Kinematika bodu. Základy mechaniky, 11. p ednáška

Obsah přednášky :

Doba studia :

asi 1,5 hodiny

Cíl přednášky :

seznámit studenty se základními zákonitostmi kinematiky bodu

úvod do dynamiky,

kinematika bodu,

základní kinematické veličiny a vztahy mezi nimi,

pohyb rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrný

Základy mechaniky, 11. přednáškaKinematika bodu.

dynamika

dynamikakinematika

jen pohyb pohyb a síly

Zabývá-li se dynamika vztahem mezi pohybem a silami,pak je účelné zkoumat nejprve samotné zákonitosti pohybua teprve pak se ptát na závislost na silách.

Kinematika se zabývá zákonitostmi pohybu.Vztahem mezi základními kinematickými veličinami,t.j. časem, dráhou, rychlostí a zrychlením.

Dynamika se zabývá vztahem mezi základními veličinami dynamiky,t.j. hmotou, pohybem a silami.

Základy mechaniky, 11. přednáška

Kinematika - nauka o pohybuKinematika se zabývá popisem a vyšetřováním pohybu bodu,

tělesa nebo soustavy těles.Pohybem rozumíme změnu polohy v čase.

Polohou je míněna poloha v prostoru, ve kterém se bod nebo těleso nachází.Prostor je spojitý (bod může v prostoru zaujmout jakoukoliv polohu).

Trojrozměrný prostor - směr dopředu-dozadu, doprava-doleva, nahoru-dolů.Dvourozměrný prostor - rovina, obecně však jakákoliv plocha.Jednorozměrný prostor - křivka, ve zvláštním případě přímka.

V trojrozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně určena třemi souřadnicemi.Ve dvourozměrném prostoru je poloha bodu určena dvěma souřadnicemi.V jednorozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně dána jedinou souřadnicí.

Čas je jednorozměrná, spojitá, skalární veličina, jeho změna je nezávislá,plyne rovnoměrně vždy dopředu a je absolutní, tedy pro všechna tělesaa pro všechny pozorovatele společný.


Jedním ze základních pojmů kinematiky a mechaniky je stupeň volnosti.Pohyblivost jakéhokoliv objektu je dána počtem stupňů volnosti.

„Možný pohyb“ - není důležité, zda pohyb skutečně nastane.Důležité je, že může nastat (nic mu nebrání).

„Nezávislý pohyb“- mezi dvěma pohyby,jež představují dva stupně volnosti,nesmí platit žádný explicitní vztah,daný vnějšími okolnostmi.

z

y

x

{ }zyx ,,

x222 Ryx =+

y

22 xRy −±=

φ⋅=φ⋅=

cossin

RyRx

{ }φ

{ }x

Stupeň volnosti je možný nezávislý pohyb.

Hmotný bod je vázán ke kruhové trajektorii.Vykonává pohyb ve dvou směrech - x a y.Pohyb v jednom směru (např. y) však je určenpohybem v jiném směru (x).Jen jeden z těchto pohybů je nezávislý,bod má jeden stupeň volnosti.

φ

Hmotný bod padá volným pádem v prostoru. Padá svisle dolů.Ale mohl by se pohybovat i ve dvou vodorovných směrech(třeba kdyby zafoukal vítr).Může tedy vykonávat tři pohyby, má tři stupně volnosti.

{nezávislá souřadnice}


bod těleso

na křivce(1 rozměrný prostor)

1° volnostipohyb určitým směrem

v rovině(na ploše)(2 rozměrný prostor)

až 2° volnostipohyb ve dvou směrech

až 3° volnostiposuvy ve dvou směrech

a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybuv prostoru(3 rozměrný prostor)

až 3° volnostipohyb ve třech směrech

až 6° volnostiposuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os

Hmotný bod, jehož pohyb je pevně vázaný na danou křivku (dráhu, trajektorii), má 1º volnosti.Může se pohybovat pouze daným směrem.Například pohyb vlaku je vázán k dané trajektorii - ke kolejím.Navlékneme-li korálek na drát, bude jeho pohyb vázán k dané trajektorii.


bod těleso









Hmotný bod, jenž se může pohybovat v rovině nezávisle ve dvou směrech, má 2º volnosti.Rugbyový míč, vržený hráčem, se pohybuje nezávisle ve směru vodorovném a svislém.Rovinnost plochy, k níž je vázán pohyb bodu, není nutnou podmínkou.Turista, toulající se po horách, mění svou polohu ve třech směrech.Jeho nadmořská výška však není nezávislá, závisí na jeho geografických souřadnicích.Má tedy 2º volnosti.

