belirlemek kolaydr.
Nttt 21 x -ekseni boyunca yerletirilmi N tane noktay göstersin. **
1 * 0 Nttt , Nk ,,2,1 için **
1 kkk ttt olacak biçimde seçilmi 1N tane nokta
olsun. Bu durumda N -deer Dirichlet probleminden
k
N
NN
kkk
txtux
txttux
txtux







ile verilir, burada Nk ,,1,0 için k açlar toplam dir. Bu, yukarda ekil 10 da
gösterilmitir.
22



1,00,
11,10,

1)( 22 deiken deiimi ile
hesaplanmtr. Örnek 1.5.3 0Im z üst yar-düzleminde harmonik olan bir yx, fonksiyonu bulunuz öyle ki
1,00,
11,0,




elde edilir. yx, fonksiyonu üst yar-düzlemde harmoniktir. 0,x fonksiyonu reel eksen üzerinde 1x de süreksizlie sahiptir. Örnek 1.5.4. 0Im z üst yar-düzleminde harmonik olan bir yx, fonksiyonu bulunuz öyle ki
1,10,
1,10,
1,0,
1

fonksiyonunu buluruz. Bu fonksiyon üst yar-düzlemde harmonik ve 1x için 00, xv ,
1x için 10, xv ve 1x için 10, xv snr deerlerine sahiptir. Bu fonksiyon Örnek 1.5.3 de bulunan fonksiyona eklendiinde
21
1
2. K BOYUTLU MATEMATKSEL MODELLER 2.1. Genel Bilgiler
imdi konform dönüüm teknikleri ile çözülebilen kararl durum s ak, elektrostatik ve ideal sv ak ile ilgili problemleri göz önüne alacaz. Konform dönüüm, bir bölgedeki problemin çözümünün kolayca elde edilebilmesi için bu bölgeyi dier bir bölgeye dönütürür. Bizim çözümlerimiz sadece x ve y iki deikenli olduundan modelin geçerlilii için önce temel bir kabul yapmalyz. Burada inceleyeceimiz fiziksel problemler gerçek hayattaki uygulamalardr ve çözümleri üç-boyutlu kartezyen uzayda verilir. Böyle problemler genellikle üç deikenli Laplace denklemi, üç-boyutlu vektör fonksiyonlarnn curl ve divergens ini içerir. Kompleks analiz x ve y deikenlerini içerdiinden, xy düzlemine dik eksen boyunca koordinatl noktalarda çözümün deimedii özel durumu göz önüne alacaz. Kararl durum s ak ve elektrostatik için, bu demektir ki T scakl veya V potansiyeli sadece x ve y ile deiir. Böylece ideal sv ak için z -düzlemine paralel herhangi bir düzlemde sv hareketi ayndr. " z -düzlemindeki eri çizimleri z -düzlemine dik sonsuz silindire karlk gelen çapraz kesitler olarak yorumlanr ". Bir sonsuz silindir bir uzun fiziksel silindirin limit durumudur, böylece bizim vereceimiz matematiksel model "yeteri kadar uzun bir fiziksel silindiri içeren üç boyutlu problemin uç noktalardaki etkisi ihmal edilmek koulu ile geçerlidir. Önceki ksmlarda harmonik fonksiyonlar için yx, çözümlerinin nasl
bulunacan göstermitik. Uygulamalar için sabitreelbirKKyx 11 :, düzey erileri
ailesini ve yx, harmonik elenik fonksiyonu ve onun sabitreelbirKKyx 22 :,
düzey erileri ailesini göz önüne almamz gereklidir. yxiyxzF ,, analitik fonksiyonuna kompleks potansiyel adn vereceiz. Aadaki teorem düzey ailelerinin ortogonallii ile ilgilidir. Bu teoremi göz önüne alacamz fiziksel uygulamalarla ilgili fikirleri gelitirmek için kullanacaz. Teorem 2.1.1. (Düzey erilerinin ortogonal aileleri) yx, bir D bölgesinde harmonik,
yx, onun harmonik elenii ve yxiyxzF ,, kompleks potansiyel olsun. Bu
durumda 1, Kyx ve 2, Kyx düzey erileri aileleri ortogonaldir. Yani,
1, Kyx ve 2, Kyx erileri ba, de kesiiyorsa ve eer 0 ibaF ise bu durumda bu iki eri dik kesiirler. spat. 1, Kyx bir düzlem erisinin bir kapal denklemi olduundan ba, noktasnda
hesaplanan grad gradiyent vektörü ba, de eriye diktir. Bu vektör baibaN yx ,,1
ile verilir. Benzer biçimde 2N vektörü
23
baibaN yx ,,2
ile tanmlanr ve bu vektör ba, de 2, Kyx erisine diktir. Cauchy-Riemann
denklemlerini kullanrsak 1N ile 2N nin iç çarpm
0,,,,
,.,,.,. 21
dr. Buna ek olarak 0, baF olduundan 0,, baiba xx
olur. Cauchy-Riemann denklemleri ve 0,,0, baba xx olmas, hem 1N ve hem
de 2N nin sfrdan farkl olduunu gösterir. Böylece, 0. 21 NN olmas, 1N in 2N ye dik olmasn gerektirir. Dolaysyla bu eriler ortogonaldir. Teoremin ispat tamamlanm olur. yxiyxzF ,, kompleks potansiyeli birçok fiziksel yorumlara sahiptir. Örnein; kabul edelim ki kararl durum scaklnda bir problem çözmü olalm. Bu durumda ayn snr koullar ile elektrostatikte izotermalleri epotansiyel erileri ve s ak dorularn ak dorular olarak yorumlayarak bir benzer probleme çözüm bulabiliriz. Buradan "s ak ve elektrostatik direkt olarak birbirine karlk gelir" diyebiliriz. Bir sv ak problemini çözmü olalm. Bu durumda sv aknda epotansiyelleri izotermaller ve ak dorularn s ak dorular olarak yorumlayarak benzer bir probleme çözüm bulabiliriz. Aadaki tabloda düzey erileri ailelerinin deiik yorumlar ve aileler arasndaki elemeler özetlenmitir. Fiziksel Olaylar sabityx , sabityx ,
Is ak zotermaller Is ak dorular Elektrostatik Epotansiyel erileri Ak dorular Sv ak Epotansiyeller Aknt dorular Yerçekimi alan Yerçekimi potansiyeli Kuvvet dorular Manyetizm Potansiyel Kuvvet dorular Difüzyon Konsantrasyon Ak dorular Elastisite Gerilim fonksiyonu iddet dorular Elektrik akm Potansiyel Ak dorular
24…