MATERI PEMBELAJARAN MATEMATIKASEMESTER II

GURU MATA PELAJARAN :ANDYNA DISAGUSRIANTI, S.Pd

KELAS YANG DIAMPU : X TBSM 1 & X TBSM 2

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan persamaan kuadrat. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

Sedangkan bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah:

Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta  .Fungsi kuadrat f(x) dapat juga ditulis dalam bentuk y atau:

Dengan x adalah variable bebas dan y adalah variable terikat. Sehingga nilai y tergantung pada nilai x, dan nilai-nilai x tergantung pada area yang ditetapkan. Nilai y diperoleh dengan memasukan nilai-nilai x kedalam fungsi.

Grafik Fungsi KuadratFungsi kuadrat   dapat digambarkan ke dalam koordinat kartesius sehingga diperoleh suatu grafik fungsi kuadrat. Sumbu x adalah domain dan sumbu y adalah kodomain. Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk seperti parabola sehingga sering disebut grafik parabola.Grafik dapat dibuat dengan memasukan nilai x pada interval tertentu sehingga didapat nilai y. Kemudian pasangan nilai (x, y) tersebut menjadi koordinat dari yang dilewati suatu grafik. Sebagai contoh, grafik dari fungsi:   adalah:

Jenis grafik fungsi kuadrat lain1. Grafik fungsi Jika pada fungsi   memiliki nilai b dan c sama dengan nol, maka fungsi kuadratnya:

Pada grafik fungsi ini akan selalu memiliki garis simetris pada x = 0 dan titik puncak y = 0. Sebagai contoh  , maka grafiknya adalah:2. Grafik fungsi Jika pada fungsi   memiliki nilai b = 0, maka fungsi kuadratnya sama dengan:

Pada fungsi ini grafik akan memiliki kesamaan dengan grafik fungsi kuadrat   yaitu selalu memiliki garis simetris pada x = 0. Namun, titik puncaknya sama dengan nilai c atau  . Sebagai contoh  =    + 2, maka grafiknya adalah:

3. Grafik fungsi Grafik ini merupakan hasil perubahan bentuk dari   . Pada fungsi kuadrat ini grafik akan memiliki titik puncak (x, y) sama dengan (h, k). Hubungan antara a, b, dan c dengan h, k sebagai berikut:

Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrata. Grafik terbukaGrafik   dapat terbuka ke atas atau ke bawah. Sifat ini ditentukan oleh nilai a. Jika   maka grafik terbuka ke atas, jika   maka grafik terbuka kebawah.

b. Titik PuncakGrafik kuadrat mempunyai titik puncak atau titik balik. Jika grafik  terbuka kebawah, maka titik puncak adalah titik maksimum. Jika grafik terbuka keatas maka, titik puncak adalah titik minimum.c. Sumbu SimetriSumbu simetri membagi grafik kuadrat menjadi 2 bagian sehingga tepat berada di titik puncak. Karena itu, letaknya pada grafik   berada pada:

d. Titik potong sumbu yGrafik   memotong sumbu y di x = 0. Jika nilai x = 0 disubstitusikan ke dalam fungsi, diperoleh y = c. Maka titik potong berada di (0, c).

e. Titik potong sumbu xGrafik kuadrat akan memotong sumbu x di y = 0, sehingga membentuk persamaan:

Akar-akar dari persamaan tersebut adalah absis dari titik potong. Oleh karena itu, nilai diskriminan (D) berpengaruh pada keberadaan titik potong sumbu x sebagai berikut: Jika  , grafik memotong sumbu x di dua titik Jika  , grafik menyinggung sumbu x Jika  , grafik tidak memotong sumbu x

Jika digambarkan, sebagai berikut:

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi KuadratPersamaan grafik fungsi kuadrat dapat dibentuk dengan syarat:

1. Diketahui tiga titik koordinat (x, y) yang dilalui oleh grafikKetiga koordinat tersebut, masing-masing disubstitusikan kedalam persamaan grafik:

Sehingga didapat tiga persamaan berbeda yang saling memiliki variabel a, b dan c. Selanjutnya dilakukan teknik eliminasi aljabar untuk memperoleh nilai dari a, b dan c. Setelah diperoleh  nilai-nilai itu, kemudian masing-masing disubstitusikan ke dalam persamaan   sebagai koefisien.2. Diketahui titik potong dengan sumbu x dan satu titik yang dilalui

Jika titik potong sumbu x adalah   dan  , maka rumus fungsi kuadrat nya adalah:

Dengan nilai a didapat dari mensubstitusikan titik (x, y) yang dilalui.3. Diketahui titik puncaknya dan satu titik yang dilalui

Jika titik puncaknya adalah  , maka rumus fungsi kuadrat nya adalah:

Dengan nilai a didapat dari mensubstitusikan titik (x, y) yang dilalui.

Contoh Soal Fungsi Kuadrat dan PembahasanContoh Soal 1Jika grafik   mempunyai titik puncak (1, 2), tentukan nilai a dan b. (UMPTN ’92)Pembahasan 1:

Gunakan rumus   sebagai nilai x titik puncak, sehingga:

Substitusi titik puncak (1, 2) ke dalam persamaan   diperoleh:

Dari persamaan baru, substitusikan nilai  ,maka:

Contoh Soal 2Jika fungsi    mempunyai sumbu simetri x = 3, tentukan nilai maksimumnya. (UMPTN ‘00)Pembahasan:Sumbu simetri berada di x titik puncak, sehingga:

Sehingga fungsi y menjadi:

Nilai maksimumnya:

Soal 3Tentukan grafik yang melintasi (-1, 3) dan titik minimumnya sama dengan puncak grafik  . (UMPTN ‘00)Pembahasan:Titik puncak   adalah:

Substitusikan nilai   dan   dalam persamaan:

Maka grafik fungsi kuadrat yang dicari adalah:

LATIHAN :1. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x = 1 dan

mempunyai nilai 3 untuk x = 2 berpersamaan ...

2. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat  dengan sumbu x adalah ...

3. Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat f(x)=2x2−4x+5f(x)=2x2−4x+5 adalah ⋯⋅⋯⋅

4. . Persamaan grafik parabola pada gambar di samping adalah ⋯⋅⋯⋅

5. Grafik fungsi y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c tampak seperti pada gambar berikut.

nilai diskriminannya dinyatakan oleh DD v adalah ⋯⋅⋯⋅

Trigonometri

Trigonometri adalah ilmu matematika yang mempelajari tentang sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut terhadap sisi. Dasarnya menggunakan bangun datar segitiga. Hal ini karena arti dari kata trigonometri sendiri yang dalam bahasa Yunani yang berarti ukuran-ukuran dalam sudut tiga atau segitiga.

Perbandingan Trigonometri Pada SegitigaSebuah segitiga dengan salah satu sudutnya berupa  :

Sisi AB merupakan sisi miring segitigaSisi BC merupakan sisi depan sudut Sisi AC merupakan sisi samping sudut Di sini kita akan mengenal istilah matematika baru, yaitu sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan), cosecan (csc), secan (sec) dan cotangent (cot), yang mana sinus merupakan kebalikan dari cosecan, cosinus kebalikan dari secan dan tangent kebalikan dari cotangent.Sinus, Cosinus dan Tangent digunakan untuk menghitung sudut dengan perbandingan trigonometri sisi di segitiga. Dengan gambar segitiga diatas, nilai Sinus, Cosinus dan Tangent diperoleh dengan cara sebagai berikut:

, sehingga bisa dihapal dengan sebutan sin-de-mi.

, sehingga bisa dihapal dengan sebutan cos-sa-mi.

, sehingga bisa dihapal dengan sebutan tan-de-sa.

.

.

.Sudut IstimewaBerikut ini nilai sin, cos, dan tan untuk sudut istimewa:

Dalam KuadranSudut dalam suatu lingkaran, memiliki rentang 0° – 360°, sudut tersebut dibagi menjadi 4 kuadran, dengan masing-masing kuadran memiliki rentang sebesar 90°.

Kuadran 1 memiliki rentang sudut dari 0° – 90° dengan nilai sinus, cosinus dan tangent positif. Kuadran 2 memiliki rentang sudut dari 90° – 180° dengan nilai cosinus dan tangen negatif, sinus

positif. Kuadran 3 memiliki rentang sudut dari 180° – 270° dengan nilai sinus dan cosinus negatif,

tangen positif. Kuadran 4 memiliki rentang sudut dari 270° – 360° dengan nilai sinus dan tangent negatif,

cosinus positif.Perhatikan tabel trigonometri di bawah ini:

Identitas Trigonometri

Dalam suatu segitiga siku-siku, selalu berlaku prinsip phytagoras, yaitu  . Pada materi ini, prinsip phytagoras ini menjadi asal pembuktian identitas trigonometri sendiri.

 bagi kedua ruas dengan  , diperoleh persamaan baru  . Sederhanakan

dengan sifat eksponensial menjadi  . Dari persamaan terakhir, subtitusi bagian yang

sesuai dengan perbandingan trigonometri pada segitiga, yaitu   dan  , sehingga diperoleh   atau bisa ditulis menjadi  .Dari identitas yang pertama, dapat diperoleh bentuk lainnya, yaitu:

 bagi kedua ruas dengan  , diperoleh   

dimana   dan  , sehingga diperoleh: 

Bentuk ketiga yaitu   dibagi dengan   menjadi  ,

dimana   dan  , sehingga diperoleh persamaan:  .Contoh Soal TrigonometriTentukanlah nilai dari  !Jawab:

 berada pada kuadran 2, sehingga nilainya tetap positif dengan besar sama

seperti  berada pada kuadran 3, sehingga nilainya negatif dengan besar sama

seperti  berada pada kuadran 4, sehingga nilainya positif dengan besar sama

seperti 

Jadi  sin 1200+cos1200+cos3150=12 √3+(−1

2 √3)+ 12 √2=1

2 √2

LATIHAN :1. Diberikan sebuah segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.

Tentukan:a) panjang AC

2. Sebuah segitiga siku-siku.

Diketahui nilai dari sin β = 2/3. Tentukan nilai dari :a) cos βb) tan β

3. Seorang anak berdiri 20 meter dari sebuah menara seperti gambar berikut.

Perkirakan ketinggian menara dihitung dari titik A! Gunakan √2 = 1,4 dan √3 = 1,7 jika diperlukan.

4. Nilai dari cos 315° adalah....5. Segitiga KLMKLM siku-siku di LL.

Jika sinM=23sinM=23 dan KL=√ 20  cmKL=20 cm, maka panjang sisi KM=⋯ cmKM=⋯ cm.

VektorPengertian VektorVektor merupakan sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor digambarkan sebagai panah dengan yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya disebut besar vektor. Dalam penulisannya, jika vektor berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diatasnya ada tanda garis/ panah seperti   atau   atau juga:

Misalkan vektor   merupakan vektor yang berawal dari titik   menuju titik   dapat digambarkan koordinat cartesius dibawah. Panjang garis sejajar sumbu x adalah   dan panjang garis sejajar sumbu y adalah   merupakan komponen-komponen vektor  .

Komponen vektor   dapat ditulis untuk menyatakan vektor secara aljabar yaitu:

 atau Jenis-jenis VektorAda beberapa jenis vektor khusus yaitu: Vektor Posisi

Suatu vektor yang posisi titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A  Vektor Nol

Suatu vektor yang panjangnya nol dan dinotasikan  . Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.

Vektor satuan

Suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari   adalah: Vektor basis

Vektor basis merupakan vektor satuan yang saling tegak lurus. Dalam vektor ruang dua

dimensi   memiliki dua vektor basis yaitu  dan  . Sedangkan dalam

tiga dimensi   memiliki tiga vektor basis yaitu  ,  ,

dan  .

Vektor di R^2

Panjang segmen garis yang menyatakan vektor   atau dinotasikan sebagai   Panjang vektor sebagai:

Panjang vektor tersebut dapat dikaitkan dengan sudut   yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x. positif.

Vektor dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis   dan   berikut:

Operasi Vektor di R^2Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^2Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor secara

aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak. Jika   

dan   maka:

Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah:

Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:

Sifat-sifat dalam penjumlahan vektor sebagai berikut:

Perkalian vektor di R^2 dengan skalar

Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika   adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:

Dengan ketentuan: Jika k > 0, maka vektor   searah dengan vektor  Jika k < 0, maka vektor   berlawanan arah dengan vektor  Jika k = 0, maka vektor   adalah vektor identitas 

Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah:

Secara aljabar perkalian vektor   dengan skalar k dapat dirumuskan:

Perkalian Skalar Dua Vektor di R^2Perkalian skalar dua vektor disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan ditulis sebagai:

 (dibaca : a dot b)Perkalaian skalar vektor   dan   dilakukan dengan mengalikan panjang vektor   dan panjang vektor   dengan cosinus  . Sudut   yang merupakan sudut antara vektor  dan vektor  .Sehingga:

Dimana:

Perhatikan bahwa: Hasil kali titik dua vektor menghasilkan suatu skalar

Vektor di R^3Vektor yang berada pada ruang tiga dimensi (x, y, z).jarak antara dua titik vektor dalam   dapat diketahui dengan pengembangan rumus phytagoras. Jika titik   dan titik   maka jarak AB adalah:

Atau jika  , maka

Vektor   dapat dinyatakan dalam dua bentuk, yaitu dalam kolom   atau

dalam baris  . Vektor juga dapat disajikan sebagai kombinasi

linier dari vektor basis   dan   dan   berikut:

Operasi Vektor di R^3Operasi vektor di   secara umum, memiliki konsep yang sama dengan operasi vektor di   dalam penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian.Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3Penjumlahan dan pengurangan vektor di   sama dengan vektor di   yaitu:

Perkalian vektor di R^3 dengan skalarJika   adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:

Hasil kali skalar dua vektorSelain rumus di  , ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor. Jika   

dan   maka   adalah:

Proyeksi Orthogonal vektorJika vektor   diproyeksikan ke vektor   dan diberi nama   seperti gambar dibawah:

Diketahui:

Sehingga:

 atau Untuk mendapat vektornya:

Contoh Soal Vektor dan PembahasanContoh Soal 1Diketahui titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Jika titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p+q.Pembahasan 1:Jika titik-titik A, B, dan C segaris maka vektor   dan vektor   bisa searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan membentuk persamaan

Jika B berada diantara titik A dan C, diperoleh:

sehingga:

Maka kelipatan m dalam persamaan:

Diperoleh:

disimpulkan:p+q=10+14=24

Contoh Soal 2

Jika diketahui vektor pada titik A dan titik B dan vektor pada titik C yang berada diantara garis Ab seperti gambar dibawah. Tentukan persamaan vektor C.

Pembahasan 2:Dari gambar dapat diketahui bahwa:  sehingga 

Sehingga:

Contoh Soal 3Misalkan vektor   dan vektor  . Jika panjang proyeksi vektor a ̅  pada   adalah 4. Maka tentukan nilai y.

Pembahasan 3:Diketahui:

Maka:

12=8+2yy=2

Barisan dan Deret – Aritmatika, Geometri, Tak Hingga

Barisan merupakan urutan dari suatu anggota-anggota himpunan berdasarkan suatu aturan tertentu. Setiap anggota himpunan diurutkan pada urutan/suku pertama, kedua, dan seterusnya. Untuk menyatakan urutan/suku ke-n dari suatu barisan dinotasikan  . Barisan juga dapat didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya himpunan bilangan asli. Sehingga, 

Misalkan  , maka suku ke-4 dari baris tersebut adalah  .Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Penjumlahan suku-suku tersebut bisa dibuat dalam bentuk sigma. Barisan dari suku U1, U2, U3, …, Un yang dinyatakan dalam fungsi f(n) = Un    memiliki deret sebagai:

Baris AritmatikaBaris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Sehingga:

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b). rumusannya berikut ini:

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama   dan selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan nilai   adalah:

Deret AritmatikaDeret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai:

atau sebagai:

Jika hanya diketahui nilai a dalalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:

.

.

Sehingga diperoleh  .SisipanJika hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika dan memiliki selisih antar suku beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 dan diurut berupa:

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b)Diketahui bahwa suku terakhir:

(a + (q+1)b) = p

Maka, nilai b dapat ditentukan sebagai:

Misalkan a= 1 dan p = 9, jika disisipkan 3 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan aritmatikanya adalah: Nilai q = 3 Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5

Baris aritmatika : 1, 3, 5, 7, 9

Suku TengahJika barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka memiliki suku tengah. Suku tengah baris

aritmatika adalah suku ke-   . Jika diselesaikan dalam rumus , maka nilai suku tengah didapatkan:

Barisan GeometriBaris geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga:

Sebagai contoh baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dengan nilai

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r). Rumusannya berikut ini:

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama    dan rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 dan nilai   adalah:

Deret GeometriDeret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai:

Atau sebagai:

Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai Un adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

dengan syarat 0 < r < 1.Atau:

dengan syarat r> 1.Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dengan deret aritmatika yaitu:

SisipanJika hendak membuat sebuah baris geometri dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris geometri dan memiliki rasio antar suku beredekatan (r). Baris tersebut memiliki banyak suku q + 2 dan diurutkan menjadi:

a, ar, ar2, ar3, …,arq, ar(q+1)

Dimana suku terakhir tersebut:ar(q+1) = p

Sehingganilai r dapat ditentukan sebagai:

Deret Geometri Tak hinggaSuatu deret geometri dapat menjumlakan suku-sukunya sampai menuju tak hingga. Apabila deret geometri menuju tak hingga dimana  , maka deret ini dapat dijumlah menjadi:

Atau sebagai :

Deret geometri tak hingga terdiri dari 2 jenis yaitu konvergen dan divergen. Deret geometri tak hingga bersifat konvergen jika penjumlahan dari suku-sukunya menuju atau mendekati suatu bilangaan tertentu. Sedangkan bersifat divergen jika penjumlahan dari suku-sukunya tidak terbatas. Nilai deret geometri tak hingga dapat diperoleh dengan mengunakan limit. Sebelumnya diketahui bahwa nilai deret geometri  adalah:

Dimana terdapat unsur   didalam perhitungannya yang terpengaruh jumlah suku n. Jika  , maka untuk menentukan nilai   dapat menggunakan limit yaitu:

dengan syarat -1 < r < 1.Dan:

dengan syarat r < -1 atau r > 1.Kemudian hasil limit   tersebut dapat dimasukan kedalam perhitungan deret sebagai:

dengan syarat -1 < r < 1Dan:

dengan syarat r < -1 atau r > 1.Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika/Geometri dan Pembahasan1. Contoh Soal Deret AritmatikaSuatu deret aritmatika memiliki suku ke-5 sama dengan 42, dan suku ke-8 sama dengan 15. Jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah?Pembahasan: Diketahui bahwa  ,  , maka dapat digunakan rumus :

Dimana:

Sehingga:

Diperoleh:

2. Contoh Soal Deret GeometriJika jumlah 2 suku pertama deret geometri adalah 6 dan jumlah 4 suku pertama adalah 54. Memiliki rasio positif. Maka tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut!

Pembahasan: Diketahui bahwa:

dan

Jika kedua persamaan disubstitusikan :

Dan

Sehingga :

3. Contoh Soal Geometri Tak Hingga

Jika   maka jumlah deret geometri tak hingga   adalah?(SPMB 2005)Pembahasan 3: Diketahui bahwa:

  atau   Ditentukan ratio deretnya adalah:

Maka jumlah deretnya dengan mensubstitusi   adalah:

LATIHAN :1. Suatu barisan aritmatika mempunyai jumlah suku ganjil. Apabila suku

pertamanyanya 4 atau suku terakhirnya yaitu 20, maka dari suku tengahnya adalah …

2. Suku ke-15 dari barisan: 2, 5, 8, 11, 14, … ialah…3. Diketahui juga deret aritmatika 17, 20, 23, 26, … Jumlah 30 suku pertama deret

tersebut adalah…4. Diketahui suatu barisan geometri di mana untuk mencari suku Un.Tentukanlah suku

Un yang ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2,…. tersebut!

5. Dalam sebuah deret geometri diketahui U1 = 6 dan U5 = 486. Berapakah besar rasionya ?

Matriks Dasar – Pengertian, Jenis, Transpose, dsb

Pengertian Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun secara baris atau kolom atau kedua-duanya dan di dalam suatu tanda kurung. Bilangan-bilangan yang membentuk suatu matriks disebut sebagai elemen-elemen matriks. Matriks digunakan untuk menyederhanakan penyampaian data, sehingga mudah untuk diolah.

Diketahui jumlah penjualan mobil jenis A, B, dan C, dengan harga jual masing-masing 146, 275, dan 528 (dalam juta) pada kota-kota P, Q, R, adalah :

JENIS MOBILHARGA MOBIL (JUTA)

JUMLAH PENJUALAN TIAP KOTA (UNIT)KOTA P KOTA Q KOTA R

A 146 34 56 41B 275 45 36 37C 528 51 32 46Data penjualan mobil tersebut dapat dibuat dalam bentuk matriks sebagai berikut :

Matriks harga mobil adalah 

Matriks jumlah penjualan adalah Lebih sederhana bukan?

Ordo Matriks

Dijelaskan sebelumnya matriks terdiri dari unsur-unsur yang tersusun secara baris dan kolom. Jika banyak baris suatu matriks adalah m, dan banyak kolom suatu matriks adalah n, maka matriks tersebut memiliki ordo matriks atau ukuran m x n. Perlu diingat bahwa m dan n hanya sebuah notasi, sehingga

tidak boleh dilakukan sebuah perhitungan (penjumlahan, perkalian). Pada contoh matriks jumlah penjualan mobil diatas diketahui bahwa:

Banyak baris, m = 3 Banyak kolom, n = 3 Ordo matriks,  m x n = 3 x 3

Penamaan/notasi matriks menggunakan huruf kapital, sedangkan elemen-elemen di dalamnya dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan penamaan matriks dan diberi indeks ij. Indeks tersebut menyatakan posisi elemen matriks, yaitu pada baris i dan kolom j. Sebagai contoh, matriks sebelumnya untuk penjualan mobil:

Dimana,   adalah elemen matriks yang berada pada baris ke-1 (i = 1) dan kolom ke-2 (j = 2). Begitu juga dengan elemen matriks yang lainnya.

Pada matriks terdapat dua jenis diagonal, yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan elemen-elemen dengan  yang bisa membentuk garis miring. Diagonal sekunder merupakan kebalikan dari garis miring diagonal utama. Perhatikan matriks berikut:

Diagonal utama adalah elemen 34, 36, 46, sedangkan diagonal sekunder adalah elemen 41, 36, 51.

Matriks Identitas

Matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1 disebut matriks identitas. Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan “I”. Contoh:

 atau 

Jenis-jenis Matriks

Matriks dapat dikelompokan ke beberapa jenis berdasarkan pada jumalah baris dan kolom serta pola elemen matriksnya sebagai berikut :

1. Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Sedangkan, matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Contoh:

A = (1  4) atau B = (3  7  9) adalah matriks baris

 atau   adalah matriks kolom

2. Matriks Persegi

Matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama disebut matriks persegi. Matriks persegi memiliki ordo n.

Contoh:

 adalah matriks persegi berordo 3, atau

 adalah matriks persegi berordo 2.

3. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah

Matriks persegi A yang memiliki elemen matriks   untuk   atau elemen-elemen matriks dibawah diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks   untuk   atau elemen-elemen matriks diatas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.

Contoh:

 adalah matriks segitiga atas,

 adalah matriks segitiga bawah.

4. Matriks Diagonal

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks   untuk   atau elemen-elemen matriks diluar diagonal utama bernilai 0 disebut matriks diagonal.

Contoh:

 atau 

5. Matriks Skalar

Matriks diagonal yang memiliki elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.

Contoh:

 atau 

6. Matriks Indentitas

Sudah dijelaskan di atas.

7. Matriks Simetris

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks baris ke-I sama dengan elemen matriks kolom ke-j untuk i = j disebut simetris. Atau, dapat dikatakan elemen   sama dengan elemen  .

Contoh:

Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2, dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.

Transpose Matriks

Transpose matriks merupakan perubahan baris menjadi kolom dan sebaliknya. Transpose matriks dari   adalah sebuah matriks dengan ukuran (n x m) dan bernotasi AT. Jika matriks A ditanspose, maka baris 1 menjadi kolom 1, baris 2 menjadi kolom 2, dan begitu seterusnya.Contoh:

 ditranspose menjadi  .

Sifat dari transpose matriks:  .

Contoh Soal dan Pembahasan

Jika   dan Jika  , maka agar  , berapakah nilai c?

Pembahasan:

Diketahui bahwa 

Sehingga didapat 4 persamaan baru dari elemen-elemen matriksnya, yaitu:

     (persamaan ke-1) 2 = a     (persamaan ke-2) b = 2a + 1     (persamaan ke-3)

     (persamaan ke-4)Dari persamaan tersebut dapat dilakukan substitusi persamaan untuk memperoleh nilai c, yaitu:

a = 2, maka:

b = 2a + 1 = 2(2) + 1 = 5 dan

.