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Cinemática

1º Bachillerato

Cinemática• El movimiento• Velocidad• Aceleración• Componentes intrínsecas de la aceleración• Clasificación de los movimientos• M.R.U.• M.R.U.V.• Composición de movimientos• Tiro horizontal• Tiro oblicuo• Movimientos circulares• M.C.U.• M.C.U.V.

El movimiento

La Cinemática es la parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen.

Decimos que un cuerpo tiene movimiento si varía su posición en el tiempo respecto de otro que tomamos como referencia.

No existe el movimiento absoluto: reposo y movimiento son conceptos relativos.

El sistema de referencia utilizado es un sistema de ejes cartesianos, en cuyo origen de coordenadas O se encuentra el observador.

Trayectoria es la línea que forman las sucesivas posiciones que va ocupando el móvil.

El movimiento (2)

La posición del móvil queda determinada de dos formas:

• Conociendo las coordenadas del punto P(x, y).

• Mediante un vector de posición, cuyo origen está en O y el extremo en el punto considerado.

r OP x i y j

( ) ( ) ( )r t x t i y t j

El vector de posición en función del tiempo nos da la ecuación vectorial del movimiento:

El movimiento (3)

El vector desplazamiento entre dos puntos P1 y P2 es un vector con origen en P1 y extremo en P2.

2 1 2 1 2 1( ) ( )r r r x x i y y j

El espacio recorrido, Δs, entre las posiciones P1 y P2 es la longitud del tramo de trayectoria comprendido entre P1 y P2.

En general, el espacio recorrido no coincide con el módulo del vector desplazamiento.

Ejercicios

1. El vector de posición de una partícula en cualquier instante viene dado por:

Deduce la ecuación de la trayectoria.

2( ) 4 2r t t i t j

2. El vector de posición de una partícula viene dado por:

a) Halla la posición de la partícula en los instantes 0, 1, 2, 3, 4, y 5 segundos.b) Dibuja los vectores de posición y la trayectoria.c) Comprueba que la ecuación analítica de la trayectoria es la de la recta que une los extremos de los vectores de posición.

( ) 2 (10 )r t t i t j

4. Una persona sale de paseo. Recorre 2 Km hacia el norte, después se dirige hacia el este y recorre 1 Km y, por último, se dirige hacia el sur y recorre 4 Km. Calcula el espacio recorrido y el desplazamiento.

Ejercicios

3. La ecuación vectorial del movimiento de una partícula viene dada, en unidades S.I., por:

a) Dibuja los vectores de posición para los tiempos 1, 3, y 5 s.b) Halla la ecuación de la trayectoria.c) Calcula y dibuja el desplazamiento entre t = 1 s y t = 3 s.d) Halla el módulo de dicho desplazamiento.e) Efectúa los apartados c y d para el intervalo t = 3 s y t = 5 s.

2( ) 4 (1 )r t t i t j

Velocidad

La velocidad de un móvil indica como varía su posición respecto al tiempo.

Velocidad media es el cociente entre el vector desplazamiento y el tiempo empleado:

La velocidad media es una magnitud vectorial, siendo su dirección y sentido los del vector desplazamiento.

2 1

2 1

m

r rrv

t t t

Velocidad (2)

La celeridad media o rapidez media es una magnitud escalar que se define como el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado:

Generalmente, la celeridad media no coincide con el módulo de la velocidad media.

Tanto la velocidad como la celeridad se miden en el SI en m·s-1.

m m

rsc v

t t

5. Un objeto se mueve siguiendo una trayectoria definida por x = t2 e y = t + 2, en el SI. Calcula:a) El vector posición en cualquier instante.b) El desplazamiento en el intervalo entre t = 1 y t = 3 segundos.c) La velocidad media en ese intervalo de tiempo.

Velocidad (3)

Velocidad instantánea (o simplemente velocidad) es la velocidad media cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a cero:

lim limmt o t o

r drv v

t dt

La velocidad instantánea es la derivada del vector posición respecto al tiempo.

Velocidad (4)

La velocidad instantánea es una magnitud vectorial:

• Su módulo coincide con la celeridad instantánea.

• Su dirección es tangente a la trayectoria en cada punto.

• Su sentido es el del movimiento.

6. El vector posición de un móvil es:(expresado en unidades S.I.). Calcula:a) Su velocidad media entre los instantes t = 2 y t = 6 s.b) Su velocidad en el instante t.c) El módulo de la velocidad para t = 2 s y para t = 6 s.

