Základy mechaniky, 8. přednáška

Základy mechaniky, 8. přednáškaMechanické vlastnosti materiálů.

Obsah přednášky :

tahová zkouška,základní mechanické vlastnosti materiálu,prodloužení při tahu nebo tlaku, potenciální energie,řešení staticky neurčitých úloh

Doba studia :

asi 1 hodina

Cíl přednášky :

seznámit studenty se základními rysy chování materiálupod mechanickým zatížením, s využitím těchto vlastnostípro provádění technických výpočtů

Základy mechaniky, 8. přednáška

Základní mechanické vlastnosti pevných materiálůvyjadřují jejich schopnost odolávat mechanickému zatížení.Zjišťují se tahovou zkouškou.

Tahová zkouška

Při tahové zkoušceje vzorek materiálu namáhán tahem.Přitom se snímá :- zatěžující síla F [N],

- prodloužení vzorku [m, mm],- popřípadě jeho příčné zúžení.

F

F

F

Základy mechaniky, 8. přednáškaTahová zkouška

Aby výsledky tahové zkoušky, prováděné na různých vzorcích, byly navzájem srovnatelné, provádějí se dva přepočty :

F

F

S

0

S

F

0

kde je :S - příčná průřezová plocha vzorku [m2, mm2], - tahové napětí [Pa, MPa] - tato veličina již

bezprostředně vypovídá o namáhání materiálu,0 - původní délka vzorku [m, mm], - poměrné prodloužení [-].

poznámka k jednotce napětí :

2m

NPa

2mm

NMPa

pascal megapascal

S


Na průběhu závislosti - lze pozorovat dva odlišné úseky.V prvním úseku je závislost prakticky lineární,ve druhém úseku výrazně nelineární.Na křivce jsou dva důležité body :Re - mez kluzu - hranice lineárního průběhu [Pa, MPa],e - poměrná deformace na mezi kluzu [-],Rm - mez pevnosti - maximální možné

namáhání materiálu [Pa, MPa],m - poměrná deformace na mezi pevnosti [-].

F

F

0

Re

Rm

e m

Hookův zákon

Lineární průběh je vyjádřenrovnicí přímky :

Ekde :E - modul pružnosti v tahu [Pa, MPa]

je směrnicí přímkyv lineární části průběhu.

Lze jej též vyjádřit jako :E

e

ReE

d-d


Jak již bylo zmíněno, současně s prodlužovánímdochází k příčnému zúžení vzorku.Poměrná deformace tohoto příčného zúžení p je menšínež poměrná deformace podélného prodloužení .

Re

e

E

d

0

p d

d

kde : - Poissonovo číslo [-]

Rm

m

F

F

Základy mechaniky, 8. přednáškaZákladní mechanické vlastnosti

Na základě tahové zkoušky tedy můžeme definovatpět základních mechanických vlastností :Re - mez kluzu - hranice lineárního průběhu [Pa, MPa],Rm - mez pevnosti - maximální možné namáhání materiálu [Pa, MPa],m - poměrné prodloužení na mezi pevnosti [-],E - modul pružnosti v tahu [Pa, MPa], - Poissonovo číslo [-].

Re

e

E

Rm

m

Např. pro ocel :E = 210 000 MPa = 0,3Re, Rm, m - závisí na druhu oceli.

Základy mechaniky, 8. přednáškaPoznámka ke tvaru zkušebního vzorku.

Aby bylo eliminováno nežádoucí chování materiáluv místě jeho uchycení ve zkušebním stroji,má zkušební vzorek trochu jiný tvar.

měř

ený

úsek

vzo

rku

S1

Základy mechaniky, 8. přednáškaPoznámka k metodice tahové zkoušky.

Hodnoty napětí a poměrné deformace, zjištěné při tahové zkoušce, se někdy označují jako tzv. „inženýrské hodnoty“. Toto označení odráží způsob, jak byly zjištěny.

F

F

01

SS

F

0

kde je :S - původní (počáteční) průřezová plocha vzorku,0 - původní (počáteční) délka vzorku.Správný výpočet by však měl být :

1S

F

1

kde je :S1 - deformovaná (zúžená) průřezová plocha,

1 - deformovaná (prodloužená) délka vzorku.

Např. : Počáteční délka zkušebního vzorku je 0 = 100 mm.

Vzorek v průběhu zkoušky prodloužíme na 1 = 110 mm.

Při dalším prodloužení o = 1 mm by poměrná deformaceměla být určena jako :

110

1

1

Je zřejmé že *> a *<.Tzv. „inženýrské hodnoty“ a se proto používají pro všeobecné informativní potřeby,zatímco např. za účelem počítačového modelování se používají přesné hodnoty * a *.

Základy mechaniky, 8. přednáškaProdloužení při tahu / tlaku.

F

F

0

S

Z uvedených vztahů je patrné, že prodloužení tělesa,které má charakter tyče, prutu nebo drátu,od tahového nebo tlakového zatížení je :

S

F

E

1

E 000

FSE

0

Někdy je účelné vyjádřit tzv. „tahovou tuhost“ tyče :

0

SEk

mm

kN

m

kN

mm

N

m

N,,,

Pak platí :k

F

nebo : kF

Poznámka : Tyto vztahy platí samozřejmě pouze pro namáhání v lineární části tahové křivky.

Základy mechaniky, 8. přednáškaPotenciální energie napjatosti.

S deformací je spojena potenciální (deformační) energie.Ta je rovna práci, vykonané při deformaci.

Je-li síla F, nutná k prodloužení tyče o y :

ykF

y

AEP

Pak práce (a tedy i potenciální energie) je :

FkdyykdyFEA 212

21

00

P

0

S

Je-li dále objem tyče V=S·0, pak potenciální energie na objemovou jednotku materiálu, tzv. měrná potenciální energie, je :

2

1221

000

2

0

P1P EE

2

1

S

SE

2

1

V

EE

Poznámka : Je třeba si uvědomit, že síla F není konstantní.Pro prodloužení o první mm stačí jen velmi malá síla.Na druhý mm je již síla větší. Teprve na konci prodlužování má síla konečnou hodnotu F = k·.

[N·m = J]

[J/m3]

F

Základy mechaniky, 8. přednáškaŘešení staticky neurčitých úloh.

Poznatků o deformaci můžeme využít např. pro řešení staticky neurčitých úloh.

E1,

S1,

1

E2,

S2,

2

Těleso je zavěšeno na dvou nestejných závěsech.E1, E2 - moduly pružnosti materiálů obou závěsů,S1, S2 - průřezové plochy obou závěsů,

1, 2 - délky obou závěsů,(v tomto příkladu jsou obě délky stejné,to však není podmínkou).

Těleso je vedeno tak, že se může posunout svisle,nemůže však vybočit do strany ani se naklonit.Na těleso působí zatěžující síla F.Úkolem je stanovit reakce v obou závěsech R1 a R2.V rovnici rovnováhy pro svislý směr :

FRR 21

jsou však dvě neznámé, jež z této rovnice nelze jednoznačně určit.Prodloužení obou závěsů je shodné :

2

2

1

1

k

R

k

R

a tedy : 11 kR 22 kR

kde :1

111

SEk

2

222

SEk

R1 R2

jsou tahové tuhosti závěsů

F


Poznatků o deformaci můžeme využít např. pro řešení staticky neurčitých úloh.

F

E1,

S1,

1

E2,

S2,

2

Rovnici rovnováhy lze pak napsat ve tvaru :

R1 R2

odtud pak snadno :

21 kk

F

11 kR 22 kR

Fkk

Fkk

FRR

21

21

21

hledané reakce pak jsou :

neboli :F

kk

kR

21

11

F

kk

kR

21

22

Protože primární neznámá v rovnici rovnováhy je deformace ,bývá někdy tento postup označován jako deformační metoda.

