Základy mechaniky pevných teliesfsi.uniza.sk/ktvi/leitner/2_predmety/ZMPT/Podklady/De/02...1...

1

Fakulta bezpečnostného inžinierstva Žilinskej univerzity v ŽilineKatedra technických vied a informatiky

Základy mechaniky

pevných telies

Téma 2:

ZÁKLADNÉ AXIÓMY A ÚLOHY STATIKY

2

Úvod

Statika = náuka, zaoberajúca sa podmienkami rovnováhy vonkajších a vnútorných síl pôsobiacich na rozličné (obvykle nosné a veľkorozmerné) konštrukcie a ich prvky.

Konštrukcia - v mechanike telies bude chápaná ako hmotný objekt alebo technické zariadenie, zložené z jedného alebo viac telies (viac nosných a nenosných častí), ktoré tvoria funkčné technické dielo s určenou funkciou a parametrami.

V oblastiach bezpečnostného inžinierstva obvykle uvažujeme veľkorozmerné konštrukcie, napr. stavebná konštrukcia – most, budova, nosná strešná konštrukcia, podporná skruž, príp. časti veľkých strojných systémov a zariadení – nosné rámy, pra-covné ústrojenstvá zdvíhacích a manipulačných strojov, nepo-hyblivé prvky veľkých technologických celkov a pod.).

3

Úvod

Všetky konštrukcie v praxi sú zaťažené konkrétnymi silovými účinkami – v podstate sa jedná vždy o sily, ktoré môžu mať na teleso buď posuvný alebo otáčavý účinok.

Niektoré členenia silových účinkov v mechanike telies:• Osamelé - silový účinok je sústredený na veľmi malú plôšku v pomere k celkovým rozmerom telesa; pôsobenie uvažujeme v bode; ich účinok vyjadrujeme v [N], [kN] alebo spojité - ak je vonkajšie zaťaženie rozložené na určitej čiare [N.m-1] alebo po ploche [N.m-2].• Primárne (akčné) sily – prevádzkové zaťaženie, vlastná tiaž, .... a sekundárne (reakčné sily), vznikajúce vo väzbách medzi telesami.• Povrchové (kontaktné, dotykové) a objemové (vlastná tiaž, odstredivé sily, tepelné zaťaženie, magnetické sily, ...).

4

Úvod

a) osamelá sila b) sústava osamelých síl (bremien)

Fq (náhradná sila)

d) pohyblivé spojité čiastočné zaťaženie

c) stále spojité rovnomerné zaťaženie

e) stále spojité troju- holníkové zaťaženie

f) zložené spojité zaťaženie

g) zaťaženie osamelými momentmi

h) zaťaženie osamelými silami rôzneho smeru

Fq Fq1

Fq2

F F1 F2 F3

F1 F2 F3 M1 M2

Príklady základných druhov zaťaženia, najčastejšie využíva-ných v mechanike telies a ich grafické znázornenie:

5

2.1.1 Sila a jej charakteristika

Sila je mierou vzájomného mechanického pôsobenia telies (príp. hmotných bodov). Je to vektorová veličina.

Je jednoznačne určená svojou veľkosťou, smerom a pôsobis-kom (miesto jej pôsobenia). Označuje sa tučnými písmenami veľkej abecedy: F, Q, G ... alebo v tvare .

2.1. Sila a jej účinky na hmotný objekt v statike

Sila vzniká vzájomným pôsobením hmotných telies.Je prejavom hmoty, príčinou zmeny pohybového stavu čo

do veľkosti a smeru, ale aj primárnou príčinou deformácie. Podľa 2.Newtonovho zákona - zákon sily sa teleso s hmot-

nosťou m účinkom sily F pohybuje so zrýchlením a. Sila, ako účinok vyvolávajúci takýto pohyb, je určená vzťahom

F = m.a [N]. (2.1)

, , ,F Q G

6


Vektory F a a sú rovnobežné, ležia na spoločnej priamke f, tzv. nositeľke sily. Hovoríme, že vektory sú kolineárne (Obr.2.1).

Sila ako vektorová veličina je viazaná k svojej nositeľke fF. Ako neskôr preukážeme - pôsobisko sily môžeme v statike po jej nositeľke ľubovoľne posunúť, pričom pohybový účinok na hmotný objekt sa tým vôbec nezmení.

f

m

F a

Obr.2.1

7


Veľkosť sily F - je už veličina skalárna (tj. nezávislá na zme-ne vzťažného súradnicového systému) a je rovná absolútnej hodnote vektora sily. Platí

F = |F| = m.|a| = m.a [N]. (2.2)

Základná jednotka veľkosti sily =1 N (1 Newton)=1 kg.(1m.s-2).Dôsledok: sila o veľkosti 1 N udelí telesu o hmotnosti m = 1 kgzrýchlenie 1 m.s-2. V praxi, reálna veľkosť sily – využitie násob-ných jednotiek, napr. 1kN = 103N, 1MN = 106N

Bežný a známy príklad silového pôsobenia je tiaž telesa G, t.j. sila, ktorou Zem (pôsobením zemskej príťažlivosti) priťahuje teleso. Jej veľkosť je určená súčinom hmotnosti telesa m a gra-vitačného zrýchlenia g v tvare

G = m . g [N]. (2.3)

8

2.1 Sila a jej účinky na hmotný objekt v statike

Výkon od sily F - definovaný ako práca A vykonaná silou F za určitý čas t. Platí vzťah

P = A / t [J/s]. (2.5)Jednotkou výkonu je 1 Watt = 1 [W]. Výkon 1W predstavuje prácu 1 J vykonanú za 1 sekundu (1 J/s = 1 W).

Práca vykonaná silou F - podľa (Obr.2.2) určená vzťahom A = F . s. [J] (2.4)

Jednotkou mechanickej práce je 1 Joule = 1 [J]. Prácu rovnú 1 J vykoná sila veľkosti 1N na dráhe 1m (1J =1N.m).

Obr.2.3

F F

s fF

Obr.2.2

9


2.1.2 Definovanie sily v rovine a priestore

Sila je fyzikálna veličina vektorového charakteru. Jednoznačne je zadaná, ak sú známe informácie nielen o veľkosti sily, ale aj o jej smere a mieste pôsobenia, tzv. pôsobisko sily (Obr.2.3).

• Pôsobisko – miesto na telese, v ktorom sila bezprostredne pôsobí.• Veľkosť – množstvo (intenzita) silových jednotiek. • Smer – priamka (trajektória bodu), po ktorej sa môže sila pohybovať.• Zmysel – orientácia smeru na priamke (znamienko + , - , šípka).

e Nositeľka sily určuje smer sily

F F Veľkosť sily

Pôsobisko sily

Vektor sily

Šípka znázorňuje orientáciu sily

Obr.2.6

Pôsobisko sily

Vektor sily

Veľkosť sily F

Nositeľka určuje smer sily

Šípka znázorňuje orientáciu sily

fF F

Obr.2.3

10


Základné pojmy pri definovaní sily ako vektora v rovine –pre pravouhlý súradnicový systém (Obr. 2.4).0... počiatok súradnicovej sústavyx, y... osi súradnicovej sústavyA... pôsobisko silyrA... polohový vektor pôsobiska sily AxA, yA... súradnice pôsobiska sily Af... nositeľka silyF... vektor sily

= F... veľkosť silyα, β... smerové uhly vektora sily F

Fx, Fy... veľkosť zložiek vektora silyfF... Smerový vektor sily („šípka“) i, j ... bázové jednotkové vektory.

F

ffF

Obr.2.4

11


Grafické znázornenie sily: úsečka vo vhodne zvolenej mierke. Pri grafickom riešení ju nazývame zobrazovací úsek sily.

Vektor sily môže byť uvažovaný v rovine alebo v priestore.

Sila v rovine (Obr.2.5): rozkladáme do dvoch vektorových zlo-žiek Fx a Fy (najčastejšie v smere určených súradnicových osí) pričom platí:

(2.6)kde Fx, Fy sú veľkosti zložiek sily F v smere súradnicových osí x, y a veličiny i, j sú tzv. bázové jednotkové vektory.

. .x y x yF F= + = +F F F i j

12


Zložky Fx a Fy sily F obvykle volíme vzá-jomne kolmé. Ich veľkosti (môžu byť aj nulové) sú určené vzťahmi

(2.7)

kde α je tzv. smerový uhol, ktorý nositeľ-ka sily fF zviera s kladným smerom osi x. Uhol β je uhol medzi nositeľkou sily fF a kladným smerom osi y.

.cos.sin .cos

x

y

F FF F F

αα β

=

= =

Veľkosť sily F určujeme podľa Pythagorovej vety

(2.8) 2 2x yF F F= +

Obr.2.5

f F

β

13


Sila v priestore (Obr.2.6): rozkladáme do troch, navzájom kolmých zložiek Fx, Fy a Fz, pričom analogicky s rovinným prípadom platí:

(2.9)

kde kde i, j, k, sú jednotkové bázové vektory.

. . .x y z x y zF F F= + + = + +F F F F i j k

Obr.2.6

f F

14


Jednotlivé veľkosti zložiek sily F:(2.10)

kde uhly α, β, γ sú smerové uhly nositeľky sily k príslušným súradnicovým osiam x, y, z. Veľkosť sily F:

(2.11) 2 2 2

x y zF F F F= + +

.cos , .cos , .cosx y zF F F F F Fα β= = =

Zo vzťahu 2.10 pre kosínusy smerových uhlov platí

A musí platiť (2.12)

γ

cos , cos , cosyx zFF F

F F Fα β χ= = =γ

2 2 2cos cos cos 1α β χ+ + =γPríklad 2.1: Zakreslite sily F1 a F2 a určte ich zložky v smeresúradnicových osí. Zadané: F1(-2,4;60°;600N), F2(0,0,0;45°;60°;75°;40kN).

15


2.1.3 Účinok sily na dokonale tuhé telesoSilový účinok, vyvolaný pôsobením jednej alebo viacerých síl,

môže byť realizovaný: • bez vzájomného styku telies alebo • vzájomným stykom telies.

• Bez vzájomného styku telies (Obr.2.7)Na základe zákona akcie a reakcie sily vzájomného pôsobenia sú rovnako veľké, a teda platí FSZ = -FZS. Akcia leží s reakciou na jednej nositeľke, je rovnako veľká, ale opačne orientovaná.

S

Slnko Zem

Z

FSZ FZS

Obr.2.4 Obr.2.7

16


• Vzájomným stykom telies – bod / plocha (Obr.2.8)Príklad vzájomného pôsobenia telies na základe ich styku je

napr. interaktívne mechanické pôsobenie Telesa A (sila FAB) a Telesa B (sila FBA).

Miera mechanického pôsobenia Telesa B na Teleso A je vyjadrená silou FBA .

Analogicky miera mechanického pôsobenia Telesa A na Teleso B je vyjadrená vo forme sily FAB.

Aby boli obidve telesá v stave statickej rovnováhy musí platiť FBA = FAB.

Obr.2.5

Teleso A Teleso B

Teleso A

Teleso B

Miera mechanického pôsobenia

Miera mechanického pôso-benia telesa A na teleso B

telesa B na teleso A

FAB FBA

FAB

FBA Teleso A

Teleso B

Obr.2.8

17


1. Posuvný (translačný) účinok (PÚ)- je charakterizovaný veľkosťou sily Fa je ku každému bodu telesa rovnaký. Výsledok: posunutie telesa v smere pôsobiacej sily.

