Základy mechaniky pevných teliesfsi.uniza.sk/ktvi/leitner/2_predmety/ZMPT/Podklady/De/01...1.2....

1

Fakulta bezpečnostného inžinierstva Žilinskej univerzity v ŽilineKatedra technických vied a informatiky

Základy mechaniky pevných telies

Téma 1:

ÚVOD DO MECHANIKY TUHÝCH TELIES

2

Úvod do mechaniky tuhých telies

Mechanika - skúma príčiny a závislosti vzájomného pôsobenia hmotných objektov v priestore a čase.

Mechanika je prírodná veda, postupne sa vyčlenila z fyziky.

Podľa uvažovanej rýchlosti, resp. veľkosti skúmaných objektov:

• Klasickú (Newtonovu) mechaniku (v<<c) - mechanické javy u makroskopických telies, pohybujú sa výrazne nižšou rýchlosťou (v) v porovnaní s rýchlosťou svetla (c),

• Relativistickú (Einsteinovu) mechaniku (v→c) - mechanické javy u častíc, príp. telies, pohybujúcich sa rýchlosťou (v) nezanedbateľ-nou vzhľadom k rýchlosti svetla (c),

• Kvantovú (Planckovu) mechaniku - zákonitosti správania sa mikročastíc, atómov, molekúl a atómových jadier, t.j. objektov, ktorých rozmery sú rádovo 10−6 až 10−13 m.

3

1.1. Základné zákony a princípy mechaniky tuhých telies

Podľa druhu a povahy skúmaných hmotných objektov :

• mechanika tuhých (nedeformovateľných) telies, • mechanika poddajných (pružných, deformovat.) telies• mechanika kvapalín a plynov.

Klasické členenie mechaniky tuhých telies (podľa Lagrangea):

• Statika – vyšetruje podmienky rovnováhy vzájomného pôsobenia hmotných objektov (prevažne) v stave pokoja.• Kinematika - vyšetruje pohyb nehmotných objektov bez ohľadu na príčinu ich pohybu = analýza pohybu telies, pričom neuvažuje s ich hmotnosťou ani vzájomným silovým pôsobením.• Dynamika - vyšetruje pohyb hmotných objektov ako následok pôsobenia síl, tzn. vyšetruje pohyb telies so zreteľom na ich hmotnosť (zotrvačnosť) aj ich vzájomné silové pôsobenie.

4


Statika - od ďalších oblastí technickej mechaniky sa odlišuje tým, že neuvažuje s pohybom hmotných objektov v priestore a čase. Naopak: Kinematika i dynamika s mechanickým pohybom telies uvažujú.

Kinematika skúma pohyb (ako zmenu vzájomnej polohy) nehmot-ných telies v priestore a čase. Neprihliada na príčiny pohybu, t.j. neskúma silové pôsobenie, ale iba jeho dôsledky. Uvažujeme iba nehmotné body / telesá (defin. iba geometrickými rozmermi, ale bez uvažovania ich hmotnosti a z nej vyplývajúcej zotrvačnosti).

Dynamika skúma pohyb telies v priestore a čase aj s uvažovaním silových účinkov. Uvažuje aj s hmotnosťou objektu = uvažuje aj so zotrvačnými vlastnosťami hmotných telies v pohybe.- dynamika sa zaoberá pôsobením síl, čím sa odlišuje od kinematiky, - skúmaním telies v pohybe sa dynamika zasa odlišuje od statiky.

5

1. Zákon zotrvačnosti: hmotný bod sa pohybuje rovnomernepriamočiaro alebo zostáva v pokoji, ak nie je nútený vonkajšousilou tento pohybový stav zmeniť.


Praktické úlohy v mechanike telies sú najčastejšie riešenév medziach platnosti tzv. klasickej mechaniky.

Základ tvoria tzv. Newtonove pohybové zákony:

.konšt= ⇒ =F 0 vPlatí: Hmotný bod zotrváva v pokoji, alebo v rovnomernom pohybe, aknie je pôsobením okolitých telies nútený svoj pôvodný pohybový stavzmeniť. Analogicky: Ak je teleso v pokoji alebo sa pohybujerovnomerne priamočiaro, nepôsobí naň žiadny silový účinok.

Dôsledok: Výslednica všetkých síl pôsobiacich na teleso je v stavepokoja vždy nulová – t.j. teleso v stave statickej rovnováhy sanepohybuje. Základný predpoklad riešenia rovnováhy síl v statike.

6


2. Zákon sily: časová zmena vektora hybnosti je rovná výslednici pôsobiacich síl

kde je vektor hybnosti hmotného bodu, je vektor okamžitej rýchlosti a je výslednica všetkých silových účinkov pôsobiacich na hmotný objekt.

