Fakulta bezpečnostného inžinierstva Žilinskej univerzity v ŽilineKatedra technických vied a informatiky

Základy technických vied 1

Zhrnutie:

ZÁKLADY MECHANIKY PODDAJNÝCH TELIES

Téma 6:

ÚVOD DO MECHANIKY PODDAJNÝCH TELIES- základné pojmy a úlohy PaP, zaťaženie –

pretvorenie – napätosť, metóda mysleného rezu, hlavné druhy namáhania

Základná úloha náuky o PaP:

Analýza a kvantifikácia vnútorných silových účinkov a pre-tvorenia (deformácie) telies, vznikajúcich pôsobením von-kajších síl na poddajné telesá a definovanie zásadných súvislostí medzi nimi.

Vonkajšie zaťaženie

Pretvorenie (deformácia)

Vnútorné silya ich intenzita

Mechanické napätie

Napätosť vs. únosnosť prvku

Dva základné typy pevnostných výpočtov v PaP:

1. Priame – posudzovanie – výpočet napätí a deformácie,ktoré vzniknú v posudzovanej konštrukcii vplyvom pôsobenia vonkajších zaťažení alebo vplyvom teplotných zmien.2. Nepriame – dimenzovanie – určenie rozmerov prierezuprvkov tak, aby napätia (tzv. pevnostné dimenzovanie) alebo pretvorenie (tzv. tuhostné dimenzovanie) boli menšie, max. rovné dovoleným (DOV), resp. návrhovým (TAB) hodnotám.

Deformácia a je mierou pretvorenia telesa.

Deformácia je vzájomná zmena polohy hmotných bodov telesa.Vo všeobecnosti je sprevádzaná zmenou rozmerov, tvaru, ale aj objemu poddajného telesa.Takáto zmena môže mať charakter deformácie: dočasný (elastická, pružná) alebo trvalý (plastická deformácia).

Mechanické napätie vyjadruje intenzitu pôsobenia vnútorných síl v objeme telesa Mechanické napätie je mierou pevnosti konštrukcie.ROZPOR: v oblasti bezpečnosti konštrukcií• rozhodujúca požiadavka = spoľahlivosť - zabezpečenie spoľahlivej a bezpečnej funkcie každého prvku konštrukcie.• doplnková požiadavka = hospodárnosť - aby bola konštruk-cia aj ekonomicky optimálna (spotreba materiálu).

Oba požiadavky - spoľahlivosť a hospodárnosť - si však vzájomne odporujú. Spoľahlivosť – vedie k väčším rozmerom a kvantite použitého materiálu a tým zvýšeniu výdavkov na konštrukciu, Hospodárnosť – prináša menšie rozmery prvkov = znižovanie nákladov na ich zhotovenie, avšak istú „mieru rizika zlyhania“.

Podklady pre správne – optimálne – vyriešenie tohto rozporu ponúka náuka o PaP.

Základné pojmy:

• Pevnosť - schopnosť pevných telies odolávať pôsobeniu zaťažujúcich síl, tzn. preniesť určité zaťaženie bez porušenia integrity telesa.• Pružnosť - schopnosť pevných telies, vytvorených z konkrét-neho materiálu, nadobúdať po prerušení vonkajšieho zaťaženia svoj pôvodný tvar a rozmery.• Tuhosť - miera odporu pevných telies deformovať sa (zmeniť tvar a rozmery) v dôsledku vonkajšieho zaťaženia.• Stabilita - schopnosť pevných telies aj po ich zaťažení zacho-vať počiatočný stav tzv. pružnej rovnováhy silových účinkov na teleso pôsobiacich.

• Vnútorné sily: sú vyjadrením vnútorných silových pomerov v telese, tzn. miery toho, ako na seba navzájom pôsobia dve susediace časti (oblasti, objemy telesa) konštrukcie.

• Metóda mysleného rezu: kvantifikácia miery účinku vonkaj-ších síl na deformovaný prvok. K tomu je nutné určiť odozvu PDT na zaťaženie = určiť veľkosť vnútorných silových účinkov vo vnútri prvku . Využívame princíp mysleného rezu.

