Základy mechaniky pevných telies

1

Fakulta bezpečnostného inžinierstva Žilinskej univerzity v ŽilineKatedra technických vied a informatiky

Základy mechaniky

pevných teliesTéma 7:

NAMÁHANIE ČISTÝM ŤAHOM A TLAKOM- predpoklady výpočtu, napätie a deformácia prúta pri čistom ťahu / tlaku, vplyv vlastnej tiaže, prípady

prútov namáhaných ťahom / tlakom.

2

Úvod

Namáhanie čistým ťahom / tlakomsa najčastejšie vyskytuje u štíhlychprvkov tzv. prútov (tyčí)

Prút je teleso, ktorého jedenrozmer (pozdĺžny) je výrazne väčšíako jeho priečne rozmery.

Os (strednica) prúta, môže byťpriama alebo zakrivená.

Prierez prúta konštantný (tzv.prizmatický prút) alebo premenlivý.

Mnoho prvkov mechanických konštrukcií v praxi je namáhanýchťahom alebo tlakom. Keď v každom myslenom priečnom reze PDT(Obr.7.1) pôsobí iba jediná zložka výslednice vnútorných síl Px = N,pôsobiaca práve v ťažisku prierezu – vzniká čistý – tzv. centrickýťah / tlak. Takéto namáhanie sa v praxi vyskytuje skôr výnimočne.

Obr. 1.5b

P

Px=N

Py

Pz

My

Mx Mz

F1

F2

S

A

Obr.7.1A

Časť I

3

Úvod

Namáhanie čistým ťahom / tlakom vzniká, ak zaťažujúce sily (ichvýslednica) pôsobia v smere pozdĺžnej osi prúta – tzv. centrickézaťaženie. V praxi sú takto namáhané prúty PS, rôzne podpery,ťažné tyče, tiahla, laná a pod.

V iných prípadoch zaťaženia (napr. zakrivené prúty, excentricképôsobenie síl apod.) je namáhanie ťahom / tlakom sprevádzané ajďalším druhom namáhania – najčastejšie ohybom. V takomto prípadesa už jedná o tzv. kombinované (zložené) namáhanie.

Predpoklady pri analýze prútov namáhaných čistým ťahom / tlakom:• materiál telesa (prúta) je izotropný a homogénny a• prút nie je príliš štíhly, t.j. pri centrickom namáhaní prúta tlakomnenastane medzný stav - strata vzpernej stability.

Vnútornú silovú veličinu, vznikajúcu pri čistom ťahu / tlaku – normá-lovú (osovú) silu N – v ľubovoľnom priereze telesa je možné určiť už známou metódou mysleného rezu.

4

7.1 Predpoklady výpočtu namáhania ťahom / tlakom

Z experimentálneho skúmania deformácie prútov namáhaných ťahom / tlakom vyplynula tzv. Navierova hypotéza:

Os prúta aj po jeho pretvorení (t.j. predĺžení / skrátení) zostane priama a dva susedné rovnobežné prierezy, uvažované kolmo na os, zostanú rovinné a navzájom rovnobežné.

Z toho vyplývajú dva významné predpoklady:

• v dôsledku zachovania priamosti osi prúta nie je vzájomné priečne posunutie (skosenie) prierezov možné. Dôsledok: pri čistom ťahu / tlaku nevznikajú šmykové napätia,

• všetky vlákna (vlákno = spojnica bodov rovnako vzdialených od osi prúta) medzi uvažovanými blízkymi prierezmi sa deformujú rovnako. Dôsledok: výsledné vnútorné silové veličiny (osové sily N) sú po celej ploche prierezu rozložené rovnomerne (obr.7.2).

5

Vychádzajme z analýzy pretvorenia pri čistom ťahu / tlaku:Všetky vlákna s rovnakou dĺžkou dx, medzi 2 rovnobežnými prierezmi (ak vlákna smerujú kolmo k prierezu), budú mať i po predĺžení / skrá-tení prúta rovnakú dĺžku dx+∆dx (obr.7.2).


Obr 3 1

Px=N Px=N

dx

dx+∆dx

Obr.7.2

Pomerná (relatívna) zmena dĺžky bude pre všetky vlákna preto konštantná a platí dx konšt

dxε ∆= =

Napätosť pri namáhaní čistým ťahom / tlakom

6


Ak sa všetky vlákna, medzi dvomi ľubovoľnými kolmými prierezmi, deformujú rovnako, potom aj vnútorné sily (ako reakcia prúta na jeho pretvorenie) musia byť v celom priereze rovnako veľké a po celom priereze rozložené rovnomerne.

Normálové napätie v konkrétnom mieste prúta: podiel normálovej zložky elementárnej osovej sily dN a elementárnej plôšky dA hmotné-ho bodu, v ktorom osová sila dN pôsobí.

Pri čistom ťahu / tlaku je napätosť po celom priereze konštantná a preto platí

(7.1)dN konštdA

σ = =

Pre elementárnu vnútornú silu dPx=dN, pôsobiacu na elementárnej plôške dA potom platí

.dN dAσ=

7


Výslednica pôsobenia všetkých takýchto elementárnych síl v jed-notlivých hmotných bodoch prierezu je výsledná osová sila N

.Osová sila N musí byť pritom v rovnováhe s primárnym zaťažením

t.j. ťahovou / tlakovou silou F (resp. výslednicou zaťaž. síl R): N + F = 0.

.A

dAσ∫N =

Veľkosť normálového napätia σ, ako miery silového účinku sily zaťažujúcej sily F na zadanú plochu A, je možné určiť z rovnováhy vonkajších a vnútorných síl:

0 . 0A

N F N F dA Fσ= ⇒ − = ⇒ − =∫

Obr.7.3σ

xF N

m

mdF

8

Integrácou po celej ploche prierezu A (σ=konšt.):


. 0A Fσ − =Pre napätie v ťahanom (+) resp. tlačenom (-) prúte potom platí:

(7.2)

kde σ je normálové napätie v ťahu (+) / tlaku (-) [Pa], N je výslednáosová sila [N] a A je plocha prierezu prúta (napr. pre � je A=b.h) [m2].

