Variabilit a negli eventi meteorici l’informazione...

Stima delle portate di piena utilizzandol’informazione pluviometrica

Si utilizza un modello di trasformazione afflussi-deflussi che forniscel’idrogramma (o semplicemente la portata al colmo) corrispondente ad unassegnato evento meteorico.

Ipotesi: le portate con tempo di ritorno T siano originate da eventimeteorici caratterizzati dallo stesso tempo di ritorno T .

Si stabilisce il tempo di ritorno T

Si costruisce uno ietogramma sintetico (o di progetto) con tempo di ri-torno T , in genere utilizzando l’informazione fornita dalle curve di possibilitapluviometrica

Si sceglie un modello di trasformazione afflussi-deflussi

Per le ipotesi fatte, le portate fornite dal modello sono caratterizzate an-ch’esse dal tempo di ritorno T

Idrologia - A.A. 17/18 - R. Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 1 / 44 )

Variabilita negli eventi meteorici

Gli eventi meteorici reali manifestano una variabilita della intensita di preci-pitazione nello spazio e nel tempo: i(x , y , t).

P(t

) [m

m]

t [ore]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0

1

2

3

4

5

6

7

Sinistra: un campo spaziale di intensita di precipitazione alla risoluzione di 4 kmx 4 km (misurato da radar)

Destra: uno ietogramma delle altezze di precipitazione cumulata ogni 10 minuti,durante un evento di precipitazione (misurato da un pluviografo a memoria solida).


Ietogrammi sintetici o ietogrammi di progetto

Con le piogge di progetto si dovrebbe rappresentare (e riprodurre) la variabilitaspaziale e temporale osservata.In genere esse descrivono in modo molto approssimato tale variabilita: le piusemplici rappresentano una pioggia costante nel tempo e nello spazio.

Le fasi di costruzione di un evento sintetico di pioggia (netta) sono le seguenti:

scelta del tempo di ritorno T

identificazione della curva di possibilita climatica valida per l’area in esame

scelta del tipo di ietogramma sintetico (che descrive la variabilita dellapioggia puntuale nel tempo)

ragguaglio della pioggia puntuale all’area (si mette in conto la variabilitaspaziale)

(depurazione delle perdite e determinazione della pioggia netta)

In genere, uno ietogramma di progetto riesce a riprodurre, con il tempo di ritornoassegnato, solo alcune o solo una delle caratteristiche degli ietogrammi osservati(intensita media, intensita del picco, altezza di pioggia totale, etc.)


Ietogrammi di progetto: Ietogramma costante

Rappresenta una pioggia ad intensitacostante per tutta la sua durata.

Occorre assegnare:

il tempo di ritorno T

la durata della pioggia tp(durata evento critico)

i(t)

p

t

t

=⇒ dalle curve di possibilita pluviometrica valide nel territorio in esame si deducel’intensita media dell’evento critico di durata tp e tempo di ritorno T assegnati.Tale intensita viene tenuta costante per tutta la durata dell’evento.

E probabilmente il piu diffuso per la sua grande semplicita, ma presenta i seguentilimiti:◦ occorre determinare a priori la durata di pioggia dell’evento critico,◦ l’intensita e nulla prima e dopo l’evento di durata critica, quindi il volumecomplessivo risulta sottostimato rispetto agli eventi reali,◦ non riproduce la variabilita ed i picchi di intensita durante l’evento.


Ietogrammi di progetto: Ietogramma Chicago (I)(Keifer e Chu, 1957)

Rispetto allo ietogramma costante rappresenta meglio alcune caratteristiche degliietogrammi osservati, come la presenza del picco di intensita, la precipitazioniantecedenti e seguenti l’istante del picco, i volumi totali.

E uno ietogramma non costante che presenta un picco di intensita che puo es-sere posizionato arbitrariamente all’inizio dell’evento, alla fine, o in posizioneintermedia.

Nello ietogramma Chicago, la massima altezza di precipitazione cumulata su qual-siasi durata τ e sempre pari all’altezza di precipitazione dedotta dalla curva dipossibilita pluviometrica per la medesima durata τ .

i(t)

t

i(t)

t

i(t)

t


Ietogrammi di progetto: Ietogramma Chicago (II)Picco di intensita posto all’inizio dell’evento

Si fissa il tempo di ritorno T e si calcolano i coefficienti della curva di possibilitapluviometrica per la localita in esame: a = a(T ) e n = n(T ).

Per ogni durata τ la precipitazione cumulata h(τ) della pioggia sintetica deveessere pari a quella fornita dalla curva di possibilita pluviometrica h(τ) = aτn:

h(τ) =

∫ τ

0

i(t)dt = aτn

dove i(t) e proprio l’equazione dello ietogramma Chicago da determinare.