Výslednica P vnútorných síl môže mať v každom bode telesa inú veľkosť a zmysel. V PaP sa preto vyjadruje pomocou inej veličiny – tzv. mechanického napätia p. To je definované ako pomer medzi veľkosťou vnútornej sily P a plochou A, na ktorej sila pôsobí. Platí: p = P / A.

• Vonkajšie sily: sú všetky mechanické účinky prenášané na teleso z prostredia ktoré ho obklopuje. Sú vyjadrením vzájom-ného mechanického pôsobenia medzi hmotnými objektmi.

Napätie vyjadruje mieru pôsobenia vnútorných síl v telese.

Mechanické napätie a druhy napätia

Napätia označujeme písmenami p, σ, :p – tzv. všeobecné napätie; je ľubovoľne sklonené vzhľadom k rovine rezu Φ o uhol , σ – tzv. normálové napätie; je kolmé na rovinu rezu Φ - tzv. šmykové napätie; leží v rovine rezu.

Iné napätie, ako normálové (ťahové, tlakové) alebo šmykové (tangenciálne) neexistuje a v PaP sa využíva iba a .

? T

? N

? P

SF1

F2

A

T

N

P

AF1

F2

Časť I?

? p

?

F1

F2

A

S

p

F1

F2

A

Časť I

= pP.cos= . cos

= p . sin

=A

P.si= n=A

NATA

22 p

Základná merná jednotka napätia je 1 Pascal (Pa). -2

-2

[1 Pa] = [1 N.m ][1 MPa] = [1 N.mm ]

0

0

0

lim

lim

lim

A

A

A

P dPpA dAN dNA dA

T dTA dA

Všeobecný prípad namáhania - napätia, budú rovnako akovnútorné sily, v každom bode mysleného rezu rôzne.

Na každú elementárnu plôšku A môže teda pôsobiť rôzneveľká elementárna vnútorná sila P, ktorá vyvoláva v každombode prierezu aj inú veľkosť napätia.

Δ A

Δ N

Δ P Δ T

B

Δ TXY

Δ NX

Δ TXZ

B

Δ AX

y

z

x

a) b)

x x

y

z

xz

xy px

0 0 0lim ; lim ; limxy xyx x xz xz

x xy xzA A Ax x x x x x

T dTN dN T dTA dA A dA A dA

Indexy napätí: prvý index x znamená, že ide o plochu kolmú na os x; druhý index označuje smer napätia, napr. xz označuje šmykové napätie v rovine kolmej na os x, ktoré má smer osi z.

Ak teleso rozdelíme rovinou kolmou na os y, v bode B dostane-me napätia σy, yx a yz (Obr. b). Analogicky: pri rovine rezu kolmej na os z, v tom istom bode B dostaneme normálové napätie z a šmykové napätia zx a zy.

Stále sa však jedná o napätia v tom istom bode (bod B) telesa, ale sú uvažované v rôznych rezových rovinách.

τxz

σx

τxy

B B B

dAx

dAy

σy

τyz

yx

τzy

a)

σz

dAz

b) c)

τzx

PLATÍ: ak poznáme napätia v 3 navzájom kolmých rovinách, preložených bodom telesa, vieme určiť aj napätia v ľubovoľnej rovine, preloženej týmto bodom. Napätia v troch navzájom kolmých rovinách úplne definujú napätosť v bode telesa.

Obr. 1.5b

P

Px=N

Py

Pz

My

MxMz

F1

F2

S

A

Obr.6.5 b

P

M

Obr. 1.5b

P

Px=N

Py

Pz

My

MxMz

F1

F2

S

A

Obr.6.5 bObr. 1.5b

P

Px=N

Py

Pz

My

MxMz

F1

F2

A

Časť I

P

M

Jednotlivé zložky vektora výslednice P predstavujú:

• Px = N – normálová (osová) sila,

• Py = Qy, Pz = Qz – posúvajúca (priečna) sila,

• Mx – krútiaci moment,

• My, Mz – ohybový moment.

