Aplikasi persamaan dan fungsi kuadrat

© 2015

Swaditya Rizki, M.Sc.

ii

BAHAN AJAR

PERSAMAAN & FUNGSI KUADRAT

Pendidikan Matematika FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO

© 2015


iii

DAFTAR ISI

Persamaan Kuadrat ............................................................................ 1

1. Akar Persamaan Kuadrat ........................................................................... 1

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Pemfaktoran ....................... 2

Bentuk Umum Rumus Persamaan Kuadrat ............................................ 5

Melengkapi Kuadrat Sempurna ............................................................ 7

2. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat ............................................................ 8

3. Akar Persekutuan ................................................................................... 10

4. Aplikasi Persamaan Kuadrat .................................................................... 12

Fungsi Kuadrat ................................................................................ 20

1. Fungsi kuadrat ....................................................................................... 20

a. Pembuat nilai nol ............................................................................ 21

b. Nilai Ekstrim ................................................................................. 22

2. Grafik Fungsi Kuadrat ............................................................................. 27

3. Aplikasi Fungsi Kuadrat .......................................................................... 29

DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………………… 36

© 2015


1

BAB I

Persamaan Kuadrat

1. Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang variabelnya mempunyai

pangkat tertinggi sama dengan dua.

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

0;02 acbxax

a, b, dan c elemen bilangan riil yang disebut konstanta, x disebut variabel

(peubah). Sebagai contoh, berikut akan disajikan beberapa persamaan

kuadrat yang akan diubah ke dalam bentuk standar.

1. 6)1( xx

2. 43

xx

3. 155252 xx

4. 32 xx

5. 6272 xxx

Penyelesaian:

a. Hilangkan tanda ( )

06

6

2

2

xx

xx

b. Kalikan semua ruas dengan x:

034

43

2

2

xx

xx

c. Pindahkan ruas kanan ke ruas kiri

01052 xx

© 2015


2

d. Hilangkan tanda akar dengan cara mengkuadratkan kedua ruas

034

3)2(

2

2

xx

xx

e. Satukan variable sejenis

065

0627

2

2

xx

xxx

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Pemfaktoran

Cara pemfaktoran merupakan cara penyelesaian persamaan kuadrat yang

paling mudah untuk konstanta yang kecil, dengan catatan persamaan

kuadratnya dapat difaktorkan. Berikut bentuk umumnya:

(x + a)(x + b) = 0

x.x + ax + bx + ab = 0

x 2 + (a+b)x + ab = 0

Ada persamaan kuadrat yang dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran.

Berikut ini beberapa contoh persamaan kuadrat tersebut.

1. 5)4( xx

Penyelesaian: 542 xx

0542 xx

15

0105

0)1)(5(

xx

xataux

xx

2. 01032 xx

Penyelesaian:

52

0502

0)5)(2(

01032

xx

xataux

xx

xx

© 2015


3

3. 012102 2 xx

Penyelesaian:

2

342

03042

0)3)(42(

012102 2

x

xx

xataux

xx

xx

4. 062 xx

Penyelesaian: ……………………………………………………………………………..…

………..………………………………………………………………………

……..…………………………………………………………………………

……………………………..…………………………………………………

5. 816

x

x

Penyelesaian: ……………………………………………………………………………..…

………..………………………………………………………………………

………………………………..………………………………………………

…………………………………………………………………………….….

6. 02092 xx

Penyelesaian: ……………………………………………………...…………………………

…..……………………………………………………………………………

…………………………..……………………………………………………

………………………………………………………………..………………

7. 092 x

Penyelesaian: ………………………………………………………..………………………

……..…………………………………………………………………………

……………………………..…………………………………………………

……………………………..…………………………………………………

8. 0213 2 aa

Penyelesaian: ………………………………………………………………………..………

………………………..……………………………………………….………

…………………………………………………..……………………………

………………………………………………………………..………………

© 2015


4

9. 01252 2 mm

Penyelesaian: ………………………………………………………………………………..

…………………………..……………………………………………………

…………………………………………………..……………………………

………………………………………………………………………………..