( . )d d mdt dt

= =H v F

.m=H v

Ak je hmotnosť hmotného objektu konštantná (toto v klasickej mechanike tuhých telies platí) je možné vzťah zjednodušiť

,

kde - vektor zrýchlenia hmotného bodu. Ide o známy tvar z fyziky vyjad-rujúci 2. Newtonov pohybový zákon (zákon sily).

Dôsledok: Zmena pohybu (zrýchlenie) je priamo úmerná sile, ktorá na teleso pôsobí a má smer pôsobiacej sily (vektora sily).

vF

. .dm mdt

= =v a F

a

7


3. Zákon akcie a reakcie: sily, ktorými vzájomne na seba pô-sobia dva hmotné objekty sú rovnako veľké, ale opačne orien-tované. Platí

12 21= −F F

Dôsledok: Ak pôsobí teleso (1) na teleso (2) silou F12 (tzv. akcia, príp. primárna sila), potom pôsobí teleso (2) na teleso (1) rovnako veľkou silou F21 opačného zmyslu (tzv. reakcia, príp. sekundárna sila).

8


Matematický zápis:

kde m1 a m2 sú hmotnosti telies medzi ktorými silu príťažlivosti určujeme, R je vzájomná vzdialenosť telies a κ je tzv. gravitačná konštanta ( , resp. v jednotkách SI ).

1 2 1 23 2

. . .F . .m m m mR

κ κ= =rr

11 2 26,672.10 . .N m kgκ − − =

4. Gravitačný zákon: Dva hmotné body (hmotnosti m1, m2) vo vzdialenosti R od seba sa navzájom priťahujú gravitač-nou silou. Jej veľkosť je priamo úmerná súčinu ich hmot-ností a nepriamo úmerná druhej mocnine ich vzdialenosti.

1 3 2. .kg m s− −

Newtonov gravitačný zákon, vyjadruje veľkosť príťažlivej sily medzi 2 hmotnými objektmi o hmotnostiach m1 a m2 , ktorých vzájomná poloha je určená polohovým vektorom r, resp. ich vzájomnou vzdialenosťou R.

9


Pre zaujímavosť: Prípad vzájomného priťahovania sa telies, ktorých rozmery sú rádovo odlišné, napr. teleso (m) a Zem (mZ). Ak dosadíme za (hmotnosť Zeme) a za vzdiale-nosť jej polomer , získame vzťah pre veľkosť sily pôsobiacej na teleso s hmotnosťou m v známom tvare

kde zlomok predstavuje známe gravitačné zrýchlenie g.

2.. .Z

Z

mF G m m gR

κ= = =

Poznámka: gravitačné zrýchlenie pri povrchu Zeme má v našich zemepisných šírkach hodnotu približne 9,81 m.s-2 (presne 9,80665 m.s-2 ). Závisí však od nadmorskej výšky aj od zemskej šírky. Na rovníku je hodnota g nižšia než na póloch. Na rovníku : g = 9,78 m.s-2 , na póloch g = 9,83 m.s-2.

Uvedený rozdiel je spôsobený hlavne odstredivou silou, spôsobenou rotáciou Zeme okolo svojej osi.

241 6.10Zm m kg= =

6378ZR R km= =

10

1.2. Základné veličiny v mechanike tuhých telies

V mechanike tuhých telies využívam základné veličiny:

DĹŽKU - HMOTNOSŤ - ČAS DĹŽKA - vyjadruje základné geometrické vlastnosti materiálne-ho sveta a rozloženie konkrétnych i abstraktných objektov.

Dĺžka (značka l z angl. length).Vzdialenosť medzi dvoma bodmi je dĺžka priamej čiary (úsečky) vedenej medzi danými bodmi. Rozmer / dimenzia je jedna z hodnôt, udávajúca mieru niečo-ho v rovine / priestore. Rozmer je základná vlastnosť priestoru. Základná jednotka dĺžky: 1 meter [m]. Je definovaný ako dĺžka dráhy, ktorú prejde svetlo vo vákuu za 1/299 792 458 s. Prakticky: určená národným štandardom dĺžkovej miery.

11


HMOTNOSŤ - vyjadruje zotrvačné vlastnosti hmotných objek-tov. Charakterizuje ich schopnosť gravitačne silovo pôsobiť na iné objekty.

Hmotnosť je vlastnosť resp. miera vlastnosti všetkých objektov látkovej povahy. Prejavy: hmotné objekty kladú odpor voči zmenám svojho pohybového stavu = zotrvačnosť) resp. hmotné objekty na seba vzájomne pôsobia = príťažlivosť).

V technických aplikáciách: uvažujeme zotrvačnú a gravitačnú hmotnosť za rovnaké (m = G / g).

Jednotka hmotnosti: 1 kgJeho veľkosť je daná (dohovorenou) hmotnosťou medzinárod-ného prototypu kilogramu.

12


ČAS – fyzikálna veličina vyjadrujúca interval medzi dvoma uda-losťami alebo dobu trvania určitého deja. Čas je rovnomerne a nezávisle plynúca veličina.