Základné druhy namáhania

Namáhanie telies v PP:

• Jednoduché (čisté, prosté)

• Kombinované (zložené)

Rozlišujeme štyri jednoduché (čisté) druhy namáhania a to :

ťah / tlak, šmyk, krútenie a ohyb.

Charakteristiky pretvorenia telies vplyvom zaťaženia alebo zmenou teploty

1. Predĺženie / skrátenie:Pomerné predĺženie:

[-]

alebo absolútne predĺženie:[m]

2. Uhlové pretvorenie:Pomerné skosenie, skos:

[-]

alebo absolútne skosenie:[m]

ll

dxdx

1 l l l

dyv

.v tg dy

3. Pomerná priečna deformácia:Priečne zúženie, rozšírenie

,

[-]

- Poissonova konštanta

- Poissonovo číslo.

y

dydy

4. Dĺžková rozťažnosť pri zmene teploty:

[m]

[-]

[1/ oC = oC-1].

. .t tl t l

.t t t

tt t

xy zm mE E

z

dzdz

/x ym /y x

4. Napätie pri zmene teploty a nemožnosti dilatácie telesa

[MPa]. . .t t tE t E

Základný vzťah napätie – deformácia, Hookeov zákon

Trhací stroj

Zariadenie pre skúšku jednoosovým ťahom

Softvér pri skúške

Hookeov zákon: vyjadruje lineárnu závislosť medzi napätím a deformáciou, ktorá je platná až po medzu úmernosti σU.

BOD U - medza úmernosti(σU, príp. RU):

BOD P - medza pružnosti(σP, príp. RP):

BOD K - medza klzu horná K a dolná K´ (σK, príp. RK):

BOD M - medza pevnosti(σM, príp. RM):

( )tg const E

A

HOOKEOV ZÁKON PRE ŤAH / TLAK:Pomer napätia a jemu prislúchajúceho pomerného predĺ-

ženia je až po medzu úmernosti konkrétneho materiálu vždy konštantný.

Pomerovou konštantou je tzv. Youngov modul pružnosti v ťahu (E).

Pre určenie napätia (platí však iba po medzu úmernosti σU) prislúchajúceho zadanej deformácii platí

hlavný zákon tzv. lineárnej PaP = Hookeov zákon pre čistý ťah / tlak.

. E

Materiálové konštanty E, G,

1. Modul pružnosti v ťahu [MPa]

• charakterizuje mieru odporu materiálu proti deformácii pri namáhaní ťahom / tlakom – tzn. pružnosť materiálu a závisí iba od druhu materiálu (húževnatý – krehký)• 1. materiálová konštanta neexistujú dva rôzne materiály, ktoré by mali rovnaký modul pružnosti E!

2. Poissonovo číslo [-]Pomer relatívneho predĺženia tyče x k jej relatívnemu prieč-

nemu skráteniu (zúženiu) y, príp. z pri jej naťahovaní vyjadru-je súčiniteľ – Poissonova konštanta m.

x

y

m

V praxi využívame jej prevrátenú hodnotu Poissonovo číslo μ

1 y

xm

(0 < < 0,5)

Poissonovo číslo = 2. materiálová konštanta – tzn. neexistujú dva rôzne materiály, ktoré by mali rovnakú hodnotu . Závisí iba na mechanických vlastnostiach materiálu.

3. Modul pružnosti v šmyku [MPa]• závislosť medzi šmykovým napätím a uhlovým pretvorením (skosom) je až po bod U tiež lineárna.• tzn. až po medzu úmernosti U platí tzv. Hookeov zákon pre čistý šmykv tvare .G

Veličina G je ďalšia materiálová konštanta, tzv. modul pružnosti v šmyku. G

Platí: ak sú moduly pružnosti E, resp. G určitého materiálu vo všetkých smeroch rovnaké (napr. oceľ, sklo a iné), je materiál tzv. izotropný. Inak je látka anizotropná (napr. drevo).