Sila môže mať vo všeobecnosti vzhľadom na teleso ibaposuvný (translačný) účinok (PÚ) alebo otáčavý (rotačný)účinok (OÚ).

Znamienková dohoda:⊕ posuvný účinok sily je uvažovaný v smere kladných poloosívzťažného súradnicového systému; ① posuvný účinok sily je v smere záporných poloosí zvoleného súradnicového systému.

18


2. Otáčavý (rotačný) účinok (OÚ) - je charakterizovaný buď:• momentom sily MF vzhľadom k zvolenému bodu / osiotáčania, ktorého veľkosť je k rôznym bodom telesa vždy iná,• momentom od silovej dvojice MM,ktorého veľkosť je vzhľadom kuvšetkým bodom telesa rovnaká.

+

− < > Znamienková dohoda:

⊕ moment je ľavotočivý ↶ (t.j. + M = otáčanie proti smeru pohybu ručičiek hodín), ① moment je pravotočivý ↷ (t.j. - M = otáčanie v smere pohybu ručičiek hodín).

Záver: Sila F má vzhľadom na všetky: • body jej nositeľky iba posuvný účinok, • ostatné body v rovine jej pôsobenia (t.j. na objekte, ako aj

mimo neho) nielen posuvný, ale aj otáčavý účinok.

19


Viac síl: ak na objekt pôsobia dve a viac síl, zložky ich výs-lednej sily - tzv. výslednice R získame vektorovým súčtom príslušných zložiek zadaných síl. Platí

, (2.13)

kde pre veľkosti zložiek výslednice platí

(2.14)

pre všetky i=1,2,..., n.

. .x y x yR R= + = +R R R i j

1 1

,n n

x xi y yii i

R F R F= =

= =∑ ∑

Objasnenie základných operácií so sústavami síl – najmä skladanie a rozklad síl - bude uvedené pri axiómach statiky.

20

2.2 Otáčavé účinky sily na hmotný objekt v statike

2.2.1 Statický moment sily k bodu

Sila okrem posuvného účinku môže vyvolávať aj účinok otá-čavý. Otáčavý účinok vzniká vzhľadom k ľubovoľnému bodu roviny / priestoru, ktorý neleží na nositeľke tejto sily.

Ak pôsobí sila F v bode A telesa (obr.2.9), ktoré sa môže okolo bodu 0 otáčať, bude otáčavý účinok tým väčší, čím väčšia bude sila F a čím väčšia bude kolmá vzdialenosť p jej nositeľky fF od bodu otáčania 0.

F

A

fF r α

Obr.2.9

Bod 0 je tzv. momentový bod(často aj bod otáčania).

21


Veľkosť otáčavého účinku silyVeľkosť otáčavého účinku sily F vyjadrujeme prostredníctvom

tzv. statického momentu M vzhľadom k zvolen. bodu otáčania. Moment sily - je vektorová veličina a môže mať kladný (+) alebo záporný (+) zmysel.

Veľkosť momentu sily k bodu 0 je daná vektorovým súčinom (2.16)

kde α je uhol, ktorý zvierajú smery nositeliek vektorov r a F, p je kolmá (najkratšia) vzdialenosť bodu 0 od nositeľky sily fF.

. .sin .M r F F pα= × = =r F

[N.m] (2.17)kde p je tzv. rameno sily, ako najkratšia (kolmá) vzdialenosť nositeľky sily fF od určeného bodu otáčania „0“. Jednotka momentu sily = 1 N.m (1 Newtonmeter).

.p=M F

22


Na základe uvedeného je možné vysloviť tvrdenia (vety):• Mierou otáčavého účinku sily F okolo zvoleného bodu je statický moment M od sily F vzhľadom k tomuto bodu.

• Statický moment sily je určený súčinom sily F a jej naj-kratšej (kolmej) vzdialenosti p (rameno sily) od zvoleného momentového bodu.

• Moment sily vzhľadom na bod je tzv. viazaný vektor, t.j. k rôznym bodom v rovine / priestore má tá istá sila F iný otáčavý účinok M.

Príklad 2.2: Určite veľkosť otáčavého účinku (veľkosť a zmysel) od sily F vzhľadom k bodom A, B a C. Usporiadanie síl a body podľa obrázka. Zadané: F=1000 N, pA=0,5 m, pB=0,9 m.

23


Smer (orientácia) momentu silyMoment sily M je kladný, ak polohový vektor a sila tvoria ľavo-

točivý systém (proti pohybu hodinových ručičiek). Inak moment sily k zadanému bodu považujeme za záporný (t.j. v smere po-hybu hodinových ručičiek).

Znamienko momentu sa podľa dohovoru označuje podľa zmyslu točivého účinku takto:

(proti chodu hodinových ručičiek) (v smere hodinových ručičiek)

- +

Príklad 2.3: Na hmotnom objekte určite veľkosť a zmysel otáčavého účinku od sily F vzhľadom k bodom A, B. Zadané: F(0,0;0°,1000N), A(6,-4), B(4,-4), b=12 m, h=8 m.

24

• maximálny moment sily Fvzniká vtedy, keď je nositeľka sily F kolmá na polohový vektor momentového bodu, tzn. rameno sily je vtedy naj-väčšie (obr.2.10) a platí :


• sila F má na teleso nulový otáčavý účinok, keď jej nositeľka prechádza momentovým bodom (obr.2.10). V tomto prípade:

= ⇒ = =min0 . 0p M F p

= =max max. 0 .M F A F pA0

Obr. 2.10

Na základe uvedeného je možné vysloviť tvrdenia:

25


Momentová veta: Ak na teleso pôsobí viac síl (obr.2.11) je výsledný otáčavý účinok vzhľadom k bodu 0 určený algebrickým súčtom jednotlivých momentov Mi a platí

(2.18) =∑ ∑1 1 2 2 n n1 1

M = F.p - F .p + ... - F .p = .n n

i i iF p M

Podmienka rovnováhy viacerých momentov, pôsobiacich na otočne uložené teleso, vo všeobecnom tvare

(2.19) 0i i iM M F p= = =∑ ∑

A 1A i

A n

A 2

Obr. 2.11

26


Doteraz (pre zjednodušenie) sme predpokladali, že pre urče-nie statického momentu M vždy poznáme veľkosť F, ako aj prislúchajúce rameno p tejto sily (POZOR: často problematický / zdĺhavý výpočet ramena sily p).

