II BIMESTRE RM Y ARITMETICA SEGUNDO AÑO

1

2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Y ARITMETICA

Profesor: Ronal Gonzales S.

II BIMESTRE

SEGUNDOAÑO

2

Contenido

UNIDAD 01: ........................................................................................................................................................... 3

Proyecto de electrificación .......................................................................................................................... 3

SESION 01: INTERVALO DE LONGITUD ................................................................................................................... 4

Ejercicios de Aplicación ................................................................................................................................... 6

SESION 02: INTERVALO DE TIEMPO ..................................................................................................................... 7

Ejercicios de Aplicación ................................................................................................................................... 8

DAMOS RESPUESTA A LA UNIDAD ......................................................................................................... 10

Unidad 02: sumas y más sumas ...................................................................................................................... 11

Sesión 01: series ............................................................................................................................................ 11

SERIES NOTABLES ................................................................................................................................. 12

Ejercicios de aplicación ............................................................................................................................. 13

sesión 02: Sumatorias ................................................................................................................................... 15

Sesión 03: Relaciones Familiares ................................................................................................................ 18

Test de Aprendizaje ................................................................................................................................... 18

Ejercicios ...................................................................................................................................................... 19

sesión 01: valor absoluto .............................................................................................................................. 23

SESION 2: RAZONES Y PROPORCIONES ............................................................................................................. 27

EJERCICIOS .................................................................................................................................................... 30

PRACTIQUEMOS ........................................................................................................................................... 30

SESION 3: MAGNITUDES PROPORCIONALES ...................................................................................................... 32

EJEMPLOS: ..................................................................................................................................................... 35

IIB–RAZ.MAT–ARITM.

3

UNIDAD 01: Proyecto de electrificación

En el 2021 se presenta en la municipalidad de Reque el proyecto: “Iluminando el camino”, que consiste en colocar postes que puedan iluminar el camino desde Montegrande hasta Siete Techos, con la nueva tecnología existen algunas condiciones para ejecutar este proyecto:

- Los postes deben estar colocados a una distancia de separación de 10m, desde el primero hasta el último que se coloque.

- En este proyecto se pondrá a prueba un robot que coloca los postes, en el cual se podrá programar para que desde que coloque el primer poste el tiempo que demore en desplazarse para colocar el siguiente poste debe ser de 2 minutos exactos, sin tener en cuenta el tiempo que se demorará en el colocado de cada poste que sera de 5 minutos. • La distancia de Montegrande a Siete techos es de 2km, ¿Cómo saber cuántos postes se necesitará para terminar dicho proyecto? • Podrías imaginar, darle un nombre y dibujar el robot colocando los postes. • _____________ el robot, ¿Cuánto tiempo se demorará para desplazarse por 6 postes?, sin tomar en cuenta el tiempo que se demora en dejar bien colocado un poste. • Teniendo la cantidad de postes que se van a colocar, el tiempo que se demora en dejar bien colocado cada poste, ¿Cuánto tiempo trabajo el robot en este proyecto?, sin tomar en cuenta el tiempo que se demora en desplazarse.

SEGUNDOAÑO

4

SESION 01: INTERVALO DE LONGITUD

Ejemplo: ¿Cuántos cortes debo dar a la soga mostrada si quiero un total de “x” partes? SOGA :

Aplicando Inducción:

- Si se quiere 2 partes.

- Si se quiere 3 partes

- Si se quiere 4 partes

En general:

APLICACIÓN:

¿Cuántos cortes serán necesarios a un alambre para tener 8 partes?

- En 2 partes c/parte = = 6 metros



En general :

=

APLICACIÓN:

Se tiene un alambre de 40 metros de longitud. Si se quiere que se den 9 cortes. ¿Cuál es la longitud de cada parte?

212

312

412

parte/cdelongitud

partes#TotalLongitud

cortes

cortes

cortes

# cortes = # partes 1

Si la longitud de la soga fuera 12 metros. ¿Cuál

será la longitud de cada parte?


5

Sol.-

Aplicando inducción:

2 espacios

Þ 3 postes

3 espacios

Þ 4 postes

4 espacios

Þ 5 postes

En general:

# postes = # partes 1

Luego : # partes = # espacios = = 10

Þ # postes=

3 partes

3 cortes

4 partes

4 cortes

5 partes

5 cortes

En general :

# cortes = # partes

APLICACIÓN:

¿Cuántos costes serán necesarios para tener 12 partes en un pentágono?

