FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů

1

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů

Přednáška 4.

P Ř E D N Á Š K A 4

S T A T I K A

ZATÍŽENÍ KONSTRUKCE

2

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika

Přednáška 4.

Zjednodušení výpočtového modelu (idealizace):

nosník si představujeme zobrazený jeho střednicí s označenými vazbami

3


Přednáška 4.

Zatížení jsou vnější silové účinky působící na danou konstrukci a dělí se:

• statické změna velikosti pomalá, nezpůsobuje zrychlení pohybu konstrukce

• dynamické mění svou velikost a polohu v čase, vyvolává zrychlení konstrukce, nelze zanedbat vliv setrvačných sil konce konstrukce

Zatížení nosníků:1. stálé nemění po celou dobu životnosti konstrukce svou velikost2. nahodilé mění se během životnosti konstrukce

• krátkodobé - vítr, sníh, ap.• dlouhodobé - tíha dlouhodobě skladovaných hmot a předmětů• mimořádné - exploze, zemětřesení

Ve statických výpočtech je nutno uvažovat (ČSN 730035):1. Výpočtové zatížení součin součinitele zatížení a normové zatížení.2. Součinitel zatížení veličina, která vyjadřuje možné odchylky od

normových hodnot.3. Normové zatížení je normou předepsaná hodnota zatížení (norma

uvádí také objemové tíhy hmot).

4


Přednáška 4.

Na konstrukci mohou působit jednotlivá zatížení v různých kombinacích, proto při výpočtu musíme uvážit jejich nejnepříznivější kombinaci:Základní kombinace: zatížení stálé + zatížení nahodilé dlouhodobé + zatížení nahodilé krátkodobé.Mimořádná kombinace: zatížení stálé + zatížení nahodilé dlouhodobé + některé zatížení nahodilé krátkodobé + 1 zatížení mimořádné

Zatížení z hlediska polohy břemen:Zatížení proměnné: mění se velikost břemene, nemění polohaZatížení pohyblivé: mění se poloha břemene, nemění velikost (např. kolové

tlaky vozidel nebo letadel)

5


Přednáška 4.

UŽITÍ NÁHRADNÍCH SIL V PŘÍPADĚ SPOJITÉHO ZATÍŽENÍ

Spojité rovnoměrné zatížení silové

12

2

1

xxfdxfFx

x

Velikost náhradní síly (břemene)

Poloha náhradní síly z momentového účinku ke zvolenému bodu (např. c)

c

2

e 2

1212

212

1

2

1

xxe xxf

xxfeFdxxxf

x

x

tj. stejná úloha jako zjištění polohy těžiště obrázku zatížení ve směru osy x

tj. formulace výpočtu obsahu obrázku zatížení.

Velikost náhradní síly se rovná obsahu obrázku zatížení - obdélníka.

Náhradní síla prochází těžištěm obrázku zatížení – obdélníka, tj. v polovině tzv. zatěžovací délky.

6


Přednáška 4.

Spojité rovnoměrné zatížení momentové

Velikost náhradního momentu

12

2

1

xxmdxmMx

x

mNm konstanta - m

Velikost náhradního momentu se rovná obsahu zatěžovacího obrázku.

7


Přednáška 4.

Spojité trojúhelníkové zatížení silové

12

1

2 xx

xx

xf

xf

12

12 xx

xxxfxf

Vyjádření intenzity zatížení

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

12

21

12

2

12

12 2

x

x

x

x

x

x

x

x

xxx

xx

xfdxxx

xx

xfdx

xx

xxxfdxxfF

Velikost náhradní síly

2

122121

21

22

12

22121

21

22

12

2

222

222xf

xxxxxxx

xx

xfxxx

xx

xx

xf

Velikost náhradní síly se rovná obsahu obrázku zatížení - trojúhelníka.

8


Přednáška 4.

333

212

2

312

12

23

1

12

2

21

12

2

12

21

21

2

1

2

1

2

1

2

1

xxxf

xx

xx

xfxx

xx

xf

dxxxxx

xfdx

xx

xxxfdxxfxxeF

x

x

x

x

x

x

x

x

3

232

12

212

2212

xxe

xxxfexf

xxeF

Určení polohy náhradního síly

f (x)

dxx-x1

c

e

F

9


Přednáška 4.

3

232

12

212

2212

xxe

xxxfexf

xxeF

F

x2-x1

2(x2-x1)/3 (x2-x1)/3

T

Náhradní síla prochází těžištěm obrázku zatížení – trojúhelníka.

10

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů

Přednáška 5.

P Ř E D N Á Š K A 5

S T A T I K A

VNITŘNÍ SÍLY NOSNÍKU

11


Přednáška 5.

Konstrukce se skládají z jednotlivých konstrukčních částí – prvků (elementů) konstrukce. Jsou to v podstatě tělesa, které dělíme na:

Prut (přímý, zakřivený)

je konstrukční prvek u něhož jeden rozměr převládá nad dvěma zbývajícími.

Důležitou čárou je střednice prutu, která spojuje ve směru převládajícího rozměru těžiště všech příčných průřezů daného prutu.

12


Přednáška 5.

Stěna

je rovinný konstrukční prvek, jehož jeden rozměr je výrazně menší než zbývající dvěma rozměry. Zatížení působí ve střednicové rovině (paprsky sil leží v této rovině).

Deska

je rovinný konstrukční prvek se dvěma převládajícími rozměry, který je zatížen kolmo ke střednicové rovině.

13


Přednáška 5.

Skořepina

je konstrukční prvek se dvěma převládajícími rozměry a se zakřivenou střednicovou plochou.

14


Přednáška 5.

Rozdělení nosníků a zatížení nosníků (prutů)

Pruty podepřené vazbami se nazývají nosníky.

Pruty podle příčného řezu dělíme na prut:

– stálého průřezu ve směru střednice se nemění základní rozměry průřezu

– proměnného průřezu s náhlou změnou průřezu

– proměnného průřezu se spojitou změnou průřezu

15


Přednáška 5.

Zjednodušení výpočtového modelu (idealizace):

nosník si představujeme zobrazený jeho střednicí s označenými vazbami

16


Přednáška 5.

VNITŘNÍ SÍLY V PŘÍMÝCH NOSNÍCÍCH Nosník je zatížen silami F1, F2, F3 a reakcemi A, B. Vyšetříme následujícím postupem, jak se projeví účinky těchto sil v libovolném bodě střednice.

• Nosník rozdělený řezem na dvě části.• Rozdělíme nosník v kterémkoli místě střednice na dvě části. • Na levou část působí síly a reakce a jejich výslednicí je .• Na pravou část působí síla a reakce a jejich výslednicí je .• Reakce a vnější síly jsou v rovnováze, stejně tak obě výslednice jsou v rovnováze, tedy

PLPL RRRR 0

21, FFA

3FB

lPR

LR

17


Přednáška 5.

Zajímá nás účinek jedné části na druhou. Nejdříve budeme vyšetřovat účinek levé části na pravou.

• Soustavu sil působících na levou část jsme složili ve výslednici , která je obecně k bodu O excentrická.

• Je-li nahrazen nosník jeho střednicí, určíme účinek výslednice na pravou část v bodu O (tj. k těžišti průřezu). Redukujeme výslednici k bodu O.

• Sílu rozložíme v bodě o do 2 složek navzájem kolmých, tj. do normálové síly N – složka ve směru tečny ke střednici nosníku a do posouvající síly T – složka v rovině průřezu.

• Moment M nazýváme ohybovým momentem M v průřezu O a rovná se statickému momentu výslednice k bodu O.

LR

LR

LR

LR

LR

18


Přednáška 5.

Výslednice z pravé a levé části nosníku jsou si rovny: Účinek pravé části nosníku na levou je tedy stejné velikosti, ale opačného směru

(zákon akce a reakce).Z výše uvedeného vyplývá, že na levou část působí složky M, N, T stejných

velikostí, ale opačného směru.Složky M, N, T nazýváme vnitřními silami v průřezu prutu.

PL RR

Metoda řezu:

V každém zkoumaném řezu můžeme určit vnitřní síly M, N, T jako složky výslednice všech vnějších sil (zatížení + reakce) působících na nosník po jedné straně průřezu.

Posouvající síla T (v daném průřezu) je rovna algebraickému součtu všech složek vnějších sil kolmých k tečně střednice v místě průřezu (příčných složek) působících po jedné straně průřezu N.

Normálová síla N (v daném průřezu) je rovna algebraickému součtu všech složek vnějších sil rovnoběžných s tečnou střednice v místě průřezu a působících na nosník po jedné straně průřezu N.

Ohybový moment M (v daném průřezu) je roven algebraickému součtu statických momentů všech vnějších sil působících po jedné straně průřezu k těžišti průřezu Nm.

19


Přednáška 5.

Normálová síla je kladná je-li tah.

Znaménková konvence – úmluva o kladném smyslu vnitřních sil

T

T

N N M M

Účinky vnitřních sil na nosník

20


Přednáška 5.

SCHWEDLEROVA VĚTA

Základní vztah mezi zatížením a vnitřními silami je odvozen z podmínek rovnováhy na prutovém elementu.

Dané spojité zatížení f(x) rozložíme do složky kolmé ke střednici ve směru tečny ke střednici.

dxfdxf NT a jsou náhradní břemena od těchto složek a působí v polovině délky dx elementu nosníku.

21


Přednáška 5.

Sestavení podmínek rovnováhy na elementu nosníku

0 dxfdNNN N

dx

dNf N

Ve směru normálové síly

Ve směru posouvající síly

0 dxfdTTT T

dx

dTfT

Momentová podmínka k bodu o

02

0

dx

dxfTdxdMMM T

dx

dMT

22


Přednáška 5.

Posouvající síla T se rovná derivaci ohybového momentu podle diferenciálu střednice. dx

dMT

Intenzita spojitého zatížení ve směru střednice se rovná záporné deviaci normálové síly podle diferenciálu střednice.

dx

dNf N

Intenzita spojitého zatížení ve směru kolmém ke střednici se rovná záporné derivaci posouvající síly podle diferenciálu střednice.

dx

dTfT

Schwedlerova věta

23


Přednáška 5.

PRŮBĚHY VNITŘNÍCH SIL N, T, M

Ze vztahů uvedených VE Schwedlerově větě plyne určení stupně funkcí vnitřních sil T a M v jednotlivých intervalech.

Tfdx

Md

dx

dT 2

2

Intenzita zatížení

Funkce posouvající síly T

Funkce ohybového momentu M

0 konstantní lineární (1°)

konstantní lineární (1°) kvadratická (2°)

lineární kvadratická (2°) kubická (3°)

24


Přednáška 5.

Postup řešenípři určování vnitřních sil M, N a T v jednotlivých průřezech nosníku:

1. Posoudíme statickou a tvarovou určitost nosníku.2. Pro staticky určitý nosník vypočteme složky reakcí z podmínek

rovnováhy.3. Podle poloh působiště jednotlivých sil a rozsahu spojitých zatížení

rozdělíme střednici nosníku na jednotlivé intervaly. Krajními body úseků jsou body, kde se zatížení mění, např. osamělá síla, začátek a konec spojitého zatížení, působiště osamělého vnějšího momentu.

4. V těchto intervalech vyjádříme vnitřní síly (N, T, M) jako funkce proměnné x. Postupujeme podle jejich definice.

5. Vypočteme velikost vnitřních sil v průřezech na krajích intervalů.6. Nalezneme body, ve kterých je posouvající síla nulová nebo mění

znaménko. V těchto bodech vypočteme extrém ohybového momentu.7. Vykreslíme průběh jednotlivých vnitřních sil. Při určení stupně funkcí

vnitřních sil pro správné vykreslení postupujeme podle tabulky.

25


Přednáška 5.

1. Prostý nosník je staticky určitý:

011213 rm

2. Výpočet reakcí

0xA

02

alQlAy 0

2

alaqlAy

l

alaq

Ay

2

02

aQlB 0

2

aaqlB

l

aqB

2

2

la

x

a/2Q=qa

Ax

Ay B

q

ab

1

Příklad

26


Přednáška 5.

3 – 6. Průběh vnitřních sil

úsek 1,a

ax

a/2

Q=qa

Ax

Ay

q

a 1

x

Ax

Ay

a

q

0 xAN xqAT y 22

2xqxA

xxqxAM yy

bod a: 0x ya AT 0aM

bod 1: ax

Bl

aq

l

ala

alqaq

l

alaq

T

2

22

2

2

1

alBall

qa

l

alaqa

l

ala

laqa

aqa

l

alqa

M

22

22

22

22

22

2

2

1

x/2Qx=qx

27


Přednáška 5.

b,1úsek

la

x

a/2Q=qa

Ax

Ay B

q

ab

1

0 xAN

aqAQAT yy

2

2

axaqxA

axQxAM

y

y

bod b: lx Bl

aqTb

2

2

02

2

alaql

l

alaq

M b

28


Přednáška 5.

Extrém funkce ohybového momentu je uvnitř intervalu v místě, kde posouvající síla T=0 (mění znaménko).

úsek 1,a

0dx

dMT

02200

xl

ala

xql

alaq

l

aa

l

aa

l

ala

x2

12

22

2

0

poloha „nebezpečného průřezu“ (protože je v něm extrém momentu)

Pro polohu nebezpečného průřezu se vypočítá maximální ohybový moment.

29


Přednáška 5.

Vynášení pořadnic vnitřních sil1.Kladné pořadnice posouvajících sil:při postupu zleva vynášíme vždy na stranu horních vláken (vždy označíme + nebo -)

2. Kladné pořadnice normálových sil:při postupu zleva vynášíme na stranu horních vláken (vždy označíme + nebo -)

3. Pořadnice ohybových momentů:vynášíme v daném průřezu vždy na stranu tažených vláken

30


Přednáška 5.

Q=qa

x0

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů

Documents

Transcript of FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů