Curve inviluppo Studi sugli eventi estremi per stima delle...

Studi sugli eventi estremi per stima delle portate di piena

Un obiettivo degli studi sugli eventi estremi idrometeorologici e la determina-zione dell’idrogramma delle portate di piena (o almeno della portata al colmo)maggiormente critici per il dimensionamento di alcune opere idrauliche.

Questi studi consistono almeno di una parte di analisi statistica delle osservazionidi portata o di pioggia nel passato.

Analisi dei regimi delle portate di piena (nei bacini naturali):

Curve inviluppo. Analisi delle massime portate osservate in un certo pe-riodo storico nei bacini (naturali).

Distribuzione di frequenza delle portate piu critiche. Analisi statisticadelle massime portate misurate ogni anno, nei bacini osservati.

Talvolta non e possibile utilizzare direttamente i risultati delle analisi sulle portatedi piena (es. bacini urbani): si ricorre all’informazione pluviometrica.

Analisi dei regimi delle precipitazioni intense:

Precipitazioni massime probabili. Analisi che presentano delle analogiealle curve inviluppo per le piene. Sono escluse dal corso.

Distribuzione di frequenza delle precipitazioni intense (giornaliere edelle diverse durate). Analisi statistica delle massime precipitazioni osser-vate ogni anno nelle stazioni pluviometriche/pluviografiche.

Idrologia - A.A. 17/18 - R. Deidda Cap 7 - Eventi Estremi ( 1 / 36 )

Curve inviluppo

Le curve inviluppo sono ricavate sulla base delle massime portate di piena -storicamente osservate. Questo non esclude che in futuro si possano verificareportate superiori. Sul Moisello (pag. 566 e seguenti) sono fornite alcune curveinviluppo relative a varie regioni e territori nazionali.

Per la Sardegna si richiama la curva inviluppo di Sirchia-Fasso (inizialmentedeterminata da Sirchia, nel 1931, in seguito aggiornata da Fasso, nel 1969):

q = Ψ 45.8 A−0.106 Q = Ψ 45.8 A0.894 A < 21 km2

q = Ψ 207 A−0.6 Q = Ψ 207 A0.4 A > 21 km2

dove la superficie del bacino A e espressa in km2, il contributo unitario q inm3/s/km2, la portata Q espressa in m3/s. Ovviamente Q = qA

Il parametro Ψ da utilizzare nelle formule per i diversi bacini sardi e fornito dallaFigura 4 (Fasso, 1969).

Al parametro Ψ Sirchia diede semplicemente un significato di coefficiente diafflusso, Fasso lo assunse anche ad indice di piovosita.


Considerazioni sulle curve inviluppo(1)

Si riferiscono a eventi catastrofici (mai superati nel passato): si assume chenon vengano superati neanche nel futuro.Il massimo valore osservato in passato potrebbe pero essere superato infuturo. Alcune curve sono datate.

Non caratterizzano la frequenza con cui si verificano gli eventi di piena.

B Non possono essere utilizzate per il dimensionamento di alcune opere idrau-liche per le quali si accetta, per ragioni economiche e tecniche, un rischio diinsufficienza (ovvero che, durante la vita utile dell’opera, possano verificarsiportate superiori alla portata di progetto).

Necessita di un approccio probabilistico

(1) NOTA: Considerazioni analoghe possono essere fatte anche per i metodiche utilizzano le precipitazioni massime probabili (PMP). Le PMP vengonodedotte infatti dai valori massimi di umidita dell’aria osservati in passato.


Analisi statistiche degli eventi estremi(di portata o precipitazione)

Queste analisi vengono condotte sui massimi annui di portata o preci-pitazione osservata, o sulle eccedenze (non trattate nel corso), ovvero suivalori di portata o precipitazione che superano una soglia prefissata.

Studiano e caratterizzano la frequenza con cui si verificano gli eventi estremi(di piena o di precipitazione intensa).