550Usa las 2 formulas

ya dadas anteriormente y saldrá al toque

Si en una pista de 50 m de longitud

quiero poner postes cada uno 5

m. ¿Cuántos postes serán necesarios?

5 5 5 5

5 5

5 5 5

5 5 5 5

¿Cuántos cortes serán necesarios dar a una figura cerrada para tener ‘n’ partes?

SEGUNDOAÑO

6

1. Un parque tiene la forma de hexágono regular; si en cada lado hay 7 focos. Hallar el número total de focos. a) 42 b) 44 c) 36 d) 35 e) 30

2. ¿Cuántos cortes deben darse a una soga de 80 m para tener pedazos de 5m de largo? a) 16 b) 15 c) 14 d) 8 e) 4

3. ¿Cuántos cortes se darían a una varilla de 20m de largo para obtener pedazos de 2m de longitud? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

4. A lo largo de una avenida de 450 m se plantan postes cada 6 m ¿cuántos postes hay? a) 75 b) 74 c) 76 d) 77 e) 70

5. ¿Cuántos cortes debe hacerse a un aro de 10m de largo para tener trozos de 2m de longitud? a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

6. ¿Cuántos cortes deben darse a un aro de 51 m de longitud, para tener pedazos de 1?7 m? a) 3 b) 6 c) 17 d) 30 e) 29

7. Una persona cobra S/. 4 por cortar un árbol en 2 partes.

¿Cuánto cobrara por cortarlo en 8 partes? a) S/. 32 b) 12 c) 28 d) 26 e) 56

8. ¿Cuántos cortes debo darle a una varilla por tener “W” partes iguales? a) 2 W b) W-1 c) W + 1 d) W/2 e) 2W/3

9. En una pista de carrera rectilínea, se colocan postes separados uno de otro 5 metros. Hallar la distancia del poste número 8 al poste número 44. a) 160 m b) 165 m c) 170 m d) 175 m e) 180 m

10. Un hombre cerca un terreno rectangular de 90 x 20 m y se quieren colocar postes cada 5m ¿cuántos postes se necesitan?

a) 220 b) 360 c) 44 d) 45 e) 43

11. Calcular el número de estacas de 8 metros de altura en una línea recta de 390 m si se sabe qué entre estaca y estaca la longitud debe ser 13 metros.

a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32

12. Un sastre para cortar una cinta de tela 54 metros de largo, cobra S/. 3 por cada 2.7 m ¿cuánto cobrará por toda la cinta?

a) S/. 57 b) 58 c) 59 d) 60 e) 61


7

13. Para cortar una lámina de

aluminio en dos partes cobran “N” soles ¿cuánto cobraran como mínimo para cortarlo en 8 partes?

a) S/. 2N b) (2N+1) c) 3N d) 7 N e) (4N-1) 14. En una pista de salto con vallas

hay 19 de estas separadas por una distancia de 7m ¿cuál es la distancia entre la primera y la penúltima valla?

a) 126 m b) 133 c) 120

d) 125 e) 119

15. Los banderines en una pista recta son numerados consecutivamente: 1º; 2º; 3º; 4º; …

Las distancias de banderines son respectivamente: 1 metro; 2 metros; 3 metros; … Halla la distancia del banderín 20 al banderín 50 a) 1005 m b) 1015 c) 1025

d) 1035 e) 1045

SESION 02: INTERVALO DE TIEMPO

• TIEMPO Medida del período de existencia de las cosas, etc.

• RELOJ Aparato para medir el tiempo o dividir el día, en horas, minutos y segundos.

• INTERVALO Espacio, duración que media entre 2 tiempos, hechos o lugares.

• CAMPANA Instrumento de percusión, de metal, de grandes proporciones, en forma de copa.

Ejemplo 1: Un reloj de pared antiguo da 5 campanadas en 8 segundos ¿Cuánto demorará en dar 7 campanadas?

SOLUCION

1º

En general:

= - 1

2º

En general:

tiempodeIntervalosºN

campanasdeNúmero

1 camp.

2 camp.

3 camp.

4 camp.

5 camp.

8seg.

SEGUNDOAÑO

8

=

Luego :

Ejemplo 2 : Una enfermera aplica una inyección a un paciente cada 3 horas. ¿Cuántas inyecciones aplicara en 4 días?

SOLUCION

Ejemplo 3 : Juanito toma una pastilla cada tres horas

¿cuántas pastillas toma desde la 7 a.m. hasta las 10 p.m.?

