Cinematica Angular

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    18-Oct-2015
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  • CINEMTICA ANGULAR

    Para a Mecnica clssica, o estudo dos movimentos circulares de grande importncia. Movimentos circular aquele em que o mvel se desloca numa trajetria circular dependendo para isso, da aplicao de uma fora que mude a direo do vetor velocidade (fora resultante centrpeta), fora essa aplicada para o centro da trajetria. Esta fora responsvel pela chamada acelerao centrpeta, que como vimos, tem a funo de variar a direo do movimento. Porm, como foi visto em cinemtica vetorial, nos movimentos curvilneos variados e uniformemente variados, pode existir ainda a acelerao tangencial,cuja funo variar o mdulo da velocidade. Sendo assim, os movimentos circulares classificam-se, de acordo com a ausncia ou a presena de acelerao tangencial, em movimento circular uniforme (MCU), movimento circular uniformemente variado (MCUV) e movimento circular variado (MCV). Para que possamos estudar estes movimentos, se torna necessrio a introduo de grandezas

    angulares tais como o deslocamento angular(), a velocidade angular() , a acelerao() angular e a acelerao centrpeta(ac), bem como a definio de perodo e freqncia do movimento. Vamos reparar que tais grandezas so anlogas as j definidas para o movimento retilneo visto em cinemtica escalar.

    1-Espao angular () Na figura acima, no instante inicial t, o mvel se encontra no ponto P. Sua posio angular

    dada pelo ngulo , que faz o ponto P com o centro da circunferncia C e a origem de ngulos CO. Chama-se ento espao angular o espao do arco formado, quando um mvel encontra-se

    a uma abertura de ngulo qualquer em relao ao ponto denominado origem. Relao entre espao linear e espao angular.

    Matematicamente podemos facilmente demonstrar que o ngulo , determinado pelo

    quociente entre o comprimento do arco s e o raio da circunferncia r, =s/r. A unidade que ser utilizada para o espao angular ser o radiano (rad), e desta definio

    possvel obter a relao 2 rad = 360 .

    P

    C O

    S

  • 2-Deslocamento angular ()

    O deslocamento angular (indicado por ) se define de modo similar ao deslocamento linear ou seja, temos um deslocamento angular se calcularmos a diferena entre a posio angular

    final e a posio angular inicial: = -o

    Relao entre deslocamento linear e deslocamento angular Pelo mesmo raciocnio que definimos a relao entre espao linear e espao angular, podemos mostrar que:

    Por conveno temos: No sentido anti-horrio o deslocamento angular positivo. No sentido horrio o deslocamento angular negativo. 3-Velocidade angular mdia (m) Anlogo velocidade linear, podemos definir a velocidade angula mdia, como a razo entre o deslocamento angular e o intervalo de tempo do movimento

    Sua unidade no Sistema Internacional : rad/s Relao entre velocidade linear mdia e velocidade angular mdia.

    Na cinemtica escalar vimos que vm = S/t. como m = /t e sendo =S / R ,podemos demonstrar que :

    m = vm R Tambm possvel definir a velocidade angular instantnea como o limite da velocidade angular mdia quando o intervalo de tempo tender a zero:

    o

  • 4-Acelerao angular mdia (m) Da mesma forma utilizada para a velocidade angular, definimos acelerao angular mdia como:

    Cuja unidade no SI o rad/s2 Relao entre acelerao mdia e acelerao angular mdia

    Podemos demonstrar que m =am/R De uma forma geral, toda grandeza linear corresponde a sua respectiva angular multiplicada pelo raio, ento temos a relao geral:

    L = A .R Onde: L = linear A = angular R = raio Ento:

    Como fica evidente pelas converses, esses valores angulares nada mais so do que maneiras de se expressar as propriedades lineares de forma conveniente ao movimento circular. Uma vez quer a direo dos vetores deslocamento, velocidade e acelerao modifica-se a cada instante, mais fcil trabalhar com ngulos. Tal no o caso da acelerao centrpeta, que no encontra nenhum correspondente no movimento linear. Surge como j foi mencionado, a necessidade de uma fora que produza essa acelerao centrpeta, fora que chamada analogamente de fora centrpeta, dirigida tambm ao centro da trajetria. A fora centrpeta aquela que mantm o objeto em movimento circular, provocando a constante mudana da direo do vetor velocidade. Como vimos em cinemtica vetorial, a acelerao centrpeta dada por ac = v

    2/R como

    temos que v = .R, podemos deduzir uma equao que permita determinar a acelerao centrpeta em funo da velocidade angular.

    Linear

    Angular

    S = R

    v = R

    a = R

  • Perodo e Frequncia Perodo (T) Intervalo de tempo mnimo para que um fenmeno cclico se repita. No caso do movimento circular, o tempo gasto para efetuar uma volta. Sua unidade a unidade de tempo (segundo, minuto, hora...) Frequncia(f) Indica o nmero de vezes que um fenmeno se repete em certo intervalo de tempo. No caso dos movimentos circulares, indica o nmero de voltas realizadas. Sua unidade mais comum Hertz (1Hz=1/s) sendo tambm encontradas kHz, MHz e RPM.

    Converso de RPM para Hz Consiste em transformar de voltas por minuto para voltas por segundo.Sendo assim temos ; RPM= Hz /60 Relao entre freqncia e perodo A frequncia o inverso do perodo.

    Movimento Circular Uniforme ( MCU) Um corpo est em Movimento Curvilneo Uniforme quando percorrer uma trajetria circular com velocidade de mdulo constante. Embora o mdulo da velocidade ser constante, ela sofre mudana de direo e sentido, logo existe uma acelerao centrpeta , que como vimos no influencia no mdulo da velocidade. No cotidiano, observamos muitos exemplos de MCU, como uma roda gigante, um carrossel ou as ps de um ventilador girando.

    Sabendo que S = .R e que v =.r , pode-se converter a funo horria do espao linear para o espao angular. S = So + v.t. Dividindo a equao pelo raio R: S = So + v.t R R R Ento ficamos com:

    =o +t Que a equao angular para a posio no MCU.

    Relao entre v,,f e T Como sabemos , v = d /t.

    Para uma volta, conclumos que d =2R e t = T(perodo)

    Ento ficamos com: v= 2R/T e como T= 1/f , v = 2Rf .

    J que v =.R , =2/T e =2f

  • Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV) Quando um corpo percorre uma trajetria circular variando o mdulo da sua velocidade sofre mudana na sua velocidade angular,de forma que ele possui uma acelerao angular (). As formas angulares das equaes do Movimento Curvilneo Uniformemente Variado so obtidas quando dividimos as equaes do MRUV pelo raio R da trajetria . Sendo assim ficamos com; a) Funo horria das posies

    b) Funo horria da velocidade

    c) Equao de Torricelli

    Exerccio resolvido 1-Um volante circular como raio 0,4 metros gira, partindo do repouso, com acelerao angular igual a 2rad/s. (a) Qual ser a sua velocidade angular depois de 10 segundos? (b) Qual ser o ngulo descrito neste tempo? (c) Qual ser o vetor acelerao resultante? Soluo (a) Pela funo horria da velocidade angular:

    (b) Pela funo horria do deslocamento angular:

    (c) Pelas relaes estabelecidas de acelerao tangencial e centrpeta:

    Fonte do exerccio: http://www.sofisica.com.br

  • Transmisso de movimento circular Muitos mecanismos utilizam a transmisso de um cilindro ou anel em movimento circular uniforme para outro cilindro ou anel. o caso tpico de engrenagens e correias acopladas as polias. Para entendermos estes movimentos, vamos usar como exemplo a bicicleta. Quando se pedala uma bicicleta, executa-se um movimento circular em uma roda dentada (coroa) atravs dos pedais. Esse movimento transmitindo atravs de uma corrente para outra roda dentada de menor raio, a catraca, que est ligada roda traseira da bicicleta. fcil observar que a bicicleta se move com uma velocidade maior que aquela com que se est pedalando, e isso se d,devido diferena dos raios entre a coroa e a catraca.

    Na transmisso de movimento circular apresentada, a velocidade linear a mesma para a coroa e a catraca VA = VB.

    Como V = 2Rf ,ento:

    2RAfA = 2RBfB e por isso vale a seguinte relao entre raios e freqncia de rotao.

    RAfA = RBfB

    Como v = .R, podemos ainda concluir que a polia menor tem maior velocidade angular, j que gira mais vezes para o mesmo intervalo de tempo. Outro caso de transmisso de movimentos importante o de polias concntricas.

    Como giram juntas, possuem a mesma velocidade angular porm,sendo v = R, a polia maior tem maior velocidade linear

    RA

    RB

  • LEITURA COMPLEMENTAR

    Como funciona a bicicleta? As bicicletas so mquinas simples e elegantes, e que atraem quase todas as pessoas. Uma bicicleta permite que voc chegue ao lugar que voc quer ir mais rpido e usando menos energia do que se voc estivesse andando ou correndo. E para quem tem interesse em mquinas e mecnica, h uma outra vantagem: todo o seu funcionamento fica completamente exposto. No h coberturas ou placas de metal escondendo nada. Todas as peas ficam mostra. Algumas das pessoas que curtem mecnica no conseguem resistir ao desejo de desmontar uma bicicleta!

    Partes da bicicleta Vamos comear mostrando as partes que compem a bicicleta. Na foto abaixo, podemos ver uma bicicleta comum.

    As peas que voc consegue ver e identificar imediatamente so : o quadro - composto de tubos de metal soldados. Cada um desses tubos tem um

    nome, conforme podemos observar na figura abaixo.

    as rodas - so compostas pelo cubo, os raios, o aro de metal e o pneu de borracha.

  • o selim e o suporte do selim. o guido e a sua haste, que conecta o guido ao quadro. as pedivelas e os pedais. os freios, compostos pelos acionadores no guido, pelo cabo do freio, pelas pinas e

    pelas sapatas de freio. a corrente e as engrenagens,