10. 02184 2 xx

Penyelesaian: …………………………………………………………………………..……

…………………………..……………………………………………………

…………………………..……………………………………………………

……………………………..…………………………………………………

11. 155

2 xx

Penyelesaian: ……………………………………………………………………..…………

…………………..……………………………………………………………

…………………………………………..……………………………………

………………………………………………………..………………………

12. 329 2 x

Penyelesaian: ……………………………………………………………..…………………

…………………………..……………………………………………………

…………………………………………………..……………………………

………………………………………………………………..………………

13. 08215 2 xx

Penyelesaian: ……………………………………………………………..…………………

…………………………..……………………………………………………

…………………………………………………..……………………………

………………………………………………………………..………………

14. 031756 2 xx

Penyelesaian: ……………………………………………………………..…………………

…………………………..……………………………………………………

…………………………………………………..……………………………

15. 0169 2 x

Penyelesaian: ……………………………………………………………..…………………

…………………………..……………………………………………………

…………………………………………………..……………………………

© 2015


5

Bentuk Umum Rumus Persamaan Kuadrat

Untuk mencari akar-akar persamaan dari bentuk umum persamaan kuadrat

diatas dapat diturunkan rumus sebagai berikut.

0

0;0

2

2

a

cx

a

bx

acbxax

Agar dapat dibentuk persamaan kuadrat sempurna maka harus diubah ke

dalam bentuk berikut:

222 ma

cmx

a

bx

Misalkan:

a

bm

xa

bmx

mxa

bxmmxxmx

2

2

2)( 22222

Sehingga

a

acbbx

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

a

c

a

b

a

bx

a

b

a

c

a

bx

a

bx

ma

cmx

a

bx

2

4

2

4

2

4

4

2

4

4

2

42

22

2

2,1

2

2

2

2

22

2

22

22

2

222

© 2015


6

Dimana acb 42 disebut diskriminan (D) dari persamaan kuadrat

02 cbxax . Diskriminan ini dapat digunakan untuk menyelidiki akar-akar

pesamaan kuadrat yaitu:

1. Jika D > 0 maka terdapat dua akar real yang tidak sama 21 xx

2. Jika D = 0 maka akar-akarnya adalah akar kembar/sama dan real 21 xx

3. Jika D < 0 maka kedua akar tidak real atau imajiner.

Contoh 1:

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini:

0652 xx

Penyelesaian:

Dari persamaan di atas diketahui nilai a = 1, b = 5, dan c = 6.

32

15atau2

2

15Jadi

2

15

1.2

24255

1.2

6.1.455

2

4

21

2

2

2,1

xx

a

acbbx

Contoh 2:

Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat 04)2(2 xpx mempunyai

akar-akar kembar.

Penyelesaian:

Agar suatu persamaan mempunyai akar kembar maka diskriminannya harus

sama dengan nol:

© 2015


7

2atau6

0)2)(6(

0124

01644

04.1.4)]2([

04

21

2

2

2

2

pp

pp

pp

pp

p

acb

Melengkapi Kuadrat Sempurna

Jika suatu persamaan kuadrat dapat dinyatakan ke dalam bentuk

0dengan)( 2 qqpx , maka persamaan itu disebut kuadrat sempurna.

Apabila bentuk persamaan kuadrat belum merupakan bentuk kuadrat

sempurna, maka harus diubah dahulu ke dalam bentuk kuadrat sempurna.

Langkah-langkah penyelesaian dengan melengkapi kuadrat sempurna:

1. Ubah persamaan 02 cbxax ke dalam bentuk cbxax 2 .

2. Apabila 1a , maka bagilah kedua ruas dengan a sehingga

a

cx

a

bx 2

3. Lengkapi persamaan kuadrat dengan menambahkan 2

2

a

bpada

kedua ruas, sehingga 22

2

22

a

b

a

c

a

bx

a

bx

4. Tulislah ruas kiri dari persamaan awal sebagai kuadrat sempurna

sehingga bentuknya menjadi qpx 2)(

5. Gunakan sifat penarikan akar.

6. Selesaikan persamaan-persamaan linier yang diperoleh untuk mencari

akar-akarnya.

© 2015


8

Contoh 3:

Selesaikanlah persamaan kuadrat berikut dengan melengkapi kuadrat

sempurna: 0542 xx .

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikannya ikuti seperti langkah-langkah di atas:

1. Ubah persamaan 0542 xx ke dalam bentuk 542 xx .

2. Karena a=1 maka langkah 2 dilewati.

3. Cari nilai 2

2

a

b yaitu 4)2(

1.2

4

2

2

22

a

b

4. Sehingga diperoleh

944

4544

2

2

xx

xx

Selanjutnya ubah ke bentuk qpx 2)( dimana

9)2(

944

2

2

x

xx

5. 39)2( x (sifat penarikan akar)

6. Penyelesaian untuk mencari akar-akar

5

3)2(

x

x atau

1

3)2(

x

x

Jadi, akar-akar persamaan kuadratnya adalah x = 5 atau x = -1.

2. Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Misal akar-akar dari persamaan kuadrat 02 cbxax adalah 1x dan

2x ,

maka dapat ditulis 0))(( 21 xxxx

0)( 2121

2 xxxxxx ……………. (1)

02 cbxax

02

a

cx

a

bx ……………………… (2)

Dari persamaan (1) dan (2) didapat sifat-sifat akar persamaan kuadrat:

a

bxx 21

a

cxx 21.

a

Dxx 21

© 2015


9

Bentuk 21 xx dan 21.xx merupakan bentuk simetri dari akar-akar

persamaan kuadrat 02 cbxax , dimana setiap bentuk simetri tersebut

dapat dinyatakan ke dalam bentuk 21 xx dan 21.xx . Misalkan:

a. 21

2

21

2

2

2

1 2)( xxxxxx

b. )(3)( 2121

3

21

3

2

3

1 xxxxxxxx

c. ))(.( 2121

2

2

2

1 xxxxxx

d. 2

21

22

2

2

1

4

2

4

1 )(2)( xxxxxx

Contoh 4:

Jika diketahui suatu persamaan 0642 2 xx . Tentukan nilai 2

2

2

1 xx

tanpa mencari 21 dan xx

Penyelesaian:

2

3.2)2(

2)()(

32

6

22

4

0642

2

21

2

21

2

2

2

1

21

21

2

xxxxxx

a

cxx

a

bxx

xx

Diketahui

Contoh 5:

Salah satu akar 062 pxx adalah dua kali yang lain. Hitunglah p?

Penyelesaian:

Akar-akar itu dimisalkan m= x1 dan n=2x1

Jumlahnya adalah

2

63

6)2(

1

1

11

x

x

a

bxx

Jadi akar-akar tersebut adalah m = 2 dan n = 4.

Hasil kalinya adalah

p

p

pp

a

cxx

8

4.2

1. 21

nilai p = 8.

© 2015


10

3. Akar Persekutuan

Dua buah persamaan kuadrat dapat dikatakan mempunyai akar

persekutuan apabila dari kedua persamaan tersebut terdapat akar-akar yang

nilainya sama.

Perhatikan persamaan kuadrat dibawah ini:

2

3;2

0)32)(2(0672).2

2;4

0)2)(4(082).1

43

2

21

2

xx

xxxx

xx

xxxx

Dari akar-akar persamaan 1) dan 2) di atas dapat dilihat 232 xx

Jadi, kedua persamaan di atas mempunyai akar persekutuan.

Perhatikan apabila kedua persamaan itu kita kurangkan:

211

22

02211

_067210672).2

016422082).1

22

22

x

x

xxxx

xxxx

Disini juga dapat kita lihat bahwa akar persekutuan itu dapat diperoleh dari

persamaan selisih.

Secara umum:

Bila dua persamaan 02 qpxx dan 02 tsxx mempunyai sebuah

akar persekutuan, maka akar persekutuan itu didapat dari persamaan

selisih.

Bukti:

Akan ditunjukkan:

1. 02 qpxx akar-akarnya 21 dan xx

2. 02 tsxx akar-akarnya 31 dan xx

x1 memenuhi 1 dan 2, jadi:

© 2015


11

npersekutuaakarMerupakansp

qtx

qtxsp

tqxsp

tsxx

qpxx

1

1

1

1

2

1

1

2

1

)(

0)(

_0

0

Contoh 6:

Persamaan 0422 pxx dan 0652 2 pxx mempunyai sebuah akar

persekutuan. Hitung p dan akar-akarnya.

Penyelesaian.

px

px

pxxpxx

pxxpxx

2

02

_065210652

08422042

22

22

Jadi, akar persekutuannya adalah px 2 atau 2

xp . kemudian masukkan

ke dalam persamaan satu, didapat.

4atau0

0)4(

04

02

42

042

21

2

2

2

xx

xx

xx

xxx

pxx

Untuk 01 x maka p = 0 dan

Untuk 42 x

maka p = 2.

© 2015


12

1020

0)10)(20(

020010

20010

10200

)10(200

2

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

xx

lpL

PanjangPersegiLuasRumus

4. Aplikasi Persamaan Kuadrat

Dalam kehidupan sehari-hari, persamaan kuadrat sering digunakan untuk

menyelesaikan permasalahan sehari-hari. Berikut ini diberikan contoh-

contoh yang berkaitan dengan persamaan kuadrat:

Contoh 7:

Ada suatu tanah pekarangan berbentuk persegi panjang. Pekarangan

tersebut memiliki panjang 10 meter lebih panjang daripada lebarnya.

Diketahui dalam sertifikat bahwa luas pekarangan tersebut yaitu 200 m2.

Berapa meterkah panjang dan lebar pekarangan tersebut?.

Penyelesaian: ∴ Karena panjang tidak mungkin negatif, maka pilih x = 10. sehingga lebar dari

pekarangan tersebut = 10 m, sedangkan panjangnya = x+10 = 10+10 = 20 m. Contoh 8:

Ada kamar tidur berukuran 4m x 4m. Kamar tersebut telah dipasang keramik

yang berbentuk persegi dan menghabiskan 100 buah keramik.

1. Berapa cm kah ukuran keramik tersebut?.

2. Jika ada kamar lain yang berukuran 4m x 3m. Berapa buah keramik yang diperlukan dengan keramik yang sama?.

Penyelesaian no.1: Ukuran kamar 4m x 4m = 400cm x 400cm Luas kamar tidur = 400cm x 400cm = 160000cm2

x

x+10

© 2015


13

Luas 1 keramik = Luas kamar tidur : banyaknya keramik = 160000 : 100 = 1600 cm2 Karena keramik berbentuk persegi, maka

Luas 1 keramik = x2

1600 = x2

x2

- 1600 = 0

(x – 40)(x + 40) = 0

x = 40 atau x = -40

∴ karena panjang selalu positif maka panjang sisi keramik yaitu 40 cm.

sehingga keramik tersebut memiliki ukuran 40cm x 40cm.

Penyelesaian no.2:

Ukuran kamar 4m x 3m = 400cm x 300cm

Luas kamar tidur = 400cm x 300cm = 120.000cm2

Luas keramik 40cm x 40cm = 1600cm2

Banyaknya keramik yang diperlukan = luas kamar tidur : luas keramik

= 120000cm2 : 1600cm2

= 75

∴ Jadi banyaknya keramik yang diperlukan untuk dipasang pada kamar

berukuran 4m x 3m yaitu sebanyak 75 buah.

© 2015


14

Latihan:

1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 5 dan -2. Penyelesaian:

2. Selesaikan persamaan kuadrat berikut menggunakan rumus abc:

0442 xx Penyelesaian:

3. Selesaikan persamaan kuadrat berikut menggunakan pemfaktoran dan

kuadrat sempurna: 02032 2 xx

Penyelesaian:

© 2015


15

4. Buktikan bahwa akar-akar dari persamaan 0962 xx adalah nyata

dan sama besar.

Penyelesaian:

Syarat akar-akar nyata dan sama besar jika D …. 0

5. Apabila a adalah bilangan nyata, selidikilah banyaknya akar-akar

persamaan 0)23()3(2 axax

Penyelesaian:

Syarat akar-akar nyata jika D …. 0

6. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 01662 xx . Hitunglah:

a. 21 xx

b. 21 xx

c. 21xx

© 2015


16

d. )( 2

2

2

1 xx

e. )( 3

2

3

1 xx

f. )( 4

2

4

1 xx

7. Salah satu akar 082 2 pxx adalah tiga kali yang lain. Hitunglah p?

Penyelesaian:

© 2015


17

8. Carilah 3

2

3

1

11

xx jika diketahui bahwa x1 dan x2 merupakan akar-akar dari

persamaan 0562 xx Penyelesaian:

9. Sepasang persamaan berikut axxdanaxx 622 22

mempunyai

akar persekutuan. Hitunglah a! Penyelesaian:

© 2015


18

10. Ada suatu sawah berbentuk persegi panjang. Sawah tersebut memiliki

panjang 8 meter lebih panjang daripada lebarnya. Diketahui dalam

sertifikat bahwa luas sawah tersebut yaitu 240 m2. Berapa meterkah

panjang dan lebar sawah tersebut?.