±=NσA

± ⇒Fσ =A

Zhrnutie: Pri čistom ťahu / tlaku vzniká v prúte iba normálové napätie. Je vo všetkých bodoch prierezu konštantné.

Jeho veľkosť je určená ako podiel výslednice vnútornej osovej sily N v priereze a plochy prierezu A prúta.

Dôležité: pri namáhaní čistým ťahom / tlakom nezáleží na tvare prierezu, ale iba na veľkosti prierezovej plochy A.

9

7.2 Výpočet prúta namáhaného čistým ťahom / tlakom

1. Bez uvažovania vplyvu vlastnej tiaže

Namáhanie prúta čistým ťahom / tlakom

Obr.7.4a - prút po uvoľnení, t.j. odstrá-nenie votknutia na hornom konci a jeho náhrada väzbovou reakciou R.

V zjednodušenom prípade (t.j. neuva-žuje sa vlastná tiaž prúta, ako objemová zaťažujúca sila), z rovnováhy síl na prút pôsobiacich vyplýva

R = F.

Uvažujme priamy prút konštantného prierezu A (obr.7.4a), zaťažený silou F, pôsobiacou v ťažisku prierezu, t.j. pôso-bisko sily je na pozdĺžnej osi prúta.

Obr.7.4

l

10


1.2 Mechanické napätie v prúte Pri čistom ťahu / tlaku vzniká v priečnom priereze rovnomerne roz-

ložené normálové napätie σ(x) (Obr.7.4b). Ak je plocha prierezu prúta A potom

(7.4)

Obr.7.4b - prút rozdeľme mysleným rezom vo vzdialenosti x od voľného konca, na dve časti. Vzájomné silové pôsobenie oboch častí prúta vyjadruje normálová (osová) sila N(x).

1.1 Osová sila v prúte Osová sila N je výslednicou vnútorných síl v zvolenom priereze x

prúta a je určiteľná z podmienky rovnováhy síl v smere pozdĺžnej os

, (7.3)

pre jednu, z myslene oddelených častí prúta (horná, dolná).

( )( )( )

N xxA x

σ = ⇒NA

σ =

ixN F= ∑

11


Namáhanie ťahom a tlakom sú ich účinkom na PDT kvalitatívne roz-dielne, preto normálovému napätiu σ, ako aj osovej sile N prisudzuje-me znamienko. Obidve veličiny považujeme za kladné (+), ak sa jedná o ťah. Naopak, ak ide o tlak - uvažujeme ich záporné (-).

12


1.3 Pretvorenie prúta Obr.7.5 - vplyvom pôsobenia sily F sa

bude prút deformovať a jeho pôvodná dĺžka l sa pretvorením zmení sa l1.

Zmena dĺžky prúta, tzv. absolútna deformácia Δl (absolútne predĺženie /skrátenie) vyjadruje o koľko sa prút predĺžil alebo skrátil. Platí

(7.5)1l l l∆ = −

Každý element prúta s pôvodnou dĺžkou dx preto zmení svoju dĺžku o Δdx. Pomer dĺžkovej zmeny Δdx k pôvodnej dĺžke dx je tzv. relatívna (pomerná) deformácia ε (pomerné predĺženie / skrátenie).

Obr.7.5

ll1

13


Napr. v priereze x je pomerná deformácia definovaná ako

Iba v prípade, ak prút je prizmatický a je z jedného druhu mate-riálu, pomerné predĺženie ε je možné určiť aj pomocou absolútneho predĺženia Δl. Platí

(7.6)

.

( ) dxx

dxε ∆

=

ll

ε ∆=

Napríklad: ak u prúta podľa obr.7.5 je ε konštantné, bude konštantné aj napätie σ, ako dôsledok pretvorenia. Z Hookeovho zákona platí

⇒

(7.7) .σ ε= E

Eσε =

14

7.2 Výpočet prúta namáhaného prostým ťahom / tlakom

Po dosadení do rovnice za σ = N / A pre pomerné predĺženie ε(x) v mieste rezu x dostaneme

Celkové (absolútne) predĺženie Δl po celej dĺžke prúta je možné určiť pomocou už uvedených vzťahov a dostaneme vzťah v tvare

(7.8)

kde súčin E.A je tzv. tuhosť prierezu pri namáhaní ťahom / tlakom. Význam: tuhosť prierezu chápeme ako mieru odporu prvku kon-štrukcie deformovať sa (t.j. vplyvom vonkajšieho zaťaženia zmeniť svoj tvar a rozmery).

Je to jeden z najvýznamnejších pojmov v PaP.

( )

NAx

E Eσε = = ⇒

.l N

l E A∆

= ⇒..

N llE A

∆ =

( ).Nx konšt

E Aε = =

15


Ďalšie podiely, vztiahnuté ku pôvodnej dĺžke prúta l, sú :

• - tzv. poddajnosť prúta

• - tzv. tuhosť prúta v ťahu / tlaku.

Vo všeobecnosti (hlavne u veľkorozmerných mechanických sústav) s takýmto zjednodušením, t.j. neuvažovanie vplyvu vlastnej tiaže prúta, vôbec nevystačíme. Už vieme, že na PDT bez ohľadu na jeho ostatné vonkajšie zaťaženie, vždy pôsobí špecifická objemová sila – sila vlastnej tiaže G.

Predpoklady: v každom mieste rezu (zadanom súradnicou x) je veľkosť tiažovej sily Gx (od myslene oddelenej časti prúta) vždy iná a preto sa normálové napätie σ, ako aj deformácia Δl resp. ε po dĺžke prúta postupne mení (neskôr si preukážeme ich priebehy).

.l

E A

.E Al

16


Uvažujme priamy prút konštantného prierezu A, zaťažený osovou silou F (obr.7.6a). Uvoľnený prút, po odstránení votknutia na hornom konci a nahradení väzbovou reakciou R, je na obr.7.6b.