Derivando h(τ) rispetto a τ si ottienel’equazione dello ietogramma Chicago:

i(t) = natn−1

dove ovviamente e stata sostituita la variabileτ con t dopo la derivazione t

i(t)


Ietogrammi di progetto: Ietogramma Chicago (III)Picco di intensita posto in posizione qualsiasi

Si fissa ancora il tempo di ritorno T e si calcolano i coefficienti della curva dipossibilita pluviometrica: a = a(T ) e n = n(T ).Occorre in questo caso definire la durata tp della pioggia. Keifer e Chu hanno po-sto la durata della pioggia pari al tempo di corrivazione. Altri autori suggerisconodi adottare valori maggiori per non sottostimare i volumi totali.

Si fissa un valore per il parametro r (0 ≤ r ≤ 1) che rappresenta la posizionerelativa del picco. Il picco di intensita sara posto ad un tempo rtp dopo l’istantedi inizio della pioggia (r = 0 picco all’inizio della pioggia, r = 1 picco alla finedella pioggia). Vari autori suggeriscono valori di r fra 0.35 e 0.40; talvolta si poner = 0.5 per semplicita di calcolo.

Lo ietogramma Chicago ha equazione:

i(t) = na

(rtp − t

r

)n−1

t < rtp (prima del picco)

i(t) = na

(t − rtp1− r

)n−1

t > rtp (dopo il picco)tt

pt

i(t)

r p


Ietogramma Chicago discreto con picco centrale

Per costruire uno ietogramma Chica-go discreto, con passo temporale ∆te picco centrale, assumiamo validauna curva di possibilita pluviometricah(τ) = aτn. Si impone che le altez-ze fornite da detta curva per le durateτ1 = ∆t, τ2 = 3∆t, τ3 = 5∆t, etc.siano sempre pari alle massime altezzedi pioggia ricavate dallo ietogramma.

i(t)

t ∆ t ∆ t ∆ t ∆ t ∆ t ∆ t∆

∆ t7

i

i

i

i1

i

i

i

2

3

4

2

3

4

t

τ1 → h1 = h(τ1) = a(∆t)n = i1∆t ⇒ da cui ricavo i1 = h1/∆t

τ2 → h2 = h(τ2) = a(3∆t)n = i1∆t + 2i2∆t = h1 + 2i2∆t⇒ da cui ricavo i2 = (h2 − h1)/2∆t

τ3 → h3 = h(τ3) = a(5∆t)n = i1∆t + 2i2∆t + 2i3∆t = h2 + 2i3∆t⇒ da cui ricavo i3 = .....

τ4 → h4 = h(τ4) = a(7∆t)n = i1∆t + 2i2∆t + 2i3∆t + 2i4∆t = ...


Ragguaglio all’area: coefficiente di riduzione ARF - I

La precipitazione presenta, oltre che una variabilita temporale, anche una variabi-lita spaziale. In particolare si osserva che gli eventi di precipitazione mostrano una(o piu) zone di intensa attivita meteorica (centro di scroscio): la precipitazionediminuisce quanto piu ci si allontana dal centro di scroscio.

Per tenere conto (mediando) di questa variabilita spaziale della precipitazione,possiamo introdurre un coefficiente di riduzione (ragguaglio) all’area (ArealReduction Factor):

ARF =hr (τ,A)

h(τ)< 1

h(τ) = altezza di precipitazione (puntuale) nel centro di scroscio, in generededotta dalle curve di possibilita pluviometricahr (τ,A) = altezza di precipitazione ragguagliata (mediata) su un’area Ache contiene il centro di scroscio (hr (τ,A) < h(τ)).

L’ipotesi implicitamente assunta e che il centro di scroscio fosse localizzatoin prossimita del pluviometro quando questo ha misurato i massimi annui diprecipitazione utilizzati poi per ricavare le curve di possibilita pluviometrica.

NOTA: Il ragguaglio all’area non si effettua per aree minori di 1 km2.


Ragguaglio all’area: coefficiente di riduzione ARF - II

x

1

h2

h3

h1

h3

h2

hc

hrA

A

hy

SE

Z. A

−A

x

h

1

<1

23

ττ

τ

3

τ2

τ1

τ

A

AR

F<

Il coefficiente di riduzione ARF:• diminuisce all’aumentare dell’area A• aumenta all’aumentare della durata τ della pioggia


Ragguaglio all’area: coefficienti di riduzione ARF - III

Espressioni ricavate a Wallingford (UK):

ARF = 1− f1τ−f2

dove:

1

<1 2 3τ τ τ

3

τ2

τ1

τ

A

ARF <

f1 = 0.0394A0.354

f2 = 0.4− 0.0208 ln(4.6− ln A) A < 20km2

f2 = 0.4− 0.003832(4.6− ln A)2 20km2 < A < 100km2

τ e espresso in ore, A in km2


Ragguaglio all’area: tabella NERC

Il coefficiente di ragguaglio areale si puo ricavare anche per interpolazionebilineare dei valori riportati nella Tabella seguente per coppie di duratadi evento τ ed area del bacino (Natural Environment Research Council,Flood Studies Report, 1981).