Čas (značka t z angl. time) Čas je uvažovaný ako jedna z tzv. fundamentálnych kvantít(t.j. nemožno ich definovať pomocou iných kvantít, pretože zatiaľ nepoznáme nič základnejšie). Podobne ako v prípade iných fundamentálnych kvantít (napr. priestor a hmota) je preto čas taktiež definovaný meraním. Aktuálne je štandardný časový interval definovaný v tvare tzv. konvenčnej sekundy (s). Je definovaná ako 9 192 631 770 oscilácií špecifikovaného prechodu v atóme Cs-133.

13


Ďalšie veličiny využívané v mechanike telies: plošný obsah, objem, merná špecifická hmotnosť = hustota, merný (špecifický) objem, sila, statický moment sily / moment dvojice síl, tlak, mechanické napätie, deformačná energia, rýchlosť, zrýchlenie a pod.) a ich merné jednotky - sú z vyššie uvedených základných veličín iba odvodené.

Najvýznamnejšie odvodené veličiny v MTT:• sila (F) a• moment sily (MF) alebo moment silovej dvojice (MM).

14


1. SILA (ozn. F, angl. Force)Vo všeobecnosti je definovaná svojim účinkom ako časová zmena hybnosti:

Pojem „sily“ - abstrakcia subjektívneho pocitu tlaku alebo ťahu pri vyvodzovaní vzájomného silového účinku človek - teleso.V mechanike musíme silu chápať ako vektorovú veličinu (F, ), vyjadrujúcu „mieru vzájomného pôsobenia telies“.

( . ) . .d m dm mdt dt

= = =v vF a

F

Vektorový charakter sily znamená: • jednoznačné určenie sily = nutné zadať nielen veľkosť, ale

aj pôsobisko a smer silového účinku. • graficky silu znázorňujeme ako orientovanú úsečku, ležiacu

na pomyselnej priamke – tzv. nositeľke sily (f).

15


Z 2. Newtonovho pohybového zákona F = m . a platí:

Jednotka sily: Newton, 1 N = [1 kg.m.s-2]

V technickej praxi sa častejšie využívajú jej násobky, napr.: 1kN = 103 N, 1 MN = 106 N.

Staršie jednotky vyjadrenia sily: kp - kilopond (1 kp ≈ 9,81 N) alebo dyn (1 dyn = 10-5 N).

Sila o veľkosti 1 N udelí hmotnému bodu s hmotnosťou 1 kg zrýchlenie 1 m.s-2 v smere a zmysle pôsobenia sily.

16


2. STATICKÝ MOMENT SILY (M) – vektorová veličina určená vektorovým súčinom vektora sily F a vektora polohy r (Obr.1.1). Platí M = r × F .

Statický moment M vyjadruje mieru veľkosti otáčavého účinku sily F k zvolenému bodu. Veľkosť M určíme ako súčin veľkosti sily F a dĺžky tzv. ramena sily p, t.j. najkratšej (kolmej) vzdialenosti medzi nositeľkou sily F a bodom (osou) otáčania. Platí

M = F . p.

Obr.1.1

polohový vektor

p

M

os otáčania

fF

nositeľka sily F

r

rameno sily F

Jednotka momentu sily: Newtonmeter ,1 Nm = [1 kg.m2.s-2].

Dôsledok: Čím je rameno sily p väčšie, tým bude väčší aj výsledný otáčavý účinok M.

17

1.3 Fyzikálne abstrakcie hmotných objektov v mechanike telies

Fyzikálne abstrakcie v mechanike telies

1. Hmotný bod (HB) - teliesko, ktoré má zanedbateľné rozme-ry (teoreticky nulové), konštantnú hmotnosť (m ≠ 0) a nulový moment zotrvačnosti. Hmotný bod = časť hmotného telesa s elementárnym objemom dV [m3], elementárnym povrchom dS [m2] a definovanou mernou hmotnosťou ρ [kg/m3], obsahujúci veľké množstvo elementárnych častíc hmoty (atómov).

Najčastejšia geometrická interpretácia HB je tzv. elementárny hranol (Obr.1.2). Hmotné body budeme najčastejšie ozna-čovať malými resp. veľkými písmenami, napr.: a, b, A, B, ...

Obr.1.2

dV=dx.dy.dz

dx

dy

dz

18


2. Sústava hmotných bodov = hmotný objekt – predstavuje súbor vzájomne viazaných hmotných bodov, ktorých celková hmotnosť je rovná práve hmotnosti celého hmotného objektu. Hmotné teleso je oblasť s objemom V a povrchom S spojito vyplnená hmotnými bodmi.

Ak pre vzdialenosť 2 ľubovoľných bodov A, B telesa (Obr.1.3) pred aj po zaťažení telesa platí:

• AB = konšt. - teleso je nedeformo-vateľné = dokonale tuhé teleso.• AB ≠ konšt. - teleso sa účinkom zaťaženia deformuje = poddajné (deformovateľné) teleso.