je-li pohyb bodu omezen vazbami, má méně stupňů volnosti


bod těleso









Hmotný bod, jenž se může pohybovat v prostoru nezávisle ve třech směrech, má 3º volnosti.Zafouká-li boční vítr, rugbyový míč se vychýlí z roviny, v níž byl vržen.Bude nezávisle měnit svou polohu jak ve svislém směru (nahoru a dolů),tak ve dvou vodorovných směrech (dopředu a do strany).Poloha letadla, sledovaného střediskem letového provozu,je dána dvěma geografickými souřadnicemi a nadmořskou výškou. Má 3º volnosti.

je-li pohyb bodu omezen vazbami, má méně stupňů volnosti


bod těleso









Těleso, konající rovinný pohyb, se může pohybovat nezávisleve dvou směrech a může se otáčet. Má 3º volnosti.Lodička na hladině může plout dopředu a do stran a může se otáčet.

pohyb ve směru osy y

pohyb ve směru osy x

rotace okolo osy zzx

y

všechny pohyby současně


bod těleso









Koule se pohybuje vodorovně kupředua současně se otáčí (nezávisle na dopředném pohybu).Svislý pohyb je znemožněn vazbou. Má tedy 2º volnosti.

je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti


bod těleso









Mince se valí bez prokluzu po vodorovné podložce.Svislý pohyb je znemožněn vazbou.Mince se pohybuje vodorovně kupředu a současně se otáčí.Tyto pohyby však nejsou nezávislé (protože nedocházík prokluzu). Otočí-li se mince jednou dokola (o 360º),posune se kupředu o dráhu přesně rovnou obvodu mince.Jen jeden z obou pohybů je nezávislý - mince má 1º volnosti.je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti


bod těleso









Těleso volné v prostoru se můžepohybovat ve třech směrech a může seotáčet okolo tří os. Má 6 º volnosti.Například helikoptéra při letunebo družice na oběžné dráze.

je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti


bod těleso


1 souřadnicedráha s


2 souřadnicex, y

3 souřadnicex, y

a úhel natočení φv prostoru(3 rozměrný prostor)

3 souřadnicex, y, z

6 souřadnicx, y, z a tři úhly natočení, např. α, β, γ

Okamžitá poloha objektu je jednoznačně určena tolika nezávislými souřadnicemi,kolik stupňů volnosti objekt má.

Objekt má tolik stupňů volnosti,kolik nezávislých souřadnic je zapotřebí k jednoznačnému určení jeho polohy.


Pohyb boduPohyb bodu po dané dráze - základní kinematické veličiny.

čas značíme t z anglického slova timezákladní jednotkou je [s] {sekunda}dalšími jednotkami jsou [min, hod, ...] {minuta, hodina, ...}

dráha, souřadnice značíme s, x, y, ...základní jednotkou je [m] {metr}dalšími jednotkami jsou [cm, km, ...] {centimetr, kilometr, ...}

rychlost značíme v z anglického slova velocityzákladní jednotkou je [m/s, m·s-1] {metr za sekundu}dalšími jednotkami jsou [km/hod] {kilometr za hodinu}

zrychlení značíme a z anglického slova accelerationzákladní jednotkou je [m/s2, m·s-2] {metr za sekundu na druhou}


Veličiny čas a dráha nebudeme explicitně definovat,spolehneme se na intuitivní chápání jejich významu.

Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas.

s tsv

ΔΔ

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅ −1secmsecm ,

tsvs Δ

Δ=Tuto rychlost nazveme střední rychlostí nebo průměrnou rychlostí.

Okamžitá rychlost - nekonečně malá změna dráhy za nekonečně malý přírůstek času.

sdtds

tsv

0t&==

ΔΔ

=→Δ

lim

Tuto limitu definuje matematika jako derivaci.

Okamžitá rychlost je derivace dráhy podle času.


tsv

ΔΔ

= ⎥⎦⎤


Rychlost může být kladná (vzdálenost od počátku se zvětšuje).


s


tsv

ΔΔ

= ⎥⎦⎤


Rychlost může být i záporná (vzdálenost od počátku se zmenšuje).


s


Abychom snadno rozlišovali kladnou a zápornou rychlost,zavádíme pojem orientovaná souřadnice.

A(t) A(t+Δt)

s(t) s(t+Δt)

Δs

Δt

vstř počátek

s

v +

v -

tsvs Δ

Δ=

Kladná rychlost v znamená nárůst dráhy (souřadnice),proto je kladná rychlost orientována vždy ve směru nárůstu příslušné souřadnice.


Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za čas.

s

v v+ΔvtvaΔΔ

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅ −2

2 secmsecm ,

Zrychlení je zrychlení průměrné neboli střední.tva s Δ

Δ=

vdtdv

tva

0t&==

ΔΔ

=→Δ

lim

Okamžité zrychlení je derivace rychlosti podle času.


vdtdv

tva

0t&==

ΔΔ

=→Δ

lim

sdt

sda 2

2

&&==

dtds

dsdv

dtdva ⋅==

dsdvva ⋅=

zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za přírůstek času

zrychlení je derivace rychlosti podle času

zrychlení je druhá derivace dráhy podle času

zrychlení je rovno rychlosti,násobené derivací rychlosti podle dráhy

zrychlení je rovno jedné poloviněderivace kvadrátu rychlosti podle dráhy

( )dsvd

21a

2

⋅=


Kladné zrychlení je orientováno stejně, jako kladná rychlost,tedy ve směru nárůstu souřadnice.

A(t) A(t+Δt) Δt

počátek

s

v(t) v(t+Δt)

a +

a -

( )t1fs = ( )t2fv = ( )t3fa =

( )s4fv = ( )s5fa =

( )v6fa =Úplné kinematické řešení.

dráha, rychlost a zrychleníjsou funkcí času

rychlost a zrychleníjsou funkcí dráhy

zrychlení je funkcí rychlosti


Shrnutí

sdtdsv &==

vdtdva &==

sdt

sda 2

2

&&==

dsdvva ⋅=

( )dsvd

21a

2

⋅=

zrychlení je derivace rychlosti podle času

zrychlení je druhá derivace dráhy podle času

zrychlení je rovno rychlosti,násobené derivací rychlosti podle dráhy

zrychlení je rovno jedné poloviněderivace kvadrátu rychlosti podle dráhy

rychlost je derivace dráhy podle času

toto jsou obecně platné vztahymezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením


Shrnutí

sdtdsv &==

vdtdva &==

sdt

sda 2

2

&&==

dsdvva ⋅=

( )dsvd

21a

2

⋅=

podle toho, jak se dráha, rychlost a zrychlenímění v čase, rozlišujeme tři druhy pohybu :

toto jsou obecně platné vztahymezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením

A) Pohyb rovnoměrný - rychlost je konstantní.

B) Pohyb rovnoměrně zrychlený- zrychlení je konstantní.

C) Pohyb nerovnoměrný.


A) pohyb rovnoměrný : je takový pohyb, jehož rychlost je konstantní v = konst.

0dtdva ==

s

t

s0

tsv

ΔΔ

= 0sss −=Δ

0ttt −=Δtvs Δ⋅=Δ

( )00 ttvss −⋅=−

0stvs +⋅=

rychlost je konstantní, její změna (derivace) je nulová

s - okamžitá dráhas0 - počáteční dráha (v závislosti na volbě

souřadného systému může být nulová)t - okamžitý čast0 - počáteční čas - obvykle volíme t0=0

toto jsou vztahy, platné pouzepro rovnoměrný pohyb (v=konst).


B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst.