Pre izotropné materiály je možné pomocou Poissonovho čísla definovať súvis medzi modulom pružnosti v ťahu E a modu-lom pružnosti v šmyku G v tvare

2(1 )EG

[MPa]

Pre popis pružných vlastností izotropného materiálu stačí teda poznať iba dve z veličín E, G alebo , tretiu potom jednoznačne možno určiť z tejto rovnice.

Miera bezpečnosti a dovolené namáhanie

Ak je známa medza klzu (σK) alebo medza pevnosti (σP)konštrukčného materiálu, je pre každú technickú úlohu možnéurčiť takú veľkosť napätia, ktoré môžeme pokladať pre danýprvok z daného konštrukčného materiálu za bezpečné.

Takéto max. prípustné napätie = dovolené namáhanie DOV.Ak chceme pripustiť len pružné (vratné) deformácie, dovolené

namáhanie musí byť nižšie ako je medza úmernosti σU pou-žitého konštrukčného materiálu.

Zisťovanie medze úmernosti σU je pri skúškach dosť náročné. Preto pri určovaní hodnoty dovoleného namáhania obvykle uvažujeme medzu klzu (σK) alebo medzu pevnosti (σP) daného materiálu vydelenú zvolenou hodnotou tzv. koeficientu bezpečnosti k.

resp. KDOV

kk P

DOVpk

Rovnako volíme aj dovolené namáhanie v šmyku:

resp.

kde kk, resp. kp sú tzv. miery (koeficienty) bezpečnosti, určené vzhľadom na medzu klzu σK, resp. medzu pevnosti σP.

KDOV

kb P

DOVpb

Vzájomný vzťah medzi σdov a dov je určený tzv. hypotézami pevnosti.

Ak má prvok konštrukcie plniť svoju funkciu s požadovanou mierou bezpečnosti, musí byť splnená základná bezpečnostná podmienka, v tvare

, resp.

kde σmax a max sú maximálne hodnoty predpokladaného (výpoč-tového) napätia, určeného pri analýze navrhovanej alebo posudzovanej konštrukcie.

max DOV max DOV

Téma 8:

PRETVORENIE, NAPÄTIE, NAPÄTOSŤ A ICH VZÁJOMNÉ SÚVISLOSTI

Napätie = výsledok vzájomného pôsobenia častíc telesa, vyvolaného ich premiestnením počas deformácie.

Vonkajšie zaťaženie

Premiestnenie Deformácia

Doplnkové vnútorné sily a ich intenzita

Napätie = vnútorná sila / plocha prierezu

Napätosť = súhrn všetkých napätí

Napätosť je vnútorný mechanický stav telesa spôsobenýnapätím. Napätosť vzniká v dôsledku pôsobenia vonkajšíchsilových účinkov na vyšetrované teleso.

Napätosť v konkrétnom bode telesa predstavuje súhrn všetkých napätí určených prostredníctvom všetkých rovín, ktoré je možné zvoleným bodom telesa preložiť.

Napätosť v ľubovoľnom bode telesa je jednoznačne určená prostredníctvom napätí, pôsobiacich na 3, navzájom kolmých, rovinách preložených týmto bodom.

x x

y

z

Obr.3.2

xz

xy px

Ak rozklad vykonáme pre trinavzájom kolmé roviny (obvyk-le roviny tzv. elementárnehohranola), dostaneme celkom 9zložiek napätí, z ktorých:

• 3 zložky sú normálové (x, y, z ) a

• 6 zložiek je šmykových (xy, yx, xz,zx, yz, zy ) .

• Normálová zložka () má smer rovnobežný s normálou k rovi-ne (tzn. x je normálové napätie, pôsobiace kolmo na rovinu yz, ktorej normálou je os x). • Šmyková zložka () pôsobí v príslušnej rovine elementu. Pre jej jednoznačnosť sú nutné 2 indexy. Prvý = smer normály k ro-vine, v ktorej zložka leží, druhý = smer, v ktorom napätie pôsobí.

Napätosť v ľubovoľnom bode telesa je teda jednoznačne určená deviatimi zložkami, ktoré usporiadané do štvorcovej tabuľky nazývame tenzor napätia T

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

T

Ak sú šmykové napätia v stenách elementu rovné nule, potom platí: p=σ, =0

V takýchto prípadoch sa napr. všeobecné napätie px stotožňuje s normálovou zložkou napätia x a platí: x=1 , ak =0,.