Area (km2)

τ(o

re)

1 5 10 30 100 300 1000 3000 10000

1 0.96 0.93 0.91 0.86 0.79 0.71 0.62 0.53 0.442 0.97 0.95 0.93 0.90 0.84 0.79 0.73 0.65 0.553 0.97 0.96 0.94 0.91 0.87 0.83 0.78 0.71 0.626 0.98 0.97 0.96 0.93 0.90 0.87 0.83 0.79 0.73

24 0.99 0.98 0.97 0.96 0.94 0.92 0.89 0.86 0.8348 1 0.99 0.98 0.97 0.96 0.94 0.91 0.88 0.86


Modelli di trasformazione afflussi-deflussi

Modelli completi: rappresentano (piu o meno schematicamente) i diversiprocessi di immagazzinamento dell’acqua (nella superficie, nella rete idro-grafica, nel suolo, negli acquiferi) e di scambio dell’acqua fra atmosfe-ra/superficie/suolo/acquiferi/rete idrografica (precipitazione, evaporazione,infiltrazione, scorrimento etc.).Esempio schematico nella Fig. 6.1 del Moisello (Dooge, 1977).

Modelli di piena: rappresentano soltanto la trasformazione della pioggianetta in deflusso di pioggia, e quindi soltanto la componente veloce deldeflusso (alimentata da scorrimento superficiale e ipodermico).Esempio schematico nella Fig. 6.7 del Moisello.

� Occorre determinare a priori la pioggia netta (ad esempio utilizzandouno ietogramma di progetto con coefficiente d’afflusso per le perditeed eventuale funzione di distribuzione)

� Al deflusso di pioggia fornito dal modello occorrera sommare il deflussodi base se presente.

Metodi per la stima della portata al colmo. Sono delle semplici relazioniche forniscono solo la portata al colmo (ed eventualmente qualche altragrandezza). A differenza dei modelli, non forniscono l’idrogramma.



Metodo razionale, o met. cinematico o della corrivazione

Metodo utilizzato sin dal 1850 per la stima della portata al colmo Qc checontinua ad essere largamente impiegato anche oggi per i dimensionamenti.L’idea del metodo e che durante un evento meteorico, che inizi istantaneamentee continui con intensita i costante nel tempo e nello spazio, la portata aumentisino ad un tempo pari al tempo di corrivazione tc , quando l’area Ab di tutto ilbacino contribuisce al deflusso. La portata al colmo Qc e allora proporzionale alprodotto iAb attraverso il coefficiente di afflusso ψ:

Qc,T = ψ ARF iT (tc)Ab

Qc,T = portata al colmo con tempo di ritorno T . Le unita di misura sonodate dal prodotto delle unita di misura di i e Ab.

ψ = coefficiente di afflusso (o coeff. adimensionale di proporzionalita)

ARF = coefficiente di ragguaglio all’area

iT (tc) = intensita media di precipitazione di durata tc e tempo di ritorno T(ad esempio ricavata da curva di possibilita pluviometrica)tc = tempo di corrivazione del bacino

Ab = area del bacino


Metodo razionale: il coefficiente di afflusso

Schaake, Geyer e Knapp: ψ = 0.14 + 0.65Iimp + 0.05imIimp= frazione di area impermeabile (rapporto fra l’area impermeabilee l’area totale del bacino)im = pendenza media del collettore (asta) principale

Da Tabelle: es. Tabella 15.1.1 da Chow et al. (1988), o tabelle 8.2 daAA.VV. (1997) per bacini urbani.Per bacini eterogenei si calcolano le medie pesate ψ =

∑ψiAi/Ab, dove ψi

e il coefficiente d’afflusso dell’area elementare Ai e Ab =∑

Ai .

Metodo CN (bacini naturali o urbani): ψ = hn(tc)/P(tc)oppure usiamo il CN per determinare direttamente la pioggia netta in

Rasullo e Gisonni (1997) (bacini urbani):ψ = ψperm(1− Iimp) + ψimp Iimp

T (anni) ψperm ψimp

< 2 0.00÷0.15 0.60÷0.752÷10 0.10÷0.25 0.65÷0.80> 10 0.15÷0.30 0.70÷0.90


Classificazione dei modelli di trasformazioneafflussi-deflussi in base alla schematizzazione dei processi

Modelli fisicamente basati: vengono risolte le equazioni fisiche dei diversiprocessi idraulici ed idrologici.

Modelli (idrologici) concettuali: utilizzano delle schematizzazioni dei fe-nomeni fisici della trasformazione, senza risolvere le equazioni fisiche deiprocessi. Due schematizzazioni sono particolarmente utilizzate:

canali (lineari): rappresentano solo il trasferimento temporale (ritar-do fra ingresso e uscita) delle acque meteoriche. Schematizzazioneutilizzata dal modello cinematico o della corrivazioneserbatoi (lineari): rappresentano le diverse forme di immagazzina-mento dell’acqua per mezzo di uno o piu serbatoi. Schematizzazioneutilizzata dal modello di invaso.