SOLUCION

1. Un campanario da 4 campanadas en 6 segundos ¿Cuánto demorará en dar 7 campanadas? a) 7 seg b) 6 c) 8 d) 12 e) 11

2. Un campanario da 8 campanadas en 7 segundos ¿Cuánto demorará en dar 13 campanadas? a) 13 seg b) 12 c) 11 d) 8 e) 6,6

3. Se escuchan cinco campanadas en 20 segundos ¿Cuántas campanadas se escucharán en un minuto? a) 18 b) 15 c) 11 d) 13 e) 12

TiempodeIntervalo1deDuración

IntervalosdeºNTotalTiempo


9

4. Un campanario da 8

campanadas en 14 segundos ¿Cuánto demorará en dar 10 campanadas? a) 10 seg b) 20 c) 19 d) 18 e) 17

5. Un reloj da 7 campanadas en 9 segundos ¿Cuánto se demora en dar 17 campanadas? a) 16 seg b) 18 c) 24 d) 51 e) 17

6. La campana de un reloj demora 5 segundos en dar las 11 horas ¿Qué hora da cuando demora 3 segundos? a) 3 horas b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

7. Se escuchan 7 campanadas en 36 segundos ¿Cuántas campanadas se escucharán en un minuto? a) 6 b) 7 c) 10 d) 11 e) 13

8. Un reloj se demora seis segundos en dar “a” horas ¿Cuántos segundos se demora en dar “a2” horas? a) 6 (a – 1) b) a2 + 1 c) a2 – 1 d) a – 1/6 e) 6 (a + 1)

9. Un mensajero toca cuatro veces un timbre en cinco segundos ¿Cuántas veces timbrará en diez segundos?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 11

10. Un cartero da 3 golpes a una puerta en 2 segundos ¿Cuántos golpes da en 7 segundos? a) 14 b) 7 c) 8 d) 3,5 e) 9

11. Un boxeador da siete golpes en dos segundos ¿Cuántos golpes dará en cinco segundos? a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

12. Un boxeador da ocho golpes en dos segundos ¿Cuántos golpes dará en 14 segundos? a) 49 b) 48 c) 50 d) 13 e) 15

13. Un boxeador da cinco golpes por segundo ¿Cuánto demora en dar 15 golpes? a) 14 seg b) 7 c) 3 d) 3,5 e) 6

14. Un gallo cantó cinco veces en 4 segundos ¿Cuántas veces canto en un minuto? a) 59 b) 60 c) 61 d) 62 e) 30

15. Un gallo cantó seis veces en tres segundos ¿Cuántas veces cantó en 9 segundos? a) 15 b) 14 c) 16 d) 10 e) 11

SEGUNDOAÑO

10

DAMOS RESPUESTA A LA UNIDAD

- Los postes deben estar colocados a una distancia de separación de 10m,

desde el primero hasta el último que se coloque.

- En este proyecto se pondrá a prueba un robot que coloca los postes, en el

cual se podrá programar para que desde que coloque el primer poste el tiempo

que demore en desplazarse para colocar el siguiente poste debe ser de 2

minutos exactos, sin tener en cuenta el tiempo que se demorará en el colocado

de cada poste que sera de 5 minutos.

• La distancia de Montegrande a Siete techos es de 2km, ¿Cómo saber

cuántos postes se necesitará para terminar dicho proyecto?

• Podrías imaginar, darle un nombre y dibujar el robot colocando los postes.

• _____________ el robot, ¿Cuánto tiempo se demorará para desplazarse por

6 postes?, sin tomar en cuenta el tiempo que se demora en dejar bien

colocado un poste.

• Teniendo la cantidad de postes que se van a colocar, el tiempo que se

demora en dejar bien colocado cada poste, ¿Cuánto tiempo trabajo el robot

en este proyecto?, sin tomar en cuenta el tiempo que se demora en

desplazarse.


11

Unidad 02: sumas y más sumas

Sesión 01: series Definición: Una serie es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica y al resultado de dicha adición se le llama valor de la serie. Es decir, si la sucesión numérica es:

t1; t2; t3; ………, tn. Entonces la serie numérica será:

t1 + t2 + t3 + …………… + tn

• SERIE ARITMÉTICA

La Serie Aritmética es la adición indicada de los términos de una Sucesión (Progresión Aritmética) a1; a2; a3; ……………; an

a1 = primer término r = razón an = término enésimo

A. Cálculo del término enésimo o término general: (an)

an = a1 + (n - 1) r

B. Cálculo del número de términos (n)

n = an – a1 + 1

C. Calcula de la suma de términos (Sn)

Sn =

Ejemplos: a) Calcular:

C = 1 + 4 + 7 + 10 + …… + 43

b) Hallar la suma de todos los números que terminen en 5 y estén comprendidos entre 28 y 449.