Takéto (na stenu elementu kolmo pôsobiace) napätia nazývame hlavné napätia. Obvykle sa označujú σ1, σ2, σ3 a platí σ1 > σ2 > σ3 .

Druhy napätostiVo všeobecnosti, normálové napätia vznikajúce v plocháchpravouhlého elementu môžu byť: kladné (ak sú orientovanésmerom von z elementu), záporné (orientované smerom doelementu) alebo nulové.

Podľa usporiadania a veľkosti vznikajúcich napätí rozlišujemedruhy napätosti telies:• priamkovú (jednoosovú),• rovinnú (dvojosovú) alebo• priestorovú (trojosovú) napätosť.

τyx

τyx

1. Priamková (jednoosová) napätosť

1FS

21 cos.

cos.sin1

2. Rovinná (dvojosová) napätosť

τyx

τyx

xy yx z= = Rovinná napätosť v bode

telesa je vo všeobecnomprípade jednoznačne určená2 normálovými a 1 šmykovouzložkou.

.cos2 .sin22 2

x y x yz

.sin 2 .cos22

x yz

1 2,2 2 2 2

x y x yA A

2 24.x y zA 1 21 1,2 2

A A

Invariantnosť napätia

Ak vykonáme súčet hlavných napätí dostaneme rovnicu

z ktorej vyplýva1 2 1 2

2.( )1 12 2 2 2 2

x y x y x yA A

1 2 .x y konšt

Týmto je preukázaná tzv. invariantnosť napätí, ktorá hovorí:

Súčet normálových napätí, pôsobiacich v ľubovoľných dvoch na seba kolmých rovinách, je nemenný (invariantný) a vždy sa rovná súčtu hlavných napätí týchto rovín.

3. Priestorová (trojosová) napätosť

Všeobecná priestorová napä-tosť je jednoznačne určená: • 3 normálovými (σx, σy, σz) a• 6 šmykovými napätiami (xy, yx, yz, zy, xz , zx), resp. v tzv. Cauchyho vyjadrení 3 združe-nými šmykovými napätiami z, x, y.

x z y

z y x

y x z

T

1,2

1

2

3

0 00 00 0

T

Tenzor napätosti, určený 3 normálovými a 6 šmykovými (resp. 3 združenými šmykovými) zložkami úplného napätia p, jednoznačne charakterizuje stav tzv. všeobecnej napätosti v určenom bode telesa.

Všeobecný postup riešenia priestorovej napätosti:

1. V rovine rezu (známy polohový vektor normály) v tvare

bude všeobecné napätie dané vektorom v tvare

2. Normálovú zložku σ vektora získame z rovnice v tvare

3. Zo vzťahu pre všeobecné napätie

je možné získať šmykovú zložku napätia τ vyriešením vzťahu

Tn cos,cos,cos

nTp .

. . .T Tn T n n p

2 2 2p

2 2 2p

4. Hlavné napätia σ1, σ2, σ3 je potom možné určiť riešením sústavy rovníc v tvare

5. Vyriešením sústavy je možné získať jeden, dva alebo tri reálne nenulové korene (počet koreňov závisí od druhu napätosti - jedno, dvoj alebo trojosová).

6. Maximálne šmykové napätie je potom určené vzťahom

kde σmax a σmin sú najväčšie a najmenšie hlavné napätia v analyzovanom bode telesa.

( )( ) 0

( )

x z y

z y x

y x z

2minmax

max

Téma 9:

GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOV (CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLOCH)

Charakteristiky prierezov prvkov v PaP (plochy prierezu):

• Plocha prierezu: A v [m2]• Lineárne (statické) momenty prierezu k osi: U v [m3],• Kvadratické momenty (st. momenty zotrvačnosti): I v [m4] . Jedná sa hlavne o : - moment zotrvačnosti plochy prierezu Iy (vzhľadom k osi),- polárny moment plochy prierezu Ip(vzhľadom k bodu),- deviačný moment plochy prierezu Dyz (vzhľadom k rovine).

