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Probabilidade e Estatística I – Antonio Roque – Aula 14

1

Contagem Muitos problemas de probabilidades envolvem o uso de conceitos da análise combinatória. Esta

aula tem por objetivo fazer uma revisão dessa área da matemática e apresentar algumas aplicações

em biologia.

A Regra Fundamental da Contagem Suponha que dois alunos de graduação em biologia fazem um exame. Há dois resultados possíveis,

passar ou não passar. Com relação aos dois alunos, pode haver quatro resultados possíveis.

1. Os dois passam;

2. O primeiro passa e o segundo não passa;

3. O primeiro não passa e o segundo passa;

4. Os dois não passam.

Podemos representar essas quatro possibilidades por meio de uma tabela 2x2 (usando P para

representar passar no exame e R para representar ser reprovado no exame).

Aluno 1

Aluno 2

P R

P PP PR

R RP RR

O número de possibilidades é 2 x 2 = 4, pois para cada uma das duas possibilidades do primeiro

aluno existem duas possibilidades para o segundo aluno.

Uma maneira alternativa de olhar para este problema é a seguinte. Imagine que há dois espaços, um

para o aluno 1 e outro para o aluno 2,

.

O primeiro espaço pode ser preenchido de duas maneiras diferentes (P ou R), de maneira que

escrevemos um 2 no espaço,

.

De maneira similar, o segundo espaço pode ser preenchido de duas maneiras diferentes (P ou R), o

que nos leva a escrever um 2 nele também,


2

.

O número de maneiras em que os dois espaços podem ser preenchidos é então dado pela

multiplicação dos números em cada espaço,

2 x 2 = 4.

Considere agora que o primeiro aluno fará um exame em que ele pode passar ou ser reprovado, mas

que o segundo aluno fará uma prova cuja nota será um conceito, A, B, C, D ou E. Qual o número de

possibilidades para os dois alunos agora?

Usando a representação em forma de tabela:

Aluno 1

Aluno 2

A B C D E

P PA PB PC PD PE

R RA RB RC RD RE

Usando a representação em forma de espaços:

.

O número de possibilidades é agora 2 x 5 = 10.

Exemplo 1. Joga-se um par de dados. Um é vermelho e o outro é branco. Cada dado tem seis faces.

O número de possibilidades é,

.

6 x 6 = 36.

Exemplo 2. Jogam-se uma moeda e um dado. A moeda tem duas faces e o dado tem seis. O número

de possibilidades é 2 x 6 = 12.

Exemplo 3. Dois alunos fazem uma prova cujo conceito pode ser A, B, C, D ou E. O número de

possibilidades é 5 x 5 = 25.


3

Exemplo 4. Uma cadeia dipeptídica contém dois aminoácidos, o primeiro (1) e o segundo (2).

Cada um pode ser um de um conjunto de 20 aminoácidos. O número de cadeias dipeptídicas

teoricamente possíveis é,

,

20 x 20 = 400.

Exemplo 5. Um pesquisador conseguiu determinar que o primeiro aminoácido de um dipeptídeo

particular é um dentre três aminoácidos. Ele não tem idéia sobre qual pode ser o segundo

aminoácido, só sabe que ele pode ser um dos 20 que ocorrem naturalmente. O número de

possibilidades teóricas para a sua cadeia dipeptídica é 3 x 20 = 60.

Podemos agora formular o princípio que nos ajudou a fazer todos os cálculos acima:

Regra Fundamental da Contagem.

Suponha que uma coisa possa acontecer de n1 maneiras. Suponha que, independentemente da

maneira como essa coisa aconteça, uma segunda coisa possa acontecer de n2 maneiras. Então,

o número de maneiras possíveis em que as duas coisas podem acontecer é n1 x n2.

Note que esta regra não foi provada. Nós a aceitamos com base no fato de que ela corresponde à

maneira natural como contamos as coisas. Esta regra não provada é o ponto de partida da teoria da

contagem e todos demais resultados dessa teoria decorrem dela.