V praxi býva zadanie všeobec-nejšie, napr. poznáme Fi, αi, Ai(xi, yi), pre i = 1,2, ..., n.

Z obr.2.12 sa dá dokázať, že pre rameno pi sily Fi platí

(2.20) i i i i ip = x .sin - y .cosα α

Fi

αi

α

Fix

Fiy

Obr. 2.12

27


Dosadením do rovnice (2.17) dostaneme

(2.21) = . - .i i i y i i xM x F y F

Dosadením do vzťahu 2.21 - za hodnoty súradníc xi a yi a zložiek síl Fix a Fiy s ohľadom na znamienka (+, -), dostaneme výsledné znamienko (=zmysel) momentu v súlade s prijatou dohodou resp. . + -Výsledný moment všetkých síl pôsobiacich na DTT k tomu istému bodu otáčania je definovaný v tvare

(2.22) = = −∑ ∑( . . )Fi i iy i ixM M x F y F

( )i iM . . .sin .cos M . .sin . .cosi i i i i i i i i i i i iF p F x y x F y Fα α α α= = − ⇒ = −

Vzťah (2.22) predstavuje rovnicu, ktorá je v mechanike telies známa ako Varignonova momentová veta.

28


Varignonova momentová veta slovne:Statický moment výslednice R sústavy síl k ľubovoľnému bodu roviny (priestoru) sa rovná algebraickému súčtu sta-tických momentov zložiek všetkých síl sústavy, určených k tomu istému bodu.

Príklad 2.5: Na konzolovom nosníku určite veľkosť a zmyselmomentu sily F vzhľadom k bodu A. Zadané: F=250 N, α =30°,rozmery nosníka podľa obrázka.

Príklad 2.4: Určite veľkosť a zmysel otáčavého účinku sily F vzhľadom k bodu 0. Zadané: F(2,3;30°;2000 N).

Príklad 2.6: Určite veľkosť sily B pôsobiacej na teleso zaťaže-né silou F a bremenom o hmotnosti m. Zadané: F=1000 N, m=500 kg, l=4 m, a=1 m.

29


2.2.2 Staticky moment silovej dvojice

Dve rovnobežné, nekolineárne (neležia na tej istej nositeľke) a rovnako veľké sily opačného zmyslu tvoria silovú dvojicu.

Na obr.2.13 je zakreslená silová dvojica, tvorená silami F1 a F2, pre ktoré platí

takže musí platiť aj (2.23)

1 2F F F= ⇒ = =2 1F -F

= + = + =∑ 2 1 ( )i 1 1F F F F -F 0

Z uvedeného vyplýva: silová dvojica má výslednicu vždy rovnú nule (tzn. nemá žiadny posuvný účinok na teleso).

A1

A2

Obr. 2.13

30


Momentový (otáčavý, točivý) účinok silovej dvojice k ľubovoľ-nému bodu však nulový nie je. Platí:

= = = − +

= − =∑ ∑ 1 2 2

2 1

( . ) . ..( ) .

i iM M F p F p F pM F p p F p

i 1

Moment silovej dvojice je definovaný vzťahom(2.24)

kde však p predstavuje vzdialenosť nositeliek síl tvoriacich silovú dvojicu (tzv. rameno silovej dvojice).

Výpočtový vzťah (2.24) je rovnaký ako (2.17), rozdielne je iba uvažovanie hodnoty p (rameno sily/rameno silovej dvojice).

M = F . p

Platí: Silová dvojica má na teleso len otáčavý účinok a to rovnaký ku každému bodu roviny. Vyjadruje sa tiež veličinou s ozn. M – tzv. momentom silovej dvojice.

31


Moment silovej dvojice nezávisí na polohe momentovéhobodu a teda je ku všetkým bodom roviny rovnaký.

Účinok silovej dvojice je možné znázorniť i graficky (napr. obr.2.14), obvykle vo forme orientovaného oblúčika s označením M [Nm].

Z doteraz uvedeného vyplýva:

Príklad 2.7: Vyjadrite posuvný a otáčavý účinok dvoch rovnakoveľkých, opačne orientovaných, síl F1 a F2 vzhľadom k bodomA, B, C. Sily ležia na paralelných nositeľkách fF1, fF2., ktorýchvzdialenosť je p. Zadané: F1=F2=10 kN, p1A=2 m, p2A=4 m.

M M

A1

A2 A

Obr. 2.14

32


Sústava silových dvojíc je v rovnováhe, keď je algebraický súčet ich momentov k ľubovoľnému bodu telesa nulový.

Viac silových dvojíc: ak na teleso pôsobí viac silových dvojíc, je výsledný otáčavý účinok určený momentom M v tvare algebra-ického súčtu jednotlivých otáčavých účinkov

(2.26) ( ).i i iM M F p= =∑ ∑Pre statickú rovnováhu sústavy silových dvojíc vzhľadom

k ľubovoľnému bodu K telesa platí

(2.25)Slovne:

=

= =∑ ∑( )1( . ) 0

n

K i ii

M F p

33


Z charakteru silovej dvojice, vyplýva:• Silovú dvojicu nemožno nahradiť jedinou silou, tzn. sila

a silová dvojica nemôžu byť nikdy ekvivalentné (moment sily k rôznym bodom rôzny; moment silovej dvojice rovnaký).