Penyelesaian

© 2015


19

Catatan:

© 2015


20

BAB II

FUNGSI KUADRAT

1. Fungsi Kuadrat

Fungsi Kuadrat adalah pemetaan dari daerah asal (domain) ∈ 𝑅 ke tepat

satu daerah hasil (range) yang dinyatakan dengan rumus

cbxaxxfy 2)(

dimana a, b, dan c adalah konstanta bilangan riil, 0a . Dengan )(xf atau

y disebut dengan fungsi. Bila 1x dan 2x adalah absis titik potong pada

sumbu x maka fungsi kuadrat dapat ditulis sbb:

))(()( 21 xxxxaxfy

Contoh 1:

Akan ditunjukkan fungsi kuadrat 34)( 2 xxxfy bahwa untuk setiap

nilai 𝑥 memetakan ke satu nilai 𝑦.

Penyelesaian:

untuk 𝑥 = −3 → 𝑓 𝑥 = (−3)2 + 4 −3 + 3 = 0

untuk 𝑥 = −2 → 𝑓 𝑥 = −2 2 + 4 −2 + 3 = −1

untuk 𝑥 = −1 → 𝑓 𝑥 = (−1)2 + 4 −1 + 3 = 0

untuk 𝑥 = 0 → 𝑓 𝑥 = (0)2 + 4 0 + 3 = 3

untuk 𝑥 = 1 → 𝑓 𝑥 = (1)2 + 4 1 + 3 = 8

untuk 𝑥 = 2 → 𝑓 𝑥 = (2)2 + 4 2 + 3 = 15

© 2015


21

f (x)

Daerah asal

(Domain)

Daerah hasil

(Range)

-n

…

-3 .

-2 .

-1 .

0 .

1 .

2 .

…

n.

f(-n)

…

.-1

. 0

. 3

. 8

. 15 …

f(n)

Pada fungsi kuadrat ini akan diselidiki mengenai:

a. Pembuat nol )(xf atau harga nol )(xf

b. Nilai-nilai ekstrim dari )(xf

a. Pembuat nol dari cbxaxxf 2)(

Maksud pembuat nol disini adalah nilai 𝑥 yang menyebabkan 0)( xf .

Untuk mencari nilai 𝑥 dapat menggunakan rumus persamaan kuadrat

sebagai berikut:

𝑥1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Jika 𝐷 > 0, maka akan didapat dua nilai pembuat nol yaitu 𝑥1dan 𝑥2,

𝑥1 ≠ 𝑥2.

x

x2 x1 x2 x1

© 2015


22

Jika 𝐷 = 0, maka akan didapat sebuah nilai pembuat nol yaitu 𝑥1 = 𝑥2 =

−𝑏

2𝑎.

Jika 𝐷 < 0, maka tidak ada nilai pembuat nol.

Fungsi seperti ini (D < 0) mempunyai 2 harga definit yaitu :

1. Definit Positif

Fungsi akan selalu berharga positif untuk setiap harga x atau grafik

fungsi seluruhnya berada diatas sumbu x. Syaratnya a > 0, D < 0

2. Definit Negatif

Fungsi akan selalu berharga negatif untuk setiap harga x atau grafik

fungsi seluruhnya berada dibawah sumbu x. Syaratnya a < 0, D < 0

b. Nilai Ekstrim

Nilai Ekstrim ada dua kategori yaitu ekstrim maksimum (𝑦𝑚𝑎𝑥 ) dan ekstrim

minimum (𝑦𝑚𝑖𝑛 ).

cbxaxxfy 2)(

Dapat diubah menjadi:

x1=x2

x1=x2

© 2015


23

a

D

a

bxa

a

acb

a

bxa

a

bac

a

bxa

a

bc

a

bxa

a

b

a

ca

a

bx

a

bxa

a

b

a

c

a

bx

a

bxa

a

cx

a

bxa

cbxaxxf

42

4

4

2

4

4

2

42

42

22

)(

2

22

22

22

2

22

2

22

2

2

2

Karena 2

2

a

bxa selalu positif atau nol, maka tanda

2

2

a

bxa selalu

tergantung pada tanda a , sedangkan a

D

4 merupakan konstanta.