Obr.1.3

A B

19


3. Dokonale tuhé teleso (DTT) - abstrakcia pre zjednodušenievyjadrenia ideálneho telesa. Uvažujeme, že pri pôsobenísilových účinkov DTT nemení svoj tvar, nedeformuje sa.Hovoríme, že nevzniká pretvorenie (deformácia) telesa.Pôsobiace sily majú v prípade DTT na objekt len pohybovýúčinok, nie deformačný. Dôsledok: pri pôsobení ľubovoľneveľkého vonkajšieho zaťaženia na DTT nevzniká pretvorenie.

Pozor: Je dôležité rozlíšiť, kedy je možné považovať skutočné telesoza dokonale tuhé a kedy nie:• v statike – teleso uvažujeme ako DT iba vtedy, ak jeho deformácianemá významný vplyv na veľkosť a zmysel vznikajúcich reakčných(sekundárnych) síl• v pevnosti a pružnosti - nie je možné s DTT uvažovať.

20


Mechanický model skutočných telies - konštrukcií

Fyzikálne abstrakcie umožňujú vytvoriť zjednodušené modely -fyzikálne (mechanické) modely reálnych objektov (konštruk-cií a ich prvkov) – tzv. mechanických sústav.

Pri tvorbe modelov je nutné rozhodnúť o tom:• ktoré časti sústavy je možné uvažovať ako DTT,• ako budú vyjadrené väzby medzi jednotlivými telesami,• ako vhodne vyjadriť charakter vonkajšieho zaťaženia,• či je nutné uvažovať vplyv tzv. disipačných zmien = zmien voforme nevratnej premeny, napr. časti celkovej energie na inédruhy energie - teplo, trenie,...).

Tvorba mechanického modelu vyžaduje znalosti z mechaniky telies, konštruovania a tiež technické myslenie a predstavivosť.

21


Obr.1.8

Príklady fyzikálnych modelov reálnych technických systémov:

22


Štruktúra mechanického modelu:napr. nepohyblivá konštrukcia - stožiar vn uchytený v základe -je zaťažený vlastnou tiažou, tiažou nesených vodičov a účinkom vetra Obr.1.4 → možné vytvoriť fyzikálny model → možné riešiť ako mechanický systém.

≡

Uloženie v základe

Teleso stožiara Vietor

Vodiče

Izolátor

Dokonale tuhé teleso (A , S , V)

i

j

k

z

x

y

Skutočná konštrukcia Statický systém

Zaťaženie

Väzby

Obr.1.4

23


Mechanický model, ako abstrakcia skut. objektu, obsahuje:1. Vzťažný súradnicový systém 0(x, y, z), 2. Dokonale tuhé teleso (geometria stožiara) s objemom V

a povrchom S,3. Väzby = spôsob uchytenia telesa o zemský povrch a vzájom-

né spojenie jednotlivých prvkov konštrukcie,4. Zaťaženie = silové účinky, vyvolané vplyvom vlastnej tiaže

jednotlivých prvkov, tiaže nesených vodičov, vplyvom vetra, ...

Z fyzikálneho modelu definujeme model matematický (analy-tický, výpočtový) - tvorený obvykle sústavou rovníc.

Jej vyriešenie prinesie hľadané riešenie problému, pričom je nutné vykonať interpretáciu výsledkov a ich správnu formuláciu v terminológii mechaniky.

24

1.3. Fyzikálne abstrakcie hmotných objektov v mechanike telies

1. Umiestnenie telesa v priestore: nutné definovať jednoznač-né umiestnenie objektu v priestore – t.j. zaviesť vhodný súradnicový systém.

V mechanike telies uvažovaných v priestore (obr.1.5) :

xA

yA

zA0

y

x

z

rA

zA

A

0

y

x

z

A

ϕA

rA

A

0

y

x

z

ϕA

θA

Obr. 1.5

pravouhlá sústava valcová sústava sférická sústava(xA, yA, zA ) (rA, ϕA, zA ) (rA, ϕA, θA )

xA

yA

zA0

y

x

z

rA

zA

A

0

y

x

z

A

ϕA

rA

A

0

y

x

z

ϕA

θA

Obr. 1.5

pravouhlá sústava valcová sústava sférická sústava(xA, yA, zA ) (rA, ϕA, zA ) (rA, ϕA, θA )

25


Pri riešení rovinných úloh v mechanike telies (Obr.1.6):

Významný predpoklad využiteľnosti Newtonových zákonov: inerciálnosť (nehybnosť) SS.

Platí: SS považujeme za inerciálnu (nepohyblivú, stálu) ak je pevne spojená so zemským povrchom, napr. základy...

xA

yA 0

x

y

A

Obr. 1.6

pravouhlá sústava polárna sústava (xA, yA) (rA, ϕA)

rA

0 x

y

A

ϕA

26


3. Viazanosť telesa: spojenie mechanickej sústavy so Zemouje realizované vhodným uchytením konštrukcie o zemskýpovrch, príp. o iné telesá v rámci konštrukcie (napr. nosný rám),ktoré nazývame väzba (často aj uloženie, uchytenie).