Modelli empirici (black-box): sono modelli che non rappresentano, nean-che schematicamente, i fenomeni fisici. Accettano una funzione in input(ietogramma) e forniscono una funzione in output (idrogramma). Hannonecessita di una serie di dati di input e corrispondenti dati di output per lataratura.


Altre classificazioni dei modelli di trasformazioneafflussi-deflussi

In base alla variabilita e dipendenza spaziale delle grandezze:

Modelli globali. Il bacino e considerato nel suo insieme. Non si considerala variabilita spaziale della precipitazione e delle caratteristiche topografiche,idrauliche e di uso del suolo del bacino.

Modelli distribuiti. Possono considerare la variabilita spaziale della preci-pitazione e delle grandezze del bacino.

In base alle caratteristiche di risposta:

Modelli stazionari. Ingressi (ietogrammi) identici sfasati nel tempo produ-cono uscite (idrogrammi) identici anch’essi sfasati nel tempo.

Modelli lineari. Vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Ad unacombinazione lineare delle funzioni di ingresso corrisponde la medesimacombinazione lineare delle funzioni di uscita:

i1(t) −→ Q1(t) i2(t) −→ Q2(t)

ai1(t) + bi2(t) −→ aQ1(t) + bQ2(t)


Modello cinematico: idrogramma di piena - I

L’utilizzo del metodo razionale (o metodo cinematico o della corrivazione) neibacini con curva area-tempi non lineare puo portare ad una sottostima dellaportata al colmo con assegnato tempo di ritorno T .

Infatti, la massima portata al colmo potrebbe verificarsi per una pioggia (unifor-me) di durata inferiore al tempo di concentrazione tc : e opportuno applicare unmodello, con ietogramma non costante, che fornisca l’idrogramma.

Il modello piu semplice e sicuramente il modello cinematico (modello concet-tuale, stazionario e lineare), che si basa sulle seguenti ipotesi:

la formazione della piena sia dovuta esclusivamente ad un fenomeno ditrasferimento (senza invasi) di massa liquida;

ogni goccia di pioggia si muova sulla superficie del bacino seguendo unpercorso immutabile, che dipende soltanto dalla posizione del punto in cuiessa e caduta;

la velocita di ogni singola goccia non sia influenzata dalla presenza dellealtre gocce (... ipotesi piu inverosimile);

la portata alla sezione di chiusura si ottenga sommando tra loro le portateelementari, provenienti dalle singole aree del bacino che si presentano allostesso istante nella sezione di chiusura.


Modello cinematico: idrogramma di piena - II

Nel modello cinematico (o della corrivazione), la trasformazione afflussi-deflussie schematizzata con un insieme di canali lineari in parallelo fra loro.

Ogni canale collega un’area infinitesima del bacino con la sezione di chiusura:trasferisce le gocce d’acqua che cadono in ciascun area infinitesima sino allasezione terminale sempre con lo stesso ritardo (pari al tempo di corrivazione dellastessa area infinitesima).

L’idrogramma Q(t) si ottiene dall’integrale dei contributi di tutti i canali:

Q(t) =

∫∫Ab

ir ,n(x , y , t − tc(x , y))dxdy

Tempo di base tb e la durata del deflusso di pioggia (per cui Q(t) > 0): parialla durata della pioggia tp + il tempo di corrivazione del bacino tc :

tb = tp + tc

Studiamo il comportamento dei bacini nei due casi seguenti:

Bacini con curva area-tempi lineare e ietogramma costante

Bacini con curva area-tempi non lineare e/o ietogramma non costante.


Modello cinematico: curva area-tempi lineare - I

L’equazione della curva area-tempi li-neare valida per 0 ≤ t ≤ tc puo esserescritta:

A(t) = k t

k = tanα = Ab/tcAb = area bacinotc = tempo di corrivazione del bacino

α

b

tt c

A(t)

A

Consideriamo il caso di piogge di progetto con la stessa intensita costante i(netta e ragguagliata), ma di diverse durate tp (caso A,B,C)

A) tp = tc (durata pioggia uguale al tempo di corrivazione del bacino)

⇑ t < tc l’idrogramma cresce linearmente⇔ t = tc l’idrogramma raggiungere la massima portata Qc = iAb. Tutto

il bacino contribuisce al deflusso⇓ t > tc decresce linearmente sino ad annullarsi per t = tb = tp + tc .

La portata al colmo e: Qc = iAb


Modello cinematico: curva area-tempi lineare - II

B) tp > tc (durata pioggia maggiore del tempo di corrivazione del bacino)

⇑ t < tc l’idrogramma cresce linearmente⇔ tc ≤ t ≤ tp l’idrogramma e costante con portata Qc = iAb. Tutto il

bacino contribuisce al deflusso⇓ t > tp decresce linearmente sino ad annullarsi per t = tb = tp + tc .