Non classificano percio gli eventi estremi in termini assoluti, ma in terminiprobabilistici.

I risultati delle analisi statistiche vengono utilizzati per dimensionare le ope-re scegliendo in fase di progetto a quale rischio di insufficienza sarannosottoposte, imponendo un tempo di ritorno.

TEMPO DI RITORNOIl tempo di ritorno T associato ad una portata QT (o ad una precipitazione

hT ) e il tempo (espresso in anni) che mediamente intercorre fra dueosservazioni di portata massima annua ≥ QT

(o fra due osservazioni di precipitazione massima annua ≥ hT ).


Valori indicativi di tempi di ritorno

Intervalli di valori indicativi per i tempi di ritorno utilizzati per il dimensionamentodi alcune opere idrauliche:

Opera tempo di ritorno T in anniFognature Urbane T = 5÷ 10 anniTombinatura di strade rurali T = 5÷ 15 anniTombinatura di strade provinciali T = 20÷ 100 anniTombinatura di strade statali, autostrade T = 100÷ 500 anniFerrovie T = 200÷ 500 anniDighe T = 1 000÷ 100 000 anni

Queste opere vengono progettate accettando a priori che possano risultare insuf-ficienti con maggiore (T piccolo) o minore frequenza (T grande) durante la vitautile.


Analisi statistica (locale) massimi annui

Analisi locale: dati di portata (o precipitazione) relativi ad una singola stazionedi misura.

n = numero d’anni di osservazione

xi = massimo di portata (o precipitazione) misurata nell’anno i (i = 1, .., n)

x = (x1, x2, ..., xn) e il campione osservato

Si assume che il campione osservato x sia una realizzazione di una variabile casualeX descritta da una distribuzione di probabilita (ignota).

Si vuole determinare una distribuzione di probabilitadalla quale il campione x = (x1, x2, ..., xn) si possa considerare estratto.

1 Scelta della distribuzione probabilistica

2 Stima dei parametri (della distribuzione probabilistica scelta al punto 1)

3 Verifica delle ipotesi (punti 1 e 2): test di adattamento (es. χ2)


Richiami di statistica e probabilita

La statistica descrive la distribuzione (campionaria) di uno piu campioni osservati.

Sia x = (x1, x2, ..., xn) un campione osservato, riordinato in ordine crescente.Definiamo:

Distribuzione di frequenza relativa: fk =nk

n

Distribuzione di frequenza cumulata: F (xj) =

j∑k=1

fk

Il campo delle osservazioni (di portata o pioggia) deve essere stato suddiviso inclassi o intervalli di ampiezza ∆x .

nk e il numero di osservazioni che ricadono nell’intervallo k-esimo [xk −∆x , xk ]

Piu spesso in idrologia la distribuzione di frequenza cumulata e definita attraversouna regola di plotting position, esempio:

Fj = F (xj) =j

n + 1oppure Fj = F (xj) =

j − 0.5

n


Richiami di statistica e probabilita

Le distribuzioni probabilistiche ci permettono di descrivere con espressioni ana-litiche il comportamenteo probabilistico di uno o piu campioni osservati.

E equivalente determinare la distribuzione di densita di probabilita p(x) o la di-stribuzione di probabilita cumulata P(x), detta anche funzione di ripartizioneo probabilita di non superamento, infatti:

p(x) =dP

dx[X]−1

P(x) = Prob[X ≤ x ] =

∫ x

−∞p(z)dz [-]

Relazione fra tempo di ritorno T e probabilita di non superamento P:

T =1

1− P(xT )P(xT ) = 1− 1

T

Fissato il tempo di ritorno T si ricava la probabilita di non superamento Pe quindi la portata o pioggia x con tempo di ritorno T .


Analisi statistica dei massimi annui di portata al colmo

Riordino i massimi annui di portata al colmo Qi e assegno a ciascuno una fre-quenza cumulata F (Qi ) utilizzando una regola di plotting position:

T

Q1 Q3Q4Q2 QNQT

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

1−1/T

1/T

F(Q)

P(Q)

Q

P(Q )

1

Q Q1 ≤ Q2 ≤ Q3 . . . ≤ Qi ≤ . . . ≤ QN

F (Q) 1N+1 ; 2

N+1 ; 3N+1 . . . i

N+1 . . . NN+1

Qi =massimo annuo i-esimo di portataal colmo

F (Qi ) = frequenza cumulata corri-spondente alla portata Qi

Il tempo di ritorno T associato ad una portata QT e il tempo (espresso inanni) che mediamente intercorre fra due osservazioni di portata massima annua≥ QT . La relazione con la probabilita P di non superamento (CDF) e:

T =1

1− P(QT )P(QT ) = 1− 1

T

1. Scelta distribuzione; 2. Stima parametri; 3. Test di adattamento


Alcune distribuzioni di probabilita utilizzate in idrologia

Lognormale.Si trasforma l’osservazione x di portata o pioggia in y = log x

P(x) = P(y) =

∫ y

−∞

1

σ√

2πexp

{−1

2

[y − µσ

]2}dy

dove µ = µ(y) e σ = σ(y) sono la media e lo scarto attesi (teorici) delladistribuzione di y .

Gumbel (distribuzione asintotica del massimo valore tipo 1 - EV1)

P(x) = exp {− exp [−α(x − u)]}

dove α = 1.283/σ(x), u = µ(x)− 0.45σ(x),µ(x) e σ(x) sono la media e lo scarto attesi della distribuzione di x .

TCEV (distribuzione asintotica del massimo valore a due componenti)

P(x) = exp(−λ1e−x/θ1 − λ2e−x/θ2)

distribuzione a 4 parametri il cui utilizzo e destinato alle analisi regionali


Stima dei parametri di una distribuzione probabilistica

Metodo della massima verosimiglianza.Si rimanda al corso di statistica.

Metodo dei momenti Si eguagliano i momenti teorici della distribuzionedi probabilita ai momenti campionari.Occorre eguagliare tanti momenti quanti sono i parametri da stimare.

Media campionaria: m =1

n

n∑i=1

xi

Varianza campionaria: s2 =1

n − 1

n∑i=1

(xi −m)2

L’incertezza di stima dei momenti cresce con l’ordine del momento.

In pratica, si sostituiscono ai momenti teorici (ad esempio a µ e σ dellalognormale o gumbel) i momenti calcolati sul campione:

µ ≡ m σ ≡ s

Metodo dei momenti pesati in probabilita (PWM)

Metodi regressivi


Verifica delle ipotesi (test statistico: esempio del χ2)

Ipotesi nulla (H0): Il campione x = (x1, x2, ..., xn) e una realizzazioneestratta dalla distribuzione di probabilita P(x)Statistica test S : statistica utilizzata per il test (es. χ2)Livello di significativita del test (α): probabilita di rifiuto di ipotesi nullavera (es: α = 0.05, 0.01, 0.001); definisce la zona di rifiuto (R)Regione di accettazione (W): e complementare alla zona di rifiuto

Statistica test χ2 (K. Pearson): χ2c =

K∑j=1

(nj − npj)2

npj

K = num. classi in cui suddivido il campo della variabile casuale Xpj = P[xj ≤ X < xj+1] = P(xj+1) − P(xj) = probabilita che la variabilecasuale X ricada nella classe j-esima, nel caso in cui H0 sia vera.nj = numero di osservazioni che ricadono nella classe j-esiman = numero totale di osservazioninpj = numero di osservazioni atteso per la classe j-esima

Zona di rifiuto: R = {χ2c ≥ χ2(α, ν)} Zona di acc.: W = {χ2

c < χ2(α, ν)}ν = K − 1− s = gradi di libertas = numero di parametri della distribuzione P(x) stimati con il campione xRegola di equiprobabilita di Gumbel: p1 = p2 = · · · = pj = · · · = pK

Regola empirica: npj ≥ 5 =⇒ K ≤ n/5


Inversione Gumbel e Lognormale

Distribuzione Gumbel

I parametri α e u sono gia stati calcolati.

Fisso T , calcolo la probabilita di non superamento P = 1− 1/T

La portata o pioggia con tempo di ritorno T e:

x = u − ln(− ln P)

α

Distribuzione Lognormale(distribuzione normale della variabile trasformata y = ln x , ovvero y = log10 x)

I parametri µy e σy sono gia stati calcolati.

Fisso T , calcolo la probabilita di non superamento P = 1− 1/T

Ricavo il quantile zP della distribuzione N(0, 1) dalle tavole.

Ricavo la variabile trasformata: y = µy + σyzP

La portata o pioggia con tempo di ritorno T e:

x = exp(y) ovvero x = 10y



Analisi statistiche regionali

Necessita delle analisi regionali (su piu siti d’osservazione):

1 Stima delle grandezze (portate o piogge) anche dove non si dispone dimisure.

2 Stima delle grandezze (portate o piogge) relativi a tempi di ritorno elevati,anche superiori al periodo d’osservazione. L’informazione spaziale compensail limitato periodo di osservazioni locali (carenza temporale).

3 Maggiore accuratezza nella stima dei parametri. Introduzione di maggiorestruttura nei modelli probabilistici: maggior numero di parametri.

4 Maggiore attenzione agli estremi (coda destra della distribuzione).

Deve essere verificata l’ipotesi di indipendenza degli eventi.In pratica si ricerca l’omogeneita spaziale di variabili opportunamente trasformateo adimensionalizzate. Esempio:

Q/µ oppure log Q − µy (dove y = log Q)

Alcuni parametri della distribuzione sono assunti costanti su regioni spazialiomogenee.


Stima delle portate di piena nei bacini sardi - I

Distribuzione lognormale: formula di Lazzari (1968)

Qc = 10y [m3 s−1]

si assume che la variabile y = log10 Qc abbia distribuzione normale, con varianzaσ2y regionale, e media µy dipendente da un fattore morfometrico AbHm.

y = 0.3583zp + 0.956 log10(AbHm)− 2.995 (bacini occidentali)

y = 0.4413︸︷︷︸σy

zp + 0.746 log10(AbHm)− 1.781︸︷︷︸µy

(bacini orientali)

Qc e la portata al colmo di piena in m3/s

Ab e l’area del bacino in km2

Hm e la quota media del bacino s.l.m. in metri

zp e il quantile della distribuzione normale standardizzata relativo alla pro-babilita di non superamento P. (Si stabilisce il tempo di ritorno T in annida cui si ottiene immediatamente P = 1− 1/T , quindi si ricava il quanttilecorrispondente zp dalle tabelle probabilistiche)

Attenzione: formula valida se il fattore morfometrico AbHm > 50 000 m·km2


Stima delle portate di piena nei bacini sardi - II

Aggiornamento distribuzione Lognormale

Qc = exp(y) [m3 s−1]

si assume che la variabile y = ln Qc abbia distribuzione normale, con varianza σ2y

regionale, e media µy dipendente dall’area del bacino Ab.

y = 0.8152zp + 0.9104 ln Ab − 0.6547 (bacini occidentali)

y = 1.0224︸︷︷︸σy

zp + 0.6388 ln Ab + 1.534︸︷︷︸µy

(bacini orientali)

Qc e la portata al colmo di piena in m3/s


zp e il quantile della distribuzione normale standardizzata relativo alla pro-babilita di non superamento P. (Si stabilisce il tempo di ritorno T in annida cui si ottiene immediatamente P = 1− 1/T , quindi si ricava il quantilecorrispondente zp dalle tabelle probabilistiche)

ln e logaritmo naturale



Stima delle portate di piena nei bacini sardi - III

Distribuzione TCEV (Cao et al. 1988)

Qc = µ(Qc)KT = β exp(α)KT [m3 s−1]

Parametri per bacini occidentali: Parametri per bacini orientali:KT = −0.833 + 1.345 ln T KT = −0.977 + 1.451 ln Tα = −1.1954 + 0.9235 ln Ab α = 0.9882 + 0.6452 ln Ab

β = 2.381 β = 2.670

Qc e la portata al colmo di piena in m3/s (stessa u.m. di µ(Qc))

KT e il coefficiente di crescita (espr. con errore < 3 % per T ≥ 5 anni)

µ(Qc) e la piena indice (media di massimi annui di piena) in m3/s


T il tempo di ritorno T in anni

ln e logaritmo naturale; per revisione: β si puo inglobare con α.

Procedura gerarchica di regionalizzazione delle piene con la TCEV:1o Livello: ZO (Zona Omogenea) unica per tutta la Sardegna2o Livello: 2 SZO (SottoZone Omogenee), per bacini occidentali e orientali3o Livello: piena indice µ(Qc) funzione dell’area del bacino


Relazione fra portate al colmo e portate giornaliere

Per la Sardegna e stata determinata la seguente relazione fra le medie dellemassime portate annue al colmo Qc (per misurare le quali occorre un idrome-trografo) e le medie delle massime portate annue giornaliere Qg (per le qualie sufficiente un idrometro):

m(Qc) = 3.02m(Qg )0.9684A−0.0316b

Quando in un bacino si abbia a disposizione una serie attendibile di massimi annuidi portata giornaliera, si puo utilizzare la relazione fornita per calcolare m(Qc).Questa media puo quindi essere utilizzata come stimatore della portata indiceµ(Qc) ad esempio nella TCEV (mantenendo pero l’informazione regionale perKT ):

Qc = KTµ(Qc)


Le espressioni fornite sinora per la stima delle portate al colmo possonoessere utilizzate soltanto per bacini naturali.

Per il calcolo delle portate meteoriche di piena nei bacini urbani(necessarie per il dimensionamento dei collettori delle fognature pluviali)occorre conoscere i regimi di precipitazione intensa ed applicare modelli

di trasformazione afflussi deflussi.

Tale conoscenza e necessaria anche per una modellazione afflussi-deflussiin bacini naturali, nella quale si vogliano mettere in conto le

caratteristiche del bacino.


Analisi statistica degli eventi estremi di precipitazione

Si utilizzano metodologie statistiche analoghe a quelle descritte per l’analisi dellemassime portate al colmo di piena (utilizzate per determinare distribuzioni diprobabilita che forniscano stime di portata di assegnato tempo di ritorno).

Le analisi delle massime precipitazioni intense possono essere effettuate su cam-pioni x = (x1, x2, ..., xn) cosı definiti:

massimi annui di precipitazione giornaliera (pluviometriche+pluviografiche)

massimi annui di precipitazione intensa di breve durata (es. 15, 30, 45, 60minuti e 3, 6, 12, 24 ore) registrate dalle sole stazioni pluviografiche.

In questo modo si ottengono tante distribuzioni probabilistiche, ciascuna dellequali fornisce, per un prefissato tempo di ritorno T , l’altezza di precipitazionegiornaliera o di 15’, 30’ ... 24 ore.

Dalle distribuzioni di probabilita ottenute per le diverse durate di precipitazione siricavano le curve segnalatrici di possibilita climatica (o pluviometrica), chene rappresentano una sintesi.

Inoltre, le curve segnalatrici di possibilita pluviometrica spesso sono anche ilrisultato di analisi regionali.



Curve segnalatrici di possibilita pluviometrica (o climatica)

Forniscono l’altezza h di precipitazione (o intensita media i) di evento meteoricointenso di durata τ e assegnato tempo di ritorno T .

Spesso sono rappresentate con relazioni monomie:

hT (τ) = aτn iT (τ) = aτn−1

durate

1 T2 T3< <

T1

T3

T2

T1 T2 T3< <

(τ)h (τ)i

T1

T3

T2

τdurateτ

T

a = a(T ) e n = n(T ) sono coefficienti che dipendono dalle caratteristicheclimatiche del luogo e dal tempo di ritorno T

τ e una durata di evento pluviometrico (in genere espresso in ore)

hT (τ) e l’altezza cumulata di precipitazione (e analogamente iT (τ) l’inten-sita media) con tempo di ritorno T di eventi meteorici di durata τ


Curve di possibilita pluviometrica per la Sardegna - I

Distribuzione lognormale.

In Sardegna sono stati identificati 4 gruppi di stazioni omogenee, per ciascunodei quali vale un’unica curva di possibilita pluviometrica:

h(τ) = 10A+Bz τC+Dz

τ = durata dell’evento in ore

h(τ) = altezza di precipitazione espressa in mm

z e il quantile di una distribuzione N(0,1) con probabilita P = 1− 1/T ;

A,B,C ,D sono coefficienti tabellati caratteristici di ciascun gruppo

Fissata una qualsiasi durata τ , ogni gruppo e caratterizzato dalla costanza dellamedia µy e varianza σ2

y della trasformata y(τ) = log h(τ):

log10 h(τ) = A + C log τ︸︷︷︸µy

+ (B + D log τ)︸︷︷︸σy

z

La costanza della media (e della varianza) in ciascun gruppo rappresenta un limitealla continuita territoriale nella aggregazione dei gruppi di stazioni.


Curve di possibilita pluviometrica per la Sardegna - II

Distribuzione lognormale (cont.).

h(τ) = 10A+Bz τC+Dz

Si riportano i valori dei coefficienti recentemente aggiornati (Liguori e Piga, 1991).

A B C Dgruppo I 1.273175 0.179731 0.305043 -0.0171463gruppo II 1.296258 0.167487 0.359699 -0.0179413gruppo III 1.379027 0.164598 0.418225 0.0090927gruppo IV 1.460799 0.191831 0.497194 0.0412504

I quattro gruppi (e le relative curve pluviometriche) sono stati determinati concriteri statistici utilizzando i dati di 46 stazioni pluviografiche.

A questo studio non ha fatto seguito l’attribuzione delle numerose stazioni pluvio-metriche ai gruppi omogenei. A questo scopo si possono utilizzare le attribuzionifatte nello studio originale di Puddu (1974).

La determinazione della curva di possibilita climatica in un generico punto puoessere fatta attribuendogli lo stesso gruppo della piu vicina stazione.



Curve di possibilita pluviometrica per la Sardegna - TCEV

P(x) = exp [−λ1 exp(−x/θ1)− λ2 exp(−x/θ2)]

Per la Sardegna e stata dapprima applicata alle precipitazioni giornaliere con unaprocedura gerarchica di regionalizzazione articolata su tre livelli.

1 Livello 1. Si e identificata un’unica zona omogenea (ZO) che ricoprel’intera Sardegna, caratterizzata da un unico coefficiente di asimmetria ein cui due parametri della distribuzione sono costanti.

2 Livello 2. Sono state identificate 3 sottozone omogenee (SZO), caratte-rizzate da un unico coefficiente di variazione e in cui un parametro delladistribuzione e costante. Per ciascuna SZO c’e un’unica curva di crescitaKT = x/µ, che e stata invertita per ricavare una espressione interpolante diKT in funzione del tempo di ritorno T .

3 Livello 3. E stata redatta una carta della pioggia indice giornaliera µg (chesostituisce l’ultimo parametro θ1) per tutto il territorio della Sardegna.

La metodologia esposta e stata applicata in seguito anche alle piogge intense dibreve durata (dati pluviografici). I risultati di queste analisi sono stati utilizzatiper determinare le curve segnalatrici di possibilita pluviometrica per la Sardegna.


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