Základná úloha väzby: zabránenie pohybu hmotného objektu,príp. umožnenie iba vopred požadovaného pohybu (tzv.mechanizmus).

Väzba = technické riešenie (zariadenie, spôsob uchytenia),ktoré pohyb objektu znemožňuje alebo istým spôsobom ibaobmedzuje (pohyb určený požadovanou funkciou).

Hmotné objekty sú navzájom spojené väzbami, preto abyvzniklo funkčné technické dielo s požadovaným vlastnosťami.

Realizované väzby eliminujú (rušia) možnosť pohybu tzv.voľného telesa a vzniká tzv. teleso viazané.

27


4. Silové účinky, pôsobiace na hmotný objekt rozdeľujeme nasilové účinky vonkajšie a vnútorné,. Môžu byť vo formeosamelých síl [N] alebo momentov (otáčavých účinkov odosamelej sily / silovej dvojica [Nm]).

Zaťaženie hmotného objektu je súhrn všetkých vonkajších silových účinkov pôsobiacich na teleso. V statike musia byť silové účinky v rovnováhe, aby malo DTT zaistenú nepohyblivosť. Rovnováha síl = stav pokoja.

V mechanike poddajných telies: zaťaženie je tvorené súhrnom nielen vonkajších účinkov, ale aj vnútorných javov prebiehajúcich v hmotnom objekte. Výsledkom ich pôsobenia je pretvorenie telesa a vznik napätosti v ňom.

28

1.4. Silové účinky a zaťaženie v mechanike tuhých telies

Členenie silových účinkov v mechanike telies:

1. podľa spôsobu kontaktu pôsobiacich telies sa silovépôsobenie môže uskutočňovať:• priamym stykom (pôsobiace telesá sa vzájomne dotýkajú),alebo• prostredníctvom silového poľa (spolupôsobiace telesá savzájomne nedotýkajú, ale silové pôsobenie je prenášanéúčinkom silového poľa, napr. magnetické pole, tiaž telesa).

Základné členenie silových účinkov, zodpovedajúce potrebámúloh v mechanike telies, najčastejšie realizujeme na základe:• charakteru silových účinkov alebo• rozloženia silových účinkov.

29


Podľa charakteru síl:

1. v o n k a j š i e - vyjadrujú účinok okolitých telies a prostredia na vyšetrované teleso:

- zaťažujúce (akcie)

- väzbové reakcie (závislé od akčných síl)

2. v n ú t o r n é - vyjadrujú účinok jednej časti telesa na druhú. Vznikajú vo vnútri

telesa ako odozva na vonkajšie sily a predstavujú sily pôsobiace medzi jednotlivými

hmotnými bodmi vo vnútri telesa. Ak vnútorné sily prekročia určitú hranicu, dôjde k

veľkým deformáciám alebo k porušeniu telesa.) Podľa rozloženia síl:

1. s ú s t r e d e n é - osamelá sila F[N] alebo moment sily M[N.m]), ktoré sú sústredené

do jedného bodu – pôsobiska,

2. s p o j i t o r o z l o ž e n é - v statike sa väčšinou nahradzujú ekvivalentným

účinkom, tzv. náhradným bremenom v tvare sústredeného silového účinku.

- Plošné zaťaženie (napr. tlak p [N/m2]),

- Objemové zaťaženie (napr. vlastná tiaž γ [N/m3] ),

- Spojité (čiarové) zaťaženie (napr. vlastná tiaž na jednotku dĺžky telesa q [N/m].)

30


Ďalšie členenia silových účinkov v mechanike:• Prvotné (primárne, akcie) a druhotné (sekundárne, reakcie), ktoré sa prejavia vo väzbách medzi telesami.• Povrchové (kontaktné, dotykové) a objemové (vlastná tiaž, odstredivé sily, magnetické sily).• Osamelé (silový účinok sústredený na veľmi malú plôšku v pomere k celkovým rozmerom telesa; ich vplyv uvažujeme v bode; ich účinok vyjadrujeme [N], [kN]) a spojité (vonkajšie zaťaženie je rozložené na určitej čiare, vyjadrujeme v [N.m-1] alebo ploche [N.m-2] ).

31


Pre pochopenie fyzikálnej podstaty vzniku a pôsobenia sús-tredených, aj spojito rozložených silových účinkov a zvládnutieich využitia v mechanike je vhodné poznať pojmy:

m [kg]

T

g

G

Obr.1.10

1. Vlastná tiaž telesa G – najvýznamnejšia objemová sila v mechanike. G predstavuje vznikajúci silový účinok vyvolaný zemskou gravitáciou (Obr.1.10). Platí: Na 1 kg hmotnosti telesa pôsobí v gravitač-nom poli Zeme tiažová sila G = 9,81 N. V mechanike telies často G=10 N.