La portata al colmo e ancora: Qc = iAb

C) tp < tc (durata pioggia minore del tempo di corrivazione del bacino)

Non si puo verificare la condizione per cui tutta l’area del bacino contri-buisca al deflusso. Al massimo possono contribuire contemporaneamentearee pari ad A′ = A(tp) < Ab, infatti A′ = ktp = Abtp/tc < Ab

⇑ t < tp l’idrogramma cresce linearmente⇔ tp ≤ t ≤ tc l’idrogramma e costante con portata Qc = iA′

⇓ t > tc decresce linearmente sino ad annullarsi per t = tb = tc + tp.

La portata al colmo e Qc = iA′ (inferiore alla Qc dei casi A,B)


Modello cinematico: curva area-tempi lineare - III

Calcoliamo ora le portate al colmo nei tre casi A, B, C appena visti, utilizzandouno ietogramma di progetto costante, la cui intensita sia ricavata da una unastessa curva di possibilita pluviometrica e sia anche ragguagliata all’area edepurata dalle perdite:

i = ψARFatn−1p

Per semplicita poniamo ARF e ψ costanti nei tre casi.

Si osservi pero che a piogge di diversa durata tp corrispondono ietogrammi(costanti) di diversa intensita.

A’) tp = tc (durata pioggia uguale al tempo di corrivazione del bacino)

La portata al colmo e: Qc = iAb = ψARFatn−1c Ab

E la stessa portata fornita dal metodo razionale

B’) tp > tc (durata pioggia maggiore del tempo di corrivazione del bacino)

La portata al colmo e: Qc = iAb = ψARFatn−1p Ab

Al crescere della durata della pioggia tp descresce la portata al colmo Qc

(perche n− 1 < 0). Qc e massima se il tempo di pioggia e pari al tempo dicorrivazione tp = tc (si ottiene la stessa portata al colmo del caso A’).


Modello cinematico: curva area-tempi lineare - IV

C’) tp < tc (durata pioggia minore del tempo di corrivazione del bacino)La portata al colmo e: Qc = iA′ = ψARFatn−1

p ktp = ψARFatnpkAl crescere del tempo di pioggia cresce la portata al colmo (n > 0), essae massima se il tempo di pioggia e pari al tempo di corrivazione tp = tc(sostituendo anche k si ottiene la stessa portata al colmo del caso A’).

In un bacino con curva area-tempi lineare, fra tutte le portate al colmo di pienaoriginate da ietogrammi costanti di diversa durata tp

(le cui intensita sono ricavate dalla medesima curva di possibilita pluviometricadi assegnato tempo di ritorno)

la massima portata al colmo fornita dal modello cinematico coincide conquella fornita dal metodo razionale.

Infatti, con le due ipotesi di curva area-tempi lineare e di ietogramma costantecon assegnato tempo di ritorno, la portata al colmo piu critica fornita dal modellocinematico e relativa a piogge di durata tp pari al tempo di corrivazione tc .


Modello cinematico: Curva area-tempi non lineare e/oietogramma di pioggia netta ragguagliata non costante - I

Applicazione del modello della corrivazione nella forma discretizzata.

Si sceglie lo stesso passo temporale ∆t con cui discretizzare sia lo ietogrammadella pioggia netta di progetto, che la curva area-tempi:

ik intensita media di pioggia netta e ragguagliata all’area del bacino nel-l’intervallo di tempo fra gli istanti (k − 1)∆t e k∆t, con k = 1, · · · ,m(ietogramma discreto in m intervalli)

Aj area contribuente con tempi di corrivazione compresi fra (j−1)∆t e j∆t,con j = 1, · · · , n (curva area-tempi approx. con n tratti lineari)

Durata della pioggia tp = m∆t, tempo di corrivazione tc = n∆t.Tempo di base tb = tp +tc = (m+n)∆t ⇒ Q(tb) = Q((m+n)∆t) = 0

Si calcolano gli idrogrammi Qk(t) generati da ciascuno ietogramma costante ele-mentare di pioggia netta ik(t). Per la linearita del sistema l’idrogramma totale siottiene per sovrapposizione: Q(t) =

∑mk=1 Qk(t)

ik(t) =

0 t < (k − 1)∆tik (k − 1)∆t ≤ t ≤ k∆t0 t > k∆t

=⇒ Qk(t)


t

0

t ∆ (k+2)

i (

t)1

01

Q

(t) 0

t ∆n

t ∆ (n+1)

t ∆

t ∆2

t ∆3

A1 1i

A1i3

A1in

0

0

t ∆ (n+1)

t ∆

t ∆2

t ∆3

t ∆ t ∆

t ∆2

t ∆ (k−1)

t ∆k

i 2

i k

i (

t)2

2Q

(t

)

i (

t)k

kQ

(t

)

A2in

A2i3

A1 2i

t ∆4

t ∆ (n+2)

t ∆ (k−1)

t ∆k

t ∆ (k+1)

t ∆ (k+n)

i 1

A1i2

A2i2

t ∆

A1 ki

Aki2

Aki3

Akin

tt

tt

t

0


Modello cinematico: Curva area-tempi non lineare - II

i1(t) i2(t) i3(t) · is(t) · im(t) i(t)tempo t ↓ ↓ ↓ · ↓ · ↓ ↓

Q1(t) Q2(t) Q3(t) · Qs(t) · Qm(t) Q(t)

∆t i1A1 i1A1

2∆t i1A2 i2A1∑

3∆t i1A3 i2A2 i3A1∑

......

......

...s∆t i1As i2As−1 i3As−2 · isA1 (∗)

......

......

......

n∆t i1An i2An−1 i3An−2∑

(n + 1)∆t i2An i3An−1∑

(n + 2)∆t i3An∑

......

...(n + m − 1)∆t imAn imAn

(n + m)∆t 0

(∗) Q(s∆t) =∑s

k=1 ikAs−k+1 ovviamente poniamo Aj = 0 per j > n


Modello cinematico: Curva area-tempi non lineare - III

La Tabella precedente puo essere riscritta in forma matriciale: A · i = Qla matrice A (n + m)×m rappresenta le caratteristiche di risposta del bacino,il vettore i m × 1 rappresenta le caratteristiche dell’evento meteorico,il vettore Q (n + m)× 1 e l’idrogramma di piena discreto.

A1 0 0 · · · 0 0A2 A1 0 · · · 0 0A3 A2 A1 · · · 0 0...

...... ·

An An−1 An−2 · · ·0 An An−1 · · ·0 0 An · · ·...

...... ·

......

0 0 0 · · · An An−1

0 0 0 · · · 0 An

0 0 0 · · · 0 0

·

i1i2i3...

im−1

im

=

Q1

Q2

Q3

...Qn

Qn+1

Qn+2

...Qn+m−2

Qn+m−1

Qn+m

NOTA: si e indicato ora Qs = Q(s∆t) e non l’idrogramma prodotto da is(t)


Idrogramma Unitario (Sherman, 1932)

L’idrogramma unitario (Unit Hydrograph, UH) e un idrogramma (del deflussodi pioggia) per unita di area del bacino originato da una pioggia (netta eragguagliata) di altezza unitaria e assegnata durata D1.

Si assume uno ietogramma costante nel tempo e uniforme nello spazio, la cuiintensita e ovviamente i = 1(mm)/D, dovendo essere unitaria l’altezza di pioggia.

Ad ogni durata D corrisponde un differente idrogramma unitario UHD .

Se la durata D tende a zero si ottiene l’idrogramma unitario istantaneo (In-stantaneous Unit Hydrograph, IUH): e prodotto da una pioggia impulsiva.

Attenzione: UH e IUH hanno come dimensione l’inverso di un tempo [T−1].Essi infatti si ottengono dividendo le portate del deflusso di pioggia per l’area delbacino e per l’altezza di pioggia (netta e ragguagliata).

Si utilizzano le ipotesi di stazionarieta e linearita per ottenere:

idrogramma prodotto da piogge costanti di durata D e altezza qualsiasi;

idrogramma unitario di diversa durata;

idrogramma prodotto da ietogramma non costante discretizzato.

1Nella formulazione originale di Sherman anche la durata era unitariaIdrologia - A.A. 17/18 - R. Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 31 / 44 )

Derivazione dell’Idrogramma Unitario da osservazioni P-Q

Sono stati proposti diversi UH sintetici, ma e anche possibile ricavare l’UH di unbacino dalle osservazioni di pioggia e corrispondenti idrogrammi:

Si seleziona un evento di pioggia di durata D abbastanza uniforme nellospazio e costante nel tempo. Lo si trasforma in pioggia netta.L’altezza h di precipitazione netta sara in generale non unitaria.

Si rileva l’idrogramma del deflusso di pioggia Q(t) prodotto dall’eventometeorico selezionato, separandolo eventualmente dal deflusso di base.

B L’idrogramma unitario UHD(t) si ottiene dividendo l’idrogramma Q(t) perl’area del bacino Ab e per l’altezza di pioggia netta h: UHD(t) = Q(t)/hAb

(Ha percio la dimensione di un inverso di tempo [T−1])

L’idrogramma Q ′(t) prodotto da una precipitazione costantedella stessa durata D ma di altezza h′ qualsiasi:

si ottiene semplicemente moltiplicando l’idrogramma unitario UHD(t) per h′ eper l’area del bacino Ab: Q ′(t) = UHD(t) h′ Ab, con dimensioni [L3 T−1].


Idrogrammi unitari di differente durata - Curva ad S

La curva ad S e un idrogramma per unita di area del bacino prodotto dauna pioggia (netta e ragguagliata) di intensita costante ed unitaria e duratainfinita, con inizio in t = 0. E quindi adimensionale.