konst==dtdva

dtadv ⋅=

∫∫∫ ⋅=⋅= dtadtadv

CtavCtaCv 21

+⋅=+⋅=+

řešení neurčitým integrálem

t = 0 ... v = v0

0

0

vCC0av

=+⋅=

0vtav +⋅=

integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky

diferenciální rovnice 1. řádu

separace proměnných

rychlost na počátku vyšetřovaného pohybu




konst==dtdva

dtadv ⋅=

∫∫∫ ⋅=⋅= dtadtadv ∫∫∫ ⋅=⋅=111

0

t

0

t

0

v

v

dtadtadv

CtavCtaCv 21

+⋅=+⋅=+


0

0

vCC0av

=+⋅=

0vtav +⋅=

řešení určitým integrálem

[ ] [ ] 11

0

t0

vv tav ⋅=

011 vtav +⋅=

0vtav +⋅=

( )0tavv 101 −⋅=−





0vtadtdsv +⋅==

( ) dtvtadtvds 0 ⋅+⋅=⋅= separace proměnných


( )∫∫∫ ⋅+⋅=⋅= dtvtadtvds 0

Ctvtas

CtvtaCs

02

21

202

21

1

+⋅+⋅⋅=

+⋅+⋅⋅=+

0

02

21

0

sCC0v0as

=

+⋅+⋅⋅=

002

21 stvtas +⋅+⋅⋅=

integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky t = 0 ... s = s0


dráha na počátku vyšetřovaného pohybu




0vtadtdsv +⋅==

( ) dtvtadtvds 0 ⋅+⋅=⋅= separace proměnných

řešení neurčitým integrálem řešení určitým integrálem

( )∫∫∫ ⋅+⋅=⋅= dtvtadtvds 0

Ctvtas

CtvtaCs

02

21

202

21

1

+⋅+⋅⋅=

+⋅+⋅⋅=+

0

02

21

0

sCC0v0as

=

+⋅+⋅⋅=

002

21 stvtas +⋅+⋅⋅=

( )∫∫∫ ⋅+⋅=⋅=111

0

t

00

t

0

s

s

dtvtadtads

[ ] [ ] [ ] 111

0

t00

t0

221s

s tvtas ⋅+⋅⋅=

( ) ( )0vtv0tass 01022

121

01 ⋅−⋅+−⋅⋅=−

0102

121

1 stvtas +⋅+⋅⋅=

002

21 stvtas +⋅+⋅⋅=




konst=⋅=dsdvva

dsadvv ⋅ separace proměnných=⋅


∫∫∫ ⋅=⋅=⋅ dsadsadvv

Csav

CsaCv2

21

212

21

+⋅=⋅

+⋅=+⋅

( ) 200 vssa2v +−⋅⋅=

integrační konstantu C určíme z počátečních podmínek

02

021

02

021

savC

Csav

⋅−⋅=

+⋅=⋅ dráha a rychlost na počátku vyšetřovaného pohybu

t = 0 ... s = s0, v = v0

alternativní řešenídiferenciální rovnice 1. řádu



dsadvv ⋅ separace proměnných=⋅

řešení neurčitým integrálem řešení určitým integrálem

∫∫∫ ⋅=⋅=⋅ dsadsadvv

Csav

CsaCv2

21

212

21

+⋅=⋅

+⋅=+⋅

( ) 200 vssa2v +−⋅⋅=

integrační konstantu C určíme z počátečních podmínek

02

021

02

021

savC

Csav

⋅−⋅=

+⋅=⋅

∫∫∫ ⋅=⋅=⋅1

0

1

0

1

0

s

s

s

s

v

v

dsadsadvv

[ ] [ ] 1

0

1

0

ss

v

v2

21 sav ⋅=⋅

( ) ( )012

02

121 ssavv −⋅=−⋅

( ) 2001

21 vssa2v +−⋅⋅=

( ) 200 vssa2v +−⋅⋅=

alternativní řešenídiferenciální rovnice 1. řádukonst=⋅=

dsdvva



shrnutí

0vtav +⋅=

( ) 200 vssa2v +−⋅⋅=

002

21 stvtas +⋅+⋅⋅=

s

t

s0

v

t

v0

v

s

v0

avvt 0−

=

toto jsou vztahy, platné pouze prorovnoměrně zrychlený pohyb (a=konst).



tav ⋅=

Špičkové sportovní auto zrychluje z klidu na rychlost v = 100 km/hod (27,8 m/s)za čas t = 5 s.

Jeho zrychlení tedy je a = 5,6 m/s2.

221 tas ⋅⋅= Dráha rozjezdu pak je s = 70 m.


φ

v

ry

C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.

Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění.

( )0try φ+⋅ω⋅= sin

π⋅ω

=2

f

ωπ⋅

==2

f1T

rv

=ω

r amplituda [m]

frekvence [Hz]

kruhová frekvence [s-1]

perioda [s]

φ počáteční úhel φ, fázový posuv [-]

r

tT

T

y

φ0ω

počet cyklů za sekundu

doba jednoho cyklu


φ

v

ry


Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění.

( )0try φ+⋅ω⋅= sin

( )0tryv φ+⋅ω⋅ω⋅== cos&

( )ya

trva2

02

⋅ω−=

φ+⋅ω⋅ω⋅−== sin&

r amplituda [m]

max. rychlost [m/s]ω⋅r2r ω⋅ max. zrychlení [m/s2]

t

y

φ0ω

Je to kmitavý pohyb hmotného objektu na pružném uložení.

r

T

T



Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.

vga ⋅β−=

vgdtdv

⋅β−=

dtvg

dv=

⋅β−

∫∫ =⋅β−

t

0

v

0

dtvg

dv

( )[ ] t

0v0 tvg1=⋅β−⋅

β−ln

Pro jednoduchost provedeme řešení s nulovými počátečními podmínkami.