• Silovú dvojicu možno v rovine ľubov. posunúť a natočiť.• Dvojicu (Fi.pi) možno nahradiť ľubovoľnou inou dvojicou

(Fj.pj), keď je splnená podmienka v tvare Fi.pi = Fj.pj a aj zmysel točivého účinku je rovnaký.

• Dvojica síl môže byť v rovnováhe iba s inou dvojicou síl (a to len vtedy, keď jej točivý účinok možno zrušiť rovnako veľkým točivým účinkom opačného zmyslu).

Príklad 2.8: Nahraďte dvojicu síl F1 ,-F1 pôsobiacu v bodochA, B inou dvojicou síl F2, -F2, pôsobiacou v bodoch C, D, ichsmer je zadaný. Zadané: F1 = 500 N, rozmery podľa obrázka.

34


Statická rovnováha / ekvivalencia sústav momentovPre sústavy momentov Mi a Mj (i = 1,2,...,n; j = 1,2,...,m)

musí byť splnená rovnica (2.27)

kde znamienka predstavujú: (-) .. ekvivalenciu, (+) .. rovnováhu.

∑Mi ± ∑Mj = 0

Dve sústavy momentov sú v rovnováhe, keď algebraický súčet otáčavých účinkov od nich je rovný nule.

Príklad 2.9: Určite veľkosť síl A, B tak, aby boli v rovnováhe spôsobením dvojice síl F1, F2 podľa obrázka. Zadané: F1=F2=50 kN, a = 0,5 m, b = 0,7 m, l = 5 m.

35

2.3 Základné axiómy statiky

Základné axiómy statiky

Všetky princípy, vety a vzťahy v statike sú odvodené z New-tonových zákonov a najdôležitejších princípov – tzv. axióm.

Axióma je jednoduché tvrdenie, ktoré nemožno matematicky dokázať. Predstavuje všeobecnú formuláciu, ktorá je výsledkom dlhodobých pozorovaní a experimentov a jej relevantnosť sa sústavne v praxi potvrdzuje.

Jedným z dôsledkov axiómy o rovnováhe dvoch síl je aj veta o pridaní / odobratí rovnovážnej sústavy síl (často uvádzaná ako 3.axióma statiky, známa ako axióma zachovania účinku sily).

Statika je založená na dvoch základných axiómach: axióme o rovnováhe dvoch síl a axióme o rovnobežníku síl.

36

2.3. Základné axiómy statiky

Dve sily sú v rovnováhe iba vtedy, keď ležia na spoločnej nositeľke (sú tzv. kolineárne), sú rovnako veľké a opačne orientované (majú opačný zmysel) (obr.2.15).

Axióma súvisí s Newtonovým zákonom akcie a reakcie. Platí:

F2=-F1F1+F2= 0 } kolinearita

Podmienka rovnováhy sústavy síl F1, F2 na DTT:

(2.38)F1 + F2 = 0 ⇒ kolineárne

2.3.1. Axióma o rovnováhe dvoch síl - tzv. nulový systém

f1 ≡ f2

Obr. 2.15

37


Príklad 2.10: Určite posuvný a otáčavý účinok dvoch rovnako veľkých, opačne orientovaných síl F1 a F2, ležiacich na spoloč-nej nositeľke (tzv. nulová dvojica síl). Zadané: F1=F2= 200 N, pA=0,5 m.

38


2.3.2 Axióma o rovnobežníku síl

Silu R nazývame výslednica (rezultanta) a hovoríme, že je staticky ekvivalentná silám F1, F2.

Pri nahradení sústavy síl (aspoň dve) ich výslednicou hovo-ríme o redukcii (náhrade, zjednodušení) silovej sústavy.

Dve rôznobežné sily F1, F2, pôsobiace v spoločnom bode DTT, majú rovnaký účinok ako jediná sila R, pôsobiaca v tom istom bode. Veľkosť, smer a zmysel sily R určuje uhlopriečka tzv. silového rovnobežníka, ktorého strany predstavujú veľkosti síl F1 a F2.

39


Účinok dvoch rôznobežných síl F1 a F2 (obr.2.16b) s pôso-biskom v rovnakom bode, je rovnaký ako účinok výslednice R, ktorej vektor je určený uhlopriečkou tzv. silového rovnobežníka.

Naopak, sily F1, F2 v rovnobežníku síl nazývame zložkyvýslednice R (obr.2.16c).

zložky výslednica

silový trojuholník a) dve rôznobežné sily b) c)

≡

silový rovnobežník

zložky

zložky

Obr. 2.16

40


Z obr.2.16c vyplýva, že výslednicu R je možné určiť i analy-ticky a to vektorovým súčtom síl F1 a F2, pričom platí:

R = F1 + F2 = F2 + F1 (2.28)

Takýto súčet sa skladá z tzv. silových trojuholníkov (obr.2.27c) a má charakter komutatívnosti sčítania vektorov, t.j.nezáleží na poradí sčítania síl! – Obr.2.16 d.

Obr. 2.16 d

41


• Aplikácia 1: Skladanie dvoch síl

Na obr.2.17 je postup pri zložení dvoch rôznobežných síl F1, F2s rôznymi pôsobiskami (body A a B). Bude dokázané: každú silu je možné v statike ľubovoľne posú-vať po jej nositeľke. Sily F1, F2 preto možno posunúť do prieseč-níka ich nositeliek (bod C) a nahradiť ich výslednicou R.

B A

F1

C

B A

C

≡

F2

F1

R

F2

Obr. 2.17

42


• Analytické (výpočtové) riešenie :

Zadané: veľkosti síl F1, F2 a uhol α, ktorý sily zvierajú (Obr.2.18). Pre určenie veľkosti ich výslednice a jej smeru (α1, α2) je možné využiť kosínusovú a sínusovú vetu.

