FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů

1

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů

Prof. Ing. Josef Jíra, CSc. Přednáška 1.

Prof. Ing. Josef Jíra, CSc.

S T A T I K A

Fakulta dopravní ČVUT Praha Na Florenci 25, Praha 1

Tel. 224 214 605

E-mail [email protected]

APLIKOVANÁ MECHANIKA

2

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika

Přednáška 1.

3


Přednáška 1.

Mechanika

klasická( Newtonova )

relativistická( Einsteinova )

kvantová( Planckova )

Pro technika je důležité:

● umět problém dobře fyzikálně formulovat do matematického tvaru

● výsledek dobře fyzikálně vyložit, rozpoznat podstatné vlivy a tomu uzpůsobit řešení daného problému.

4


Přednáška 1.

1. ZÁKLADNÍ POJMY

Kontinuum je spojité prostředí, jehož vlastnosti lze popsat matematickými funkcemi.

Těleso je souvislá množina geometrických bodů v trojrozměrném Euklidovském prostoru, tzn., že každé dva body tělesa lze spojit čarou, jejichž všechny body patří do tělesa. Těleso má vnitřní body (tzn., že existuje okolí, jehož všechny body patří do tělesa) a hraniční body (jakékoli okolí má body patřící do tělesa a body, které do tělesa nepatří ).

5


Přednáška 1.

Prostor je geometrické kontinuum, v němž hmota existuje. Lze v něm definovat délky [ m ] a jejich součiny.

Euklidovský prostor prostor, kde metrika je definována jako vzdálenost dvou libovolných bodů A a B:

kde jsou souřadnice bodů v trojrozměrném prostoru.

2B

iAi xxs

Bi

Ai xx ,

6


Přednáška 1.

z

x

y

z

y

x

pravotočivý souřadnicový systém( obvyklý )

levotočivý souřadnicový systém

Kartézský souřadnicový systém

Poloha a pohyb hmotného objektu jsou vztaženy k souřadnicovému systému (SS). Obvyklý souřadnicový systém používaný v mechanice je pravoúhlý, přímočarý, tzv. kartézský.

7


Přednáška 1.

Hmota je ve fyzikálním smyslu všechno, co podléhá základním zákonům mechaniky. V klasické ( Newtonově ) mechanice se hmota řídí Newtonovými zákony. Mírou množství hmoty je hmotnost ( skalár ) [ kg ].

Hmotný objekt je geometrický objekt s přiřazenou hmotností. Podle velikosti a tvaru lze rozdělit hmotné objekty takto:

Hmotný objekt

Hmotný bodbod s

přiřazenou hmotností

Hmotná křivkageometrické body křivky

nahrazeny hmotnými body

Hmotné tělesogeometrické těleso, jehožobjem je vyplněn hmotou

8


Přednáška 1.

Dokonale tuhé těleso je hmotné těleso, které se účinkem sil nedeformuje.

Tuhá deska je hmotné těleso, jehož jeden rozměr je podstatně menší než druhé dva rozměry. tento rozměr je tloušťka desky t<a,b. Je zvláštním případem tuhého tělesa.

Čas je negeometrické kontinuum, v němž se vyskytuje hmota [ 1s ].

t

a

b

9


Doc.Ing. Michal Micka, CSc. Přednáška 1.

SÍLA = VEKTOR VEKTOR

• Uspořádaná trojice reálných čísel, pro kterou je definována rovnost, součet a součin se skalárem. Značíme ho např. A nebo .• Vektor se znázorňuje úsečkou určité délky a určitého (orientovaného) směru.• Délkou (modulem) vektoru nazýváme jeho absolutní hodnotu

• Nulové vektory mají absolutní hodnotu rovnou nule a směr neurčitý.• Radiusvektory jsou vektory s počátečním bodem v počátku souřadnic.• Jednotkové vektory mají absolutní hodnotu rovnou jedné.• Kolineární vektory jsou rovnoběžné a touž přímkou.• Opačné vektory jsou si rovny, mají-li stejné délky a stejné (orientované) směry.

AA

A

10


Přednáška 1.

VYJÁDŘENÍ VEKTORU POMOCÍ SLOŽEK

x

y

z

Ax

Ay

Az

A

Průměty vektoru A do tří os soustavy souřadnic x,y,z dávají vektorové složky vektoru A, které se označují Ax, Ay, Az. Má-li počáteční, resp. koncový bod vektoru A souřadnice x1, y1,z1, resp. x2, y2, z2, platí

Čísla Ax, Ay, Az se nazývají souřadnice vektoru A. Píšeme také

, , , 121212 zzAyyAxxA zyx

zyx AAAzzyyxx ,,,, 121212 A

1,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1 kji

kji zyxzyx AAAAAA ,,A

AAAA zyx 222A

Obdobně pro jednotkové vektory

Vektor A můžeme tedy zapsat těmito způsoby:

Absolutní hodnota (Pythagorova věta v prostoru)

11


Přednáška 1.