Extensão da Regra Fundamental da Contagem

Podemos estender a regra fundamental da contagem mostrada acima para determinar o número de

maneiras em que mais de duas coisas podem acontecer.

Por exemplo, suponha que três alunos façam um exame e que os resultados possíveis sejam passar e

ser reprovado. O número de possibilidades para o grupo de três alunos é agora 8, como pode ser

visto na tabela abaixo:


4

Aluno 1 Aluno 2 Aluno 3

(1) P P P

(2) P P R

(3) P R P

(4) P R R

(5) R P P

(6) R P R

(7) R R P

(8) R R R

Esse resultado pode ser obtido com uma simples extensão da regra fundamental da contagem.

Temos agora três espaços, um para cada aluno, e em cada um podem ocorrer duas coisas,

.

Desta forma, o número de possibilidades é 2 x 2 x 2 = 8.

Note que poderíamos ter agrupado os casos dos alunos 1 e 2 e um só para usar a versão original da

regra fundamental da contagem,

.

O grupo dos dois primeiros alunos pode ter 4 possibilidades, que acopladas com as duas

possibilidades do terceiro aluno nos dão oito possibilidades,

4 x 2 = 8.

De maneira geral, se temos três coisas que podem acontecer de n1, n2, e n3 maneiras,

respectivamente, o número total de possibilidades de ocorrências para as três coisas é

n1 x n2 x n3 = n1n2n3.

Exemplo 1. Os alunos 1 e 2 fazem um exame em que podem passar ou ser reprovados e o aluno 3

faz uma prova em que pode obter conceitos A, B, C, D ou E. O número de resultados possíveis é 2

x 2 x 5 = 20.


5

Exemplo 2. Em uma cadeia com três nucleotídeos cada um pode ser de um entre quatro tipos (A, C,

G ou T). O número de seqüências de três nucleotídeos é então 4 x 4 x 4 = 64.

O que foi visto acima pode ser generalizado para o caso em que há mais de três coisas que podem

acontecer.

Regra da Contagem

Se uma primeira coisa pode ocorrer de n1 maneiras, uma segunda coisa pode ocorrer de n2

maneiras, uma terceira coisa pode ocorrer de n3 maneiras, ..., e finalmente uma k-ésima coisa

pode ocorrer de nk maneiras, então o número de maneiras em que todas as coisas podem

ocorrer juntas é,

n1 x n2 x n3 x ... x nk,

desde que a primeira coisa possa ocorrer de n1 maneiras independentemente do que ocorra

com as outras coisas, a segunda coisa possa ocorrer de n2 maneiras independentemente do que

ocorra com as outras coisas, ..., e a k-ésima coisa possa ocorrer de nk maneiras

independentemente do que ocorra com as outras coisas.

Exemplo 1. Existem quatro estudantes que fazem uma prova, podendo cada um tirar conceito A, B,

C, D ou E. O número de possibilidades é,

5 x 5 x 5 x 5 = 54 = 625.

Exemplo 2. Existem dez alunos que farão um exame, podendo cada um passar ou ser reprovado. O

número de possibilidades é,

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 210 = 1024.

Exemplo 3. Suponha que k coisas aconteçam, cada uma podendo ocorrer de n maneiras

independentemente do que ocorra com as demais. O número de possibilidades é,

.

Exercícios.

1. Jogam-se quatro moedas, cada uma podendo cair cara ou coroa. Quantos resultados diferentes

podem ocorrer?

2. Duas moedas são jogadas e uma “roda da fortuna” é girada (com 36 possíveis resultados de

parada). Quantos resultados diferentes são possíveis?


6

3. Cinco estudantes fazem uma prova com cinco resultados possíveis (A, B, C, D ou E) e outros

dois estudantes fazem um exame em que podem passar ou ser reprovados. Quantos resultados

são possíveis?