32


2. Objemová hmotnosť - hustota ρ (st. ozn. merná špecifická hmotnosť) = fyzikálna veličina určená podielom hmotnosti a objemu telesa

kde ρ je hustota látky telesa [kg.m-3], m je celková hmotnosť telesa [kg] a V je celkový objem telesa [m3]. Dôsledok: Čím vyššiu objemovú hmotnosť teleso má, tým väčšiu hmotnosť má v pomere k jeho objemu. Inak: hustejšie látky (napr. železo) majú menší objem ako telesá rovnakej hmotnosti z menej hustej látky (napr. drevo).

mV

ρ =

33


3. Objemová tiaž γ = fyzikálna veličina vyjadrujúca veľkosť tia-žovej sily pripadajúcej na objemovú jednotku látky (materiálu). Vyjadruje celkovú tiaž pripadajúcu na jednotku objemu, vrátane bežného rozloženia mikrodutín, medzier a pórov.

Platí resp.

kde γ je objemová tiaž materiálu [N.m-3], G = m.g je tiaž telesa[N], V je objem telesa [m3], resp. ρ je objemová hmotnosť látky[kg.m-3] a g je tiažové zrýchlenie [m.s-2].

GV

γ = .gγ ρ=

34


Zaťaženie konštrukciíZaťaženie je akýkoľvek jav, vyvolávajúci zmenu stavu napätosti konštrukcie. Základné druhy zaťažovacích javov (Obr.1.7):

• pôsobenie silových účinkov na konštrukciu• zmena teploty konštrukcie alebo jej časti

Zmena teploty Pôsobenie síl

Obr.1.7

∆t = 20ºC F=10 kN

35


Klasifikácia a príklady zaťaženiaPodľa premenlivosti zaťažujúcich účinkov v čase rozoznávame (napr. v stavebnej mechanike) nasledovné zaťaženia: • s t á l e (G) - pôsobí počas celej doby technického života objektu a jeho veľkosť, poloha ani smer sa v čase nemenia (určené vlastnou tiažou konštrukcie, zemným a horninovým tlakom, predpätím a pod.)

• n á h o d n é (Q) - nepôsobia počas celej doby technického života konštrukcie a ich veľkosť, poloha a smer pôsobenia sa v čase menia (1. úžitkové (prevádzka a vybavenie, stroje a zariadenia, skladovaný mate-riál, vozidlá, žeriavy a pod.), 2. klimatické (sneh, vietor, vonkajšia teplota, námraza), 3. vynútené pretvorenie (prevádzkové teploty, zmršťovanie a dotvarovanie betónu, poddolovanie a pokles podpier, ..).

• m i m o r i a d n e (X) - vyskytuje sa iba v špecifických prípadoch, najčastejšie ako dôsledok mimoriadnych, obvykle negatívnych, javov (zemetrasenie, výbuch, havarijné pretvorenie základov, havarijné narušenie technologického procesu a pod.).

36


a) osamelá sila b) sústava osamelých síl (bremien)

Fq (náhradná sila)

d) pohyblivé spojité čiastočné zaťaženie

c) stále spojité rovnomerné zaťaženie

e) stále spojité troju- holníkové zaťaženie

f) zložené spojité zaťaženie

g) zaťaženie osamelými momentmi

h) zaťaženie osamelými silami rôzneho smeru

Obr. 1.8

Fq Fq1

Fq2

F F1 F2 F3

F1 F2 F3 M1 M2

Príklady základných druhov zaťaženia, najčastejšie využíva-ných v mechanike telies a ich grafické znázornenie - Obr.1.8.

37

1.5. Väzby medzi telesami, uvoľňovanie telies, statická určitosť

Stupne voľnosti telesa (priestor / rovina)

• Teleso v priestore (Obr.1.9) má 3 posuvné a 3 rotačné stupne voľnosti. Celkom má teda 6 stupňov voľnosti pohybu (nv=6°).• Teleso v rovine má dva posuvné (okolo osí x, y) a jeden rotačný stupeň voľnosti (okolo osi z); platí (nv=3°). Pohyb telesa je viazaný iba na túto rovinu.

Teleso má v rovine celkom 3 stupne voľnosti (2 posunutia v smere osí x, y a 1 otáčanie).

z

x

y Teleso v priestore

6

1 2

3 4

5

Obr.1.11 Obr. 1.9

38

1.5. Väzby medzi telesami, uvoľňovanie telies

Ak na viazaný hmotný objekt (konštrukcia) pôsobia primárne –akčné silové účinky (sily a momenty), vo väzbách vzniknú iné –reakčné - silové účinky = väzbové reakcie. Vznikajú kvôli zaisteniu rovnováhy – t.j. aby teleso bolo v pokoji.

