CINEMÁTICA II

Algunos tipos de movimientos

1. Movimiento Rectilíneo Uniforme: M.R.U.

2. Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado: M.R.U. A.

3. Movimientos circulares

- Composición de movimientos

1. Movimiento Rectilíneo Uniforme: M.R.U.

Características: -Trayectoria rectilínea

-- velocidad constante

Recuerda: en las trayectorias rectilíneas, el módulo del vector desplazamiento es

Igual a la distancia recorrida.

Ecuaciones del movimiento:

tvrr

rst

tvr

t

rv

0

00

tvrr

0

Vector de posición en cualquier instante

Vector de posición inicial (t= 0s)

Vector velocidad, que en este caso, es constante

Tiempo en el que se quiere conocer la posición

2. Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado: M.R.U. A.

Características: -Trayectoria rectilínea

-- aceleración constante (velocidad variable)

tavv

st

tavt

va

0

0 0

;

Ecuaciones del movimiento:

tavv

0

ttavrr

vdoSustituyen

tavvvvv

serámediavelocidadLa

tvrr

st

teconsesnot

rv

tavv

m

f

m

m

)2

1(

:_

2

)(

2

:___

0

)tan__(

00

000

0

0

0

2

002

1tatvrr

Podemos obtener una tercera ecuación del movimiento al juntar las dos

ecuaciones anteriores y nos servirá para aquellos problemas en los que

no conozcamos el tiempo:

:,

2

1

:____

;

2

1

2

00

00

0

0

2

00

otenemosndoDesarrolla

a

vva

a

vvvrr

arribadelaensSustituimo

a

vvttavv

tatvrr

ravv

22

0

2

M.R.U.A: Casos particulares

Caída libre y tiro vertical hacia abajo:

Es un movimiento que se realiza bajo la acción de la gravedad,

la cual es la que actúa de aceleración del movimiento.

Colocamos, como siempre, nuestra sistema de referencia.

En este caso el movimiento se realiza en el eje Y.

El S.R. puede estar arriba (punto de caída) o abajo (suelo)

X

Y

yo

v0

a= g jga

jvv

jhy

0

0

2

002

1tatvrr

En esta ecuación, ya se particulariza con cada caso.

Puede ser que el objeto se deje caer y no se le imprima

una velocidad inicial (caída libre)

Lanzamiento hacia arriba

X

Y

a= g

v0

yo

2

002

1tatvrr

De nuevo estamos ante un MRUA, donde la gravedad es la que actúa de aceleración

En este caso, la gravedad tiene dirección y sentido de -j

La velocidad inicial tiene dirección y sentido +j

Si colocas el S.R. en el suelo, no tiene altura inicial: r0 = 0 m

Cuando alcanza la máxima altura, hay un instante donde su velocidad se anula, y

empieza un movimiento de caída libre.

tavv

0

Composición de movimientos

http://www.educaplus.org/movi/4_1rio.html Pincha sobre este enlace

Movimientos parabólicos

En este caso tendremos dos movimientos diferentes en el eje X y el eje Y,

cuya suma es el tiro parabólico.

Eje X: no actúa ninguna fuerza, por lo que recordando la segunda ley de Newton del

Año pasado, no hay aceleración y, por tanto, estamos ante un M.R.U.

tvrr

0

Eje Y: actúa la fuerza gravitatoria hacia abajo, donde la gravedad actúa como

aceleración del movimiento. Estamos ante un M.R.U.A.

2

002

1tatvrr

Una aproximación importante es que despreciamos el rozamiento del aire, así la trayectoria

es simétrica respecto a la vertical que pasa por el punto máximo de altura..

Además, estudiaremos cada eje por separado, como movimientos independientes

Cuya suma es el movimiento global parabólico (acuérdate, así lo dedujo Galileo)

El objeto será lanzado con una cierta velocidad inicial que formará un ángulo

con la horizontal.

Lo primero que hay que hacer es un dibujo de la situación y colocar el S.R. en el

punto de lanzamiento.

A continuación, hay que dibujar las distintas variables que

intervienen en este movimiento.

Como la velocidad posee un cierto ángulo de lanzamiento, hay

que descomponerla en el eje X y en el eje Y, que corresponderán

con las velocidades iniciales en ambos ejes.

Además, en el eje Y hay que dibujar la gravedad hacia abajo.

v0

gv0x

v0y

g

Del inicio del movimiento hasta el punto más alto,

la componente de la velocidad Y va disminuyendo,

hasta anularse en el punto máximo.

Del punto máximo hasta el final del movimiento empieza

de nuevo a aumentar la velocidad, aunque en este caso

en el sentido –j.

La componente X de la velocidad no se variada.

Variables a calcular:

Tiempo de vuelo: es cuando el objeto lanzado alcanza de nuevo el suelo, donde

la componente y = 0.

Alcance máximo: es la distancia x recorrida por el móvil, donde de nuevo se cumple

que la componente y = 0.

Altura máxima: si observas el dibujo de abajo, la altura máxima se alcanza cuando la

componente v0y se anula. Con esta, se calcula el tiempo que tarda en alcanzarse dicha

altura y, después, la componente ymax.

La altura máxima depende de:

-la velocidad inicial. Cuanto más rápido salga más alto subirá.