2. Výpočet prúta na ťah / tlak s vplyvom objemových síl

a)

b)

R

F

F

G

S

m

m

A

a)

b)

R

F

F

G

S

m

m

A

a)

b)

R

F

F

G

S

m

m

a)

b)

R

F

F

G

S

m

m

A

Veľkosť reakcie R je možné určiť jednoducho z rovnováhy vonkajších síl, ktoré na prút (v tomto prípade v zvislom smere) pôsobia.

Sú to sily:• F - ťahová sila• G - sila od vlastnej tiaže prúta

G = m.g = ρ.V.g = ρ.A.l.g (=γ.A.l)• R - väzbová reakcia

Obr.7.6

17


Majme prút, na ktorý okrem ťahovej sily F pôsobia aj gravitačné sily (vyjadrené ako spojité osové zaťaženie n, Obr.7.6c).

Ak poznáme materiál prúta, je známa aj hodnota jeho hustoty ρ (merná špe-cifická hmotnosť materiálu) a platí

ρ = m / V ,kde m je hmotnosť telesa [kg] a V je objem telesa [m3].

Ak priečny prierez má plochu A, na prút pôsobí výsledná tiažová sila

v [N].

Pre časť prúta s jednotkovou dĺžkou (l=1)

v [N.m-1].

. . . .G n l g A lρ= =

c) d)Obr.7.6

. .n g Aρ=

Analýza prúta s vplyvom objemových síl – forma n

18


Výsledná normálová sila, pôsobiaca vo vzdialenosti x od voľného konca prúta

⇒

Normálové napätie pôsobiace v priereze x

⇒

Pre x = l dostaneme(7.9)

Obr.7.6d - Priebeh napätí v závislosti na súradnici x, napr. vzdialenosť od voľného konca prúta. Dôsledok: pri uvažovaní vplyvu vlastnej tiaže nie je napätie σ konštantné a preto nemôže byť konštantná ani deformácia prúta. Konštantné nie je ani absolútne Δl, ani pomerné predĺženie prúta ε.

( ) .N x F n x= + ( ) . . ( ).N x F g A x xρ= +

( )( )( )

N xxA x

σ = ( ) . .( )Fx g x

A xσ ρ= +

(max). .F g lA

σ ρ σ= + =

19


( ) .x l

F lA

σ γ= = +

Alebo aj jednoduchšie:

(7.9)

príp. ak uvažujeme s tzv. objemovou tiažou dostaneme

(7.10)

. . . . .

F G

F GA A

F m g F Al.g F g lA A A A A

σ σ σ

ρσ ρ

= + = +

= + = + = +

.gγ ρ=

( ) . .x l

F g lA

σ ρ= = +

20


Pretvorenie: pri definovaní absolútneho predĺženia Δl celého prúta opäť vychádzame z predĺženia Δdx, dvomi rezmi vymedzeného úseku s dĺžkou dx. Platí:

Celkové predĺženie prúta Δl: je možné získať sčítaním čiastkových predĺžení Δdx, t.j. integráciou v tvare

(7.11)

( )( ). xdx x dx dxE

σε∆ = =

0 0

1 1( ) ( . . )σ ρ∆ = = + ⇒∫ ∫l l Fl x dx g x dx

E E A

0 0 0 0 0

0

. . . . . . .. . / . . .. .

. .0. . . .a integrovaním dostávame .0 ; .. . 2. . .

l l l l l

l

Fg x g x A F g x FAl dx dx l dx A l dx dxE E E A E E A

g A F g l A Fl lE A E A E A E A

ρσ ρ ρ

ρ ρ

+ + ∆ = ∆ = ⇒ ∆ = ⇒ ∆ = = +

∆ = + + ⇒ +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫2

Dôkaz :

g.ρ.l F.lΔl =2.E E.A

2. . .. 2.

F l g llE A E

ρ∆ = +

21


2. .. 2.

F l llE A E

γ∆ = +

Alebo aj jednoduchšie:

(7.11)

príp. ak uvažujeme s tzv. objemovou tiažou dostaneme

(7.11)

.. 2. .

. . . . .V. . . . . . .. 2. . . 2. . . 2. .

F G

lGF ll l lE A E A

F l m g l F l g l F l A l g llE A E A E A E A E A E A

ρ ρ

∆ = ∆ + ∆ = +

∆ = + = + = +

.gγ ρ=

2. . .. 2.

F l g llE A E

ρ∆ = +

22

7.3 Prúty namáhané ťahom / tlakom a ich využitie v praxi

3. Prúty namáhané ťahom / tlakom – praktické prípadyPri zdôvodnení základných vzťahov pre analýzu prútov namáhaných

ťahom / tlakom vychádzame z podmienky rovnováhy elementu prúta, vymedzeného 2 nekonečne blízkymi, myslenými rezmi (obr.7.10).

Obr.7.10

23

Jej úpravou a zanedbaním nekonečne malých veličín dostaneme di-ferenciálnu rovnicu v tvare

(7.8)( ( ). ( )) . ( )d x A x A x dxσ γ=

Platí podmienka rovnováhy síl v smere osi prúta v tvare

kde je objemová tiaž materiálu prúta [N.m-3], ρ je hustota materiálu prúta [kg.m-3] a g je gravitačné zrýchlenie [m.s-2].

0. . 0

( ). ( ) . ( ). ( ( ) ( )).( ( ) ( )) 0

A B

A B

N G NN g V N

x A x A x dx x d x A x dA xρ

σ γ σ σ

− − + =− − + =− − + + + =

.gρ γ=

Ako prípady s najväčším praktickým významom, sa uvažujú úlohypri ktorých je vyžadované buď:• A(x)=konšt. - tzv. prizmatický prút alebo prípad• σ(x)=konšt. - tzv. prút stálej (konštantnej) pevnosti.


24

7.3.1 Prizmatický prút – s konštantnou plochou prierezuPre prizmatický prút (A(x)=A=konšt), zaťažený silou F môžeme zís-

kanú diferenciálnu rovnicu (7.8) napísať v tvare , ktorej riešením je .

