CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE - INFN Genova prati/Biotecnologie/2. cinematica...

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  • CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

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    http://www.ge.infn.it/∼prati/didattica/

    March 7, 2018

  • CINEMATICA E PUNTO MATERIALE: CONCETTI

    La cinematica studia il moto dei corpi indipendentemente

    dalle cause che lo generano e indipendentemente dalle pro-

    prietà del mezzo in cui il moto avviene.

    Si definisce punto materiale un corpo la cui massa va consi-

    derata, ma le cui dimensioni risultano trascurabili rispetto

    alle altre lunghezze in gioco, come ad esempio la distanza

    che lo stesso corpo percorre durante il suo moto. Di un

    corpo trattato nello schema di punto materiale vanno inoltre

    ignorati eventuali moti rotazionali.

    2

  • POSIZIONE DI UN PUNTO MATERIALE

    Si può individuare la posizione del punto materiale P nello

    spazio fissando un’origine O ed assegnando un vettore r,

    detto raggio vettore, che parte da O ed arriva su P .

    Con l’introduzione di una terna di assi carte-

    siani di origine O, la posizione di P è indi-

    viduata dalle 3 coordinate cartesiane (x, y, z)

    di P , che si identificano con le componenti

    del raggio vettore r in rappresentazione carte-

    siana

    r = (x, y, z) . (1)

    3

  • LEGGE ORARIA DEL MOTO

    Se P si muove, i valori delle sue coordinate cambiano con il

    tempo.

    Si può descrivere in maniera semplice il moto di P se si as-

    segna la dipendenza temporale della terna (x, y, z) mediante

    le 3 funzioni del tempo t

    x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) . (2)

    L’insieme delle (2) è detto legge oraria del moto di P . In

    notazione vettoriale la legge oraria si scrive r = r(t).

    4

  • TRAIETTORIA

    Si definisce traiettoria l’insieme dei punti dello spazio esplo-

    rati da P durante il suo moto.

    Nota la legge oraria r = r(t) del moto di P , la traiettoria è

    rappresentata da tutte le terne (x, y, z) di valori di coordinate

    che si ottengono dalle (2) al variare del tempo t.

    In linguaggio geometrico la traiettoria è una curva nello

    spazio 3D, curva che viene assegnata in forma parametrica

    dalle (2). In questo caso il parametro è rappresentato dal

    tempo.

    5

  • SPOSTAMENTO

    Si assegni una base di tempo individuata dagli istanti t1 e

    t2, con t2 = t1 + ∆t e ∆t > 0. Nota la legge oraria per il

    moto di P , si avrà r1 = r(t1) e r2 = r(t2).

    Si definisce spostamento di P sulla

    base di tempo individuata da (t1, t2)

    il vettore ∆r ottenuto dalla dif-

    ferenza

    ∆r = r(t2)− r(t1) = r2 − r1 . (3)

    Si avrà ∆r = (∆x,∆y,∆z) dove, ad esempio, ∆x sarà ri-

    cavabile dalla legge oraria come ∆x = x(t2)− x(t1). 6

  • VELOCITÀ VETTORIALE MEDIA

    Si consideri la base di tempo (t1, t2). Su questa base di

    tempo si definisce v, velocità vettoriale media di P , il vettore

    ottenuto dal rapporto

    v = r(t2)− r(t1)

    t2 − t1 =

    ∆r

    ∆t . (4)

    In termini di componenti cartesiane la velocità vettoriale

    media si esprime come v = (vx, vy, vz), dove, ad esempio,

    vx = ∆x∆t . Il vettore v è diretto lungo la secante alla traiet-

    toria che passa per le posizioni di P individuate da r1 e r2

    ed è orientato da 1 verso 2.

    Nel S.I. la velocità (... di qualunque tipo) si misura in m/s.

    7

  • VELOCITÀ ISTANTANEA

    Per un’assegnata legge oraria il valore assunto dalla velocità

    vettoriale media v dipende dai valori di t1 e t2 (= t1 + ∆t).

    Si può vedere che, per valori di ∆t tendenti a zero, v tende

    ad un valore ben preciso che dipende solo da t1. Possiamo

    considerare t1 come variabile indipendente e chiamarla t.

    Si definisce velocità istantanea il vettore v(t) dato da

    v(t) = lim ∆t→0

    ∆r

    ∆t (5)

    di componenti (vx, vy, vz) = (

    dx(t) dt ,

    dy(t) dt ,

    dz(t) dt

    ) dove con dx(t)dt

    si indica la derivata di x(t) rispetto al tempo t.

    8

  • La velocità istantanea v(t) può essere pensata come una

    valutazione della velocità vettoriale media v su di una base

    di tempo brevissima a cavallo dell’istante t. La velocità istantanea v(t) è un vet-

    tore che è orientato come la tangente

    alla traiettoria nel punto occupato da P

    all’istante t.

    Il modulo v(t) di v(t) viene chiamato

    velocità scalare ed è dato da

    v(t) =

    √√√√√dx(t) dt

    2 + dy(t)

    dt

    2 + dz(t)

    dt

    2 . (6) L’espressione (6) per la velocità scalare è utile per il calcolo

    dello spazio percorso da P lungo la traiettoria. 9

  • Nell’intervallo temporale infinitesimo dt il punto P compie

    lungo la traiettoria il percorso infinitesimo dl dato da

    dl = v(t) dt . (7)

    Dalla precedente relazione si può ricavare mediante inte-

    grazione il percorso l1,2 compiuto da P lungo la traiettoria

    tra gli istanti t1 e t2. Si imposta l’integrale

    l1,2 = ∫ 2 1

    dl = ∫ t2 t1 v(t) dt , (8)

    la cui valutazione risulta spesso difficile. In seguito verrà

    applicato un metodo grafico. Va comunque sottolineato che

    nel caso di traiettoria chiusa l’integrale (8) dà un risultato

    generalmente non nullo mentre il corrispondente valore di

    |∆r| è nullo. In questo caso anche v è nulla. 10

  • ACCELERAZIONE ISTANTANEA

    Dalla legge oraria r = r(t) si è arrivati ad introdurre, per

    mezzo di derivazione rispetto al tempo, un’altra grandezza

    vettoriale, la velocità istantanea v(t). Il procedimento può

    essere a sua volta applicato a v(t) per ottenere un’altra

    grandezza vettoriale che è ricavata dalle variazioni di v e

    che interviene nelle leggi della dinamica.

    Si definisce accelerazione istantanea il vettore a(t) dato da

    a(t) = lim ∆t→0

    v(t+ ∆t)− v(t) ∆t

    = lim ∆t→0

    ∆v

    ∆t (9)

    di componenti (ax, ay, az) = (

    dvx(t) dt ,

    dvy(t) dt ,

    dvz(t) dt

    ) dove con

    dvx(t) dt si indica la derivata di vx(t) rispetto al tempo t.

    11

  • Poiché si ha vx(t) = dx(t)

    dt , si ha

    ax(t) = dvx(t)

    dt =

    d

    dt

    dx(t) dt

     = d2x(t) dt2

    , (10)

    scrittura che viene letta: “la componente x dell’accelera-

    zione istantanea è la derivata seconda di x(t) rispetto al

    tempo”. Relazioni analoghe valgono per le componenti y e

    z dell’accelerazione.

    Nel S.I. l’accelerazione si misura in m/s2 = m s−2.

    L’accelerazione ha in generale componenti sia lungo la tan-

    gente alla traiettoria (at), sia lungo la normale alla traiet-

    toria (an). Se t e n sono rispettivamenti i versori lungo la

    tangente e lungo la normale alla traiettoria si scrive

    a = at t + an n . (11)

    12

  • La componente tangenziale dell’accelerazione è data dall’e-

    spressione

    at(t) = dv(t)

    dt , (12)

    in base alla quale at dipende dalla variazione temporale della

    velocità scalare v(t) definita dalla (6).

    Questa componente dell’accelerazione è nulla per tutti i

    moti uniformi, cioè per i moti che avvengono con velocità

    scalare v costante e questo indipendentemente dalla forma

    della traiettoria.

    13

  • La componente normale dell’accelerazione è data dalla for-

    mula

    an(t) = [v(t)]2

    R , (13)

    dove R è il raggio di curvatura della traiettoria. Questa componente dell’accelera-

    zione dipende dal quadrato della ve-

    locità scalare e dalla forma della

    traiettoria attraverso il raggio di cur-

    vatura e punta verso il suo centro di

    curvatura (esempio in figura).

    Nei moti rettilinei, per i quali R è

    infinito, si ha an = 0.

    14

  • TIPI DI MOTO

    La legge oraria r = r(t) del moto di un punto materiale P è

    in grado di descrivere la cinematica di P in tutto lo spazio.

    Tuttavia esistono situazioni in cui il moto si sviluppa in due

    sole dimensioni (moto 2D che ha luogo in un piano) oppure

    addirittura in una sola dimensione (moto 1D che ha luogo

    lungo una retta). In questi casi si parla rispettivamente di

    moti piani o di moti rettilinei.

    Un’opportuna orientazione degli assi cartesiani permette di

    descrivere i moti piani con l’andamento temporale di due

    sole coordinate (ad esempio x = x(t) e y = y(t)) mentre nel

    caso dei moti rettilinei consente di assegnare la dipendenza

    da t di una sola coordinata (x = x(t), ad esempio). 15

  • MOTO RETTILINEO UNIFORME

    Si consideri il moto 1D dato da

    x(t) = x0 + vx0 t (14)

    la cui velocità vx(t) è data da

    vx(t) = dx(t)

    dt = vx0 = costante . (15)

    Si tratta di un moto che si svolge lungo una retta (asse

    x) a velocità costante vx0 e che viene quindi denominato

    moto rettilineo uniforme. La sua accelerazione è nulla poi