Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

44
Paraleln´ ı implementace metody sdruˇ zen´ ych gradient˚ u a v´ ybˇ er fixuj´ ıc´ ıch uzl˚ u pro metodu FETI-DP Paraleln´ ı implementace metody sdruˇ zen´ ych gradient˚ u a v´ ybˇ er fixuj´ ıc´ ıch uzl˚ u pro metodu FETI-DP Jaroslav Broˇ z Katedra mechaniky Fakulta stavebn´ ı ˇ CVUT v Praze Semin´ r Katedry mechaniky 25. ´ unor 2010

description

Praha

Transcript of Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Page 1: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Paralelnı implementace metody sdruzenychgradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu

FETI-DP

Jaroslav Broz

Katedra mechanikyFakulta stavebnıCVUT v Praze

Seminar Katedry mechaniky25. unor 2010

Page 2: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Obsah

Obsah

1 Motivace

2 Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

3 Metoda FETI-DP

4 Zaver a budoucı prace

Page 3: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Motivace

Obsah

1 Motivace

2 Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

3 Metoda FETI-DP

4 Zaver a budoucı prace

Page 4: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Motivace

Motivace

Geotechnika Mostnı konstrukce Analyza sırenı tepla

Materialovy vyzkumAnalyza chovanıkontejmentu

Vodnı stavby

Page 5: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

Obsah

1 Motivace

2 Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

3 Metoda FETI-DP

4 Zaver a budoucı prace

Page 6: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

Uvod

Uvod

Iteracnı metoda pro resenı systemu linearnıch rovnic

Matice soustavy musı byt symetricka a positivne definitnı

A ∈ Rnxn, A = AT , ∀v, v 6= 0 : vTAv > 0

Page 7: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

Algoritmus CG

Algoritmus metody sdruzenych gradientu

A = AT ∀v, v 6= 0 : vTAv > 0x0 ← 0r0 = b− Ax0d0 = r0i← 0while i ≤ imax || tol < rT

i ri doαi = rT

i ri

dTi Adi

ri+1 = ri − αiAdi

xi+1 = xi + αidi

βi =rT

i+1ri+1

rTi ri

di+1 = ri+1 + βidi

i← i + 1end while

Page 8: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

Predpodmınenı metody sdruzenych gradientu

Predpodmınenı metody sdruzenych gradientu

Existuje nekolik typu predpodmınenı:

Diagonalnı (Jacobiho) predpodmınenı,

Predpodmınenı nekompletnı faktorizacı matice (LU, LDLT ),

BOSS predpodmınenı.

Page 9: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

Predpodmınenı metody sdruzenych gradientu

Algoritmus predpodmınene metody sdruzenych gradientu

A = AT ∀x, x 6= 0 : xTAx > 0x0 ← 0r0 = b− Ax0z0 = C−1r0d0 = z0i← 0while i ≤ imax || tol < rT

i ri doαi = rT

i zi

dTi Adi

ri+1 = ri − αiAdi

xi+1 = xi + αidi

zi+1 = C−1ri+1

βi =rT

i+1zi+1

rTi zi

di+1 = zi+1 + βidi

i← i + 1end while

Page 10: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

Implementace metody

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

Zalozena na paralelizaci nasobenı matice vektorem a naskalarnım nasobenı vektoru

Puvodnı oblast rozdelena na nekolik mensıch podoblastı

Implementovana do volne dostupneho programoveho balıkuSIFEL

Pouzito paralelizacnı schema Master - Slave

Knihovna MPICH2 pro mezi-procesorovou komunikaci

Knihovna PETSc pro nekompletnı LU faktorizaci maticepodoblasti pro predpodmınenı

Page 11: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

Implementace metody

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientuSrovnanı moznych implementacı

Page 12: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

Numericke testy

Numericke testyPocet iteracı vzhledem k celkovemu poctu elementu

Page 13: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

Numericke testy

Numericke testyPocet iteracı vzhledem k celkovemu poctu elementu

Page 14: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

Numericke testy

Numericke testyNaroky na ulozenı matice podoblasti

Page 15: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Obsah

1 Motivace

2 Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

3 Metoda FETI-DP

4 Zaver a budoucı prace

Page 16: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Uvod

Metoda FETI-DPUvod

Metoda FETI-DP (Finite Element Tearing and InterconnectingDual-Primal) publikovana prof. Farhatem a jeho spolupracovnıky

Jedna z metod rozkladu oblasti na podoblasti (angl. DomainDecomposition Method)

Page 17: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Odvozenı zakladnıch rovnic metody

Funkcional energie elastickeho telesa

Π (u) =12

∫Ωε (x)T D (x) ε (x) dΩ−

∫Ω

u (x)T b (x) dΩ

−∫

Γtu (x)T t (x) dΓt (1)

x

y

ΩΓu Γt

Γt

Γt

Page 18: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Odvozenı zakladnıch rovnic metody