2 2( ) (10 )r t t i t t j

Aceleración

La aceleración es la magnitud que mide como cambia la velocidad con el tiempo.

Aceleración media es el cociente entre la variación de la velocidad y el tiempo transcurrido:

2 1

2 1

m

v vva

t t t

La aceleración media es una magnitud vectorial, con la misma dirección y sentido que .

Las unidades de la aceleración en el SI son m·s-2.

v

Aceleración (2)

La aceleración instantánea (o simplemente aceleración) es la aceleración media cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a cero:

La aceleración instantánea es la derivada del vector velocidad respecto al tiempo.

lim limmt o t o

v dva a

t dt

7. La velocidad de un móvil viene dada por:(expresada en unidades S.I.). Calcula:a) Su velocidad inicial y su velocidad al cabo de 2 s.b) Su aceleración media entre ambos instantes.c) Su aceleración instantánea para t = 2 s.

24 (3 )v t i t j

Componentes intrínsecasde la aceleración

El vector aceleración tiene una dirección variable, pero siempre se puede descomponer en dos vectores: uno en la dirección de y otro perpendicular a .

Componentes intrínsecas de la aceleración:

• Aceleración tangencial: es debida a la variación del módulo de la velocidad.

• Aceleración normal: es debida al cambio de dirección de la velocidad.

v

v

t n

dva a adt

Componentes intrínsecasde la aceleración (2)

La ACELERACIÓN TANGENCIAL mide los cambios del módulo del vector velocidad en el tiempo.

• Su dirección es siempre la del vector velocidad.

• Su sentido es el del vector velocidad si el movimiento es acelerado (at > 0), y opuesto al movimiento si es desacelerado (at < 0).

• Tiene valor nulo (at = 0), si el movimiento es uniforme.

Componentes intrínsecasde la aceleración (3)

La ACELERACIÓN NORMAL o CENTRÍPETA mide los cambios de la dirección del vector velocidad en el tiempo.

• Su dirección es perpendicular al vector velocidad.

• Su sentido es siempre hacia el centro de curvatura de la trayectoria.

• Su módulo vale: 2

n

va

R

• Tiene valor nulo (an = 0) si la trayectoria es una recta (R→∞)

Componentes intrínsecasde la aceleración (4)

Clasificación de los movimientos

Según la trayectoria los movimientos pueden ser:

• Rectilíneos: la dirección de la velocidad es constante (an = 0).

• Circulares: el radio de curvatura es constante.

• Curvilíneos no circulares.

Según el valor de la aceleración tangencial se clasifican como:

• Uniformes: at = 0 (el módulo de la velocidad es constante).

• Uniformemente variados: at = cte. (el módulo de la velocidad aumenta o disminuye linealmente con el tiempo) .

• Acelerados no uniformemente: at ≠ cte.

Un cuerpo tiene un m.r.u. cuando la trayectoria es una recta y suvelocidad es constante en módulo, dirección y sentido.

• No tiene aceleración tangencial ni normal.

• La velocidad media coincide con la instantánea.

• Si elegimos la dirección del movimiento como eje X:

• Por tanto, las ecuaciones del m.r.u. son:

Movimiento rectilíneo uniforme

00 0

0

( )r rr

v r r v t tt t t

0 0( )xi x i v t t i

0 0( )x x v t t 0 .v v cte 0a

Movimient0 rectilíneo uniforme (2)

Las gráficas x-t, v-t y a-t de un m.r.u. son rectas:

Movimiento rectilíneo uniforme (3)

La pendiente de la gráfica x-t coincide con el valor de la velocidad.

El área limitada por la gráfica v-ty el eje X coincide con el espacio recorrido en ese intervalo de tiempo.

Ejercicios

9. Escribe la ecuación de posición para los movimientos rectilíneos representados en la figura.

8. Un móvil está inicialmente a 3 m a la derecha del origen de coordenadas y se mueve con velocidad constante de 5 m/s hacia él. Determina:a) La posición del objeto a los 10 s.b) La distancia recorrida en ese tiempo.c) Comprueba que dicha distancia coincide con el módulo del vector desplazamiento.

Ejercicios

11. Dos vehículos (A y B) parten uno al encuentro del otro desde dos localidades que distan entre sí 400 Km. El vehículo A viaja a 100 Km/h, mientras que el B, que se pone en marcha un cuarto de hora después, lo hace a 120 Km/h.a) ¿Cuánto tiempo pasa desde que partió A hasta que se encuentran?b) ¿Qué distancia ha recorrido este vehículo?

10. Dos automóviles circulan por un tramo recto de autopista con las velocidades de 36 y 108 Km/h.a) Si viajan en el mismo sentido y están separados 1 km, determina el instante y la posición en el que el coche más rápido alcanza al otro.b) Si se mueven en sentido opuesto determina el instante y la posición en que se cruzan.

Un cuerpo tiene un m.r.u.v. cuando la trayectoria es una recta y su velocidad varía de forma uniforme.

• La aceleración normal es nula, y el vector aceleración sólo tiene componente tangencial.

• La aceleración media y la instantánea coinciden.

• Si elegimos la dirección del movimiento como eje X, las ecuaciones del m.r.u.v. son:

M. R. U. V.

00 0

0

210 0 0 02

( )

( ) ( )

v vva v v a t t

t t t

r r v t t a t t

210 0 0 02

( ) ( )x x v t t a t t 0 0( )v v a t t .a cte

M. R. U. V. (2)

Las gráficas x-t, v-t y a-t de un m.r.u.v. son las siguientes:

M. R. U. V. (3)

Ejercicios

13. Un camión y un automóvil inician el movimiento en el mismo instante, en la misma dirección y sentido desde dos semáforos contiguos de la misma calle. El camión tiene una aceleración constante de 1,2 m/s2, mientras que el automóvil acelera con 2,4 m/s2. El automóvil alcanza al camión después de que éste ha recorrido 50 m.a) ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar el camión?b) ¿Qué velocidad tienen ambos cuando están emparejados?c) ¿Qué distancia separa los dos semáforos?

12. Un automóvil parte de una gasolinera donde estaba en posición de reposo. Después de recorrer 200 m alcanza una velocidad de 108 Km/h. Calcula:a) El valor de la aceleración.b) El tiempo que ha tardado en alcanzar la velocidad indicada.

Ejercicios

15. El conductor de un vehículo que marcha a 108 Km/h descubre un árbol caído en el camino, 100 m delante de su posición. Si tarda 0,75 segundos en aplicar los frenos, y éstos le proporcionan una aceleración constante de 6 m/s2:a) Calcular el tiempo transcurrido desde que avista el árbol hasta que se detiene.b) ¿Puede evitar el choque? c) Dibujar las gráficas v-t y x-t.

14. Un objeto sube por un plano inclinado, encontrándose con una velocidad de 15 m/s cuando está a 6 m del origen, y de 10 m/s cuando está a 10 m. a) ¿Cuál es su aceleración, supuesta uniforme? b) ¿Qué tiempo tarda en recorrer esos 4m?

M. R. U. V. (4)

La CAÍDA LIBRE y el LANZAMIENTO VERTICAL son m.r.u.v. con la particularidad de estar sometidos a la aceleración de la gravedad.

La aceleración de la gravedad, g, se puede considerar constante e igual a 9,81 m/s2, y está dirigida verticalmente hacia abajo.

Las ecuaciones de estos movimientos son:

donde H es la posición inicial: H = y0.

210 0 02( ) ( )y H v t t g t t

0 0( )v v g t t

29,81m·sa g

M. R. U. V. (5)

Ejercicios

18. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un puente situado a 35 m del agua. Si la piedra golpea el agua 4 s después de soltarla. Calcula:a) La velocidad con que se soltó.b) La velocidad con que golpeó el agua.

16. Se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad de 20 m/s. Calcula:a) Altura máxima alcanzada.b) Velocidad cuando llega al suelo.

17. Desde una cierta altura se deja caer libremente un objeto. Cuando se encuentra a 5 m del suelo ha alcanzado una velocidad de 25 m/s.a) ¿Desde qué altura se dejó caer?b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la calle?

Ejercicios

19. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Al mismo tiempo, desde una altura de 10 m se deja caer otro objeto. Calcula:a) El instante y la posición donde se encuentran.b) Las velocidades de ambos objetos en ese instante.

20. Se deja caer una pelota desde 90 metros de altura. Un segundo más tarde una segunda pelota se lanza desde el suelo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 30 m/s. Calcula:a) El instante y la posición donde se encuentran la dos pelotas.b) La velocidad que tendrá cada una en ese momento.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: Si un cuerpo está sometido a varios movimientos independientes, el movimiento resultante se obtiene sumando vectorialmente los movimientos parciales, tanto si son simultáneos como si son sucesivos.

Composición de dos m.r.u.

Composición de movimientos

21. Un bote cruza un río de 40 metros de ancho que posee una corriente de 2,5 m/s . El bote se desplaza a 5m/s en dirección perpendicular a la orilla del río. Calcula:a) El tiempo que tardará en cruzar el río.b) La distancia que es arrastrado río abajo.c) El espacio recorrido.