Integračnú konštantu C môžeme určiť z okrajovej podmienky (0)(0) N FA A

σ = =

( ) .d x dxσ γ=( ) .x x Cσ γ= +

Z tejto podmienky, so zreteľom na to, že

potom pre x=0 dostaneme .

( ) . ( ) .x x C C x xσ γ σ γ= + ⇒ = −FA

=C = σ(0)


25

Pre prizmatický prút so zreteľom na sily tiaže platí:

• Napätie: (7.12a)

• Osová sila:

(7.12b)

• Pretvorenie: premiestnenie polohy prierezu určené súradnicou x, podľa Hookeovho zákona pre ťah / tlak platí

z ktorého pre celkové predĺženie tyče (x=0) dostaneme

(7.12c)

kde je sila od vlastnej tiaže tyče.

( )( ) .( )

N xx xA x

σ γ= +

( ) ( ). ( ) ( . ). ( )( )FN x x A x x A x

A xσ γ= = + ⇒

1 1 2 21 11 1

( ) ( . . ) .( )( ) .( ). . . 2

x y

x y

N x F A x F l xu x dx dy l xE A E A E A E

γ γ+ −= = = + −∫ ∫

. .. 2. .

F l G llE A E A

∆ = +

. .G l Aγ=

( ) . .N x l F Alγ= = +

2. .(0). 2

F l ll uE A E

γ∆ = = + ⇒

( ) .Nx l lA

σ γ= = +


26

Priebehy osových síl, napätí a premiestnení prierezov pre prípad priz-matického prúta, sú znázornené na obr.7.11

l

Obr.3.9

y

dy

dy1

y1

F F F/S ∆l

F+γ0.l.S F/S+l.γ0 y y y

σ N u

Obr.7.11

F/A

F+γ.l.A F/A+γ.lx x x

x

x1

dx

dx1


27

• Pomerné predĺženie εx = pomerná zmena v pozdĺžnom smere

(7.12d)

. .1. 2. . ( )

. 2. . 2x x

F l G ll F G F GE A E A

l l E A E A E A Aε ε

+∆= ⇒ = = + = + ⇒

1 ( . )xF l

E Aε γ= +

• Pomerné zúženie εy = pomerná zmena v smere priečneho rezu

(7.12e).

y Eµσε = − ⇒ ( . )y

F yE Aµε γ= − +

• Pevnostná podmienka pre prizmatický prút:

(7.12f)max .N F lA A

γ= = + ≤max DOVσ σ


28

7.3.2 Prút konštantnej pevnosti v ťahu / tlakuPri výpočte prútov premenlivého spojitého prierezu (obr.7.12a)

alebo tzv. zloženého prierezu (7.12b) sa postupuje rovnako, ako pri určovaní napätia a pretvorenia u prizmatického prúta.

Výpočet je iba mierne zložitejší.

Príčinou je najmä vplyv: • spojite premennej alebo • náhlej zmeny plochy prierezu,čo je nutné vo výpočte zohľadniť.

Pre absolútne predĺženie v takom-to prípade platí

(7.13)0

( ) .. ( )

l N xl dxE A x

∆ = ∫

Obr. 3.9

a)

b)

F F Obr.7.12

x x


29

Medzi najčastejšie praktické aplikácie patrí výpočet prúta s rovna-kou (konštantnou) pevnosťou. Takýto prípad – prút stálej pevnosti- je optimálnym riešením nielen z pohľadu únosnosti (napätia), ale aj efektívnosti využitia materiálu.

Pri podmienke stálej (nemennej) pevnosti v ťahu / tlaku, bude mať všeobecná podmienka (7.8) určená rovnicou

tvar

Vzťah pre pomernú zmenu prierezovej plochy A po jej namáhaní ťahom / tlakom v tvare

Funkciu, vyjadrujúcu priebeh zmeny prierezovej plochy A je možné získať vyriešením uvedenej diferenciálnej rovnice.

( ( ). ( )) . ( )d x A x A x dxσ γ=

. ( ) . ( )DOV dA x A x dxσ γ=

( )( ) DOV

dA x dxA x

γσ

=


30

Výsledkom je funkcia

(7.13a)kde .

• Osová sila: v ľubovoľnom priereze x je definovaná vzťahom

(7.13b)• Premiestnenie prierezu x: dostaneme zo vzťahu

(7.13c)

.x

0( ) . DOVA x A eγσ=

0DOV

FAσ

=

( ) . ( )DOVN x A xσ=

1 111

1 11

. ( )( )( ). . ( )

x xDOV

x x

A xN xu x dx dxE A E A x

σ= =∫ ∫


( ) .( )2

DOVu x l xE E

σ γ= + −

31

Priebehy osových síl (N), napätí (σ) a premiestnení prierezov (u) pre nosník stálej pevnosti sú uvedené na obr.7.13.

y y y

u N σ F/S0 S0

F

y

l S(y) y1

dy1

F ∆l

F+Gl F/S0 0

A(x)

A0

F/A0

F/A0

Obr.7.13

x

x

x1

dx1

x x


32

7.3.3 Prút s odstupňovaným prierezomTyč stálej pevnosti v praxi často nahrádzame tzv. tyčou s odstup-

ňovanými prierezmi.

Dôvodom je jednoduchšia výroba.

Pozostáva z viacerých prizmatických častí s dĺžkami l1 až ln (obr.7.14).