Diskretizovany funkcional energie elastickeho telesa

Π (u) =12

∫Ω

uTB (x)T D (x) B (x) udΩ−∫

ΩuTN (x)T N (x) bdΩ

−∫

ΓtuTN (x)T N (x) tdΓt + λTBu (2)

x

y

ΩΓu Γt

Γt

Γt

x

y

Ω1

Ω2

Ω3

Ω4

Γu Γt

Γt

Γt

Page 19: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Odvozenı zakladnıch rovnic metody

Definice fixujıcıch uzlu dle puvodnıho clanku prof. Farhata

D1 Prusecıky - uzly nalezejıcı vıce nez dvema podoblastem

D2 Mnozina uzlu umıstena na konci kazde hrany na kazdepodoblasti

x

y

D1D2 D2

D2

D2

Ω1

Ω2

Ω3

Ω4

Page 20: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Odvozenı zakladnıch rovnic metody

Globalnı vektor fixujıcıch neznamych

uc =

u1

c...

ujc...

uNcc

(3)

Definice matic vyberu B

Bsrus

r = ±usbr

(4)

Bscuc = us

c (5)

Page 21: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Odvozenı zakladnıch rovnic metody

Podmınka spojitosti pole posunutı nahranici podoblastı

λTBu...

usbr,j = uq

brk

usbr,j+1 = uq

br,k+1

usbr,j+2 = uq

br,k+2

...

· · ·+ λm

(us

br,j − uqbr,k

)+

+λm+1

(us

br,j+1 − uqbr,k+1

)+

+λm+2

(us

br,j+2 − uqbr,k+2

)+ . . .

kj m

k+1j+1 m+1

k+2j+2 m+2

s q

Page 22: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Odvozenı zakladnıch rovnic metody

Minimalizace funkcionalu energie elastickeho telesa

∂Π (u)∂u

=∫

ΩB (x)T D (x) B (x) udΩ−

∫Ω

N (x)T N (x) bdΩ

−∫

ΓtN (x)T N (x) tdΓt + BTλ = 0 (6)

∂Π (u)∂λ

=i=Ns∑i=1

BTuj = 0 (7)

Matice tuhosti a vektor zatızenı

K =∫

ΩB (x)T D (x) B (x) dΩ (8)

f =∫

ΩN (x)T N (x) bdΩ−

∫Γt

N (x)T N (x) tdΓt (9)

Page 23: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Odvozenı zakladnıch rovnic metody

Podmınky rovnovahy na podoblasti

Ksrru

sr + Ks

rcBscuc + BsT

r λ = fsr s = 1, 2, . . . ,Ns (10)

s=Ns∑s=1

BsT

c KsT

rc usr +

s=Ns∑s=1

BsT

c KsccBs

cuc =s=Ns∑s=1

BsT

c fsbc

= fc (11)

s=Ns∑s=1

Bsrus

r = 0 (12)

Ksrr a Kcc =

s=Ns∑s=1

BsT

c KsccBs

c → regularnı (13)

usr = Ks−1

rr

(fsr − BsT

r λ−KsrcBs

cuc

)(14)

Page 24: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Odvozenı zakladnıch rovnic metody

Hruby problem

(FIrr FIrc

FTIrc−K∗

cc

)(λuc

)=

(dr

−f∗c

)(15)

FIrr =s=Ns∑s=1

BsrKs−1

rr BsT

r FIrc =s=Ns∑s=1

BsrKs−1

rr KsrcBsT

c

K∗cc = Kcc −

s=Ns∑s=1

(KsrcBs

c)T Ks−1

rr (KsrcBs

c) dr =s=Ns∑s=1

BsrKs−1

rr fsr

f∗c = fc −s=Ns∑s=1

BsT

c KsT

rc Ks−1

rr fsr

Page 25: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Odvozenı zakladnıch rovnic metody

Redukovany problem na rozhranı

(FIrr + FIrcK

∗−1

cc FTIrc

)λ = dr − FIrcK

∗−1

cc f∗c (16)

Resenı hrubeho problemuMatice soustavy hrubeho problemu je symetricka a positivne definitnı→ Resenı redukovaneho hrubeho problemu pomocı metodysdruzenych gradientu

Page 26: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Fixujıcı uzly

Dulezitost vyberu fixujıcıch uzluZajistenı regularity matice podoblasti Ks

Zajistenı regularity matice hrubeho problemu(FIrr FIrc

FTIrc−K∗

cc

)Vhodne vybrane fixujıcı uzly→ male cıslo podmınenosti κmatice hrubeho problemu→ rychlost konvergence resenıhrubeho problemu

Teoreticky mozno vybrat vsechny uzly na rozhranı→ metodaSchurovych doplnku

Page 27: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Fixujıcı uzly

Problemy s vyberem fixujıcıch uzlu

Definice z puvodnıho clanku produkuje mnoho fixujıcıch uzlu

Neexistuje zadny program pro vyber fixujıcıch uzlu

Existujı pouze nastroje na rozklad sıte na podoblasti (METIS,JOSTLE, CHACO atd.) - zalozeny na delenı grafu

Problem s interpretacı definice na sıtıch rozdelenych pomocıtechto programu

Omezena data - k dispozici pro vyber je pouze sıt’ konecnychprvku

Page 28: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 2D

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 2D

Definice uzlove multiplicityUzlova multiplicita - pocet podoblastı, na kterych uzel lezı

Definice fixujıcıch uzluUzel s uzlovou multiplicitou > 2→ fixujıcı uzel

Uzel s uzlovou multiplicitou = 2 a jen s jednım sousedem, kteryma uzlovou multiplicitou = 2→ fixujıcı uzel.

x

y

Page 29: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 2D

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 2D

Definice uzlove multiplicityUzlova multiplicita - pocet podoblastı, na kterych uzel lezı

Definice fixujıcıch uzluUzel s uzlovou multiplicitou > 2→ fixujıcı uzel

Uzel s uzlovou multiplicitou = 2 a jen s jednım sousedem, kteryma uzlovou multiplicitou = 2→ fixujıcı uzel.

x

y

Page 30: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 2D

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 2D

Definice uzlove multiplicityUzlova multiplicita - pocet podoblastı, na kterych uzel lezı

Definice fixujıcıch uzluUzel s uzlovou multiplicitou > 2→ fixujıcı uzel

Uzel s uzlovou multiplicitou = 2 a jen s jednım sousedem, kteryma uzlovou multiplicitou = 2→ fixujıcı uzel.

x

y

Page 31: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 2D

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 2D

Definice uzlove multiplicityUzlova multiplicita - pocet podoblastı, na kterych uzel lezı

Definice fixujıcıch uzluUzel s uzlovou multiplicitou > 2→ fixujıcı uzel

Uzel s uzlovou multiplicitou = 2 a jen s jednım sousedem, kteryma uzlovou multiplicitou = 2→ fixujıcı uzel.

x

y

Page 32: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 2D

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 2D

Definice hranicnıch krivekHranicnı krivka spojuje hranicnı uzly mezi dvema fixujıcımi uzly.

Dalsı fixujıcı uzly mohou byt pridany:Do kazdeho n-teho clena hranicnı krivkyNa konec kazde n-te casti hranicnı krivky

”Integracnı body ” hranicnı krivkyNa nahodnou pozici

x

y

Page 33: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Numericke testy of Algoritmus for 2D

Numericke testyNepravidelna oblast- Patro

Page 34: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Numericke testy of Algoritmus for 2D

PatroVysledky testu - Pocet iteracı vzhledem k poctu fixujıcıch uzlu.

Page 35: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Numericke testy of Algoritmus for 2D

PatroVysledky testu - Celkovy cas resenı vzhledem k poctu fixujıcıch uzlu.

Page 36: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 3D

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 3D

Definice hranyHrana je definovana hranicnımi uzly, ktere lezı na vıce nez dvoupodoblastech.

Definice plochyPlocha je definovana hranicnımi uzly, ktere lezı prave na dvoupodoblastech.

Page 37: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 3D

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 3D

Definice hranyHrana je definovana hranicnımi uzly, ktere lezı na vıce nez dvoupodoblastech.

Definice plochyPlocha je definovana hranicnımi uzly, ktere lezı prave na dvoupodoblastech.

Page 38: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 3D

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 3D

Definice fixujıcıch uzluuzel s maximalnı uzlovou multiplictou, nebo krızenı hran→fixujıcı uzel

konec hrany→ fixujıcı uzel

Page 39: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Numericky test algoritmu pro vyber fixujıcıch uzlu

Numericky testPravidelna podoblast - Kostka

Page 40: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Numericky test algoritmu pro vyber fixujıcıch uzlu

Kostka - 64000 prvkuVysledky testu -Pocet iteracı vzhledem k poctu fixujıcıch uzlu.

Page 41: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Metoda FETI-DP

Numericky test algoritmu pro vyber fixujıcıch uzlu

Kostka - 64000 prvkuVysledky testu - Celkovy cas resenı vzhledem k poctu fixujıcıch uzlu.

Page 42: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Zaver a budoucı prace

Obsah

1 Motivace

2 Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

3 Metoda FETI-DP

4 Zaver a budoucı prace

Page 43: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Zaver a budoucı prace

Zaver a budoucı prace

Provedena paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

Vyvinut algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu pro libovolnou sıt’2D prvku a pro pravidelnou sıt’ 3D prvkuPozorovano nasledujıcı chovanı:

S narustem fixujıcıch uzlu dochazı ke snizovanı poctu iteracı vhrubem problemuVelky pocet fixujıcıch uzlu prodluzuje celkovy cas resenıExistuje optimalnı pocet fixujıcıch uzlu

Budoucı prace: Optimalizace algoritmu, vyvoj algoritmu provyber fixujıcıch uzlu pro libovolne 3D sıte a automaticka volbapoctu fixujıcıch uzlu

Page 44: Doktorsky seminar Katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Podekovanı

Podekovanı

Dekuji Vam za Vasi pozornost.