Dôsledok: Ak budú väzbové reakcie (vnútorné, vonkajšie) tvoriť s primárnymi (vonkajšími) zaťažujúcimi silami rovnovážnu sústavu síl, hmotný objekt bude v pokoji = t.j. nachádza sa v stave tzv. statickej rovnováhy.

Pri bežných výpočtoch často predpokladáme, že väzby medzi telesami sú tzv. ideálne (zanedbáva sa trenie, ich čiastočná poddajnosť a pod.). Vtedy neuvažujeme vplyv tzv. pasívnych odporov, ako silových účinkov pôsobiacich vo väzbách.

39


Obr.1.10: v bodoch A, B sú väzby vonkajšie (uchytenie stožia-ra o betónový základ), v bodoch C, D, E, F sú väzby vnútorné(medzi prútmi priehradovej konštrukcie stožiara, medzi izoláto-rom a ramenom stožiara a medzi vodičmi a izolátorom).

Väzbové reakcie:- Vznikajú vo väzbe ako následok

pôsobenia primárnych síl. - Pôsobia vždy v smere odobraného

stupňa voľnosti pohybu. - Ich veľkosť a orientácia závisí iba od

parametrov vonkajšieho zaťaženia.

Veľkosť a orientáciu väzbových reakcií u tzv. staticky určitých úloh určujeme zo statických podmienok rovnováhy.

A B F

E

C

D

Obr. 1.10

40


Kyvný prút

Posuvná väzba (tzv.posuvný kĺb) Pevná väzba (tzv. neposuvný, pevný kĺb) Posuvná väzba (tzv. posuvné votknutie) Pevná väzba (tzv. dokonalé votknutie)

Názov väzby Násobnosť väzby (počet odobraných °V)

Značka väzby a neznáme zložky väzbovej reakcie

a

a

a

a

a

Ay 1

1

2

2

3

Ay

Ay

Ay Ax

Ma

Ma Ay Ax

Najbežnejšie rovinné väzby a zložky ich väzbových reakcií:

Každá väzba prenáša také silové účinky (sily a momenty), akým vzájomným pohybom väzbou spojených telies zabraňuje, t.j. ktoré pohyby neumožňuje.

41


Vybrané základné väzby:

42

Obr.1.26

m = 2°V

m = 2°V


Ďalšie rovinné väzby:

• posuvné votknutie: k=3°-2°=1°

• väzba prútom (lanom):

43


44


Uvoľňovanie ideálnych väzieb v mechanike

Riešenie v statike začína transformáciou mechanického modelu hmotného objektu (konštrukcie, prvku) na sústavu silových účinkov (známych aj neznámych). Túto časť riešenia nazývame uvoľnenie hmotného objektu (telesa).1.výber hmotného útvaru, napr. teleso, niekoľko telies naraz, príp.

malá časť jedného telesa (ďalej iba objekt), ktoré chceme riešiť;2.znázornenie známych zaťažujúcich silových účinkov, ktoré na

hmotný útvar pôsobia, 3.oddelenie (uvoľnenie) objektu od jeho okolia, t.j. odstránenie

väzieb, ktorými je objekt viazaný (pripojený, uchytený) k okoliu,4.nahradenie väzieb prislúchajúcimi silovými účinkami –

väzbové reakcie (ich počet a charakter musí zodpovedať tomu, aký pohyb dané väzby obmedzujú, resp. znemožňujú).

45


Príklady nahradenia niektorých typov odstránených väzieb:Kyvný prút Pevný kĺb Posuvný kĺb Votknutie

Odoberá 1 °V (no=1). Umožňuje posun a pootočenie. Vyvodzuje jedinú zložku reakcie A, pôsobiacu v smere osi kyvného prúta.

Odoberá 2°V (no =2). Umožňuje iba pootočenie. Vyvodzuje 2 zložky reakcie A (Ax, Ay). Pevný kĺb možno nahradiť 2 kyvnými prútmi.

Odoberá 1°V (no =1). Umožňuje iba pootočenie a posun. Vyvodzuje iba zložku reakcie B, v smere kolmom na smer možného posunu.

Odoberá 3 °V (no =3). Neumožňuje žiadny pohyb. Ide o pevné spojenie dvoch telies. Vyvodzuje 3 zložky reakcií a to zložky: Cx, Cy a moment Mc.

Cx

Cy

C Mc A

A

A Ay

Ax B

B A

x

y

46


Statická určitosť (neurčitosť) riešenia

Zo znalosti zaťaženia a geometrického usporiadania objektu je možné zostaviť tzv. podmienky rovnováhy, z ktorých možno vyrátať „zatiaľ neznáme“ silové účinky vo väzbách – väzbové reakcie. To však možno iba vtedy, keď je objekt pevne uložený – je nepohyblivý.