Ak napätia v jednotlivých úsekoch tyče nemajú prekročiť hodnotu σDOV, je nutné plochy prierezov jednotlivých častí určovať (dimenzovať) z pevnost-ných podmienok pre jednotlivé prierezy. l1

ln

l2

l3

li

S1

S2

S3

Si

Sn

σmax

F

σ 0

x

Obr.7.14

A1

A2

A3

Ai

An


33

Napr. pevnostná podmienka pre prierez A1 má po úprave tvar

Podobne pre prierez A2 platí

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

0. . . . . . .( . )

x x

DOV DOV DOV

N F G N F GA F A l A A l F A l Fσ γ σ γ σ γ

− − = ⇒ ≥ +≥ + ⇒ − ≥ ⇒ − ≥

≥1DOV 1

FAσ - l .γ

2 1 1 2 2. . . . .DOVA F A l A lσ γ γ≥ + + ⇒

≥

2

DOV2

DOV 1 DOV 2

AF.σA

(σ - l .γ).(σ - l .γ)

Vo všeobecnosti platí vzťah

(7.14)1

1 2

.( . ).( . ). ... .(( . )

iDOV

iDOV DOV DOV i

FAl l l

σσ γ σ γ σ γ

−

≥− − −


34

V prípade pravidelného nárastu prierezu (ak ), pre prierez Ai platí

(7.14)

1 2 3 nll l l ln

= = = = =

1..

iDOV

i i

DOV

FAln

σγσ

−

≥ −

Pozor: pre n konvergujúce k ∞ je limitným prípadom tyč stálej pev-nosti, s rovnakou funkciou zmeny prierezovej plochy (viď. 7.12a) , t.j. v tvare .

0( ) . DOV

x

A x A eγσ=


35

7.4 Podmienka pevnosti pri čistom ťahu / tlaku

7.4. Podmienka pevnosti pri čistom ťahu / tlakuAby sa prút namáhaný čistým ťahom / tlakom neporušil / nedošlo

k jeho nežiaducej trvalej deformácii, nesmie maximálne napätie σmax v prúte presiahnuť - obvykle medzu klzu σk, platnú pre materiál prúta.

Pre zaistenie dostatočnej miery bezpečnosti konštrukcie resp. jej prvku je nutné, aby maximálne napätie v ňom vznikajúce, bolo vždy menšie ako určitý zlomok hodnoty σk.

Podmienka pevnosti má tvar:

kde tzv. dovolené napätie σDOV definujeme ako podiel

kde súčiniteľ (k>1) určuje mieru bezpečnosti.

max DOVσ σ≤

KDOV k

σσ =

36

Súčiniteľ k určujeme so zreteľom na najvýznamnejšie faktory ovplyv-ňujúce bezpečnosť konštrukcie, ako napr. účel použitia konštrukcie, druh materiálu, charakter namáhania, podmienky používania, požado-vaná životnosť, presnosť výpočtu a pod.

Konkrétne hodnoty k sú pre základné typy nosných konštrukcií obvykle uvedené v prislúchajúcich normách.

7.4 Podmienka pevnosti pri čistom ťahu / tlaku

37

Záver prednášky

Otázky????

Ďakujem za pozornosť

38

Posudzovanie a dimenzovanie prvkov konštrukcií na ťah / tlak

Otázky, ako určiť rozmery navrhovaného prvku (tzv. dimen-zovanie jeho rozmerov v závislosti od tvaru uvažovanéhoprierezu a zaťaženia), resp. ak už takýto prvok existuje a jehorozmery sú známe, skontrolovať (tzv. posúdenie) či prvokvyhovuje predpokladanej veľkosti zaťažujúcich účinkov, súzákladné úlohy pre potvrdenie významu PaP v technickej praxi.

V súčasnosti majú okrem aspektov bezpečnosti konštrukcií význam aj otázky hospodárnosti, t.j. ekonomického využitia materiálu. Táto by mala byť vyriešená tak, aby konštrukcia, ktorej súčasťou je aj posudzovaný prvok, bola ako funkčný celok spoľahlivá a najmä bezpečná počas celej „zaručenej“ doby jej používania.

39

7.3 Posudzovanie a dimenzovanie prvkov na ťah / tlak

V prípadoch, keď sú už rozmery prúta dané, je dôležité vedieť,ako určiť veľkosť maximálneho možného zaťaženia prúta,t.j. veľkosť zaťaženia, ktoré prvok znesie bez porušenia jehofunkcie, resp. zmeny jeho prevádzkovej schopnosti.Existujú rôzne prístupy k riešeniu takto definovanýchproblémov, avšak všetky majú rovnaký cieľ – zabezpečiťkonštrukcii únosnosť a spoľahlivosť aj počas dlhodobéhoprevádzkového nasadenia.Postupne sa vyvinuli tri základné metódy riešenia takto formulo-vaného problému a to:

• metóda dovolených napätí,

• metóda dovolených zaťažení,

• metóda medzných stavov.

40


1. Metóda dovolených napätí

Najstaršia, tzv. klasická metóda dovolených napätí vychádza zo skutočnosti, že rozmery prvku konštrukcie musia byť navrhnuté tak, aby ani najväčšie napätia, vyvolané účinkami vonkajšieho zaťaženia, neprevyšovali hodnotu tzv. dovoleného (prípustného) napätia σDOV. Pre určenie konkrétnej hodnoty σDOV pre konkrétny prvok je všakpotrebné poznať niektoré mechanické vlastnosti použitéhomateriálu (a tie nie vždy odpovedajú skutočnosti)

Musí platiť, že hodnota dovoleného napätia je vždy menšia akotzv. nebezpečné (maximálne možné) napätie, ktoré je použitýkonštrukčný materiál schopný bez porušenia, resp. trvalejdeformácie preniesť.

41


Pre konštrukčné prvky vyrobené z materiálov:• húževnatých : nebezpečné napätie = medza klzu σK (bod K), resp. medza pevnosti σM (bod M v diagrame trhacej skúšky), • krehkých : nebezpečné napätie = obvykle medza pevnosti σM (bod M).

Pre veľkosť dovoleného napätia potom platí

(8.14)

kde σDOV je dovolené napätie, σneb je nebezpečné napätie a k je miera (koeficient) bezpečnosti.

nebDOV k

σσ =

42


Hodnota miery bezpečnosti k : udáva koľkokrát má byť napätie σDOV menšie ako napätie nebezpečné. Veľkosť „k“ závisí hlavne od stavu materiálu (krehký alebo húževnatý), charakteru zaťaženia (statické, dynamické, cyklické) a ďalších faktorov, ako napr. homogenita materiálu, presnosť (tolerancia) vyjadrenia veľkosti vonkajšieho zaťaženia a pod., ale aj od toho, ktorú hodnotu napätia považujeme za nebezpečnú (σK alebo σM).