Tiro horizontal

Suponiendo despreciable el rozamiento con el aire, si se lanza horizontalmente un objeto desde una altura H con una velocidad v0, el objeto conservará esta misma velocidad en el eje X, mientras que en el eje Y su rapidez irá aumentando debido a la caída libre.

Por tanto, es la composición de dos movimientos:

Eje X: MRU

x0 = 0; vx = v0 = cte.

Eje Y: MRUV (Caída libre)

y0 = H; vy0 = 0

ay = - 9,81 m/s2

La trayectoria es una parábola.

Tiro horizontal (2)

22. Desde un avión que vuela a 500 m de altura y cuya velocidad horizontal es de 90 m/s se desea lanzar una bolsa de víveres sobre unos náufragos. Sin tener en cuenta el rozamiento ni los efectos del viento, determina:a) La velocidad del objeto a los 5 s de haber sido lanzado.b) La posición del objeto en ese instante.c) La distancia horizontal desde la que ha de soltarse la bolsa.d) El módulo de la velocidad de la bolsa cuando llega al suelo.

23. Sobre una mesa de 1 m de altura rueda, con velocidad constante de 2 m/s una bola, hasta que cae por uno de sus extremos:a) ¿A qué distancia de la base de la mesa golpeará el suelo?b) Calcular el módulo de la velocidad en el momento de chocar con el suelo.c) Escribir la ecuación de la trayectoria.

Ejercicios

Es el movimiento que describe un objeto lanzado con una velocidad v0 que forma un cierto ángulo α con la horizontal.

Como el tiro horizontal, es la composición de dos movimientos:

Eje X: MRU

x0 = 0

vx = v0 cos α

Eje Y: MRUV

y0 = H

vy0 = v0 sen α

ay = - 9,81 m/s2

La trayectoria es una parábola.

Tiro oblicuo

Tiro oblicuo (2)

24. Un saltador de longitud alcanza una velocidad de 10 m/s en el instante en que inicia su salto. Si la inclinación con que lo realiza es de 25° con respecto a la horizontal y se desprecian los efectos del viento y los rozamientos, determina:a) El tiempo total que está en el aire.b) La altura máxima alcanzada en el vuelo.c) El alcance del salto.

25. Se lanza desde el suelo una pelota bajo un ángulo de 30° con la horizontal y cae en la terraza de un edificio situado a 30 m de distancia. Si la terraza está a una altura de 10 m calcula la velocidad con que se lanzó.

Ejercicios

26. Un bombero desea apagar el fuego de una casa. Para ello deberá introducir agua por una ventana situada a 10 m de altura. Si sujeta la manguera a 1 m del suelo apuntando bajo un ángulo de 60° hacia la fachada, que dista 15 m,a) ¿Con qué velocidad debe salir el agua? b) ¿Cuánto tiempo tarda el agua en llegar a la ventana?

27. Una pelota que desliza por un tejado, de 45° de inclinación, lleva una velocidad de 12 m/s cuando llega al borde, que se encuentra a una altura de 18 m. Calcula:a) La distancia a la que cae del edificio.b) Su velocidad en ese instante.

Ejercicios

Movimientos circulares

El movimiento circular se caracteriza porque su trayectoria es una circunferencia.

Si tomamos como origen de coordenadas el centro de la circunferencia, el vector posición del móvil gira variando de dirección, pero manteniendo su módulo R constante:

cosr x i y j R i Rsen j

Se define la POSICIÓN ANGULAR, ϕ, como el ángulo que forma el vector posición con el semieje X positivo.

Su unidad en el S.I. es el radián (rad).

Movimientos circulares (2)

La VELOCIDAD ANGULAR MEDIA entre dos posiciones es el cociente entre el desplazamiento angular y en tiempo trascurrido:

La VELOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNEA, ω, es la velocidad angular media cuando Δt tiende a cero.

La unidad de velocidad angular en el S.I. es el rad/s, aunque se utilizan también las revoluciones por minuto (r.p.m.) y por segundo (r.p.s.).

2 1

2 1

mt t t

w

0limt

d

t dtw

Movimientos circulares (3)

La ACELERACIÓN ANGULAR MEDIA entre dos instantes es el cociente entre el cambio de velocidad angular y en tiempo trascurrido:

La ACELERACIÓN ANGULAR INSTANTÁNEA, α, es la aceleración angular media cuando Δt tiende a cero.