PLATÍ: Keď je DTT v rovine uložené tak, že mu odoberáme práve tri stupne voľnosti – t.j. nie je možný ani jeho nekoneč-ne malý posun, ani pootočenie = teleso je v pokoji - hovoríme, že model je staticky určitý (t.j. metódami statiky riešiteľný).

To, či je hmotný objekt uložený nepohyblivo zistíme rozbo-rom počtu ° voľnosti a účinku jednotlivých typov použitých väzieb – tzv. kritérium statickej určitosti.

47


Kritérium statickej určitosti n má tvarn = nv – no

nv ... počet °V voľného telesa (rovina 3°V, priestor 6°V), no ... počet °V odobraných väzbami.

Vo všeobecnosti môžu nastať 3 prípady: • n = 0 - staticky určité uloženie - teleso má väzbami odobrané všetky °V pohybu, tzn. objekt sa nemôže pohybovať.• n < 0 - statický neurčité uloženie, tzv. podurčené - teleso má odobratý väčší počet stupňov voľnosti pohybu ako môže mať, t.j. existuje menej podmienok rovnováhy ako neznámych zložiek väzbových reakcií.• n > 0 - Staticky neurčité uloženie, tzv. preurčené - teleso nemá odobrané všetky stupne voľnosti, tzn. teleso sa môže pohybovať – pre statické riešenie neprípustný prípad.

48


a) Staticky určité uloženie telesa v rovine (Obr.a1) : n = nv - no = 0°

Staticky určité uloženie (n = 0) - zaisťuje stabilné (nepohyb-livé) uchytenie telesa. Väzbové reakcie je možné ľahko určiť zo statických podmienok rovnováhy. Riešenie staticky určitých úloh je relatívne jednoduché.

Staticky určitá konštrukcia je však tuhostne poddajnejšia (tzn. vykazuje väčšie mechanické deformácie).

49


a) Staticky určité uloženie telesa v rovine (Obr. a2,a3) : n = nv - no = 0°

Nosník na dvoch podperách Votknutý nosník

Nosník na dvoch podperách s previsnutým koncom

Obr.1.30

50


Staticky neurčité uloženie (preurčené, n<0) – vystužuje konštrukciu a tým pôsobí priaznivo na jej únosnosť a stabilitu.

b) Staticky neurčité (preurčené) uloženie telesa (Obr. b1, b2): n = nv - no < 0°

51


Obr.1.31

Na výpočet preurčenej mechanickej sústavy nepostačujú iba podmienky statickej rovnováhy, ale je nutné sústavu podmienok doplniť o prislúchajúci počet tzv. deformačných podmienok.

Statický výpočet analytickými postupmi je preto náročnejší a spadá už do náplne mechaniky poddajných telies.

52


Zhrnutie:• Ak je hmotný objekt uložený staticky určito (n=0), preúplné určenie sekundárnych silových účinkov vznikajúcichvo väzbách postačujú iba podmienky statickej rovnováhyvšetkých silových účinkov na objekt pôsobiacich.

• Pri staticky neurčitom (podurčenom) uložení je potrebnéstatické podmienky rovnováhy síl na telese / sústave telies- doplniť o ďalšie rovnice – tzv. deformačné podmienky,vyplývajúce z podmienok jeho pretvorenia vplyvompôsobiaceho zaťaženia.

53

Záver

Záver Presnosť výpočtového odhadu významne ovplyvňujú ďalšie

činitele a javy - a to predovšetkým vhodnosť vyjadreniacharakteru prevádzkového zaťaženia a presnosť odhadujeho veľkosti.

Intenzita prevádzkového namáhania konštrukcie jeovplyvňovaná ďalšími faktormi, ktoré vychádzajú z prevádzko-vých podmienok, ako napr.: korózia, opotrebenie, trenie,tepelné procesy, slnečné žiarenie, teplota a vlhkosť pracovnéhoprostredia, kolísanie teplôt, výrobná technológia, výrobnénepresnosti, konštrukčné riešenie a pod.), ktoré z hľadiskaskutočnej únosnosti prvkov mechanických konštrukciípredstavujú významné rizikové činitele.

54

Záver prednášky

Otázky????

Ďakujem za pozornosť

55

1.4 Stupne voľnosti, väzby a uvoľňovanie telies v mechanike

56

1.4 Stupne voľnosti, väzby a uvoľňovanie telies v mechanike

57

Väzba (Podpera)

Značenie a zložky reakcie Počet stupňov voľnosti

Kĺbové uloženie PEVNÉ

2

Kĺbové uloženie

POSUVNÉ

1

Dokonalé votknutie

3

Kyvný prút

1

Posuvné votknutie

2

M

Fya

Fxa

Záver

Základy mechaniky pevných teliesfsi.uniza.sk/ktvi/leitner/2_predmety/ZMPT/Podklady/De/01...1.2....

Documents

Transcript of Základy mechaniky pevných teliesfsi.uniza.sk/ktvi/leitner/2_predmety/ZMPT/Podklady/De/01...1.2....