Potom napríklad, pre konkrétne materiály platí:

• Staticky zaťažované prvky konštrukcie z materiálov v húževnatom stave: σneb = σK a miera bezpečnosti kK sa volí s ohľadom na množstvo a relevanciu informácií (kK = 1,4 ÷ 1,6 ).

43


• Materiály v húževnatom stave, ale bez výrazne vymedzenej medze klzu – nejednoznačne určiteľná hodnota σK: dovolené napätie možno určiť aj z medze pevnosti σM, pričom uvažujeme σK = (0,5 až 0,7).σM , v tomto prípade kK = 2,4÷2,6 .

• Staticky zaťažované prvky z materiálov v krehkom stave : σneb = σM a miera bezpečnosti k = kM (obvykle v rozmedzí kM = 2,5 ÷ 3,0).Znamená to, že únosnosť súčiastky pri statickom namáhaní na ťah/tlak je zabezpečená, keď skutočné, maximálne napätie v prvku, vyhovuje podmienke pevnosti v tvare

(8.15)max DOVσ σ≤

44


Je zrejmé: miera bezpečnosti kK, resp. kM musí byť vždy väčšia ako 1! Je to z dôvodu, aby hodnota σDOV bola vždy nižšia, ako sú experimentálne určené hodnoty charakteristík (medzí) daného konštrukčného materiálu.

Z praktického hľadiska možno konštatovať, že trvalé deformácie nevznikajú, keď napätie σ v konštrukcii je pod medzou úmernosti σU.

Hodnota miery bezpečnosti k sa preto volí najčastejšie tak, aby bola splnená prísnejšia podmienka v tvare σDOV < σU.

Hodnoty miery bezpečnosti, určené so zreteľom na druh zaťaže-nia, materiál a účel súčiastky v konštrukcii a pod. sú záväzne určené v technických normách.

45


Orientačné hodnoty dovolených napätí pre vybrané materiály uvedené v Tab.3.1.

σdov [MPa] σdov [MPa] Materiál ťah tlak

Materiál ťah tlak

Konštrukčná oceľ 140-160 140-160 Borovica ║ 7-10 10-20 Meď 30-120 30-120 ⊥ - 1,5-2 Hliník 30-80 30-80 Dub ║ 9-13 13-15 Dural 80-150 80-150 ⊥ - 2-3,5 Bakelit 40-50 40-50 Betón 0,1-0,7 1-9

Výhodou prístupu v technickej praxi bola jej jednoduchosť. Nevýhody, všeobecnosť hodnôt miery bezpečnosti k a najmä výhrady voči objektívnosti ich určovania.

46


2. Metóda dovolených zaťažení

Metóda dovolených zaťažení bola zavedená po rozvoji železo-betónových konštrukcií (2 rôzne druhy materiálu v posudzova-nom priereze). Často sa uvádza ako metóda posúdenia podľa stupňa bezpečnosti.Pevnostná podmienka v metóde limituje najväčšie zaťaženie konštrukcie tak, aby neprekročilo úroveň tzv. dovoleného zaťaženia Fdov, ktoré sa rovná určitej časti nebezpečného zaťaženia Fneb a teda platí:

(8.16)maxneb

dovFF FK

≤ =

47


Pre určenie nebezpečného zaťaženia Fneb, vyvolávajúceho porušenie konštrukcie platí:

• pre konštrukciu z húževnatého materiálu, s výraznou medzou klzu σK a pri uvažovaní jej zaťaženia centrickým ťahom/tlakom - platí podmienka v tvare

• pre konštrukciu z materiálu v krehkom stave - platí

( ).neb K neb K

AF dA F Aσ σ= ⇒ =∫

( ).neb P neb P

AF dA F Aσ σ= ⇒ =∫

48


Koeficient K vo vzťahu 8.16 nazývame stupňom bezpečnosti a volíme ho rovnako, ako pri metóde dovolených napätí, t.j. obvykle v závislosti od stavu konštrukčného materiálu a jeho homogenity, druhu vonkajšieho zaťaženia a ďalších parametrov.

Inak povedané: za vyhovujúci sa považuje taký konštrukčný prvok, v ktorom pomer výslednice vnútorných síl v prierezeFneb (maximálne možného zaťaženia prierezu na hranici jeho únosnosti) k výslednici pôsobiacich vonkajších síl Fmax je rovný „istému číslu“, tzv. koeficientu bezpečnosti K pre ktorý platí

(8.17)max

1nebFKF

= ≥

49


Hodnota takto definovaných pomerov K je pre vybrané druhy a typy konštrukčných prvkov, ich charakter a veľkosť namáhania opäť určená technickými normami.

Napríklad, pre železobetónové konštrukcie je potrebné určiť stupeň bezpečnosti K - zvlášť pre betón a zvlášť pre nosnú oceľovú výstuž. Na rozdiel od metódy dovolených napätí sa v tomto prípade únosnosť prvku konštrukcie vyjadruje prostredníctvom medzných hodnôt zaťažení.

Nevýhodou prístupu, je rovnako ako u metódy dovolených napätí, problém s objektívnosťou určenia veľkosti koeficientov bezpečnosti K pre konkrétne druhy konštrukcií a kombinácií použitých konštrukčných materiálov.

50


3. Metóda medzných stavov

Jedinou hodnotou miery bezpečnosti k, príp. niekoľkými stupňami bezpečnosti K (napr. zvlášť pre betón a zvlášť pre nosnú oceľovú výstuž) nie je možné úplne zohľadniť množstvo faktorov, ktoré sa pre reálne konštrukcie môžu objaviť v rôznych kombináciách (obvykle: materiál – druh zaťaženia – konštruk-čné riešenie – podmienky používania). Z dôvodu snahy o rešpektovanie vplyvu rozličných vplyvov a ich kombinácií, pôsobiacich na konštrukciu v priebehu jej používa-nia, je v súčasnosti najviac využívaná tzv. metóda medzných stavov. Pojem medzný stav bude chápaný ako strata prevádzkových schopností konštrukcie. Podľa STN 731401 sa medzné stavy rozdeľujú do dvoch skupín a to:

51


MEDZNÝ STAV

Medzný stav únosnosti (dochádza k state únosnosti)

Medzný stav použiteľnosti (sťaženie štandardnej prevádzky)

Medzné stavy únosnosti (pevnosti) sú

spôsobené hlavne preťažením, únavou a

porušením stability (tzv. vzperná

pevnosť) konštrukcie.

Príklady: vyčerpanie pevnosti, nadmerné

plastické deformácie, únavový lom,

krehký lom, strata stability polohy, strata

stability tvaru konštrukcie alebo jej

časti).

Medzné stavy použiteľnosti sú

spôsobené predovšetkým neprimeranou

odozvou konštrukcie na pôsobiace

zaťaženie.

Príklady: nadmerné priehyby, neprija-

teľná veľkosť dynamickej odozvy

konštrukcie (najčastejšie kmitanie).

52


Metóda medzných stavov (podľa ktorej sa aktuálne konštrukcienavrhujú a kontrolujú), sa realizuje s cieľom zabrániť vznikuktoréhokoľvek z medzných stavov na konštrukcii s určenouštatistickou zárukou (zaručená pravdepodobnosť) počasurčenej doby jej technického života (doby používania).

Metóda je oproti predchádzajúcim postupom odlišná v tom, že zavádza analýzu (posúdenie alebo dimenzovanie) konštrukcie s ohľadom na vznik základných druhov medzného stavu..

Prvý medzný stav – medzný stav únosnosti konštrukcie – sa v metóde chápe ako stav, pri ktorom sa konštrukcia stane nepoužiteľnou z dôvodu vyčerpania únosnosti jej najslabšieho prvku, stratou stability (polohy a tvaru), nadmernej plasticity, lomu a pod.

53


Druhý medzný stav – medzný stav použiteľnosti konštrukcie– je v metóde chápaný ako stav, charakteristický hlavnenadmernými deformáciami (vždy však pri splnenom prvommedznom stave – zachovaní únosnosti i stability) a nadmernoudynamickou odozvou konštrukcie na pôsobiace zaťaženie (napr.vibrácie).

Konštrukcia sa podľa metódy medzných stavov považuje za vyhovujúcu vtedy, keď sa výpočtom preukáže, že v priebehu jej plánovaného technického života (počas jej zriadenia a používania v prevádzke) nenastane ani jeden z medzných stavov.

54


Možnosť vzniku niektorého alebo obidvoch medzných stavov súčasne, závisí na viacerých činiteľoch, ktoré sú vo výpočte vyjadrené tromi parciálnymi súčiniteľmi (k, n, m) :

• súčiniteľ rovnorodosti, k < 1 - vyjadrujúci kvalitu konštruk-čného materiálu,

• súčiniteľ zaťaženia, n ≥ 1 – vyjadrujúci podmienky zaťaženia a iné vonkajšie vplyvy,

• súčiniteľ podmienok pôsobenia, m ≤ 1 – vyjadrujúci vplyv prostredia a podmienky, v ktorých konštrukcia plní svoj účel a tiež podmienky, v ktorých bola vyrobená.

Hodnoty súčiniteľov k, n, m sú určené v technických normách (STN) a boli stanovené na základe štatistického vyhodnotenia veľkého množstva skúšok a pozorovaní.

55


Treba však poznamenať, že nakoľko konkrétna veľkosťkaždého zo súčiniteľov môže závisieť aj na viacerých ďalšíchokolnostiach, je možné každý z uvedených súčiniteľov k, n, mdetailnejšie špecifikovať pomocou ďalších – tzv. doplnkovýchsúčiniteľov toho istého druhu.

Znamená to, že je možné vytvárať hierarchickú štruktúrujednotlivých základných súčiniteľov k, n, m, čo umožňuje lepšie(na aktuálnej úrovni dosiahnutého poznania i skúseností) aneustále objektívnejšie (podľa špecifík konštrukcie a jejprevádzkových podmienok) posudzovať bezpečnosť a aktuálnystav konštrukcií.

56


Bezpečnosť proti dosiahnutiu medzného stavu únosnosti konštrukcie : posudzuje sa podľa všeobecného vzťahu v tvare

(8.18)

kde okrem súčiniteľov (n, m, k), vystupujú ďalšie veličiny: Nn -vnútorná sila od normového (určeného, maximálne možného) zaťaženia v [N], Rn – najmenšie výpočtové normové zaťaženie v [N], S – plocha posudzovaného prierezu v [m2].

Súčin n.Nn = skutočné zaťaženie konštrukcie od tzv. normového zaťaženia, resp. vypočítanej hodnoty vnútornej sily v prvku a súčin k.Rn = výpočtovo určené namáhanie prvku konštrukcie.

n nn.N (m, k.R , S)≤ Φ

Prvok konštrukcie je vyhovujúci na medzný stav únosnosti,keď hodnota výslednice zaťažujúcich síl (n.Nn) v posudzo-vanom priereze neprekročí hodnotu funkcie Φ.

57


Bezpečnosť konštrukcie proti dosiahnutiu medzného stavu použiteľnosti : posudzuje sa na základe vzťahu v tvare

(8.19)

kde ∆ je vypočítaná hodnota deformácie v [mm] a f je deformá-cia dovolená (limitná, maximálne prípustné pretvorenie konštruk-cie z pohľadu technologického aj prevádzkového) v [mm].

f∆ ≤

58


Pri posudzovaní konštrukcií metódou medzných stavov platí:

• Výpočet (pri dimenzovaní alebo kontrole) konštrukcií podľa prvého medzného stavu je základný – a musí sa vykonať vždy!

