B D01 Základy stavební mechaniky

Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných technicko-ekonomických studijních programůRegistrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

1

BD01 Základy stavební mechaniky


2


• Plocha

• Statický moment plochy k osám y a z

• Poloha těžiště obrazce

• Těžiště: Bod v rovině yz, pro nějž platí: pokud vedeme osy y a z tímto bodem, pak jsou statické momenty plochy k těmto osám nulové:

Charakteristiky rovinných obrazců

A

dAA

n

iiAA

1

A

y dAzS

A

z dAyS

n

iitiy AzS

1

n

iitiz AyS

1

A

Sy zt

A

Sz yt

0yS 0zS


3


• Moment setrvačnosti

• Deviační moment

- jednoose symetrický průřez:

- překlopení obrazce, kolem jedné ze souřadných os - změna znaménka (změnilo se znaménko jedné ze souřadnic každého bodu v integrálu Dyz).

Charakteristiky rovinných obrazců

A

y dAzI 2 A

z dAyI 2

Ayz dAyzD

0yzD


4


Transformační vztahy pro momenty setrvačnosti a deviační moment k posunutým osám

AzSzI

dAzdAzzdAz

dAzzdAzI

oyoy

A

o

A

o

A

A

o

A

y

211

21

21

21

2

11

11

1

2

2

)(

AySyI

dAydAyydAy

dAyydAyI

ozoz

A

o

A

o

A

A

o

A

z

211

21

21

21

2

11

11

1

2

2

)(

AzySzSyD

dAzydAyzdAzydAzy

dAzzyydAyzD

oozoyozy

A

oo

A

o

A

o

A

A

oo

A

yz

1111

1111

11

1111

11211

11 ))((

Pro a platí a

pak

Steinerova věta: Moment setrvačností rovinného obrazce k posunuté ose je roven součtu momentu setrvačnosti obrazce k vlastní těžišťové ose a plochy obrazce násobené čtvercem vzdálenosti obou os.

Pozn: Je vhodné místo vzdálenosti obou os používat souřadnice těžiště obrazce, protože v případě deviačního momentu je nutné důsledně dosazovat správná znaménka těchto souřadnic.

tyy 01 tyy 01 0ytS 0ztS

AzII tyty2 AyII tztz

2 AzyDD ttztytyz ,


5

Transformační vztahy pro momenty setrvačnosti a deviační moment k posunutým osám


6


• Integrál po ploše lze rozložit na součet integrálů po dílčích plochách

• odtud

• po dosazení ze Steinerovy věty

Pozn.:Při výpočtu charakteristik A, Sy, Sz, Iy, Iz a Dyz složených obrazců se charakteristiky

otvorů odečítají.

Momenty setrvačnosti složených obrazců

ynyy

AnAAA

y IIIdAzdAzdAzdAzI ........ 212

2

2

1

22

n

iyiy II

1

n

iziz II

1

n

iyziyz DD

1

n

iitiiyt

n

iiyy zAIII

1

2,,

1, )(

n

iitiizt

n

iizz yAIII

1

2,,

1, )(

n

iititiiztyt

n

iiyzyz zyADDD

1,,,,

1, )(


7


• Transformace souřadnic

Transformační vztahy k pootočeným osám

sincos* zyy

cossin* zyz


8


Transformační vztahy k pootočeným osám

2cos2sin)(2

1)sin(coscossin)(

sin)sin(coscossin

)cossin)(sincos(

22

22222

****

yzzyyzzy

AAA

AA

zy

DIIDII

dAzdAyzdAy

dAzyzydAzyD

2sinsincoscoscossin2sin

coscossin2sin

)cossin(

2222

2222

22**

yzzyyyzz

AAA

AA

y

DIIIDI

dAzdAyzdAy

dAzydAzI

2sincossinsincossin2cos

sincossin2cos

)sincos(

2222

2222

22**

yzzyyyzz

AAA

AA

z

DIIIDI

dAzdAyzdAy

dAzydAyI


9


Otáčením souřadného systému nabývají hodnoty momentů setrvačnosti proměnlivých hodnot.

Pro určitou polohu souřadných os dosáhnou tyto hodnoty extrému. Tyto osy pak nazveme hlavní osy setrvačnosti a získané momenty setrvačnosti hlavními momenty setrvačnosti.

K nalezení úhlu pootočení hlavních os setrvačnosti poslouží podmínka extrému jednoho z momentů setrvačnosti

Hlavní momenty setrvačnosti

0*

o

y

d

dI


10


Pokud úhel , potom a . Dosadíme-li do předchozího vztahu, dostaneme

Z toho plyne další charakteristika hlavních os setrvačnosti:osy, k nimž je deviační moment nulový

Z podmínky nulové derivace plyne:


*

( 2sin cos ) (2sin cos ) 2cos2

( )sin 2 2cos2 0

yy z yz

o

y z yz

dII I D

d

I I D

0*

o

y

d

dI

2sinsincos 22

yzzyy DIII

0yzD

yz

yzo II

Dtg

2

2

0 0 0sin 2 0 0cos2 1

2 0yzD


11


Dosazením získaného úhlu do vztahů pro a a použitím některých vztahů pro goniometrické funkce z matematiky se obdrží vztahy pro hlavní momenty

Hlavní momenty setrvačnosti označujeme

a jejich velikost je pak z předchozích vztahů

Je-li pak 1. hlavní osa prochází 2. a 4. kvadrantem, jinak 1. a 3.


yzyzzy DIIIIII 4)(2

1)(

2

1 2

min

max2,1

max1 II min2 II


12

Hlavní momenty setrvačnosti rozlišení os

Je-li pak 1. hlavní osa prochází 2. a 4. kvadrantem, jinak 1. a 3.


13


poloměr setrvačnosti k posunutým osám

obdobně

poloměry setrvačnosti k hlavním osám setrvačnosti

Poloměr setrvačnosti

A

Ii yy A

Ii zz

A

Ii 11

A

Ii 22

AzII tyty2AzAiAi tyty22

222tyty zii

222tztz yii


14


Na rozdíl od momentů setrvačnosti k osám je polární moment setrvačnosti definován k bodu

k posunutému bodu

Vzhledem k tomu, že polární moment je nezávislý na pootočení souřadného systému, pravidlo

platí pro obecně otočené osy.

Polární moment setrvačnosti

A

yz

AAA

o IIdAzdAydAzydArI 22222 )(

AzyII ttoto )( 22

.konstII yz

B D01 Základy stavební mechaniky

Documents

Transcript of B D01 Základy stavební mechaniky