• SERIE GEOMÉTRICA

La Serie Geométrica es la adición de los términos de una sucesión o progresión geométrica. a1; a2; a3; ……………; an

xr xr a1 = primer término

r = razón an = término enésimo

D. Cálculo de término enésimo o

término general (an)

an = a1 (rn-1)

E. Cálculo de la sima de términos (Sn)

n2aa n1 ÷øö

çèæ +

SEGUNDOAÑO

12

; donde r ¹ 1

Ejemplos: a) Hallar el valor de la siguiente

serie: S = 2 + 4 + 8 + 16 + …. + 1024

b) En una serie geométrica la razón es 2 y la suma de los 12 primeros términos es igual a 8190. Hallar el quinto término.

SERIES NOTABLES

F. Suma de los “n” primeros números naturales consecutivos. 1 + 2 + 3 + ……….. + n =

Donde: “n” es el número de sumandos.

Sumar: a) R = 1 + 2 + 3 + ……+20

b) P = 11 + 12 + 13 + … + 30

G. Suma de los “n” primeros números pares consecutivos 2 + 4 + 6 + …… + 2n = n(n + 1) Donde “n” es el número de pares

consecutivos. Sumar:

a) A = 2 + 4 + 6 + ……… +30

b) B = 20 + 22 + 24 + …. + 58

H. Suma de los “n” primeros

números impares consecutivos 1 + 3 + 5 + ………… +(2n - 1) = n²

)1r()1r(a

Snn

1

-

-=

2)1n(n +


13

Donde “n” es el número de sumandos.

Sumar: c) Z = 1 + 3 + 5 + ……… +57

d) F = 21 + 23 + 25 + ……… + 59

I. Suma de los cuadrados de los “n” primeros números naturales consecutivos.

1² + 2² + 3² + …. + n² =

Donde: “n” es el número de sumandos.

Sumar: c) M = 1 + 4 + 9 + …………+900

d) P = 11 + 12 + 13 + ……… + 30

J. Suma de los cubos de los “n” primeros números naturales consecutivos

1³ + 2³ + 3³ + …… + n³ =

Donde “n” es el número de sumandos.

Sumar: a) K = 2 + 7 + 28 + 63 ……… +999 Ejercicios de aplicación 1. Si la suma de los 35 términos de

una serie aritmética cuya razón es 11, es 1575, entonces el primer término es: a) 34 b) 24 c) 16 d) 14 e) 45

2. Sabiendo que hay 16 términos en

la siguiente serie: 2n; 2n+4; 2n+8; …… 5n

Hallar: “n” a) 10 b) 15 c) 25 d) 20 e) 30

6)1n2)(1n(n ++

2

2)1n(núûù

êëé +

SEGUNDOAÑO

14

3. La suma de 2do. y 4to. Término de una serie aritmética es 56. si el 1er. Término es 16. calcular el 20avo. término.

a) 116 b) 130 c) 140 d) 120 e) 114 4. El número de términos de la

siguiente serie: 2; 8; 32; .......; 8192

es: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 5. Hallar el término 49 de una serie

geométrica, conociendo que sus términos de posiciones 47 y 52 son respectivamente 819 y 27/4.

a) 2 b) 22 c) 4 d) 8 e) 16 6. En una serie geométrica el quinto

y el segundo término son 81 y 27 respectivamente. Calcular el primer término.

a) 9 b) 3 c) 3 d) 6 e) 18

7. Calcular:

S = 3 + 4 + 5 + ………… + 30 a) 462 b) 325 c) 470 d) 463 e) 613 8. Lolo compra el día de hoy 19

cajas de tomates y ordena que cada día que transcurra se compre una caja más que el día anterior. ¿Cuántas cajas compró

en total, si el penúltimo día se compraron 43 cajas?

a) 623 b) 819 c) 720 d) 430 e) 580 9. Calcular:

S = 2 + 4 + 6 + 8 + …… + 46 a) 678 b) 580 c) 412 d) 300 e) 552

10. Calcular:

S = 1 + 3 + 5 + 7 + ….. + 47 a) 325 b) 576 c) 422 d) 212 e) 100 11. Calcular:

S = 17 + 19 + 21 + ……. + 73 a) 1305 b) 1278 c) 1413 d) 1330 e) 1279

12. Calcular.

S = 1 + 4 + 9 + …….. + 69 a) 730 b) 550 c) 819 d) 800 e) 625

13. Calcular: S = 3² + 4² + 5² + ………… + 15²

a) 1125 b) 1200 c) 1235 d) 1100 e) 1190

3 33 3


15

sesión 02: Sumatorias • NOTACIÓN DEL SIGMA

La suma de los términos: an; an+1; an+2; ……………………… am Lo denotaremos como:

Donde: k = es el índice de la sumatoria.

ak = es el k-ésimo término de la suma o término general de la sumatoria. N = es el límite inferior de la sumatoria M = es el límite superior de la sumatoria

Notación: å éste símbolo es la décima octava letra del alfabeto griego que se usa para representar la sumatoria.