4. Um botânico faz um exame em cinco árvores de uma floresta para identificar sinais de um certo

tipo de infestação. Cada árvore pode ser classificada como tendo “alto grau de infestação” (A),

“baixo grau de infestação” (B) ou como “não tendo infestação” (N). De quantas maneiras

diferentes o botânico pode classificar as cinco árvores?

5. Um octanucleotídeo é uma cadeia com oito nucleotídeos. Cada nucleotídeo contém ou uma

adenina (A), ou uma citosina(C), ou uma guanina (G), ou uma uracila (U). Por exemplo, dois

octanucleotídeos diferentes são: ACGUUUGC e CGUUUGCA. Quantos octanucleotídeos

diferentes são possíveis teoricamente?

Exemplo 4: Comportamento de lobos1.

Suponha que um grupo de lobos (três machos e duas fêmeas) é mantido em condições semi-naturais

em uma reserva natural. Uma zoóloga que estuda o comportamento social dos lobos faz

observações durante o período de acasalamento e registra os padrões de cortejo do grupo. Durante

intervalos diários de tempo, ela registra se cada macho corteja ou não cada fêmea e vice-versa. Um

exemplo de um possível registro para um intervalo de tempo é o seguinte:

Cada seta na figura acima indica que há um cortejo. Então, a fêmea 1 corteja tanto o macho 1 como

o macho 2; a fêmea 2 corteja o macho 2; e o macho 1 corteja a fêmea 1. O macho 3 não corteja e

não é cortejado por nenhuma fêmea. Por convenção, a existência de uma seta indica apenas que

houve um cortejo e não quantas vezes ele ocorreu durante um intervalo de tempo.

1 Veja a referência: Rabb, G.B., Woolpy, J.H. and Ginsburg, B.E. “Social relationships in a group of captive wolves”, American Zoologist, Vol. 7 (No. 7), 305-311 (1967).


7

Durante um intervalo de tempo, é possível que cada macho corteje todas as fêmeas e que cada

fêmea corteje todos os machos. Também é possível que não haja qualquer cortejo. Essas duas

possibilidades estão representadas pelas figuras abaixo.

Uma questão que a zoóloga quer saber é quantos padrões de cortejo diferentes podem ocorrer. Para

resolver isso, ela vai usar a regra da contagem. Para cada par de macho e fêmea existem quatro

possibilidades de cortejo, indicadas pela figura abaixo.

Quantos pares de macho e fêmea são possíveis? Como existem três machos e duas fêmeas, a regra

da contagem nos dá que o número de pares possíveis é 3 x 2 = 6. Para cada par existem os quatro

comportamentos de cortejo possíveis ilustrados acima. Então, a regra da contagem nos dá que o

número de possibilidades de padrões de cortejo é:

4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 46 = 4096.

Este é um número bastante grande.

Podemos agora resolver o problema geral de calcular o número de padrões de cortejo possíveis

quando há n fêmeas e m machos. Neste caso, pela regra da contagem existem nm pares possíveis. E

cada par pode ter quatro possibilidades de interação. Logo, a regra da contagem nos dá que o

número total de possibilidades de padrões de cortejo é:


8

.

Por exemplo, com dois machos e quatro fêmeas o número de possibilidades é 48 = 65.536.

Considere agora que, em um grupo de m machos e n fêmeas, por algum motivo um dos machos não

pode cortejar (por exemplo, ele pode estar doente). Quantos padrões de cortejo são possíveis neste

caso?

Primeiramente, vamos considerar o que acontece nos pares do macho que não corteja com as

fêmeas. Como ele não corteja, existem agora apenas duas possibilidades para tais pares, ilustradas

abaixo:

O número de pares envolvendo o macho que não corteja é n (o número de fêmeas). Portanto, o

número de possíveis padrões de cortejo envolvendo o macho que não corteja é 2n. Descontando o

macho que não corteja, o número de machos restante é (m – 1). Esses machos podem cortejar as

fêmeas como no caso do problema anterior. Portanto, o número total de possibilidades de cortejos

para esses (m – 1) machos e as n fêmeas é 4n(m – 1). Desta forma, o número total de possíveis padrões

de cortejo para o grupo completo é:

2n.4n(m – 1).

O tipo de problema que se quer responder pode ficar tão complexo quanto se queira. Por exemplo,

suponha um outro caso com m machos e n fêmeas. O macho 1 é fiel à fêmea 1, ou seja, ele não

corteja com outras fêmeas, mas pode cortejar ou não com a fêmea 1. Já a fêmea 1 pode cortejar com

qualquer macho, incluindo o macho 1. No entanto, a fêmea 1 tem ciúmes do macho 1 e não deixa

que outras fêmeas o cortejem. Quantos padrões diferentes de cortejo existem neste caso?


9

Consideremos primeiro o par envolvendo o macho 1 e a fêmea 1. Para este par, existem as quatro

possibilidades normais. Consideremos agora os pares envolvendo o macho 1 e as outras (n – 1)

fêmeas. Como o macho 1 não corteja essas fêmeas e a fêmea 1 não deixa que elas cortejem o macho

1, para cada um desses (n – 1) pares só existe uma possibilidade: ninguém se corteja. Finalmente,

consideremos os pares envolvendo os outros (m – 1) machos com todas as n fêmeas (incluindo a

fêmea 1). Para esses n(m – 1) pares existem as 4n(m – 1) possibilidades usuais. Logo, o número total

de possibilidades para este caso é dado por:

41.1(n – 1).4n(m – 1) = 4.4n(m – 1) = 4nm – m + 1.

A Regra da Contagem Aplicada a Permutações, Arranjos e Combinações

De quantas maneiras diferentes as letras A, B e C podem ser arranjadas em uma seqüência?

Por experimentação, chegamos às seis possibilidades abaixo:

ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA.

Podemos, porém, abordar o problema segundo a regra da contagem. Existem três espaços:

.

No primeiro espaço, podemos colocar qualquer uma das três letras, A, B ou C. Ou seja, temos três

possibilidades de preenchê-lo:

.

Qualquer que seja a letra colocada no primeiro espaço, restam apenas duas para serem colocadas no

segundo. Temos, então, duas possibilidades para o segundo espaço:

.

Já tendo preenchido os dois primeiros espaços, resta apenas uma opção para o terceiro:

.

Usando agora a regra da contagem, temos que o número total de maneiras diferentes de preencher

os três espaços é:


10

3 x 2 x 1 = 6.

Generalizando, suponha que tenhamos n coisas diferentes para arranjar em uma seqüência. O

número de diferentes arranjos possíveis é:

n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 2 x 1.

Uma maneira conveniente de escrever este número é usando a seguinte definição:

Definição do Fatorial de um Número:

Se n for um inteiro positivo, o símbolo n! (lê-se “n fatorial”) é usado para denotar o produto dos n

primeiros inteiros positivos:

n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n – 1) x n.

Como um caso especial, se n = 0 define-se:

0! = 1.

Portanto, se n = 6:

6! = 1.2.3.4.5.6 = 720.

É comum escrever o produto de inteiros em um fatorial na ordem decrescente:

n! = n x (n – 1) x ... x 3 x 2 x 1 = 1 x 2 x 3 x ... x (n – 1) x n.

Propriedades do fatorial:

• (n + m)! ≠ n! + m!; por exemplo, (5 + 3)! = 8! = 40320 ≠ 5! + 3 ! = 120 + 6 = 126.

• n! = n x (n – 1)!; por exemplo, 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 7 x 6!

• 1!!).1(

!)!1(

+=+

=+ n

nnn

nn ; por exemplo, .5047.8.9

!6!6.7.8.9

!6!9

===

Com base na definição de fatorial, podemos reescrever o número de arranjos de n objetos diferentes

em uma seqüência como o fatorial de n:

n x (n – 1) x ... x 3 x 2 x 1 = n!.

Este número também é chamado de número de permutações de n objetos distintos, ou

simplesmente permutação de n, representado por Pn (portanto, Pn = n!).

Exemplo: Quatro grãos de pólen de plantas diferentes serão colocados em uma lâmina de

microscópio para observação. De quantas maneiras distintas eles poderão ser arranjados em linha?

O número de maneiras distintas é dado por 4! = 4.3.2.1 = 24.


11

A permutação de n objetos se aplica ao problema em que temos n objetos distintos para serem

arranjados em n posições diferentes em uma seqüência. No entanto, às vezes temos problemas

diferentes para resolver, como o dado a seguir.

Suponha que tenhamos quatro letras, A, B, C e D, mas apenas dois espaços para arranjá-las. De

quantas maneiras distintas podemos arranjar as quatro letras nos dois espaços?

Novamente, por experimentação chegamos a 12 arranjos diferentes:

AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, e DC.

Este número pode ser obtido pela regra da contagem. Temos dois espaços:

.

O primeiro espaço pode ser ocupado por cada uma das quatro letras e, uma vez escolhida uma letra,

o espaço restante pode ser ocupado por cada uma das três letras restantes:

.

O número de possibilidades distintas é 4 x 3 = 12.

Podemos generalizar este problema para o caso em que temos n objetos distintos e apenas r deles

devem ser arranjados em r posições:

.

A primeira posição pode ser preenchida por cada um dos n objetos e, portanto, temos n

possibilidades de preenchê-la. A segunda posição pode receber qualquer um dos (n – 1) objetos

restantes, de maneira que temos (n – 1) diferentes maneiras de preenchê-la. Para a terceira posição,

temos (n – 2) objetos sobrando, o que nos dá (n – 2) maneiras diferentes de preenchê-la:

.


12

De quantas maneiras diferentes podemos preencher a r-ésima posição? Sabemos que (r – 1) objetos

já foram usados para preencher as (r – 1) primeiras posições. Portanto, o número de objetos restante

é n – (r – 1) = n – r + 1. Este é o número de possibilidades de se preencher a r-ésima posição:

.

Usando a regra da contagem, temos que o número de arranjos de n objetos em r posições é:

n x (n – 1) x (n – 2) x ... x (n – r + 1).

Este resultado pode ser posto em notação fatorial. Note que,

n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ... x (n – (r – 1)) x

(n – r) x (n – (r + 1)) x ... x 2 x 1,

onde escreveu-se o resultado em duas linhas apenas para facilitar o entendimento. O termo da

primeira linha é o resultado que queremos e o termo da segunda linha é (n – r)!. Portanto,

).1()2)(1())1(()2)(1()!(!

+−−−=−−−−=−

rnnnnrnnnnrnn

……

Podemos então escrever o resultado geral:

Dados n objetos distintos, o número de maneiras de se escolher r desses objetos e arranjá-los

em linha é:

.)!(!rnn−

Um símbolo que se costuma usar para expressar este número é An,r, que se lê: arranjo de n objetos

tomados r a r. Então:

.)!(!

, rnnA rn −

=

Exemplo: Em uma população há 7 fêmeas e 3 machos. Cada macho deve se acasalar com uma, e

apenas uma fêmea. Cada fêmea pode se acasalar com apenas um macho por vez. Quantos padrões

de acasalamento diferentes existem para a população?


13

Podemos resolver este problema tratando as sete fêmeas como se fossem sete letras, A, B, C, D, E,

F e G, e os três machos como se fossem três posições . Quando uma letra está em

uma posição, ela não pode estar nas outras e cada posição só pode receber uma letra por vez.

Portanto, o número de padrões de acasalamento distintos é:

.2105.6.7!4!7

)!37(!7

3,7 ===−

=A

Consideremos agora o seguinte problema: Suponhamos que temos três letras, A, A e B, sendo que

duas delas (os As) são idênticas. De quantas maneiras diferentes podemos arranjar essas três letras

em uma seqüência?

Por experimentação, vemos que há três maneiras distintas:

BAA, ABA e AAB.

Como podemos encontrar uma fórmula para isso usando fatoriais?

Pensemos da seguinte maneira: Suponhamos, por um momento, que os dois As não são iguais, por

exemplo, vamos chamá-los de A1 e A2. Então, poderíamos arranjar as três letras de 3! = 6 maneiras

diferentes: BA1A2, BA2A1, A1BA2, A2BA1, A1A2B e A2A1B.

Podemos organizar estas seis permutações em famílias, sendo que cada família contém aquelas

permutações que ficariam idênticas se os dois As diferentes voltassem a ser iguais:

{BA1A2, BA2A1} {A1BA2, A2BA1} {A1A2B, A2A1B}

Família 1: BAA Família 2: ABA Família 3: AAB

Note que o número de elementos em cada família é igual ao número de permutações dos As

diferentes: como temos dois As diferentes, esse número é 2! = 2.1 = 2.

Quando os As voltam a ser iguais, os elementos de uma mesma família ficam todos iguais.

Portanto, o número de famílias é a resposta para o nosso problema: o número de arranjos distintos

quando os As são idênticos. Vamos chamar o número de famílias de R (de resposta). Multiplicando

R pelo número de elementos em cada família, temos o número total de permutações quando os As

são diferentes:


14

.326

!2!3!3!2. ===⇒= RR

Observe que 3 é o número de letras e que 2 é o número delas que são iguais. Portanto,

generalizando, temos que o número de permutações distintas de n objetos quando r deles são

idênticos é:

.!!rn

Este resultado pode ser generalizado para o caso em que temos mais de uma classe de elementos

indistinguíveis. Por exemplo, considere o caso em que temos quatro letras: A, A, B e B. Os dois As

são indistinguíveis entre si e os dois Bs são indistinguíveis entre si. De quantas maneiras diferentes

podemos arranjá-los em linha?

Por experimentação, vemos que as maneiras distintas são seis:

AABB, BBAA, ABAB, BABA, ABBA, BAAB.

Este número pode ser determinado a partir do uso repetido da fórmula anterior:

Podemos escrever isto como:

.6424

!2!2!4

==

Suponha agora que tenhamos as seguintes 8 letras: AAABBCDD (4 As, 2 Bs, 1 C e 2 Ds). De

quantas maneiras diferentes podemos arranjá-las? Veja o desenho abaixo:


15

Isto pode ser expresso em termos de uma fórmula como:

.16802440320

!2!2!3!8

==

O resultado geral é o seguinte:

O número de permutações distintas de n objetos quando a deles são iguais entre si, outros b

são iguais entre si, outros c são iguais entre si etc, é:

.!!!!…cba

n

Exemplo: Uma molécula de ácido nucléico pode ser imaginada como uma permutação de bases (ou

letras) de quatro tipos: C, A, G, e U.

a. Quantas moléculas possíveis de ácido nucléico com 8 bases podem ser formadas com 2 Cs,

4 Us, 1 A e 1G?

b. Sabe-se que uma molécula de ácido nucléico com 10 bases tem 5 Us, 2 As, 2 Gs e 1 C.

Quantas moléculas hipotéticas podem existir com essa configuração?

Respostas:

a. .8404840320

!4!2!8

== b. .75604

6.7.8.9.10!2!2!5!10

==

Seja agora o seguinte problema: suponha que tenhamos três letras, A, B e C, e queiramos tomar

duas delas. Porém, não estamos interessados em arranjá-las em linha de maneiras diferentes como

nos casos anteriores, mas queremos apenas saber quantos pares distintos podemos tomar sem nos

preocuparmos com a ordem dos elementos no par. Por exemplo, o par AB é considerado igual ao

par BA neste caso.


16

Por experimentação, temos que o número de pares distintos, sem levar em consideração a ordem

dos elementos, é 3:

AB, AC e BC.

Para encontrar uma fórmula que nos permita calcular a resposta para o problema, podemos

inicialmente considerar o caso em que temos que arranjar as três letras duas a duas. Já vimos

anteriormente que o número de possibilidades para esse caso é

( ) ( ).6

!23!3

!!

=−

=− rnn

Estes seis casos estão mostrados abaixo:

AB, BA, AC, CA, BC e CA.

No nosso problema atual, não estamos interessados na ordem das letras dentro de um par. Estamos

interessados na identidade dos elementos e não na sua posição. Segundo este critério, os seguintes

pares são indistinguíveis: AB e BA; AC e CA; BC e CA. Cada um desses três grupos pode ser

pensado como uma família de elementos indistinguíveis, para usar uma terminologia que já foi

usada anteriormente. E cada família é composta por dois elementos. A resposta para o nosso

problema é o número de famílias, que pode ser obtido dividindo-se o número total de arranjos

acima pelo número de permutações dentro de cada família, 2!:

.3!26=

Substituindo o 6 acima pela fórmula usada para o seu cálculo, chegamos à fórmula genérica para o

nosso problema:

( ).!!

!rnr

n−

O nome que se costuma dar ao número de possibilidades distintas de se retirar r elementos de um

total de n elementos sem se preocupar com a ordem em que eles são retirados ou arranjados, mas

apenas com a sua identidade, é combinação de n elementos tomados r a r. Usa-se a notação Cn,r

para representar essa combinação.

Podemos então escrever o resultado geral:

Dados n objetos distintos, o número de maneiras de se combinar r desses objetos, isto é de

arranjá-los em grupos de r elementos sem se preocupar com a ordem dos elementos no

arranjo, é:


17

( ).!!

!, rnr

nC rn −=

Este número também é conhecido como número binomial, sendo também indicado como .⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

rn

Portanto:

( ).!!

!, rnr

nrn

C rn −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Exemplo 1: Um biólogo marinho tem em seu aquário 5 tartarugas marinhas. As cinco são

diferentes, seja por seu tamanho, peso ou sexo. O biólogo quer pegar duas delas para fazer um

experimento. De quantas maneiras diferentes ele pode pegar o par?

Resposta: Como o biólogo consegue diferenciar as cinco tartarugas, podemos chamá-las de t1, t2, t3,

t4 e t5. Vamos representar o par de tartarugas que ele pegar por (ti, tf), onde o primeiro termo

corresponde à tartaruga que ele pegar primeiro e o segundo termo corresponde à tartaruga que ele

pegar depois. Note, porém, que o biólogo não está interessado na ordem em que ele pega as

tartarugas, mas sim no par em si. Isto quer dizer que, por exemplo, o par (t2, t4) é igual ao par (t4, t2).

Desta forma, este problema pode ser resolvido usando-se a fórmula para o número de combinações

de 5 elementos tomados 2 a 2:

( ).10

24.5

!3!2!5

!25!2!5

2,5 ===−

=C

Exemplo 2: Uma pesquisadora tem quatro cobais para fazer um experimento, três machos e uma

fêmea. Após o experimento, as cobais serão sacrificadas para análise histológica. Supondo que elas

serão sacrificadas em seqüência (a primeira, a segunda, a terceira e a quarta a ser sacrificada), de

quantas maneiras diferentes os três machos podem ser combinados na seqüência?

Resposta: Podemos imaginar que a pesquisadora tenha dado nomes às cobaias para identificá-las.

No entanto, a pergunta só quer saber de quantas maneiras os três machos podem ser combinados

numa seqüência de quatro; ela não se interessa pela identidade das cobais, apenas pelo seu sexo. Por

tentativa, vemos que a resposta é 4:

MMMF, MMFM, MFMM, FMMM.

Esta resposta poderia ser calculada usando a fórmula da combinação de quatro elementos três a três:

.4)!34(!3

!43,4 =

−=C

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