Jika a > 0, maka 2

2

a

bxa selalu positif atau nol sehingga

f(x) mencapai minimum = a

D

4apabila

a

bx

2

Jika a < 0, maka 2

2

a

bxa selalu negatif atau nol sehingga f(x)

mencapai maksimum = a

D

4 apabila

a

bx

2

Dari turunan fungsi di atas, jika titik puncaknya ),( qp maka persamaan

fungsi kuadrat di atas dapat ditulis sbb:

qpxaxfy 2)()(

© 2015


24

8

1.8

8

42

b

b

ab

a

bx

9

74.84

78)(

2

2

xxxfy

Ciri-ciri fungsi kuadrat dan grafiknya:

1. Memiliki sumbu simetri a

bx

2 .

2. Koordinat titik puncak

a

D

a

b

4,

2

3. 𝑎 > 0 grafik terbuka ke atas.

𝑎 < 0 grafik terbuka ke bawah.

4. Jika tanda b sama dengan tanda a, puncak berada disebelah kiri

sumbu y.

Jika tanda b berbeda dengan tanda a, puncak berada disebelah kanan

sumbu y.

5. 𝑐 > 0 grafik memotong sumbu y positif.

𝑐 < 0 grafik memotong sumbu y negatif.

𝑐 = 0 grafik melalui titik (0,0).

6. 𝐷 > 0 grafik memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.

𝐷 = 0 grafik menyinggung sumbu x.

𝐷 < 0 grafik tidak memotong sumbu x.

Contoh 2:

Jika 7)( 2 bxxxf puncaknya berabsis 4, maka ordinatnya adalah…

Penyelesaian:

Ordinatnya =

Contoh 3:

Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik potong pada sumbu x yaitu -2

dan 5, serta memotong sumbu y pada (0,10).

Penyelesaian:

Titik potong pada sumbu x: (-2,0) dan (5,0) dan

titik potong pada sumbu y: (0,10)

© 2015


25

14

0)1)(4(

043

016124

41612

.4

..443

4

4

2

2

2

2

2

max

aataua

aa

aa

aa

aa

a

aa

a

acby

13

2

0)1)(23(

0223

016824

24168

)2(4

)3)(2(4)4(1

4

4

2

2

2

2

2

max

aataua

aa

aa

aa

aa

a

aa

a

acby

103

)103(1

)5)(2(1

2

2

xx

xx

xxy

adalahtersebutkuadratfungsijadi

Fungsi kuadratnya yaitu:

1

)50)(20(10

)10,0(

)5)(2(

))(( 21

a

a

melalui

xxay

xxxxay

Contoh 4:

Nilai tertinggi fungsi axaxxf 4)( 2 ialah 3, sumbu simetrinya adalah…

Penyelesaian:

Karena titik puncaknya adalah maksimum, maka pilih 𝑎 < 0, yaitu a = -1.

Sehingga sumbu simetrinya adalah

2)1(2

4

2

a

bx

∴ Sumbu simetrinya adalah 2.

Contoh 5:

Jika fungsi kuadrat axaxxf 342)( 2 mempunya nilai maksimum 1, maka

...927 2 aa Penyelesaian:

183

29

3

227927

0,

2

2

aa

apilihmakamaksimumnilaiKarena

© 2015


26

15164)(

15164

1)2(4

)(

,

4

)1())2(1(3

)(

2

2

2

2

2

2

xxxfyadalahtersebutkuadratfungsi

xxy

xy

qpxay

maka

a

a

qpxay

yaitu1)2,(baliktitikkoordinatmempunyai

dan1,3)(titikmelaluiyangkuadratfungsi

)1,2(,

11.4

3.1.44

4

2)1(2

4

2

2

yaitubaliknyatitikkoordinatjadi

a

Dy

a

bx

Contoh 6:

Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1,3) dan titik terendahnya sama

dengan puncak grafik 34)( 2 xxxf adalah…

Penyelesaian:

Contoh 7:

Tentukan a agar fungsi )3(4)( 2 axxxf harganya selalu positif untuk

setiap harga x ? Penyelesaian :

Definit positif syaratnya 0a sudah dipenuhi

7

7

428

012416

0)3)(1(416

040 2

a

a

a

a

a

acbD

© 2015


27

2. Grafik Fungsi Kuadrat

Himpunan titik-titik ),( yx yang memenuhi 0;)( 2 acbxaxxfy

adalah parabola. Sedangkan cbxaxxfy 2)( disebut persamaan

parabola.