- del ángulo de lanzamiento, que será máximo, lógicamente a un ángulo de 90º

(lanzamiento vertical)

hmáx

Tiro horizontal

Es cuando el objeto lanzado se hace con un ángulo de 0º, es decir, paralelo a la horizontal.

En esta ocasión, sólo tiene componente X de la velocidad inicial, mientras que en el eje

Y actúa la gravedad como aceleración y es la causante de que el cuerpo caiga, describiendo

una media parábola.

h0

En el eje X, al no actuar ninguna fuerza será M.R.U.

En el eje Y actúa la gravedad, por lo que M.R.U.A.,

pero con velocidad inicial nula.

En estos casos, pueden solicitar el alcance máximo del tiro. Como puedes observar esto

va a ocurrir cuando la componente Y se anula, si colocas el S.R. como se muestra en la

figura.

Así mismo, el tiempo de vuelo también será cuando y= 0.

v0X

3. Movimientos circulares

Características: - Trayectoria circular

Tipos:

M.C.U.: el módulo de la velocidad se mantiene constante, aunque no la dirección

por lo que siempre tendrá aceleración normal (tangencial no)

M.C.U.A.: tiene una aceleración angular constante.

Para describir este tipo de movimientos se utilizan más las magnitudes angulares,

siendo éstas:

-Posición angular: Θ

-Velocidad angular: ω

- Aceleración angular: α

Vamos a estudiar cada una de ellas

3.1. La posición angular

La posición angular indica el ángulo θ, con respecto a un origen

arbitrario de ángulos, descrito por el cuerpo que gira.

En el S.I. se mide en radianes (rad)

s

La relación que existe entre el espacio recorrido (s)

y el ángulo descrito (θ), viene dada

por el radio de la circunferencia, de forma que:

radm

m

R

s

Como puedes observar, si hacemos el análisis dimensional no nos quedaría ninguna unidad.

¿Por qué entonces la unidad hemos dicho que son radianes?

Eso es debido a que, si recuerdas las siete unidades fundamentales del S.I. no se encuentra

ninguna referente al ángulo. Estas magnitudes se denominan unidades suplementarias.

Debes tener en cuenta que:

-360º corresponden a 2π rad (vuelta completa)

- Que la longitud de una circunferencia se calcula como 2πR

3.2. La velocidad angular

Análogamente a como hemos definido la velocidad lineal (cambio de posición respecto

al tiempo), la velocidad angular es la variación de la posición angular respecto al tiempo.

s

rad

t

Otra unidad muy utilizada para la velocidad angular es la revolución por minuto (r.p.m.),

se refiere a una vuelta (revolución) dad en un minuto. La equivalencia sería:

sradsrev

radrevrpm /

60

2

60

min1

1

2

min11

Relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular:

Rt

R

t

sv

R

s

R

s

t

sv

t

;La velocidad lineal es

siempre tangente a la trayectoria

Relación entre la velocidad angular y la aceleración normal

Hemos visto la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular. Sustituyendo

en la ecuación de la aceleración normal obtenemos:

RR

R

R

vaN

222 )(

Cambio de unidades de velocidad angular

Aunque en el SI las unidades son rad/s, es muy frecuente encontrarnos la velocidad angular

en r.p.m. (revoluciones por minuto) o r.p.s. (revoluciones por segundo).

Veamos el cambio de unidades:

sradsrevolución

radrpm /97,17

60

min1

1

2539

3.3. La aceleración angular

La aceleración angular α es la variación de la velocidad angular respecto al tiempo.

En el SI su unidad será rad/s2

t

Relación entre la aceleración angular y la aceleración tangencial

Rt

R

t

va

teconsesRRv

t

t ··

)tan ( ·

Recuerda: la aceleración tangencial tiene la misma dirección que el

vector velocidad, es decir, tangente a la trayectoria.

3.4. El movimiento circular uniforme (MCU)

Velocidad lineal constante, por tanto, también velocidad angular constante.

Trayectoria circular.

Ecuaciones del movimiento

Si hacemos un paralelismo con el MRU pero con las magnitudes angulares, obtenemos:

vector)el no módulo, (el

.

0·

)0( ·

22

00

cteRR

va

Ra

stt

N

T

El periodo y la frecuencia

El MCU es periódico, es decir, se repite en el tiempo, por lo que resulta interesante

utilizar magnitudes como el periodo y la frecuencia para describirlos.

Periodo, T, es el tiempo que tarda el móvil en recorrer una vuelta completa

Al ser un tiempo, se medirá en el SI es segundos (s)

Frecuencia, f ó ν (nu), es la inversa del periodo y determina el número de vueltas que

da el móvil en un segundo. Su unidad en el SI es el Herzio (Hz) o s-1.

f

f

rad

T

rad

t

·21

2

2)completavuelta (

··2

·2

1·

·

2

0

2

2

00

0

tt

t

3.6. El MCUA

La aceleración angular es constante (velocidad angular y lineal variables)

Trayectoria circular.

nt

n

t

aaa

cteRacte

cteRacte

2

·

Ecuaciones del movimiento

Positivo si la velocidad angular aumenta con el tiempo

Positivo si aumenta la velocidad angular

Positivo si la velocidad angular aumenta