Se lee: la sumatoria de los elementos ak desde

k = n hasta k = m Nota: 1. Los límites superior e inferior de la sumatoria son constantes respecto del

índice de la sumatoria. 2. El límite inferior es cualquier número entero menor o igual que el límite

superior; es decir, n £ m Ejemplo:

Calcular:

Solución: =

å=

++ ++++=m

nkm2n1nnk a..................aaaa

å=

m

nkka

å=

-5

3k)1k2(

å=

-5

3k)1k2( 1(3)-1

k=3

2(4)-1

k=4 + + 2(5)-1

k=5

= 5 + 7 + 9 = 21

SEGUNDOAÑO

16

A. Expresar las sumas en forma desarrollada y calcular el valor de la suma.

a)

b)

c)

d) =

B. Expresar las sumas usando sumatorias. a) 1 + 2 + 3 + …………… + 10.

b) 17 + 18 + 19 + ………… + 99

c) 1² + 2² + 3² + …-……… + 19²

d) 11 + 17 + 23 + -……… + 191

• Propiedades:

Número de términos:

Si: ; entonces el número

de términos es m – n + 1.

1. Cuando el término general está afectado por una constante:

; donde “c” es

cualquier constante.

2. Cuando el término general está afectado por dos sumandos:

i)

ii)

3. Cuando el término general es una constante:

Resolver:

=å=

4

1kk

=å=

8

3a²a

=-å=

19

2k

k)1(

å=

-5

0k)3k²(k

å=

m

nkka

åå==

=m

nkk

m

nkk aCca

ååå===

+=+m

nkk

m

nkk

m

nkkk ba)ba(

ååå===

-=-m

nkk

m

nkk

m

nkkk ba)ba(

å=

+-=m

nkc)1nm(c


17

a)

b)

c)

d)

e)

å=

+30

2k1k4

å=

+80

30k20²k

å

åå

=

==

+-

---

20

0k

20

0k

420

0k

4

)1²k)(1²k(

)2k2()1k(

åå==

--30

1Z

61

20k4)²20k(

åå==

--80

8k4

80

2k

4 k)1k(

SEGUNDOAÑO

18

Sesión 03: Relaciones Familiares Test de Aprendizaje Esquema I

Según el esquema anterior, colocar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda: 1. Emilio es yerno de Beto ...................................(We) 2. Karen es sobrina de Greta ...............................(We) 3. La abuela paterna de Carlos es Carla ...........(We) 4. Julia es cuñada de Manuel ...........................(We) 5. Julia es la nuera de Ana .................................(We) 6. Luis y Beto son consuegros ..........................(We) Esquema II


19

Según el esquema anterior, colocar Verdadero(V) o Falso (F) según corresponda: 7. Alejandro tiene tres nietas ...... ................(We) 8. Alan es cuñado de Valentín ......................(We) 9. La abuela materna de Alberto es Eliana ....(We) 10.Lulú es nuera del suegro de Valentín .......(We) 11. Si el primer apellido de Alejandro es López, entonces el segundo apellido de Martha también es López ............................(We) 12. La hija de la hija de Alejandro se llama Martha ..............................................(We)

Ejercicios Bloque I En cada caso completar el esquema: 1. Diego no tiene hermanos varones y los padres

de su única hermana se llaman Roberto y

Luciana. Roberto y Luciana tienen sólo dos

nietos, estos últimos se llaman Ana y Carlo y son

hijos de Rodrigo y Gloria.

2. Gonzalo y Renata están casados y tienen

solamente una hija, la cual tiene un hijo único

que se llama Francisco. Francisco es hijo de

Sofía y Leopoldo. Mario está casado con Diana

y es hijo de Francisco y Zulema.

SEGUNDOAÑO

20

3. Fernando dice: «Mi abuela paterna se

llama Caridad y tiene solo dos hijos,

Lorena y Dante». Gabriela dice:

«Fernando es el hijo de la esposa del hijo

varón de mi abuela materna». Caridad

dice: « Mi esposo se llama Juan y

nuestros dos hijos nos han dado un total

de cuatro nietos»

ENUNCIADO 1 Paola y Julio se casaron y sólo tuvieron dos hijos: Antonio y Martha. Paola y Julio son abuelos de Fabián, quien es hermano de Carmela. Carmela es nieta de Beatriz y Walter. Dalia no tiene hermanos ni hermanas y es hija de Beatriz y Walter. 4. Es cierto que: I. Fabián es nieto de Walter. II. Carmela es hija de Martha. III. Dalia es madre de Fabián y Carmela. a) Solo I y II b) Solo II y III c) Solo I y III d) Todas e) Ninguna 5. Es imposible que: I. Martha tenga hijos. II. Dalia sea cuñada de Martha. III. Carmela tenga tíos de sangre por parte de madre. a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II e) Ninguna 6. ¿Quién es nieto de Walter? a) El hijo de Julio. b) El hermano de la esposa de Antonio. c) El hijo de Antonio. d) El hijo de Fabián. e) El esposo de Martha. ENUNCIADO 2 Se sabe que Alicia es hija de Salomé. Salomé es la abuela materna de Tania, quien es hija de una de las hermanas de Maricela. Esther es hermana de Tania,


21

y Alicia no es su madre. Pedro es el único hermano de Salomé, se ha casado con Paola y no tiene hijos. Luciano es el padre de Tania y Esther. 7. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Maricela es tía de Esther. II. Salomé es madre de Esther. III. Alicia y Maricela son hermanas. a) Solo I b) Solo II c) Solo I y II d) Solo I y III e) Solo II y III 8. Todas las siguientes afirmaciones pueden ser verdaderas, EXCEPTO: a) Salomé es suegra de Luciano. b) Luciano es cuñado de Maricela. c) Esther es nieta de Pedro. d) Tania es nieta de Salomé. e) Pedro es tío de Alicia. ENUNCIADO 3 Bárbara no tiene hermanos ni hermanas, está casada y, ella y su esposo tienen solo dos hijos, Miguel y Sandra. Miguel es sobrino de sangre de Paula y nieto de Alfonso. Alfonso y su esposa tuvieron solo dos hijos, Francisco y su hermana, además cuatro nietos en total, dos niños y dos niñas. Olga es la abuela de Sandra. 9. Todas las siguientes afirmaciones son verdaderas, EXCEPTO: a) Alfonso es suegro de Bárbara. b) Alfonso es abuelo de Sandra. c) Olga es esposa de Alfonso. d) Paula es cuñada de Bárbara. e) Francisco es padre de Sandra. 10. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Paula tiene un hijo y una hija. II. Paula tiene solo una sobrina de sangre. III. Miguel tiene exactamente dos primos de sangre. a) Solo I b) Solo II c) Solo I y II d) Solo I y III e) Todas ENUNCIADO 4 Diana y Félix se casaron y solo tuvieron tres hijos. Luis, Cecilia y Susana. Diana y Félix son padres de la madre de Armando. Armando es hijo de Walter y de la hermana de Cecilia. Mariana es hermana de Armando y su bisabuelo materno se llama Renán, quien tuvo solo un hijo varón, pero no tuvo hijas.

SEGUNDOAÑO

22

11. Se deduce con certeza que: I. Luis es nieto de Renán. II. Diana es madre de Mariana. III. Cecilia es tía de Mariana. a) Solo I y II b) Solo I y III c) Solo II y III d) Todas e) Ninguna 12. El hijo del abuelo de Luis puede ser: a) Renán b) Félix c) Luis d) Armando e) Walter 13. El único hijo varón del abuelo materno de Armando es: a) Félix b) Armando c) el tío de la hija de Armando d) Luis e) el padre de Mariana ENUNCIADO Diana y Félix se casaron y solo tuvieron tres hijos: Luis, Cecilia y Susana. Diana y Félix son padres de la madre de Armando. Armando es hijo de Walter y de la hermana de Cecilia. Mariana es hermana de Armando y su bisabuelo materno se llama Renán, quien tuvo solo un hijo varón, pero no tuvo hijas. Se deduce que: I. Luis es nieto de Renán II. Diana es madre de Mariana III. Cecilia es tía de Mariana a) I y II b) I y III c) II y III d) Todas e) Ninguna El hijo del abuelo de Luis es: a) Renán b) Luis c) Walter d) Félix e) Armando

ARITMÉTICA


23

sesión 01: valor absoluto

SEGUNDOAÑO

24


25

Ejemplos:

SEGUNDOAÑO

26

EJERCICIOS 1. Encuentra el valor de la expresión que se da a continuación para

2. Encuentra el valor de la expresión que se da a continuación para

3. Resuelve:

4. Encuentra el valor de la expresión que se da a continuación para

5. Halla la suma de las soluciones de:

6. Resuelve:

7. Resuelve:

8. Resuelve:

9. Resuelve e indica uno de los intervalos de:

4; 3; 5:x y z x y z= - = = - - +

.3; 2; 1: .

x yx y z

z= - = = -

2 3 9x x- = -

1; 7; 3: 2x y z x y z= = - = - - + -

8 4x- =

( ) 23 16 0x x+ + =

24 2x x- ³ +

5 2 4x - =

3 2 13x - =


27

SESION 2: RAZONES Y PROPORCIONES

SEGUNDOAÑO

28


29

SEGUNDOAÑO

30

EJERCICIOS 1. Las edades Las edades de

Mercedes y Javier son como 4 es a 5 respectivamente. Si Javier tiene 20 años, ¿cuántos años tiene Mercedes?

2. Si: Hallar:

3. Las edades de José y Luis están en la relación de 5 a 3, respectivamente. Si dentro de 20 años sus edades sumarán 80, halla la razón aritmética de dichas edades.

4. La razón geométrica de dos

cantidades es , halla dichos

números si la razón aritmética de estos es 125.

5. En una fiesta se observa que por

cada 7 hombres hay 5 mujeres, si en un determinado momento 45 hombres y 15 mujeres no bailan, ¿cuántas personas hay en dicha fiesta?

6. En una serie de razones

geométricas equivalentes, los consecuentes son 3; 5 y 7. Si la diferencia entre los dos antecedentes mayores es 18, calcula el menor de los antecedentes.

7. Si: , además

.Calcula:

PRACTIQUEMOS 1. Halla la media diferencial de 22,5

y 17,7. A) 18,5 B) 19,1 C) 21,3 D) 20,9 E) 20,1

2. Halla la cuarta diferencial de 67,8; 49,3 y 59,5. A) 87 B) 38 C) 39 D) 40 E) 41

3. Calcula la tercera proporcional de 27 y 45. A) 25 B) 45 C) 75 D) 90 E) 100

4. Si a es a b como 11 es a 5 y a + b = 80. Halla su razón aritmética. A) 30 B) 25 C) 7 D) 45 E) 20

5. Dos números son tales que están en la relación de 5 a 7 y su producto es 560. Halla su razón aritmética. A) 24 B) 48 C) 20 D) 8 E) 10

6. En una proporción aritmética continua, la suma de términos extremos es 20, ¿cuánto es el doble de la media diferencial? A) 15 B) 10 C) 18 D) 20 E) 25

7. En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en la relación de 4 a 9,

2 9 7 23 12x y z

y+ + +

= = =

x y z+ +

94

A C E kB D F= = =

15( ) ( ) ( ) 3A B x C D x E F+ + + =3 3BxDxF AxCxE+


31

siendo su suma 39. Halla la media proporcional. A) 12 B) 15 C) 18 D) 24 E) 27

8. Las edades de Juan y Pedro están en la relación de 3 a 4. Si hace 20 años la relación fue de 2 a 1, ¿cuántos años tiene Pedro si es el menor? A) 20 B) 30 C) 40 D) 14 E) 18

9. Las edades de Frank y Carlos están en la relación de 2 a 3 y dentro de 6 años sumarán 42. Calcula dentro de cuántos años estarán en la relación de 7 a 9. A) 9 B) 10 C) 11 D) 8 E) 12

10. En una fiesta por cada 5 varones hay 3 mujeres y por cada 2 personas que están bailando 3 no bailan. ¿En qué relación están los hombres y mujeres que no bailan? A) 13 a 5 B) 17 a 8 C) 17 a

7 D) 15 a 7 E) 8 a 7

11. La razón de x a y es 343 veces la razón de y2 a x2, entonces la razón de x a y es: A) 5 B) 5/2 C) 6 D) 7/2 E) 7

12. Si: y

Calcular: A) 20 B) 40 C) 60 D) 80 E) 30

13. Si: calcula:

14. Si:

halla: 15. Si a y b están en la relación de 13

a 7 y su diferencia es 72. Halla el menor de ellos. A) 85 B) 84 C) 83 D) 91 E) 77

16. Si a y b son proporcionales a 8 y 3; además su razón aritmética es 70. Halla el mayor de ellos. A) 119 B) 118 C) 112 D) 116 E) 110

17. La razón geométrica de dos números es 7/13 y su razón aritmética es 42. Halla la suma de dichos números. A) 91 B) 140 C) 147 D) 147 E) 126

18. 15. Las edades de Andrea y Melissa están en la relación de 8 a 9. Si dentro de 12 años sus edades sumarán 75 años. Halla la diferencia de sus edades. A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6

19. Las edades de Carol y Roger están en la relación de 5 a 9. Si dentro de 15 años sus edades sumarán 86. Halla la diferencia de sus edades. A) 10 B) 16 C) 18 D) 15 E) 8

20. En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 51 y la diferencia de los mismos es 45. Halla la media proporcional. A) 18 B) 15 C) 12 D) 9 E) 6

21. El valor de la razón de una proporción geométrica es 5/9. Si

75

a ba b+

=- 2 3 45a b+ =

3 2a b+

2 3 5a b c= =

3 82a bc a b+- -

4 3 8 24 4 15

a b ca b+ +

= = =- +

a b c+ +

SEGUNDOAÑO

32

el producto de los antecedentes es 1800 y la suma de los consecuentes es 162, halla la diferencia de los antecedentes.

A) 28 B) 34 C) 30 D) 36 E) 32

SESION 3: MAGNITUDES PROPORCIONALES


33

SEGUNDOAÑO

34


35

EJEMPLOS: 1. Si A es IP a C2, calcula A cuando

C = 9, si cuando A = 10 ; C = 5.

2. El precio de un diamante es proporcional al cubo de su peso. Si un diamante de 5 gramos cuesta S/.1500, ¿cuánto cuesta un diamante que pesa 3 gramos?

3. Reparte proporcionalmente 300 a

los números 2n y 2n + 1.

4. Se reparten 100 caramelos en forma DP a m2, 2m y 1; siendo m un número natural. Si al hacer el reparto la mayor cantidad es 64, halla m, siendo además m>2.

5. Se reparten 29 700 DP a todos los números impares de 2 cifras. ¿Cuánto le tocó a 51?

6. Con 6 hombres o 15 mujeres se

puede hacer una obra en 24 días. ¿Cuántas mujeres habrá que agregar a un grupo de 4 hombres para hacer dicha obra en 18 días?

7. La eficiencia se mide en puntos y

es DP a los años de servicio e IP a la raíz cuadrada de la edad del trabajador. Se sabe que la eficiencia de Juan es de dos puntos cuando tiene un año de servicio y 25 años de edad. ¿Cuál será su eficiencia a los 36 años?

SEGUNDOAÑO

36

8. Sabiendo que x es IP a y, halla x cuando y = 64, si cuando x = 8, y vale 392. A) 49 B) 55 C) 92 D) 50 E) 48

9. Si A DP B2 y cuando A = 8, B = 3; halla B cuando A = 216.

A) 3 B) C)

D) E) 9

10. Se desea repartir 6644 DP a 4/5; 7/3 y 2/9. Indica la menor parte. A) 339 B) 345 C) 440 D) 113 E) 203

11. Al repartir P DP a los números 3; 5 y 9, se obtuvo como diferencia entre la mayor y menor cantidad 300. Halla P. A) 730 B) 300 C) 800 D) 850 E) 680

12. Si A es DP con B; halla: x + y – z A x 5 25 Z B 60 6 y 12

A) 80 B) 75 C) 70 D) 60 E) 90

13. A es DP a C e IP a B. Halla A cuando B = 6 y C = 18; si cuando A = 36; B = 12 y C = 24. A) 55 B) 52 C) 53 D) 54 E) 18

14. M es DP con N e IP con Q; cuando Q es 3/2, M y N son iguales. ¿Cuál es el valor de N cuando M es 1 y Q es 12?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15

15. Reparte 1110 DP a 1010; 1011 y 1012. Halla la mayor cantidad repartida. A) 900 B) 1000 C) 950 D) 1005 E) 1050

16. Tres hermanos deben repartirse una herencia proporcionalmente a sus edades que son 3; 7 y 8 años. Como el reparto se hizo dos años después, el mayor recibió S/.5000 menos. La herencia es: A) S/.144 000 B) S/.180 000 C) S/.150 000 D) S/.160 000 E) S/.126 000

3 A

2 33 3

6 2


37

ACTIVIDAD ADICIONAL

SEGUNDOAÑO

38


39

II BIMESTRE RM Y ARITMETICA SEGUNDO AÑO

Documents

Transcript of II BIMESTRE RM Y ARITMETICA SEGUNDO AÑO