• Výpočet podľa druhého medzného stavu - vykonáva sa iba vtedy, keď to s ohľadom na možnosť vzniku nadmerných deformácií alebo kmitania, pre konkrétny druh posudzova-nej konštrukcie vyžadujú prislúchajúce technické normy (STN).

V súčasnosti sa na úrovni medzinárodnej organizácie „The International Federation for Structural Concrete (fib)) diskutuje o zavedení tretieho medzného stavu a to medzného stavu trvanlivosti – životnosť konštrukcií.

59


60


61


Uvedené súvislosti a vzťahy je možné preukázať aj inak.

Pre priamy prizmatický prút (obr.7.7b) môžeme podmienku rovnová-váhy zapísať v tvare

(7.3a)v ktorej je už známa objemová tiaž materiálu prúta v [N.m-3], A je plocha priečneho rezu prúta v [m2] a l je dĺžka prúta v [m].

0 : . . 0ix lF R F G R F A lγ= − − = − − =∑.gγ ρ=

Aplikáciou metódy mysleného rezu (obr.7.7d) určíme výslednicuvnútorných síl, pôsobiacich v myslenom priečnom reze m-m, napr. vovzdialenosti x od voľného konca prúta.

Na myslene oddelenú dolnú časť prúta pôsobia vonkajšia sila F,objemová sila Gx=γ.A.x a výslednica vnútorných síl N, ktorá leží narovnakej nositeľke – zvislej osi prúta, ale má opačný zmysel akovýslednica síl F, Gx.

62


Obr. 3.3

a)

b)

c)

d)

e)

R

F

F

F/S

F

F

G l

Gy

Gy

N

σ

σ

S

m

m

Obr.7.7

A

n x

F/A

Podľa obr.7.6d vyjadríme rovnováhu v reze rovnicou v tvare

(7.3b)z ktorej pre výslednicu vnútorných síl N platí

. (7.3c)

0 : . . 0ix xF N F G N F A xγ= − − = − − =∑

. .N F A xγ= +

x

Gx Gx

63


1. Normálové napätie pri ťahu / tlaku

Keďže pri namáhaní ťahom / tlakom sú vnútorné sily v priečnom priereze prúta rozložené rovnomerne (Navierova hypotéza) je možné podľa obr.7.7e určiť aj napätie vznikajúce v priereze x a platí

(7.3d)( )( ) .x . .( )

N x F Fx g xA x A A

σ σ γ ρ= ⇒ = + = +

Z uvedeného vzťahu vyplýva:• zrejmá lineárna závislosť napätia σ na vzdialenosti mysleného rezux od voľného konca prúta (obr.7.7c),• maximálne napätie bude pôsobiť v priereze, ktorého poloha jeurčená súradnicou x = l (t.j. v mieste votknutia prúta). Podľa 7.3ddostaneme

(7.4)max . . .F Fl g l

A Aσ γ ρ= + = +

64


2. Pretvorenie pri namáhaní čistým ťahom / tlakom

Majme votknutý nosník (obr.7.8), na ktorý pôsobí jediná osamelá ťahová sila F.

Podľa Hookeovho zákona pre čistý ťah môžeme napísať

z čoho vyplýva

(7.5a)

. .

FF dx NA

E E E A dx E Aσε ∆

= = = ⇒ =

..Ndx dx

E A∆ =

l

F

x2

x1 x dx

Obr.3.5

S

Obr.7.8

A

Uvedený vzťah udáva predĺženie elementárneho úseku prútas dĺžkou dx vplyvom pôsobenia normálovej sily N = F (ťahová sila)v mieste osi prierezu prúta.

65


Potom, napr. vzájomné posunutie ľubovoľných prierezov x1, x2 jedané spojitým súčtom (integrálom) predĺžení všetkých elementov dx,nachádzajúcich sa medzi týmito prierezmi a teda platí

z čoho pre absolútne predĺženie ∆l pre celú dĺžku prúta dostaneme

(7.5b)

2

1 21

, ..

x

x

Nx x dxE A

∆ = ∫

0.

.

l Nl dxE A

∆ = ∫

Ak platí: N = F, A, E sú konštantné (prút je prizmatický, materiálovo homogénny a namáhaný čistým ťahom), vzťah (7.5b) možno prepísať

(7.6)

kde súčin E.A je tzv. tuhosť prierezu pri namáhaní ťah / tlak.

..

N llE A

∆ = . .E A lNl∆

⇒ =

66


Predĺženie tyče aj s uvažovaním jejvlastnej tiaže možno odvodiť z obr.7.9.Celkové predĺženie elementárnej dĺžkyprúta dx je

Celkové predĺženie všetkých elemen-tov po celej dĺžke prúta bude

,x xdx dx dx

dxε ε∆

= ⇒ ∆ =

0

l

xl dxε∆ = ∫

a)

b)

Obr. 2.8

G

F Obr.7.9

S využitím Hookeovho zákona je možné rovnicu zapísať v tvare

(7.7a)

0 0

.( ).

l l F xl dx dxE E A Eσ γ

∆ = = +∫ ∫

dx

x

67


Integráciou pre pomerné predĺženie celej tyče distaneme

(7.7b)

kde prvý člen predstavuje vplyv sily F na predĺženie tyče ( ) a druhý člen predstavuje vplyv jej vlastnej tiaže G ( ).

20 .. . .

. 2. . 2. .lF l F l G ll l

E A E E A E Aγ

∆ = + ⇒ ∆ = +

Fl∆Gl∆

Výsledné predĺženie prúta sme v podstate získali súčtom pretvore-nia od jednotlivých silových účinkov

(7.7c)

ktorému v mechanike hovoríme princíp (zákon) superpozície.

F Gl l l∆ =∆ + ∆

Superpozícia = postupný výpočet jednotlivých vplyvov samostatne a následné sčítanie ich dôsledkov (samozrejme, pri rešpektovaní urči-tých súvislostí a podmienok).

Základy mechaniky pevných telies

Documents

Transcript of Základy mechaniky pevných telies