Ďalšie charakteristiky prierezových plôch:

• polomer zotrvačnosti (i) kvadratického momentu plochy(tzv. kvadratický polomer prierezu)

• modul prierezu v ohybe (Wo) a

• modul prierezu pri krútení (Wk).

( )AA dA

( ) 1

( ) 1

. .n

i iA iT n

iA i

y dA y Ay m

dA A

( ) 1

( ) 1

. .n

i iA iT n

iA i

z dA z Az m

dA A

Charakteristiky plochy: tvar, rozmery, obsah, ťažisko + zotrvačné vlastnosti plochy (lineárne a kvadratické momenty).

Plocha prierezu: určená integrálnym súčtom v tvare

Lineárny (statický) moment U plochy A k osi, napr. y a z3 3

( ) ( ). , .y z

A AU z dA m U y dA m

. , .y T z TU z A U y A

1 1

1 1

. .,

n n

i i i iyi izT Tn n

i ii i

y A z AUUy zA AA A

dS

S

y

z

z

dzdS

S

dA

A

y

z

z

dz

Osový kvadratický moment (st. moment zotrvačnosti prierezo-vej plochy vzhľadom na určenú os, ležiacu v rovine prierezu)

2 2 4

( ) ( ),y z

A AI z dA I y dA mm

31 . .12yI b h

31 . .12zI h b

4112y xI I a

3.12y

b hI

z

y

h

b

b(z)

0

z

dz

Obdĺžnik: Štvorec: Trojuholník:

Kruh:4.

64y zdI I

2 .y yI i A kde A je plocha prierezu [m2] a iy je tzv. polomer zotrvačnosti kvadratického momentu plochy v [m].

3.12. . 2 3

yy

I b h hiA b h

Napr. pre obdĺžnik

Polárny moment plochy prierezu

Kvadratický moment prierezovej plochy vzhľadom k osi na prierez kolmej (bod – obvykle ťažisko prierezovej plochy)

2 4

( )p

AI dA m

yxp III Polárny kvadratický moment plochy vzhľadom k bodu roviny je

rovný súčtu osových kvadratických momentov dvoch, navzájom kolmých osí, prechádzajúcich práve týmto bodom.

4.32pdI

Kruh: Medzikružie:

4 4( )32pI D d

2 .Ty yI I a A

Výpočet osových a deviačných momentov zložených plôch:

Steinerova veta:Momentové charakteristiky plochy prierezu vzhľadom k

posunutým osiam sú rovné súčtu momentovej charakteristikyplochy prierezu k centrálnym osiam, prechádzajúcim ťažiskomprierezu (IT) a prírastku, daného súčinom veľkosti plochyprierezu (A) a štvorca vzájomného posunutia (a2) osí.

Postup aplikácie Steinerovej vety pre zložené prierezy:

1. Zvolíme ľubovoľný lokálny pravouhlý súradnicový systém.2. Rozdelíme prierezovú plochu na jednoduché časti, ktorých ťažiská vieme určiť priamo, napr. podľa viet o symetrii, príp. využitím hodnôt statických momentov plôch jednotlivých častí a určíme súradnice ťažiska celej prierezovej plochy.

3. Určíme osové kvadratické momenty prierezov jednotlivých častí k ich vlastným centrálnym osiam, ktoré musia byť rovnobežné s hlavnými osami celého prierezu (prechádzajú práve určeným ťažiskom celej zloženej plochy).

4. Určíme centrálne kvadratické momenty celého prierezu vzhľadom k jeho hlavným osiam x, y pomocou vzťahu –

2 .Ty yI I a A

Ide o aplikáciu Steinerovej vety o určení momentov prierezo-vých plôch k iným, tzv. vhodne posunutým osiam prierezu.

Téma 10:

ZÁKLADNÉ VÝPOČTOVÉ VZŤAHY PRE HLAVNÉ DRUHY JEDNODUCHÉHO (ČISTÉHO) NAMÁHANIA

Základné vzťahy pre jednoduché (čisté) druhy namáhania:

1. Čistý ťah / tlak:max

maxN

A

. . .F Fl g lA A

..