La unidad de aceleración angular en el S.I. es el rad/s2.

2 1

2 1

mt t t

w ww

0limt

d

t dt

w w

Movimientos circulares (4)Si situamos el origen de espacios, O’, como se indica en la figura, la posición del móvil vendrá representada por el arco de circunferencia, s.

Esto nos permite relacionar las magnitudes lineales con las magnitudes angulares.

• POSICIÓN LINEAL: es el espacio, s, que coincide con la longitud del arco del ángulo ϕ:

• VELOCIDAD LINEAL: es la rapidez, v:

• ACELERACIÓN LINEAL: es la aceleración tangencial, at:

·s R

· ·s R v Rw

· ·tv R a Rw

Movimiento circular uniforme

Un cuerpo tiene un m.c.u. cuando la trayectoria es una circunferencia y su rapidez es constante.

• No tiene aceleración tangencial (at = 0), ya que la rapidez es constante.

• Tiene aceleración normal (an = v2/R = cte.), ya que el vector velocidad cambia de dirección.

• Su velocidad angular es constante (ω = v/R = cte.).

• Es un movimiento periódico, pues se repite cada cierto intervalo de tiempo llamado periodo, T.

• El Periodo, T, es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta.

• La frecuencia, f, es el número de vueltas que da en un segundo. En el S.I. la frecuencia se mide en ciclos/s o Hertzios (Hz).

1 22f f

T Tw

Movimiento circular uniforme (2)

Como la aceleración angular es nula, la velocidad angular media y la instantánea coinciden, por lo que:

Por tanto, las ecuaciones que describen el m.c.u. son:

0 0( )t t 0 .cte 0

00 0

0

( )m t tt t

0 0( )s s v t t 0 .v v cte 0ta

22 · .na v R R cte

Movimiento circular uniforme (3)

28. Atamos un objeto con una cuerda de 70 cm de longitud y lo hacemos girar con una velocidad de 5 rad/s. Calcula:a) La velocidad lineal.b) El ángulo y el número de vueltas que ha girado en 5 minutos.c) La aceleración normal necesaria para conseguirlo.

29. Un tocadiscos gira a 45 rpm. Determina: a) La velocidad lineal de un punto colocado a 12 cm del eje.b) Su aceleración normal en ese punto.c) El número de vueltas que ha girado en 3 minutos.

Ejercicios

30. Un objeto gira con una velocidad angular de 33 rpm. Calcula:a) El periodo y la frecuencia.b) Número de vueltas en 15 minutos.c) Velocidad de un objeto situado a 10 cm del eje de giro.d) Aceleración centrípeta en ese punto.e) Ángulo descrito en 2 segundos.

31. La Tierra gira alrededor de sí misma empleando 24 horas en dar una vuelta. Calcula:a) Su velocidad angular, en rad/s y en r.p.m. b) La velocidad lineal de un punto del ecuador. c) La aceleración de este punto. Dato: RT = 6 370 km.

Ejercicios

M.C.U.V.

Un cuerpo tiene un m.c.u.v. cuando recorre una circunferencia con aceleración angular constante.

• La aceleración angular es constante. Por tanto, la aceleración angular media e instantánea coinciden.

• Tiene aceleración tangencial es constante (at = α·R = cte.).

• La aceleración normal no es constante (an = v2/R ≠ cte.), ya que la rapidez varía.

• La velocidad angular varía de forma uniforme.

• Las ecuaciones del m.c.u.v. son:

0

2

00120 ( ) ( )t t t t 0 0( )t t

· .ta R cte2 2· .na R v R cte

0

2

00120 ( ) ( )ts s v t tt a t 00 ( )tv a t tv

M.C.U.V. (2)

33. Un ventilador, de 50 cm de radio, gira a 150 r.p.m. cuando se desconecta de la corriente, tardando medio minuto en pararse. Calcula:a) Su velocidad angular inicial, en unidades del S.I.b) Su aceleración angular.c) El número de vueltas que da hasta que se detiene.d) El espacio recorrido por el punto medio y por el extremo de una de las aspas, mientras se está parando.e) La velocidad lineal del extremo a los 25 s.f) La aceleración tangencial, normal y total del extremo a los 25 s.

32. Un disco de 30 cm de diámetro, inicialmente en reposo, empieza a girar alrededor de un eje perpendicular y que pasa por su centro con una aceleración angular de 5 rad/s2. Calcula, a los 20 s:a) Su velocidad angular y el número de vueltas que ha dado.b) La velocidad lineal y el espacio recorrido por un punto del borde.

Ejercicios