Riešenie vychádza z rov. (2.29), kde zo známych viet o všeobecnom tro-juholníku a že cos α = - cos(π-α) platí:• Cosínusová veta: veľkosť sily R

(2.29)2 2

1 2 1 2

2 21 2 1 2

2 cos( )

2 cos

R F F F F

R F F F F

π α

α

= + − − ⇒

= + +

Obr. 2.18

43


• Sínusová veta: smer sily R

(2.30)

21

12

sin sin

sin sin

FRFR

α α

α α

=

=

1 2

2 1

,sin sin sin sin

F FR Rα α α α

= = ⇒

Pre vybrané uhly (obr.2.31) platí:

α1 = α2 =0 α1 = π ; α2 =0

21sin .1F

Rα =

12sin .1F

Rα =

α = 0 → (π - α) = π R = F1 + F2 α = π → (π - α) = 0

R = F1 – F2 = F2 - F1

α = 2π → (π - α) =

2π

2 2 21 2

2 21 2

R F F

R F F

= +

= +

Obr. 2.19

(Obr. 2.19) platí:

44


• Grafické riešenie (obr.2.20): ak sú zadané veľkosť a zmysel síl F1, F2 a smery ich nositeliek f1, f2 (obr.2.32a), zvolíme vhodnú mierku síl mF (N.mm-1) a určíme veľkosti tzv. zobrazovacích úsečiek (v mm) pre zakreslenie síl. Platí

(2.31) 1 21 2,

F F

F FF Fm m

= =

b)

1F

2F

c) a) 2F

1F

f2

f1

Obr. 2.20

45


Výslednica smeruje vždy proti zmyslu obehu zložieka (čiarkované oblúky v obr.2.32c). Na obr.2.20c odmeriame v silovom trojuholníku hodnotu [mm]. Veľkosť výslednice R v[N] potom získame ako [N] . (2.32) . FR R m=

Praktické výpočty: prednosť analytické (výpočtové) postupy; grafické metódy iba sporadicky a hlavne pre objasnenie fyzikál-nej podstaty úlohy.

Príklad 2.13: Určite veľkosť a smer výslednej sily R pôsobia-cej v bode A konzolového nosníka so zavesenými bremenamiQ1, Q2. Zadané: Q1 = 250 N, Q2 = 350 N, uhly podľa obrázka.

R 1F2F

R

Príklad 2.12: Určite výslednicu dvoch rôznobežných síl F1, F2a veľkosti jej zložiek v smere súradnicových osí x, y. Zadané:F1(0,0; 0°,100 N), F2(0,0; 60°,200 N).

46


• Aplikácia 2: Rozklad sily na dve navzájom kolmé zložkyObrátenou, ale rovnako dôležitou, úlohou je rozklad sily na

dve zložky. V statike najčastejšie využívame rozklad sily do dvoch navzájom kolmých zložiek – obvykle v smere osí x, y.

Ak je zadaná sila F a uhol α(obr.2.21), potom zložky sily Fv smeroch súradnicových osí (Fx, Fy) sú určené v tvare:

(2.36) .cosxF F α= .sinyF F α=

Príklad 2.14: Analyticky aj graficky rozložte silu F do dvoch navzájom kolmých zložiek. Zadané: F(-15,10;135°,500 N).

Fy

Fx

F

Obr. 2.21

47


• Aplikácia 3: Rozklad sily na 2 nekolmé (všeobecné) zložky

Úloha nie je jednoznačná, nakoľko zadanú silu možno rozložiť na dve zložky (Obr. 2.22) v rôznych smeroch, pričom platí:

(2.33)

Úloha sa stane jednoznačnou až vtedy, keď sú známe smery nosi-teliek f1, f2 oboch, zatiaľ nezná-mych, síl F1 a F2 . Napríklad sú zadané ich smerovými uhlami.

Hľadané sily F1 a F2 uvažujeme ako zložky sily R, ktorú sa snažíme rozložiť.

′ ′ ′′ ′′1 2 1 2R = F + F = F + F = ........

Obr. 2.22

48


• Analytické riešenie: z obr.2.23a pri rozklade sily R pomocou rovníc 2.30 vyplýva:

(2.34)

kde α = α1 + α2 a .

2 11 2

sin sin. , .sin sin

F R F Rα αα α

= =

π-α

sin(π-α)=sinα

f

f a) b)

Obr. 2.23

49


• Grafické riešenie: vyžaduje opäť voľbu mierky síl mF [N/mm]pre určenie a zakreslenie zobrazovacieho úseku sily [mm]

FmRR =

Nakreslíme silový trojuholník (obr.2.23b) a podľa (2.33) v tvare odmeriame dĺžku úsečiek v [mm] a určíme

veľkosti oboch zložiek spätnou transformáciou:[N] resp. [N] . (2.35)

1 2R F F= +

1 2,F F

1 1. FF F m=

2 2. FF F m=

Príklad 2.15: Uvažujme teleso s hmotnosťou m, zavesené nadvoch lanách 1 a 2. Výpočtom určite veľkosť síl F1, F2, ktorév lanách vzniknú vplyvom vlastnej tiaže telesa.

[mm]

Príklad 2.16: Konzola je zaťažená silou Q. Analyticky ajgraficky vyriešte zaťaženie prútov 1 a 2 konzoly. Zadané: Q=2kN, usporiadanie a rozmery podľa obrázka.

50


2.3.3 Veta o pridaní (odobratí) rovnovážnej sústavy sílAxióma o rovnováhe 2 síl hovorí: Dve sily sú v rovnováhe iba

vtedy, ak pôsobia na spoločnej nositeľke, sú rovnako veľké a opačne orientované. Z nej vyplýva aj tvrdenie:Účinok silovej sústavy sa nezmení, ak k nej pridáme alebood nej odoberieme inú - rovnovážnu silovú sústavu.