La curva ad S (g(t)) si puo ottenere moltiplicando per D la somma di infinitiidrogrammi unitari UHD relativi a piogge di durata D, ciascuno ritardato di untempo pari a D: g(t) = D

∑∞k=0 UHD(t− kD) = D[UHD(t) + UHD(t−D) + ...]

Dopo un tempo pari al tempo di concentrazione la curva ad S ha valore 1

L’UH∆t prodotto da una pioggia di durata ∆t 6= D e proporzionale alla differenzadi due curve ad S ritardate fra loro di ∆t:

La prima curva g(t) relativa ad una pioggia costante con inizio in t = 0

La seconda g ′(t) = g(t −∆t) per una pioggia con inizio in t = ∆t

Occorre infine dividere per l’altezza di pioggia h = i∆t = ∆t

UH∆t(t) =[g(t)− g(t −∆t)]

∆t

idrogramma istantaneo unitario =⇒ IUH(t) = lim∆t→0

UH∆t(t) =dg

dtIdrologia - A.A. 17/18 - R. Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 33 / 44 )


UH: idrogramma prodotto da ietogramma discreto (I)

Si sceglie lo stesso passo temporale ∆t con cui discretizzare sia lo ietogrammadella pioggia netta di progetto, che l’idrogramma unitario UH∆t prodotto da unapioggia di altezza unitaria e durata pari ancora a ∆t.

ik intensita media di pioggia nell’intervallo di tempo fra gli istanti (k−1)∆te k∆t, con k = 1, · · · ,m (ietogramma discreto in m intervalli).La durata della pioggia e tp = m∆t

Uj = UH∆t(j∆t) e l’idrogramma unitario all’istante j∆t, con j = 1, · · · , n(discretizzato in n punti). U0 = 0, Un+1 = 0

L’UH∆t e diverso da zero da t = 0 al tempo di base tb = (n + 1)∆t. Esso erelativo ad una pioggia di durata ∆t ⇒ tempo di concentrazione tc = n∆t.Ci aspettiamo che l’intero ietogramma discretizzato generi un idrogramma contempo di base tb = tc + tp = (n + m)∆t.

Si calcolano gli idrogrammi Qk(t) generati da ciascuno ietogramma costante ele-mentare di pioggia netta ik(t). Per la linearita del sistema l’idrogramma totale siottiene per sovrapposizione: Q(t) =

∑mk=1 Qk(t).

ik(t) =

0 t < (k − 1)∆tik (k − 1)∆t ≤ t ≤ k∆t0 t > k∆t

=⇒Qk(t) = UH∆t(t)ik∆tAb =

= UH∆t(t)Vk

dove Vk = volume afflusso di ik



UH: idrogramma prodotto da ietogramma discreto (II)

i1(t) i2(t) i3(t) · is(t) · im(t) i(t)tempo t ↓ ↓ ↓ · ↓ · ↓ ↓

Q1(t) Q2(t) Q3(t) · Qs(t) · Qm(t) Q(t)

∆t V1U1 V1U1

2∆t V1U2 V2U1∑

3∆t V1U3 V2U2 V3U1∑

......

......

...s∆t V1Us V2Us−1 V3Us−2 · VsU1 (∗)

......

......

......

n∆t V1Un V2Un−1 V3Un−2∑

(n + 1)∆t V2Un V3Un−1∑

(n + 2)∆t V3Un∑

......

...(n + m − 1)∆t VmUn VmUn

(n + m)∆t 0

Il volume di pioggia del generico ietogramma ik (t) e Vk = ik∆tAb

(∗) Q(s∆t) =∑s

k=1 VkUs−k+1 =∑s

k=1 Us−k+1ik∆tAb dove Uj = 0 per j > n


UH: idrogramma prodotto da ietogramma discreto (III)

La Tabella precedente puo essere riscritta in forma matriciale: U · V = Qla matrice U (n + m)×m rappresenta le caratteristiche di risposta del bacino,il vettore V m × 1 rappresenta le caratteristiche dell’evento meteorico,il vettore Q (n + m)× 1 e l’idrogramma di piena discreto.

U1 0 0 · · · 0 0U2 U1 0 · · · 0 0U3 U2 U1 · · · 0 0...

...... ·

Un Un−1 Un−2 · · ·0 Un Un−1 · · ·0 0 Un · · ·...

...... ·

......