Untuk melukis grafik fungsi :

cbxaxxfy 2)(

DIPERLUKAN SYARAT-SYARAT SEBAGAI BERIKUT :

1. Titik potong dengan sumbu x

Syarat f(x) = 0 ax2 + bx + c = 0

(x – x1) (x – x2) (x1, 0) dan (x2, 0)

2. Titik potong dengan sumbu y

Syarat x = 0 f(0) = a(0)2 + b (0) + c

f(x) = c (0,c)

3. Sumbu Simetri

Sumbu simetrinya adalah : a

bx

2

4. Titik balik / Titik puncak

Titik balik atau titik puncak adalah:

a

Dy

4

Sehingga koordinat titik puncak adalah

P ),( yx

P(a

b

2 ,

a

D

4)

Parabola mencapai titik balik minimum jika a >0 dan parabola mencapai

titik balik maksimum jika a <0.

© 2015


28

Contoh 8:

Gambarlah grafik fungsi 86)( 2 xxxf

Penyelesaian:

Titik potong dengan sumbu x, syarat f(x) = 0

x2 – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0

(2,0) dan (4,0)

Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0

f(0) = 02 + 6 ( 0) + 8

= 8

f(x) = 8 (0,8)

Koordinat titik puncak adalah ),( yx

x = -b/2a = 6/2 =3

y = D/-4a = b2 – 4ac / -4a = 36 – 4 (1) (8)/-4

= 36 – 32 / -4

= 4/-4

= -1

Jadi puncaknya adalah p ),( yx p (3,-1). Untuk mendapatkan gambar

grafik yang baik kita menggunakan tabel fungsi sebagai berikut:

x 0 1 2 3 4 5 6

y 8 3 0 -1 0 3 8

Gambar grafik:

(3,-1)

y

x

-1

4 2

8

© 2015


29

3. Aplikasi Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat juga sering digunakan untuk menyelesaikan permasalahan

sehari-hari. Fungsi kuadrat biasanya digunakan untuk menentukan nilai

maksimum atau minimum dari suatu permasalahan. Biasanya kata

maksimum sama maknanya dengan kata tertinggi, terpanjang, terbesar,

terjauh, terluas, dsb. Sedangkan kata minimum sama maknanya dengan kata

terendah, terpendek, terkecil, terdekat, tersempit, dsb. Berikut ini diberikan

contoh-contoh aplikasi yang berkaitan dengan fungsi kuadrat:

Contoh 9:

Ada sebuah kawat ram panjangnya 20 m yang akan digunakan untuk membuat

kandang ayam. Tentukan panjang dan lebar kandang ayam tersebut agar luasnya

maksimum.

Penyelesaian:

Panjang kawat ram = keliling persegi/persegi panjang

Dimisalkan panjang kawat = x, dan lebar = y.

Keliling = 2(p+l)

20 = 2(x+y)

10 = x+y y = 10-x

Luas (L) = p . l

= x . y

=x (10 - x)

=10x - x2

L merupakan fungsi kuadrat dalam x yaitu L(x) = 10x - x2

L(x) = -x2

+ 10x a=-1, b=10, c=0

Berdasarkan konsep fungsi kuadrat, agar luas maksimum maka :

metera

bx 5

)1.(2

10

2

y = 10-x = 10 - 5 = 5 meter

jadi agar kandang ayam memiliki luas maksimum maka panjang dan lebar kandang

ayam tersebut masing-masing yaitu panjang 5 meter dan lebar 5 meter, karena

panjang dan lebarnya sama maka kandang ayam tersebut berbentuk persegi.

© 2015


30

042000460

0000.400.8000.92200

2

2

PP

PP

Contoh 10:

Ada sebuah perusahaan yang memproduksi sepeda sports. Perusahaan tersebut ingin

menjual sepeda sports tersebut dengan harga yang sesuai agar mendapatkan

keuntungan yang maksimal. Berikut ini data yang dimiliki perusahaan tersebut:

Biaya pembuatan pabrik dan pemasaran: 700.000 dollar

Biaya pembuatan 1 sepeda: 110 dollar

Kurva penjualan:

Dari kurva tersebut didapat persamaan:

Unit penjualan= 70.000- 200P

dimana P adalah Price (Harga).

Penyelesaian:

Unit penjualan= 70.000 – 2P

Penjualan = unit penjualan x harga = (70.000-2P) x P = 70.000P – 2P2

Biaya = 700.000+ (110x(70.000-2P)) = 700.000 +7.700.000-22.000P

= 8.400.000 – 22.000P

Keuntungan = Penjualan – Biaya

= (70.000P – 2P2) – (8.400.000 – 22.000P)

= -200P2 + 92.000P – 8.400.000

Jadi Keuntungan tersebut merupakan fungsi kuadrat. Untuk mengetahui titik potong

dengan sumbu x atau dengan kata lain keuntungan akan nol jika nilai P berada pada

titik potong tersebut:

dari persamaan kuadrat tersebut dicari akar-akarnya menggunakan rumus, sehingga

didapat nilai

334126 21 PatauP

Dari akar-akar di atas disimpulkan bahwa keuntungannya akan 0 (nol) jika harga

sepeda sportnya 126 dollar atau 334 dollar.

© 2015


31

Dari fungsi keuntungan di atas merupakan fungsi kuadrat di atas dapat ditulis:

000.400.8000.92200)(: 2 PPPfKeuntungan

Berdasarkan konsep fungsi kuadrat, keuntungan akan maksimum jika harga (P)

yaitu:

dollara

bP 230

)200.(2

000.92

2

Keuntungan: f(P)= -200(2302) + 92.000(230) – 8.400.000

= 2.180.000 dollar

Cara lain:

Karena keuntungan maksimum didapatkan pada saat P = 230 dollar, maka

Unit penjualan = 70.000 – 2(230) = 24.000

Penjualan = 230 x 24.000 = 5.520.000 dollar

Biaya = 700.000 + (110 x 24.000) = 3.340.000 dollar

Keuntungan = penjualan – biaya

= 5.520.000 – 3.340.000

= 2.180.000 dollar

Keuntungan

maksimum

© 2015


32

Latihan:

1. Nilai minimum fungsi yang ditentukan oleh rumus pxxxf 82)( 2 adalah

20. Nilai ...)2( f

Penyelesaian:

2. Jika fungsi 6)1()( 2 xppxxf mencapai nilai tertinggi untuk 1x

maka nilai ...p

Penyelesaian:

3. Jika fungsi kuadrat axaxxf 34)( 2 mempunyai nilai minimum -11, maka

...2 aa

Penyelesaian:

© 2015


33

4. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk 𝑥 = 1 dan mempunyai

nilai 3 untuk 𝑥 = 2 adalah…

Penyelesaian:

5. Fungsi )(xfy yang grafiknya melalui titik (2,5) dan (7,40) serta mempunyai

sumbu simetri 1x , mempunyai nilai ekstrim… (minimum atau maksimum?)

Penyelesaian:

© 2015


34

6. Praktekkan grafik fungsi berikut ini dan tulislah perbedaannya

a. 23)( 2 xxxf

b. 82)( 2 xxxf

c. 34)( 2 xxxf

d. 43)( 2 xxxf

e. 2)( 2 xxxf

f. 23)( 2 xxxf

Tulislah kesimpulan dari grafik-grafik di atas jika dilihat dari nilai a,b, atau c.

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

7. Praktekkan grafik fungsi berikut ini dan tulislah perbedaannya:

a. 32)( 2 xxxf

b. 12)( 2 xxxf

c. 42)( 2 xxxf

Tulislah kesimpulan dari grafik-grafik di atas.

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

© 2015


36

DAFTAR PUSTAKA

A. E.J. Purcell dan D. Varberg. (terjemahan I N Susila, B. Kartasasmita, dan

Rawuh). 2007. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I. Edisi V. Jakarta:

Erlangga

B. Etsa Indra Irawan dan Cucun Cunayah. 2013. 1700 Bank Soal Matematika.

Yrama Widya. Bandung.

C. Sukino. 2014. Matematika SMA (Kurikulum 2013). Erlangga. Jakarta.

D. Swaditya Rizki. 2015. Aljabar Elementer. FKIP. Universitas Muhammadiyah

Metro

E. Swaditya Rizki. 2012. Pemanfaatan Teknologi Komputer Untuk

Pembelajaran Matematika Khususnya Persamaan Kuadrat. Prosiding Seminar

Nasional Pendidikan. Universitas Muhammadiyah Metro. Hal. 171-176

F. https://www.mathsisfun.com/algebra/quadratic-equation-real-world.html

https://www.mathsisfun.com/algebra/quadratic-equation-real-world.html

Aplikasi persamaan dan fungsi kuadrat

Education

Transcript of Aplikasi persamaan dan fungsi kuadrat