N llE S

2. . . .. 2 . 2. .

F l l F l G llE A E E A E A

1 ( . )xF l

E A

max DOV KDOV k

. ( . )y yF x

E E A

Bez uvažovania vlastnej tiaže prúta:

S uvažovaním vlastnej tiaže prúta:

Podmienka pevnosti: kde

Pomerná deformácia:

NA

2. Čistý šmyk:max

maxT

A

max DOV 0,5;1,0DOV DOV

stga

2.(1 ) .E

G

2.(1 ) .G

E

EG =2.(1 +μ)

Podmienka pevnosti v šmyku:

kde

TA

Šmykové napätie:

Pretvorenie = skos :

Hookeov zákon pre čistý šmyk:

- modul pružnosti G v šmyku :

Základné vzťahy pre jednoduché (čisté) druhy namáhania:

.G

3. Čisté krútenie:

Pretvorenie (skrútenie) prierezov:

- Pomerný uhol skrútenia :

- Celkový uhol skrútenia :

G.Ip nazývame tuhosť v krútení (častejšie ako torzná tuhosť).

k

k

MW

/k pW I r

.. .

k

p

Mddx G I

. ..

k

p

Ml lG I

max DOV

kde

.k

p

MG I

Podmienka pevnosti:

Šmykové napätie:

Základné vzťahy pre jednoduché (čisté) druhy namáhania:

4. Rovinný ohyb:max

max0

oMW

0max

zIWy

maxmax

oDOV

o

MW

maxmax

..

z

z

T UI b

max

3 3.2 . 2.

T Tb h A

maxmax

..

zdov

z

T UI b

( )1.o x

z

ME I

( )

.x

z

My

E I

kde

Podmienka pevnosti:

- Na ohyb

- Na šmyk

napr. pre obdĺžnikový prierez:

Normálové napätie:

Šmykové napätie:

Rovnica priehybovej čiary:

A

Momax

Tmax z

max

max

maxA

Momax

Tmax z

max

max

max

Charakteristické priebehy a pri ohýbanom nosníku

Základné vzťahy pre jednoduché (čisté) druhy namáhania:

Ohyb - priebeh normálového napätia

Ohyb - priebeh šmykového napätia

Téma 11:

STABILITA POLOHY A TVARU TELIES, STABILITA TVARU ŠTÍHLYCH PRVKOV = VZPERNÝ TLAK

Stabilita polohy a tvaru telies

Vo všeobecnosti možno stabilitu telies a spôsoby jej riešenia rozdeliť na riešenie problémov:• stability polohy telies• stability tvaru telies.

1. Stabilita polohy telies

Stabilita je schopnosť telesa sa po vychýlení z rovnovážnej polohy vrátiť naspäť do pôvodnej rovnovážnej polohy.

Stabilitou teda môžeme nazvať aj mieru stálosti rovnovážnej polohy.

Čím väčšou silou budeme musieť na teleso pôsobiť, aby sme ho uviedli do labilnej (vratkej) polohy, tým väčšiu bude mať stabilitu.

Stabilitu telesa najčastejšie určujeme vyjadrením veľkosti práce W, ktorú je potrebné vykonať pri zmene polohy telesa (napr. aby sme teleso prevrátili z polohy stabilnej do polohy vratkej).

Potom platí

W = m. g. (h2 - h1), (9.1)

kde m ... hmotnosť telesa, h1 ...výška ťažiska v stabilnej polohe, h2 ... výška ťažiska vo vratkej polohe, g ...tiažové zrýchlenie a

h ... hodnota zmeny polohy ťažiska pri jeho preklopení vplyvom vykonanej práce (zmena z polohy stálej do polohy vratkej).

Stabilita telesa je miera jeho schopnosti udržiavať si rovnováž-nu polohu stálu. Je to veľkosť práce, ktorú musíme vykonať, aby sme teleso z rovnovážnej polohy stálej dostali do rovnovážnej polohy vratkej.

2. Kontrola stability polohy teliesTeleso je z hľadiska polohy stabilné, ak sa výpočtom alebo

skúškou preukáže, že stabilizujúce silové účinky sú väčšie, ako účinky síl destabilizujúcich.

3. Stabilita tvaru štíhlych prútov (tzv. namáhanie vzpernýmtlakom)

Deformácie pri tzv. vzpernej stabilite nie sú priamo úmernéveľkosti zaťaženia.

Vzper je spôsob namáhania priamych štíhlychprútov zaťažených osovým tlakom. V dôsledkunevyhnutných výrobných nepresností (výrobaa montáž konštrukcie) nepôsobí tlaková silapresne v osi prúta (ktorá tiež nebýva vždyideálne priama), prút pri jeho zaťažovaní vybočía je dochádza ku zmene namáhania – prút jenamáhaný aj ohybom.

Namáhanie tenkých priamych prútov na vzperný tlak je jednou z najvýznamnejších úloh pri riešení stability tvaru telies.

e

F

3.1. Výpočet kritickej sily v elastickej oblasti

Podľa spôsobu uloženia vzpery = 4 základné (Eulerove) prípady:1.prípad - jeden koniec votknutý, druhý voľný2.prípad - na oboch koncoch v kĺboch (1 kĺb pevný, 1 posuvný)3.prípad - jeden koniec votknutý, druhý v posuvnom kĺbe4.prípad - votknutie na oboch koncoch.

Vzpera sa pri určitej hodnote zaťaženia – tzv. kritickej sileFKRIT – prehne a vybočí (jej dovtedy priama os sa deformuje) strata stability tvaru. Veľkosť kritickej sily FKRIT závisí nageometrických rozmeroch (štíhlosť) a tvare prierezu vzpery, naspôsobe uloženia (väzbách) jej koncov a na použitomkonštrukčnom materiáli vzpery.

2

min2. . .KRITF n E I

l

kde n ... má pre jednotlivé prípady hodnoty n = (1/4; 1; 2; 4) .

2min

2

. .KRIT

vzp

E IFl

kde lvzp je tzv. vzperná (redukovaná) dĺžka prúta.Pre jednotlivé prípady vzperu nadobúda hodnotylvzp = k.l = 2.l ; l ; 0,7.l ; 0,5.l

KRITKRIT

FA

2

min2

..KRIT

vzp

E IA l

2

2KRIT

E

je tzv. štíhlostný pomer (jeho hodnota nezávisí na druhu materiálu, ale iba na rozmeroch a tvare prierezu prúta).

medzný štíhlostný pomer m na rozdiel od štíhlostného pomeru , závisí aj na druhu materiálu, aj na podmienkach uloženia prúta, t.j. uvažovanom prípade vzperu.

2

2KRIT

E

min

vzpli

uum

EnEn

... 2

Podmienku obmedzujúcu rozsah platnosti použitia Eulerovhovzorca (pre určenie veľkosti kritickej sily FKRIT) možno vyjadriťaj vzťahom

m

3.2 Súčinitele vzpernosti

V technickej praxi sa obvykle kritické napätia v elastickej ako ajplastickej oblasti nepočítajú, ale namáhanie na vzper saredukuje na namáhanie centrickým tlakom pomocou tzv.súčiniteľov vzpernosti c, ktoré priamo závisia od hodnotyštíhlostného pomeru . Prút musí v tomto prípade spĺňaťpodmienku v tvare

. DOV

FcA

Postup použitia súčiniteľov vzpernosti:

• zvolíme hodnotu c0 a určíme prierezovú plochu

• z tabuliek alebo výpočtom určíme požadovaný profil (I, T, U a pod.), resp. d, b, h a pod.

• pre príslušný zvolený profil určíme hodnotu štíhlosti

• z tabuľky zistíme hodnotu c1 a posúdime, či

• iteračný postup opakujeme dovtedy, kým nedosiahneme

0.DOV

FA c

min

vzpli

1. DOV

FcA

.i DOV

FcA