( ) ( )[ ] tgvg1=−⋅β−⋅

β−lnln

( )te1gv ⋅β−−⋅β

=

tvg

11=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

β−⋅

β−ln

tg

vg1=

⋅β−⋅

β−ln

y, v, a




vga ⋅β−=

vgdtdv

⋅β−=

dtvg

dv=

⋅β−


=Pro čas, narůstající nade všechny meze,se průběh blíží ustálené hodnotě :

( ) ( )

( )β

=−⋅β

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

β=

=−⋅β

=−⋅β

=

∞⋅β

∞⋅β−⋅β−

∞→

g01ge11g

e1ge1gv t

tustálená lim

β=

gvustálená

( )tustálená e1vv ⋅β−−⋅=

y, v, a




vga ⋅β−=

vgdtdv

⋅β−=

dtvg

dv=

⋅β−


=

β=

gvustálená


V ustáleném stavu se rychlost již nebude měnit,bude konstantní (v = vustálená = konst).Zrychlení tedy bude nulové.

0vga ustálená =⋅β−=

β=

gvustálená

y, v, a




vga ⋅β−=

vgdtdv

⋅β−=

dtvg

dv=

⋅β−


=

β=

gvustálená


v

t

vustálená T

63% vust 95% vust


t=2·T t=4·T t=3·T t=5·T t=T

tečna

β=

1T časová konstanta [s]y, v, a


( )tustálená e1v

dtdyv ⋅β−−⋅==



( ) dte1vdy tustálená ⋅−⋅= ⋅β−

( ) ( )∫∫∫ ⋅−⋅=⋅−⋅= ⋅β−⋅β−t

0

tustálená

t

0

tustálená

y

0

dte1vdte1vdy


t

0

tustálená e1tvy ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

β−−⋅= ⋅β−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡β−

+⋅β−

−⋅= ⋅β− 1e1tvy tustálená

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅

β−⋅= ⋅β− t

ustálená e11tvy

tvy ustálená ⋅=y

t

y, v, a



( ) ( )22

22 hRRgm

hRmM

rmMG

+⋅⋅=

+⋅

⋅κ=⋅

⋅κ=

κ = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta,M = 5,98·1024 kg - hmotnost Země,R = 6 378 km - poloměr Země.

Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.

Gm

Země R

h

na povrchu Země (y=0) :

gmR

mMG 2 ⋅=⋅

⋅κ=

2RgM ⋅=⋅κ

22 sm 819g

RM ,==⋅κ




Gm

Země R

y

v, a

( )22

yhRRg

dydvva

−+⋅=⋅=

( )22

yhRRgmG−+

⋅⋅=h

volný pád z výšky h

( )∫∫ ⋅−+

⋅=⋅y

02

2v

0

dyyhR

Rgdvv

y

0

2221

yhR1Rgv ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⋅⋅=⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−+

⋅⋅=⋅hR

1yhR

1Rgv 2221




Gm

Země R

y

v, a

( )22

yhRRg

dydvva

−+⋅=⋅=

( ) ( ) ( )hRyhRRyg2v

2

y +⋅−+⋅⋅⋅=

( ) hg2v hy ⋅⋅≅=Rh <<

( )22

yhRRgmG−+

⋅⋅=

( ) hRRhg2v hy +

⋅⋅⋅==

h

volný pád z výšky h

rychlost dopadu na Zemi :



v, a


GZemě

m

R

y

( )22

yRRga+

⋅−=

( )22

yRRgmG+

⋅⋅=

v0

( )22

yRRg

dydvv

+⋅

−=⋅

( )( )∫∫∫ ⋅+⋅⋅−=⋅

+⋅

−=⋅ −y

0

22y

02

2v

0v

dyyRRgdyyR

Rgdvv

[ ] ( ) y

0

2

y

0

12v

0v2

21

yR1Rg

1yRRgv ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

⋅⋅−=⋅−

svislý vrh vzhůru



v, a


Gm

Země R

y

v0 ( )yR

yRgR1

yR1Rgvv 22

02

21

+−

⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅⋅=−⋅

yRyRg2vv 2

0 +⋅⋅⋅−=

20

20

vRg2Rvh−⋅⋅⋅

=

skm 11Rg2v0 /≅⋅⋅< skm 11Rg2v0 /≅⋅⋅>

( ) Rg2vvv 20yyustálená ⋅⋅−==

∞→lim( ) 0v hy ==

svislý vrh vzhůru

těleso se zastaví ve výšce h těleso se neustále vzdaluje od Země

( )22

yRRgmG+

⋅⋅=


Obsah přednášky :

úvod do dynamiky,

kinematika bodu,

základní kinematické veličiny a vztahy mezi nimi,

pohyb rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrný


Kinematika bodu. Základy mechaniky, 11. p ednáška

Documents

Transcript of Kinematika bodu. Základy mechaniky, 11. p ednáška