Síla F se tedy rozdělí na oba závěsy v poměru jejich tuhostí k1 a k2.Čím větší tuhost, tím větší díl zatížení závěs přenáší.


Deformační metodou můžeme např. řešit staticky neurčité prutové soustavy.

2

1

B

AC

F

Staticky určitá prutová soustava, zatížená silou F - vyřešte osové síly v prutech 1 a 2.



Staticky určitá prutová soustava, zatížená silou F - vyřešte osové síly v prutech 1 a 2.

2

1

B

AC

F

R1

R2

0RF

0RRF

2

21

sincos

cossin

Uvolníme styčník C a sestavíme dvě rovnice rovnováhy.

0F

0F

iy

ix

_

_

tan

cossinFR1

sin

cosFR 2

Ze dvou rovnic vyřešíme dvě neznámé - osové síly R1 a R2.



Staticky neurčitá prutová soustava, zatížená silou F - vyřešte osové síly v prutech 1 až 5.

Uvolníme styčník C a sestavíme dvě rovnice rovnováhy.

0F

0F

iy

ix

_

_

2

1

B

AC

F

R1

R2

0RF

0RF

5

1iii

5

1iii

sincos

cossin

Ve dvou rovnicích rovnováhy je pět neznámých- osové síly R1, R2, R3, R4 a R5.

Toto je základní problém- příliš mnoho neznámých.




i

x

y

x·cosi

y·sini

Kromě osových sil uvažujeme také posunutí styčníku C.

Cx-posunutí

y-posunutí

Dále uvažujeme prodloužení i-tého prutu i.

i-tý prut

iii yx sincos

B

A




i

x

y

x·cosi

y·sini

Kromě osových sil uvažujeme také posunutí styčníku C.

C

i-tý prut

iii yx sincosPoznámka : Tento zjednodušený vztah pro prodloužení platí je-li posunutí x a y mnohokrát menší než délka prutu , úhel se posunutím změní jen zanedbatelně.

Dále uvažujeme prodloužení i-tého prutu i.

B

A




F

FR

Určíme vztah mezi prodloužením a osovou silou R.

SE

F

kRF

SEk

E - modul pružnosti v tahu

S - průřezová plocha prutu

- délka prutu

k - tuhost prutuCx-posunutí

y-posunutí

[N/m], [N/mm]

[Pa], [MPa]

[m2], [mm2]

[m], [mm]

B

A




Vrátíme se k rovnicím rovnováhy v již uvedeném tvaru.

2

1

B

AC

F

R1

R2

0RF

0RF

5

1iii

5

1iii

sincos

cossin

iii kR iii yx sincosOsové síly Ri jsou přímo úměrné prodloužení i.

Rovnice rovnováhy tedy po úpravách budou mít tvar :

cos

sin

Fycxb

Fybxa

5

1ii

2ika cos

5

1iiiikb cossin

5

1ii

2ikc sin

i

iii

SEk

iiii yxkR sincos

Po výpočtu posunutí x a y lze vypočíst osové síly.




Vrátíme se k rovnicím rovnováhy v již uvedeném tvaru.

2

1

B

AC

F

R1

R2

0RF

0RF

5

1iii

5

1iii

sincos

cossin

iii kR iii yx sincosOsové síly Ri jsou přímo úměrné prodloužení i.

Rovnice rovnováhy tedy po úpravách budou mít tvar :

cos

sin

Fycxb

Fybxa

Povšimneme si, že počet rovnic rovnováhyje shodný s počtem neznámých (posunutí x a y),a to nezávisle na počtu prutů.

Základy mechaniky, 8. přednáška

Obsah přednášky :

tahová zkouška,základní mechanické vlastnosti materiálu,prodloužení při tahu nebo tlaku, potenciální energie,řešení staticky neurčitých úloh

Základy mechaniky, 8. přednáška

Documents

Transcript of Základy mechaniky, 8. přednáška