0 0 0 · · · Un Un−1

0 0 0 · · · 0 Un

0 0 0 · · · 0 0

·

V1

V2

V3

...Vm−1

Vm

=

Q1

Q2

Q3

...Qn

Qn+1

Qn+2

...Qn+m−2

Qn+m−1

Qn+m

NOTA: si e indicato ora Qs = Q(s∆t) e non l’idrogramma prodotto da is(t)


UH del modello cinematico discreto

Eguagliamo formalmente le portate QUH(t) dell’idrogramma unitario e quelleQcin(t) fornite dal modello cinematico nei medesimi istanti t = ∆t, 2∆t, 3∆t, · · ·ed utilizziamo ricorsivamente i risultati per U1,U2,U3, · · · :

QUH(∆t) = V1U1 e Qcin(∆t) = i1A1 forniscono:

U1 = UH∆t(∆t) = i1A1/V1 = i1A1/(i1∆tAb) = (A1/Ab)/∆t

QUH(2∆t) = V1U2 + V2U1 e Qcin(2∆t) = i1A2 + i2A1 forniscono:

U2 = UH∆t(2∆t) = i1A2/V1 = i1A2/(i1∆tAb) = (A2/Ab)/∆t

QUH(3∆t) = V1U3 + V2U2 + V3U1 e Qcin(3∆t) = i1A3 + i2A2 + i3A1

forniscono:

U3 = UH∆t(3∆t) = i1A3/V1 = i1A3/(i1∆tAb) = (A3/Ab)/∆t

In generale otteniamo =⇒ Uj = UH∆t(j∆t) =Aj/Ab

∆t


Curva Area-Tempi adimensionale (HEC-HMS)

Quando non si conosce la curva area-tempi A(t) per il bacino di interesseHEC-HMS suggerisce di utilizzare la seguente forma adimensionale:

A(t)

Ab=

√

2

(t

tc

)1.5

per t ≤ tc/2

1−√

2

(1− t

tc

)1.5

per t > tc/2

che puo essere discretizzata scegliendo come passo temporale ∆t un sot-tomultiplo del tempo di corrivazione tc = n∆t.

Per applicare il modello cinematico discreto, si possono quindi ricavarele aree parziali Aj = A(tj) − A(tj−1) come differenza fra i valori fornitidall’equazione per le isocorrive tj = j∆t e tj−1 = (j − 1)∆t. Da queste,come gia mostrato, si possono ricavare i punti dell’idrogramma unitario:

Uj = UH∆t(j∆t) =Aj/Ab

∆t


Idrogramma unitario sintetico SCS - I

E fornito per punti nella seguente tabella in forma adimensionale:

t/tP Q/QP t/tP Q/QP t/tP Q/QP

0.0 0 1.1 0.990 2.4 0.147

0.1 0.030 1.2 0.930 2.6 0.107

0.2 0.100 1.3 0.860 2.8 0.077

0.3 0.190 1.4 0.780 3.0 0.055

0.4 0.310 1.5 0.680 3.2 0.040

0.5 0.470 1.6 0.560 3.4 0.029

0.6 0.660 1.7 0.460 3.6 0.021

0.7 0.820 1.8 0.390 3.8 0.015

0.8 0.930 1.9 0.330 4.0 0.011

0.9 0.990 2.0 0.280 4.5 0.005

1.0 1.000 2.2 0.207 5.0 0

dove tP e l’istante in cui si verifica la portata di picco QP .


Idrogramma unitario sintetico SCS - II


Idrogramma unitario sintetico SCS - III

Per determinare l’istante tP in cui si verifica la portata di picco occorre preventi-vamente calcolare il tempo di corrivazione tc .

La durata della pioggia ∆t, che si assume dia origine all’idrogrammaunitario discreto UH∆t(t), e fornita dalla seguente equazione:

∆t = 0.133tc

Il ∆t cosı ottenuto fornisce un valore di tentativo del passo temporale dautilizzare. Alcuni autori suggeriscono che tale stima possa essere variata sinoa ±25%. Secondo altri autori si possono adottare anche variazioni superioripurche ∆t resti comunque inferiore al 30% del ritardo del picco θ`.

Ritardo del picco rispetto al baricentro dello ietogramma (basin lag):

θ` = 0.6tc

Il tempo del picco tP e l’istante in cui si verifica la portata di picco dall’iniziodella pioggia (t = 0):

tP =∆t

2+ θ`


Idrogramma unitario sintetico SCS - IV

Determinazione dell’idrogramma unitario discreto UH∆t(t).

1 Noto l’istante del picco tP , da ogni coppia di punti (tk/tP , Qk/QP)forniti dalla Tabella possiamo calcolare i tempi tk = (tk/tP)tP a cuiassociare le portate adimensionali yk = Qk/QP .

2 Interpoliamo quindi i punti (tk , yk) negli istanti di tempo multipli di∆t, ovvero per tempi tj = j∆t, ottenendo le corrispondenti ordinateinterpolate yj , dove j = 1, 2, · · · .

3 Infine l’idrogramma unitario SCS si ottiene normalizzando l’idrogram-ma interpolato (tj , yj), in modo che il suo integrale nel tempo siaunitario:

UH∆t(j∆t) = Uj =1

Syj

dove S =∑j

yj∆t e l’integrale dell’idrogramma adimensionale.


Variabilit a negli eventi meteorici l’informazione...

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