SMĚROVÉ KOSINY

Úhly, které svírá vektor A s kladnými směry os souřadnic, dostaneme z tzv. směrových kosinů vektoru A

AAA

AAA

z

y

x

cos

cos

cos

x

y

z

Ax

Ay

Az

Práce s vektory – viz vektorový počet

12


Přednáška 1.

Axiomy statiky

A.1. Axiom o rovnováze sil Dvě síly a , které působí na tuhé těleso v jednom paprsku, mají stejnou velikost, ale jsou opačně orientovány, jsou navzájem v rovnováze (jejich účinek se ruší).Z axiomu o rovnováze sil plyne pro tuhá tělesa 1. Věta o posunu působiště síly:Účinek síly na tuhé těleso se nezmění, posune-li se její působiště po paprsku, v němž síla působí.! Tato věta neplatí pro netuhá ( tvárná ) tělesa !

F

F

Stejně velké opačné síly působící v jednom paprsku

F F

13


Přednáška 1.

A.2. Axiom o rovnoběžníku sil Výslednicí dvou různoběžných sil a je síla , jejíž vektor je určen úhlopříčkou rovnoběžníku, jehož stranami jsou vektor sil a .

1F 2F R1F 2F

Grafickým znázorněním vektorového součtu sil je tzv. složkový obrazec.

1F1F

2F

2F

RR

1F

2F

R1F

2F

R

Složkový obrazec- nezáleží na pořadí skládaných

vektorůRovnoběžník sil

14


Přednáška 1.

2. ÚČINKY SÍLY A DVOJICE SIL

2.1. Statický moment síly

Definice statického momentu síly k bodu ( k momentovému středu):

Vektorový součin polohového vektoru s počátkem v bodu S a koncem v působišti síly a vektoru síly nazveme moment síly k bodu S.

sM

r

FS

FS ,0r

FrMS

Složky vektoru vyjádříme pomocí rozvoje determinantu

SM

zyx

zyxS

FFF

rrr

kji

M det

15

Vektor směřuje na tu stranu, z níž se otáčení jeví kladné. Jednotkou je

[ Nm, kNm ].


Přednáška 1.

sM

r

FS

FS ,0r

zyx

zyxS

FFF

rrr

kji

M det

kde jsou jednotkové vektory ve směru souřadných os, tedy

kji ,,

kMjMiM

krFrFjrFrFirFrFM

zyx

yxxyxzzxzyyzS

Velikost momentu je FrFrMS

0

sinS

M SM

SM

Dřívější definice: Statickým momentem síly F k libovolnému bodu A nazýváme součin velikosti síly F a kolmé vzdálenosti r0 paprsku síly od bodu A.

Pravidlo pravé ruky (k určení směru a smyslu momentu)

16


Přednáška 1.

Moment síly k ose (mimoběžné přímce ).

Momentová osa je mimoběžná přímka, k níž moment vztahujeme.

Velikost momentu síly k ose je skalár, daný smíšeným součinem jednotkového vektoru ve směru osy otáčení polohového vektoru , který má počátek kdekoli na ose otáčení a vektoru síly .

e

r

F

O ( momentová osa )

Ms M0

r r

0r

F

sM

FreM 0 [ Nm, kNm ]

coscossin resp. cos1 000 FrFrMMMeM ss

17


Přednáška 1.

je-li jednotkový vektor, pak zyx eeee ,,

zezyeyxex

zyxxyyxzzxxzyyz

zyx

zyx

zyx

eMeMeM

erFrFerFrFerFrF

FFF

rrr

eee

M

0

Velmi často bývá výhodné vypočítat statický moment síly k bodu nebo k ose tak, že vektor síly rozložíme na složky a sečteme jejich momenty k ose.

F zyx FFF ,,

18


Přednáška 1.

Momentová věta ( Varignonova )

Statický moment soustavy sil k bodu ( k ose ) je dán statickým momentem výslednice k témuž bodu ( k téže ose ).

jsou 2 různoběžné síly v rovině ( mohou mít stejný průvodič ). 2,1 iF i

Důkaz:

Podle axiomu o rovnoběžníku sil 21 FFF r Dle momentové věty platí

2121 FrFrFrMMM

0 , 021 rFFFr

rFFFFFFF 2121 0

proto musí platit

2F

1F

r

S

rF

19


Přednáška 1.

2.2. Dvojice sil Dvě stejně veliké rovnoběžné síly opačně orientované tvoří dvojici sil. Její moment k libovolnému bodu roviny je konstantní:

hFM ( h = rameno sil )

F

F

S

1h 2h

hDůkaz: vyjádříme moment dvojice sil k bodu S

hFhhFhFhFM 2121

20


Přednáška 1.

Silové dvojici lze přiřadit vektor umístěný v libovolném bodě roviny (tzv. volný vektor )

•kolmý na rovinu dvojice sil•který má velikost •směřuje na tu stranu roviny, z níž se jeho otáčení jeví kladné

FrM D

hFM

F F

FF

DM

DM

Smysl a směr vektoru dvojice sil

Dvojici sil lze přemístit do libovolné jiné roviny, která je s původní rovinou silové dvojice rovnoběžná.

F

DM

r

h

F

21


Přednáška 1.

2.3. Redukce síly k boduRedukcí síly rozumíme úlohu, která vyjadřuje statický účinek síly na daný bod tělesa.

Výsledný účinek síly na bod ( který neleží na paprsku této síly) je silový a momentový.

F

F

F

SM FDM

r

S

h

F S

Vedeme bodem S paprsek rovnoběžný s paprskem síly a na tento paprsek umístíme dvě síly - a .Obě síly splňují axiom o rovnováze dvou sil a původní silová soustava se vlastně nezměnila, neboť jsme přidali nulovou sílu. Potom síly - a tvoří silovou dvojici a zbývá síla + s působištěm v bodu S .

F F

F FhFM FD

F

22


Přednáška 1.

Účinek síly na bod S je pak

• silový (posuvný) vyjádřený vektorem s působištěm v bodě S

• momentový ( otáčivý ) určený statickým momentem

síly k bodu S

F

SM

F

FrMM FDs

23


Přednáška 1.

Klasifikace silových soustav

Při vyšetřování silových účinků se používají následující termíny:• Soustava sil - rozumíme tím seskupení sil působících na hmotný objekt.• Svazek sil - síly působí v paprscích, které procházejí jedním bodem.• Obecná soustava sil - síly leží na paprscích, které neprocházejí jedním bodem (v prostoru např. mimoběžky).• Soustava rovnoběžných sil - paprsky sil jsou rovnoběžné, společný bod mají v nekonečnu.• Rovinná soustava sil - paprsky působících sil leží v jedné rovině.

24


Přednáška 1.

Základní úlohy řešení silových soustav

Určení výsledného účinku soustavy sil

Jedná se o nahrazení obecné soustavy sil soustavou sil

s nejmenším počtem členů.

Výsledkem skládání sil (proces nahrazování) je jediná síla, nazýváme ji výslednicí.

Výsledkem je větší počet členů (2 mimoběžné síly), nazýváme jej výsledný účinek soustavy.

25


Přednáška 1.

Stanovení podmínek ekvivalence

Znamená to nalezení takových 2 silových soustav, které mají při působení na totéž těleso stejný (ekvivalentní) účinek.

Stanovení podmínek rovnováhy

Znamená to nalezení takových 2 soustav sil, jejichž výsledný účinek je nulový.

Tyto 3 základní úlohy se nazývají také geometrie sil.

26

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů

Přednáška 1.

GEOMETRIE SIL

x

y

0

F1

F2

F3

F4

F2F1

F3

F4

0

ROVINNÁ SOUSTAVA SIL

SVAZEK SIL V ROVINĚ OBECNÁ SOUSTAVA SIL V ROVINĚ

27


Přednáška 1.

SVAZEK SIL V ROVINĚ

x

y

0

F

Fx

Fy

Svazek sil v rovině je soustava sil, které leží ve společné rovině a protínají se v jednom bodě. Proto nevyvozují řádný momentový účinek.

Každá síla se rozloží pomocí směrových kosinů do složek ve směru souřadnicových os.

V rovině platí sincos

cosFFx sincos FFFy

Výslednice rovinného svazku sil

28


Přednáška 1.

x

y

0

F1

F2

F3

F4

F1

F2

F3

F4

Fr0

Složkový obrazec

29


Přednáška 1.

x

y

1F

2FiFiyF

ixFi

i

Určení výslednice

1

n

i

ir FF

Složky výslednice ve směru souřadnicových os dostaneme jako součet složek jednotlivých sil ve směru těchto os.

n

iii

n

iiiry

n

iiirx FFFFF

111

sincos cos

velikost výslednice 22 ryrxr FFF

směrové kosiny výslednicer

ryrr

r

rxr

F

F

F

F sin cos cos

30


Přednáška 1.

Ekvivalence v rovinném svazku sil

V případě rovinného svazku sil se jedná o nahrazení známé soustavy sil v rovině (resp. její výslednice) dvěma silami působícími v daných paprscích protínajících se v jednom bodu. Za počátek souřadnicového systému lze opět zvolit průsečík těchto paprsků a řešíme proto pouze rovnost výslednic sil.

2

11

2

11

j

jy

n

iiy

jjx

n

iix RFRF

V případě rovinného svazku lze sílu rozložit jednoznačně jen do dvou směrů.

31


Přednáška 1.

Rovnováha v rovinném svazku

Rovinný svazek sil je v rovnováze, když její výsledný silový účinek je nulový. Dostačují dvě součtové podmínky rovnováhy:

n

iii

n

iii FF

11

0sin 0cos

Svazek sil, který není v rovnováze, uvedeme do rovnováhy přidáním maximálně dvou sil. Opět v případě svazku sil pouze součtové podmínky rovnováhy. V rovnováze sil musí být výsledný silový účinek nulový, tedy i složky výslednice musí se rovnat nule.

0 0 2

11

2

11

j

jy

n

iiy

jjx

n

iix RFRF

32


Přednáška 1.

OBECNÁ ROVINNÁ SOUSTAVA SIL

Paprsky všech sil leží v jedné rovině, avšak obecně netvoří svazek sil, tj. nemají společný průsečík.

Za souřadnicovou rovinu zvolíme xy. Provede se redukce síly v rovině k počátku souřadnic. Výsledkem je rovnoběžně posunutá síla tak, aby statický moment síly k bodu 0 byl roven

iii FrM 0

Pro jednu sílu vyjádříme statický moment ve složkách síly takto

iF

ixF

iyF

iF

iM 0

0

y

x

ir

i i

i

y

x

iiiiiiiiiiixiyzii yxFyxFyFxFMM cossincoscos0

33


Přednáška 1.

Určení výslednice v rovinné soustavě sil

Složky výslednice se dostanou opět jako součet složek všech sil v soustavě a výsledný moment jako součet momentových účinků všech sil k počátku souřadnic.

Rozepsáno ve složkách

n

iiiiii

n

iiiiiiz

n

iii

n

iiiry

n

iiirx

yxFyxFMM

FFFFF

110

111

cossincoscos

sincos cos

Výslednicí je • jediná síla v rovině xy • jediná silová dvojice , přičemž je vektor je kolmý na rovinu xy .

rF0M0M

sincos cos 22

r

ry

r

rxryrxr

F

F

F

FFFF

34


Přednáška 1.

Poloha výslednice se určí ze vztahu

yFxFM rxry 0 což odpovídá rovnici přímky 0 cbyax

Můžeme tedy určit dva body na osách x a y , kterými prochází přímka, na které výslednice leží:

rxF

M y x 0

00

ryF

M x y 0

00 na ose x

na ose y

x

y

x0

y0

0

Fr

35


Přednáška 1.

Rovnice pro výpočet výsledného účinku můžeme zapsat v maticovém tvaru

1,,31,3 nn

iFAS

kde

T

ryrx MFFS 0,,

nnnn

n

n

yxyx

A

coscos.....coscos

cos.....cos

cos.....cos

1111

1

1

36


Přednáška 1.

Ekvivalence v obecné rovinné soustavě sil

Hledáme velikosti sil v daných paprscích, které jsou ekvivalentní s výslednicí rovinné soustavy sil . Jsou jen 3 nezávislé podmínky ekvivalence a proto počet neznámých je 3 a matice je typu (3,3).

jRrF

A

1,33,31,3

3 RAS kde TRRRR 321 ,,

a inverzí

SAR1

3

s podmínkou řešitelnosti 0det 3 A

Rozepsáno ve složkách

33333

22222111110

332211

332211

cossin

cossincossin

sinsinsin

coscoscos

yxR

yxRyxRM

RRRF

RRRF

ry

rx

37


Přednáška 1.

Sílu v rovině lze rozložit nejvýše do 3 různoběžných směrů, které se neprotínají v jednom bodě.

Lze zvětšovat počet momentových podmínek ekvivalence na úkor podmínek součtových, lze tedy napsat 3 momentové podmínky, které však musí být napsány ke 3 bodům neležícím na jedné přímce.

38


Přednáška 1.

Rovnováha v obecné rovinné soustavě sil

Soustava rovinných obecných sil je v rovnováze, když její výsledný silový a momentový účinek je nulový. To je splněno za podmínky, že nulové jsou složky výslednice ve směru souřadnicových os a také výsledný moment k počátku souřadnic je nulový.

V maticovém zápisu 1,31,,3

0

nn

iFA

Jsou pouze 3 podmínky rovnováhy: 2 součtové ( lze je nahradit momentovými podmínkami ) a 1 momentová:

n

iiiiii

n

iii

n

iii yxFFF

111

0cossin 0sin 0cos

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů

Documents

Transcript of FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů