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Classificazione dei modelli di trasformazione afflussi-deflussi in base alla schematizzazione dei processi Modelli (idrologici) concettuali: utilizzano delle schematizzazioni dei fenomeni fisici della trasformazione, senza risolvere le equazioni fisiche dei processi. Due schematizzazioni sono particolarmente utilizzate: canali (lineari): rappresentano solo il trasferimento temporale (ritardo fra ingresso e uscita) delle acque meteoriche. Schematizzazione utilizzata dal modello cinematico o della corrivazione serbatoi (lineari): rappresentano le diverse forme di immagazzinamento dell’acqua per mezzo di uno o pi` u serbatoi. Schematizzazione utilizzata dal modello di invaso. Modelli fisicamente basati: vengono risolte le equazioni fisiche dei diversi processi idraulici ed idrologici. Modelli empirici (black-box): sono modelli che non rappresentano, neanche schematicamente, i fenomeni fisici. Accettano una funzione in input (ietogramma) e forniscono una funzione in output (idrogramma). Hanno necessit` a di una serie di dati di input e corrispondenti dati di output per la taratura. Acquedotti e Fognature - A.A. 11-12 - R. Deidda C.4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 1 / 20 ) Altre classificazioni dei modelli di trasformazione afflussi-deflussi In base alla variabilit` a e dipendenza spaziale delle grandezze: Modelli globali. Il bacino ` e considerato nel suo insieme. Non si considera la variabilit` a spaziale della precipitazione e delle carattersitiche topografiche, idrauliche e di uso del suolo del bacino. Modelli distribuiti. Possono considerare la variabilit` a spaziale della precipitazione e delle grandezze del bacino. In base alle caratteristiche di risposta: Modelli stazionari. Ingressi (ietogrammi) identici sfasati nel tempo producono uscite (idrogrammi) identici anch’essi sfasati nel tempo. Modelli lineari. Vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Ad una combinazione lineare delle funzioni di ingresso corrisponde una combinazione lineare delle funzioni di uscita: i 1 (t ) -→ Q 1 (t ) i 2 (t ) -→ Q 2 (t ) ai 1 (t )+ bi 2 (t ) -→ aQ 1 (t )+ bQ 2 (t ) Acquedotti e Fognature - A.A. 11-12 - R. Deidda C.4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 2 / 20 )

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Classificazione dei modelli di trasformazioneafflussi-deflussi in base alla schematizzazione dei processi

Modelli (idrologici) concettuali: utilizzano delle schematizzazioni deifenomeni fisici della trasformazione, senza risolvere le equazioni fisiche deiprocessi. Due schematizzazioni sono particolarmente utilizzate:⇒ canali (lineari): rappresentano solo il trasferimento temporale

(ritardo fra ingresso e uscita) delle acque meteoriche.Schematizzazione utilizzata dal modello cinematico o dellacorrivazione

⇒ serbatoi (lineari): rappresentano le diverse forme diimmagazzinamento dell’acqua per mezzo di uno o piu serbatoi.Schematizzazione utilizzata dal modello di invaso.

Modelli fisicamente basati: vengono risolte le equazioni fisiche deidiversi processi idraulici ed idrologici.

Modelli empirici (black-box): sono modelli che non rappresentano,neanche schematicamente, i fenomeni fisici. Accettano una funzione ininput (ietogramma) e forniscono una funzione in output (idrogramma).Hanno necessita di una serie di dati di input e corrispondenti dati di outputper la taratura.

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Altre classificazioni dei modelli di trasformazioneafflussi-deflussi

In base alla variabilita e dipendenza spaziale delle grandezze:

Modelli globali. Il bacino e considerato nel suo insieme. Non si considerala variabilita spaziale della precipitazione e delle carattersitichetopografiche, idrauliche e di uso del suolo del bacino.

Modelli distribuiti. Possono considerare la variabilita spaziale dellaprecipitazione e delle grandezze del bacino.

In base alle caratteristiche di risposta:

Modelli stazionari. Ingressi (ietogrammi) identici sfasati nel tempoproducono uscite (idrogrammi) identici anch’essi sfasati nel tempo.

Modelli lineari. Vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Ad unacombinazione lineare delle funzioni di ingresso corrisponde unacombinazione lineare delle funzioni di uscita:

i1(t) −→ Q1(t) i2(t) −→ Q2(t)ai1(t) + bi2(t) −→ aQ1(t) + bQ2(t)

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Stima della portata pluviale con tempo di ritorno T :Metodo razionale (1850), o metodo cinematico o della corrivazione

E un metodo di progetto che fornisce la portata al colmo QM della pienaoriginata da un evento meteorico con tempo di ritorno T .

La stessa portata al colmo QM e fornita dal modello cinematico (che fornisceanche l’intero idrogramma di piena), con le seguenti ipotesi:• ietogramma costante nel tempo e nello spazio (ragguagliato all’area)• metodo proporzionale per le perdite• curva area-tempi lineare

QM = ϕi(tc)︸ ︷︷ ︸in(tc )

A

ϕ = coefficiente di afflusso medio del bacino drenatotc = tempo di concentrazione (tempo impiegato dalle gocce cadute nel puntodel bacino idraulicamente piu lontano a raggiungere la sezione di chiusura)i(tc) = intensita media della pioggia (eventualmente ragguagliata all’area A) didurata tc e tempo di ritorno T

A = area del bacino urbano drenato dal collettore da dimensionare (sezione di

chiusura posta sull’estremita di valle di tale collettore)

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Stima del tempo di concentrazione tc

Riferendosi alla sezione valliva di ciascun collettore da dimensionare, si devecalcolare il tempo di concentrazione tc , ovvero il tempo impiegato dalle goccemeteoriche ad attraversare il percorso idraulicamente piu lungo.Occorre percio determinare il massimo valore della seguente espressione:

tc = ta + trta = tempo di accesso e il tempo di percorrenza delle aree scolanti sino alpunto di immissione nella rete. Esso puo differire per i diversi lotti di unastessa fognatura. Fair (1966) suggerisce i seguenti valori:

centri urbani intensivi con frequenti caditoie ta < 5′

centri commerciali con basse pendenze ta = 10′ ÷ 15′

aree residenziali estensive con caditoie non frequenti ta > 20′

tr = tempo di rete e il tempo di percorrenza nelle canalizzazioni lungo ilpercorso idraulicamente piu lungo:

tr =∑i

Li

Vioppure tr =

∑i

Li

1.5Vi

Li = lunghezza della tratta i − esima nel percorso idraulicamente piu lungo.

Vi = velocita di moto uniforme corrispondente alla portata di progetto della

i − esima tratta (per la tratta in progetto occorre fissare un valore di Vi di primo

tentativo ed aggiornarlo dopo aver stimato la portata di progetto)

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Tempo di accesso: Formula Mambretti-Paoletti (1996,97)

E stata recentemente ricavata (con il metodo del condotto equivalente) la

seguente espressione per il calcolo del tempo di accesso ta per sottobacini sino a

10 ha:

tai =

[3600

n−14 120 S0.30

i

s0.375i (aϕ)0.25

] 4n+3

tai = tempo di accesso dell’i-esimo sottobacino [s]a, n = coefficienti della curva di possibilita pluviometrica, a [mm/hn], n [-]Si = superficie dell’i-esimo sottobacino [ha]si = pendenza media dell’i-esimo sottobacino [-]ϕi = coefficiente d’afflusso medio dell’i-esimo sottobacino [-]

NOTA: qualora il sottobacino i-esimo avesse una pendenza media si < 0.003,nella formula si pone comunque il valore minimo si = 0.003

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Tempo di accesso: Formula Mambretti-Paoletti (1996,97)

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Modello cinematico: idrogramma di piena (I)

L’utilizzo del metodo razionale (o metodo cinematico o della corrivazione) neibacini con curva area-tempi non lineare puo portare ad una sottostima dellaportata al colmo con assegnato tempo di ritorno T .

Infatti, la massima portata al colmo potrebbe verificarsi per una pioggia(uniforme) di durata inferiore al tempo di concentrazione tc : e opportunoapplicare un modello, con ietogramma non costante, che fornisca l’idrogramma.

Un modello utilizzato e il modello cinematico o della corrivazione (modelloconcettuale, stazionario e lineare), che si basa sulle seguenti ipotesi:

la formazione della piena sia dovuta esclusivamente ad un fenomeno ditrasferimento di massa liquida sul bacino;

ogni goccia di pioggia si muova sulla superficie del bacino seguendo unpercorso immutabile, che dipende soltanto dalla posizione del punto in cuiessa e caduta;

la velocita di ogni singola goccia non sia influenzata dalla presenza dellealtre gocce (... discutibile)

la portata alla sezione di chiusura si ottenga sommando tra loro le portateelementari, provenienti dalle singole aree del bacino che si presentano allostesso istante nella sezione di chiusura.

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Modello cinematico: idrogramma di piena (II)

Nel modello cinematico o della corrivazione, la trasformazione afflussi-deflussi eschematizzata con un insieme di canali lineari in parallelo fra loro.Ogni canale trasferisce le gocce d’acqua meteoriche da ciascun area infinitesimadel bacino alla sezione di chiusura sempre con lo stesso ritardo (pari al tempo dicorrivazione della stessa area infinitesima).L’idrogramma Q(t) si ottiene dall’integrale dei contributi di tutti i canali.

Applicazione del modello della corrivazione nella forma discretizzata.

Si sceglie lo stesso passo temporale ∆t con cui discretizzare sia loietogramma della pioggia netta di progetto, che la curva area-tempi:

ik intensita media di pioggia netta e ragguagliata all’area del bacinonell’intervallo di tempo fra gli istanti (k − 1)∆t e k∆t, con k = 1, · · · ,m(ietogramma discreto in m intervalli)

Aj area contribuente con tempi di corrivazione compresi fra (j − 1)∆t ej∆t, con j = 1, · · · , n (curva area-tempi approx. con n tratti lineari)

Durata della pioggia tp = m∆t, tempo di corrivazione tc = n∆tSi calcolano gli idrogrammi Qk(t) generati da ciascuno ietogramma costanteelementare di pioggia netta ik(t). Per la linearita del sistema l’idrogrammatotale si ottiene per sovrapposizione: Q(t) =

∑mk=1 Qk(t)

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Modello cinematico: idrogramma di piena (III)

i1(t) i2(t) i3(t) · is(t) · im−1(t) im(t) i(t)tempo t ↓ ↓ ↓ · ↓ · ↓ ↓ ↓

Q1(t) Q2(t) Q3(t) · Qs(t) · Qm−1(t) Qm(t) Q(t)

∆t i1A1 i1A1

2∆t i1A2 i2A1∑

3∆t i1A3 i2A2 i3A1∑

......

......

...s∆t i1As i2As−1 i3As−2 · isA1 ∗

......

......

......

n∆t i1An i2An−1 i3An−2∑

(n + 1)∆t i2An i3An−1∑

(n + 2)∆t i3An∑

......

......

(n + m − 2)∆t im−1An imAn−1∑

(n + m − 1)∆t imAn imAn

(n + m)∆t 0

∗ Q(s∆t) =∑s

k=1 ikAs−k+1 Nota: vale anche per s > n, ponendo As = 0

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Modello cinematico: Curva area-tempi non lineare ... (IV)

La Tabella precedente puo essere riscritta in forma matriciale: A · i = Qla matrice A (n + m)×m rappresenta le caratteristiche di risposta del bacino,il vettore i m × 1 rappresenta le caratteristiche dell’evento meteorico,il vettore Q (n + m)× 1 e l’idrogramma di piena discreto.

A1 0 0 · · · 0 0A2 A1 0 · · · 0 0A3 A2 A1 · · · 0 0...

...... ·

An An−1 An−2 · · ·0 An An−1 · · ·0 0 An · · ·...

...... ·

......

0 0 0 · · · An An−1

0 0 0 · · · 0 An

0 0 0 · · · 0 0

·

i1i2i3...

im−1

im

=

Q1

Q2

Q3

...Qn

Qn+1

Qn+2

...Qn+m−2

Qn+m−1

Qn+m

NOTA: si e indicato ora Qs = Q(s∆t) e non l’idrogramma prodotto da is(t)

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Modello dell’invaso lineare (I)

E un modello concettuale che schematizza il funzionamento del bacino con uninvaso lineare.

Stabilito il collettore da dimensionare (o verificare), si definisce il bacino urbanodrenato. Il modello dell’invaso lineare utilizza un legame lineare fra la portataQ(t) nella sezione di chiusura e il volume W (t) immagazzinato dal sistemabacino-rete a monte della sezione nel medesimo istante t:

W (t) = KQ(t)

K = contante dell’invaso lineare [T].

Il comportamento dell’invaso e descritto dall’equazione di continuita:

P(t)− Q(t) =dW (t)

dt= K

dQ(t)

dt

P(t) = in(t)A e la portata di afflusso meteorico netto (pioggia netta in(t) x areabacino A).Se P(t) e costante (ietogramma costante) si puo integrare analiticamentel’equazione di continuita per ricavare l’idrogramma Q(t).Se P(t) 6= costante puo risultare necessario ricorrere all’integrazione numerica.

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Modello dell’invaso lineare (II)

Integrazione dell’equazione di continuita per separazione delle variabili per ilcaso di portata di afflusso meteorico netto costante (P(t) = P = cost.):∫ t

t0

1

Kdt =

∫ Q

Q0

1

P − QdQ

t − t0

K= − ln

P − Q

P − Q0P−Q = (P−Q0)e−(t−t0)/K

Specificando la condizione al contorno Q0 = 0 (invaso vuoto) per t = t0 = 0:

Q(t) = P(

1− e−t/K)

0 ≤ t ≤ tp

Essendo tp la durata della pioggia (P 6= 0 per 0 ≤ t ≤ tp).

Terminata la pioggia (t > tp) si integra con P = 0, e condizione al contornoQ0 = QM = Q(tp) per t0 = tp:

Q(t) = QMe−(t−tp)/K t > tp

QM = Q(tp) = P(1− e−tp/K

)e la portata al colmo per pioggia cost. durata tp

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Stima della portata al colmo con tempo di ritorno T :Metodo dell’unico invaso lineare (I)

Fissato il tempo di ritorno T si determinano i coefficienti a, n della curva dipossibilita climatica: i(τ) = aτn−1, o meglio a′ ed n′ per la riduzione areale.Assunto uno ietogramma cost. e metodo proporzionale per le perdite (coeff.afflusso ϕ), si ricava la portata al colmo per qualsiasi durata di pioggia tp:

QM = ϕatn−1p A

(1− e−tp/K

)(1)

Si vuol determinare la durata critica tp che rende massima la portata al colmoQM . Posto r = tp/K , si annulla la derivata di QM rispetto ad r :

QM = ϕaAK n−1rn−1(1− e−r

)(2)

dQM

dr= 0 =⇒ n = 1− r

e−r

1− e−r(3)

Alcuni valori r(n) dalla (3):n 0.3 0.4 0.5 0.6r 0.67 0.95 1.26 1.62

rn−1(1− e−r ) 0.65 0.63 0.64 0.66

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Stima della portata al colmo con tempo di ritorno T :Metodo dell’unico invaso lineare (II): Equazione (1)

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Stima della portata al colmo con tempo di ritorno T :Metodo dell’unico invaso lineare (III)

Per il calcolo della costante di invaso K sono state proposte diverse relazioni. Inparticolare si richiamano:

Desbordes (1975):

K =4.19 A0.30

I 0.45m (100 s)0.38

− 0.21 [min] (4)

Ciaponi e Papiri (1992):

K = 0.5A0.351 d0.358

I 0.163m s0.29

r

[min] (5)

A = area del bacino [ha]Im = rapporto fra l’area impermeabile e l’area totale del bacinos = pendenza media del collettore principale [-]d = densita di drenaggio, definita dal rapporto fra lo sviluppo della rete didrenaggio [m] e l’area del bacino [ha]sr = pendenza media ponderale di tutta la rete di drenaggio [%]

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Stima della portata al colmo con tempo di ritorno T :Metodo dell’unico invaso lineare (IV)

Applicazione del metodo:

1 Fissato il tempo di ritorno T si determinano i coefficienti a, n della curvadi possibilita climatica: i(τ) = aτn−1. Se necessario si utilizzano a′ ed n′

per la riduzione all’area A del bacino drenante (sotteso dalla sezione piu avalle del collettore da dimensionare).

2 Determinato n si ricava dalla (3) o dalla tabella il valore di r che rendemassima la portata al colmo QM .

3 Si stimano tutte le grandezze del bacino drenante necessarie al calcolodella costante di invaso K utilizzando la (4) o la (5).

4 Si stima il coefficiente di afflusso ϕ e si calcola la portata al colmo QM conla (2). Si dimensiona il collettore.

5 Se si desidera si calcola la durata tp = rK della pioggia critica e quindi laportata al colmo QM con la (1). Ovviamente si ottiene lo stesso risultatofornito dalla (2).

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Stima della portata al colmo con tempo di ritorno T :Metodo italiano dell’invaso lineare (I)

Il metodo italiano dell’invaso lineare considera esplicitamente i volumiinvasati dal sistema bacino-rete a monte del collettore da dimensionare.Il metodo dell’invaso considera esplicitamente la sola costante di invaso K .Ipotesi del metodo italiano dell’invaso lineare:

funzionamento autonomo di tutti i collettori: nessun rigurgito o richiamo

regime di moto uniforme in ogni collettore: pelo libero parallelo al fondodel collettore; volume invasato pari al prodotto della lunghezza delcollettore per l’area bagnata.

funzionamento sincrono: tutti i collettori raggiungonocontemporaneamente il massimo volume invasabile.

Per le ipotesi assunte, la costante di invaso K puo essere scritta:

K =W (t)

Q(t)=

WM

QM

WM = massimo volume invasato dal sistema bacino-rete a monte della tratta dadimensionareQM = la massima portata al colmo della tratta da dimensionare

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Stima della portata al colmo con tempo di ritorno T :Metodo italiano dell’invaso lineare (II)

La procedura esposta per il metodo dell’invaso fornisce la portata al colmo infunzione del tempo di pioggia tp. Posto K = WM/QM , la (1) si riscrive:

QM = ϕatn−1p A

(1− e−tpQM/WM

)La determinazione del tempo di pioggia tp che rende massimo QM non eimmediata come per il metodo di invaso .... Si riporta direttamente la formatradizionale del metodo italiano dell’invaso lineare che risale al 1930 circa:

u = 2168n (ϕa)1/n

w (1−n)/n[l s−1 ha−1] (6)

u [l s−1 ha−1] = coefficiente udometricow [m] = WM/A = invaso specifico (WM volume invasato dal sistemabacino-rete a monte della sezione di chiusura, A area del bacino)a [m h−n] e n [-] = coefficienti della curva di possibilita pluviometricaϕ [-] = coefficiente di afflusso medio

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Stima della portata al colmo con tempo di ritorno T :Metodo italiano dell’invaso lineare (III)

Valutazione del volume invasato WM dal sistema bacino-rete a monte dellasezione da dimensionare (compreso anche il volume del collettore in progetto):

WM = w0A +∑i

Wi + WI (7)

La sommatoria∑

i e estesa a tutti i collettori i (gia dimensionati) a monte delcollettore I da dimensionare.

w0 = volume specifico (ovvero per unita di superficie) dei piccoli invasi edel velo idrico superficiale. Per aree mediamente urbanizzate (0.6 < ϕ <0.8): w0 ≈ 10÷ 40 m3 ha−1 a seconda del minore o maggiore sviluppodelle reti di drenaggio secondarie (pozzetti, cunette, caditoie, etc.)Wi = LiΩi = volume invasato nel collettore i-esimo (Li e la lunghezza delcollettore, Ωi l’area bagnata quando vi defluisce la portata di progetto QMi

gia calcolata per il collettore i)WI = LIΩI = volume invasato nel collettore I in progetto; da determinareper tentativi (LI e la lunghezza nota del collettore in progetto, ΩI l’areabagnata incognita, da determinare per tentativi)

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Stima della portata al colmo con tempo di ritorno T :Metodo italiano dell’invaso lineare (IV) - Applicazione

1 Fissato il tempo di ritorno T si determinano i coefficienti a, n della curvadi possibilita climatica: i(τ) = aτn−1. Se necessario si utlizzano a′ ed n′

per la riduzione all’area A del bacino drenante (sotteso dalla sezione piu avalle del collettore da dimensionare).

2 Si stima il coefficiente di afflusso ϕ.3 Si fissa un valore di tentativo per il volume d’invaso WI del collettore da

dimensionare: ad esempio si puo predimensionare il collettore, ipotizzareun valore del tirante idrico, e quindi un’area bagnata ΩI ⇒WI = LIΩI .

4 Si stima il volume specifico w0 dei piccoli invasi e si calcola con la (7) ilvolume invasato WM nel sistema bacino-rete a monte della sezione inprogetto, e finalmente l’invaso specifico w = WM/A.

5 Si calcola il coefficiente udometrico u con la (6), quindi la massima portataal colmo QM = uA. Si dimensiona la tratta per la portata QM , e si calcolail volume WI invasato. Il dimensionamento e terminato se questo WI epari al volume assunto al punto 3. In caso contrario, si assumequest’ultimo valore per WI e si reitera il calcolo dal punto 4.

Attenzione alle unita di misuraAcquedotti e Fognature - A.A. 11-12 - R. Deidda C.4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 20 / 20 )