K sile F, pôsobiacej na DTT v bode A (obr.2.24a), môžeme pripojiť dve rovnako veľké sily +F a –F, pôsobiace v tom istom smere, ale v bode B = rovnovážna (nulová) dvojica síl.

Obr. 2.24 aÚčinok pôvodnej sily F sa však tým nezmení.

51


Axióma platí analogicky aj pre sústavu síl. Nech sily F1 až F5 (Obr.2.24b) tvoria rovnovážnu sústavu síl.

Ak na teleso pridáme nulovú sústavu síl +F, –F, nová sústava síl bude stále v stave statickej rovnováhy, tzn. pôvodná aj nová sústava síl sú staticky ekvivalentné (≡). Analogicky platí: Ak rovnovážnu sústavu síl zo silovej sústavy odoberieme, účinok sústavy sa nezmení.

F4

≡

F5

F1

F2

F3

F4 F5

F1

F2

F3 F

-F Obr. 2.24b

52


• pridaním (odobratím) rovnovážnej sústavy síl sa pohybo-vý stav DTT nezmení,

• dve ľubovoľné silové sústavy, ktoré sa líšia iba o rovno-vážnu sústavu síl sú rovnocenné (staticky ekvivalentné).

Uvedené tvrdenia sa využívajú pri dôkaze toho, že účinoksily na DTT sa nezmení, ak sa jej pôsobisko posunie ľubovoľnev smere jej pôsobenia - po nositeľke sily.

Uvedené tvrdenie je známe ako veta o posunutí sily po jejnositeľke.

Z axiómy o rovnovážnej sústave síl vyplýva:

53


2.3.4 Veta o posunutí sily po jej nositeľke

Podľa Obr. 2.25 môžeme k sile F, pôsobiacej na DTT v bode A, pripojiť 2 rovnako veľké sily +F´ a F´´(nulová sústava), pôso-biace v tom istom smere, ale v pôsobisku B. Je možné dokázať, že účinok sily F na teleso sa nezmení.

Sila F pôsobiaca v bode A telesa (obr.2.25a) je podľa axiómy o rovnováhe 2 síl staticky ekvivalentná so sústavou síl F, F΄, F˝ pôsobiacich v bodoch A, B (obr.2.25b), pričom F´+ F˝= 0 → je to rovnovážna dvojica síl.

≡ ≡

Obr. 2.25a) b) c)

54


Ak platí F´= -F˝= F (obr.2.25b) potom platí aj F + F˝= 0. Po ichodobratí zostáva na telese iba sila F´= F, pôsobiaca v bode B.Inak vyjadrené: K sile F pôsobiacej v bode A sme pridalirovnovážnu sústavu síl F΄ a F˝ v bode B. Ak odoberiemerovnovážnu sústavu tvorenú silou F v bode A a silou F˝ v bodeB, bude na teleso – bez zmeny výsledného pohybového účinku– pôsobiť iba sila F΄= F , pôsobiaca v bode B.

Je teda zrejmé, že F → A ≡ F → B (obr.2.25c) a teda platí:

Silu pôsobiacu na DTT je možné po jej nositeľke ľubo-voľne posúvať, pričom jej účinok na DTT sa tým nezmení.

Príklad 2.17: Dokážte, že posunutím sily F po jej nositeľke fF(napr. z bodu A do B) sa jej výsledný účinok na DTT nezmení. Zadané: F(3,4; 45°, 2 kN), A(3,4), B(8,9).

55

2.4. Transformácia silových účinkov na DTT

2.4 Transformácia silových účinkov

Pojmom transformácia sily obvykle nazývame nahradenie jednej silovej veličiny inou silovou veličinou.

Najčastejšie sa jedná o:• preloženie sily na iné miesto na telese alebo• skladanie osamelej sily a silovej dvojice.

Ak má novo získaná (transformovaná) sila / sústava síl rovna-ké účinky na DTT ako pôvodná, takúto náhradu považujeme za ekvivalentnú transformáciu silovej veličiny a hovoríme o ekviva-lencii obidvoch (pôvodný aj novo získaný) silových účinkov.

56

2.4 Transformácia silových účinkov na DTT

2.4.1 Preloženie sily na telese

Silu na DTT (bod A) možno preložiť do iného bodu na tom istom DTT (bod B), ak v rovine určenej nositeľkou sily a týmto bodom, pridáme rovnovážnu dvojicu síl (F, -F), ktorej účinok so silou pôvodnou vyvolá otáčavý účinok, rovnajúci sa statickému momentu sily v bode A vzhľadom k bodu prekladu (bod B).

Silu, pôsobiacu na DTT môžeme preložiť do iného, ľubovoľ-ného bodu telesa.

Ak v rovine určenej nositeľkou sily a bodom prekladu pridá-me nulový (rovnovážny) systém síl, spolu s pôvodnou silou vyvolá okrem posuvného účinku aj účinok otáčavý. Veľkosť a zmysel vzniknutého otáčavého účinku je rovný veľkosti a zmyslu statického momentu sily v pôvodnej polohe vzhľadom k zvolenému bodu prekladu. Preto platí tvrdenie:

57


Podľa axiómy o pridaní rovnovážnej sústavy síl, napr. F, -F, pôsobiacej v bode B (ozn. F, -F → B, ...označenie miesta sily) v obr.2.26b je sústava ekvivalentná (≡) so sústavou podľa obr. 2.26a, ako aj so sústavou na obr.2.26c.

Platí zápis (2.27)

ktorý predstavuje symbolické vyjadrenie vety o preložení sily.

F → A ≡ F →B , MB = F . p

≡ ≡ A B

A B

A

B

MB

p

b) c) a)

Rovnovážna dvojica síl

Momentová silová dvojica

Obr. 2.26

58


Zmysel otáčavého účinku oboch sústav síl (obr.2.41c,a) však musí byť rovnaký.

Zjednodušene povedané: Silu F→A je možné na DTT preložiť do iného bodu DTT (bod B) tak, že v novom pôsobisku sily F (bod B) vložíme rovnakú silu F,ale k tomu musíme pridať aj prislúchajúci otáčavý účinok M – t.j. moment od sily F vzhľadom k novému pôsobisku sily (bodu B).

Príklad 2.18: Vykonajte ekvivalentnú transformáciu (preklad)sily F s pôsobiskom v bode A tak, aby jej nové pôsobiskobolo v bode B. Zadané: F(3,2;30°;10 kN), A(3,2), B(-2,-5).

59


2.4.2. Skladanie sily a silovej dvojicePri opačnom postupe podľa obr.2.26 – je možné vykonať aj

redukciu (zjednodušenie) všeobecne zadanej silovej sústavy –t.j. silu F a moment M nahradiť jedinou silou F´, posunutou o vzdialenosť (rameno) Mp

F=

Silu F na DTT možno v jeho ľubovoľnom mieste nahradiť ekvivalentnou sústavou síl, tvorenou osamelou silou F a momentom M (pri splnení podmienok ich ekvivalencie).

Príklad 2.19: Silu F, pôsobiacu v bode A a moment Mnahraďte staticky ekvivalentným účinkom vo forme sily F´,pôsobiacej v bode C. Zadané: F(6,0;180°;600 N), M=150 Nm,rozmery podľa obrázka.

60

2.5. Základné úlohy statiky

Statika = časť technickej mechaniky, zaoberajúca sa rov-nováhou silových účinkov pôsobiacich na hmotné objekty.Primárna úloha statiky = riešenie statickej rovnováhysilových účinkov.

K tomu je nutné poznať rozmery konštrukcie, jej geometrické usporiadanie, veľkosť a charakter vonkajšieho zaťaženia, pô-sobiaceho na konštrukciu a charakter väzieb s inými telesami.

V súvislosti s riešením statickej rovnováhy silových účinkovje často potrebné riešiť aj problémy tzv. statickej ekvivalencie(rovnocennosti) účinkov od pôsobenia síl na telesá.

2.5 Základné úlohy statiky

Problém statickej ekvivalencie je pri analýze silovýchúčinkov v statike natoľko významný, že je považovaný za 2.hlavnú úlohu statiky.

61


Podľa uvedených úvah statika rieši dve základné úlohy:

1. Riešenie statickej rovnováhy 2. Riešenie statickej ekvivalencie

Sústava síl je v stave statickej rovnováhy, ak svojim pôsobením nemení pohybový stav hmotného objektu (v statike sa teleso nachádza v stave pokoja, nepohybuje sa).

Dve rôzne sústavy síl sú staticky ekvivalentné, ak vyvolávajú rovnakú zmenu pohybového stavu hmotného objektu (t.j. majú na teleso rovnaký pohybový účinok)

STATIKA - umožňuje definovať a riešiť podmienky rovno-váhy / podmienky ekvivalencie vonkajších a vnútornýchsilových účinkov pôsobiacich na konštrukcie a ich prvky.

62


Základné predpoklady statiky: • uvažuje s existenciou dokonale tuhého telesa - to je iba abstrakcia; reálne teleso = vždy poddajné (deformovateľné).• skúma iba závislosť medzi silovými účinkami pôsobiacimi na teleso (neuvažuje sa materiál, tvar ani rozmery prierezu telesa),• predmetom záujmu sú iba prípady, keď silové účinky pôso-biace na teleso sú v rovnováhe ⇒ teleso je v stave pokoja. Statika je náuka o telesách v pokoji a je zameraná na:• vytvorenie adekvátneho mechanického modelu objektu,• posúdenie statickej určitosti mechanického modelu• uvoľnenie telesa a určenie zložiek reakčných síl vo väzbách,• zostavenie a riešenie podmienok rovnováhy / podmienokekvivalencie (náhrady) sústav síl, pôsobiacich na teleso,

• správnu interpretáciu výsledkov,• poskytnutie podkladov pre mechaniku poddajných telies.

63

Záver

Všetky uvedené vzťahy, axiómy a vety platia iba v rámci tzv. technickej mechaniky, t.j. za predpokladu uvažovania doko-nale tuhého telesa. Vtedy sa transformáciou silového účinku jeho statické účinky na hmotný objekt nezmenia.

• Účinok dvoch rôznych, aj keď ekvivalentných silových sústavna poddajné teleso je však rozdielny. Odlišné usporiadaniezaťažujúcich sústav síl vyvolá odlišné deformačné účinky.• Na skutočnom telese by premiestnenie silového účinku na iné miesto vyvolalo aj zmenu parametrov deformácie telesa. U PDT teda platí: deformačné účinky sily by sa jej posunutím zmenili a deformácia PDT je závislá aj na mieste pôsobenia silového účinku vyvolaného zaťažením telesa.

V mechanike poddajných telies (náuka o pevnosti a pruž-nosti) je preto posúvanie sily po jej nositeľke neprípustné.

64

Záver prednášky

Otázky????

Ďakujem za pozornosť

Pri analýze objektu (reálny mechanický systém, konštrukcia) je objekt nahradený fyzikálnym a neskôr matematickým modelom, v ktorom sú účinky okolitých telies a javov vhodne zavedené – silové účinky, väzbové sily.

Množinu takýchto silových účinkov nazývame sústava síl, silová sústava.

Nabudúce: Sústavy síl v rovine – rovnováha a ekvivalencia sústav síl.

Základy mechaniky pevných teliesfsi.uniza.sk/ktvi/leitner/2_predmety/ZMPT/Podklady/De/02...1...

Documents

Transcript of Základy mechaniky pevných teliesfsi.uniza.sk/ktvi/leitner/2_predmety/ZMPT/Podklady/De/02...1...