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5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque Aula 19

1

Modos Normais de Vibração e Análise de Fourier

Na aula 16 deduzimos a equação de onda em 1 dimensão:

( ) ( )txt

y

vtx

x

y,

1,

2

2

22

2

∂

∂=

∂

∂. (1)

Nesta aula, vamos procurar soluções desta equação que

correspondam ao caso de ondas estacionárias numa corda, visto na

aula passada.

Isto significa que nosso problema nesta aula será procurar por

soluções da equação (1) que sejam do tipo

( )ϕω += txAtxy cos)(),( . (2)

Observe que uma situação como a da equação acima indica que

todos os pontos da corda vibram com a mesma frequência e a

mesma fase. Isto corresponde à definição de modo normal de

oscilação.

Portanto, ao procurar por soluções do tipo da equação (2) para a

equação de onda (equação 1), estaremos de fato procurando pelos

modos normais de oscilação da corda. A corda é um sistema

contínuo que pode ser imaginado como o caso limite de um sistema

de N partículas acopladas em um fio de comprimento L (como na

questão 1 da 2a lista de exercícios) quando N → ∞.


2

Neste processo imaginário, quando tomamos o limite N → ∞

devemos fazer com que o espaçamento l entre as partículas vá para

zero, de maneira que o comprimento da corda, L = (N + 1)l,

permaneça constante. Também devemos fazer com a massa de cada

partícula vá para zero, de maneira que a massa total da corda, M =

Nm, permaneça constante. Neste limite, os modos normais que vocês

determinarem na questão 1 da 2a lista corresponderão aos modos

normais de vibração da corda.

Nesta aula, vamos determinar os modos normais de vibração da

corda usando outra abordagem: ao invés de começar com um

sistema discreto de N partículas e considerar que ele tende à corda

no limite N → ∞, vamos começar diretamente tomando a corda

como um sistema contínuo que obedece a equação de ondas e

procurar por soluções do tipo da equação (2). Vamos lá então.

Para obter a solução de (1), devemos impor condições de contorno

ao problema. Vamos supor que a corda tenha comprimento L e que

esteja presa em suas duas extremidades, isto é, para qualquer

instante t:

0),(),0( == tLyty . (3)


3

Como estamos impondo uma solução do tipo (2) à equação (1), a

maneira de verificar se (2) é de fato solução de (1) é substituir (2)

em (1). Para fazer isso devemos calcular as derivadas segundas de

y(x, t) em relação a x e t:

( ) ( )ϕωωϕωω +−=∂

∂⇒+−=

∂

∂txA

t

ytxA

t

ycos)(sen)( 2

2

2

( ) ( )ϕωϕω +=∂

∂⇒+=

∂

∂t

dx

Ad

t

yt

dx

dA

x

ycoscos

2

2

2

2

.

Substituindo estas derivadas em (1) temos

( ) ( )ϕωω

ϕω +−=+ txAv

tdx

Adcos)(cos

2

2

2

2

,

ou

)(2

2

2

2

xAvdx

Ad ω−= . (4)

Lembrando que

vk

ω= , (5)

podemos reescrever (4) como

)()( 2

2

2

xAkdx

xAd−= . (6)


4

Esta equação já nos é familiar e sabemos que ela é satisfeita por uma

função seno ou por uma função cosseno. A solução geral é dada por

uma combinação linear das duas:

( ) ( )kxbkxaxA sencos)( += . (7)

Vamos agora aplicar as condições de contorno:

)(sen)(00)0( kxbxAaA =⇒=⇒= (8)

e

( ) ( ) 0sen0sen0)( =⇒=⇒= kLkLbLA , (9)

pois b não pode ser zero.

A condição (9) implica que

positivo) inteiro ( , ,3 ,2 , nnkL ππππ K= .

Portanto, a constante k só pode ter um dos seguintes valores:

.positivo) inteiro ( nL

nkn

π=

(10)

Note que k = 0 também seria possível, mas isto corresponderia à

solução A(x) = 0, que não oscila. Valores de n inteiros negativos

também são possíveis, mas o seu efeito (que seria trocar o sinal do

argumento do seno) pode ser absorvido pela constante de fase φ.

Note também que o conjunto de valores possíveis de k é discreto e

infinito.


5

Associados aos infinitos valores possíveis do número de onda k,

temos os também infinitos valores possíveis da frequência angular

ω:

.positivo) inteiro ( n v L

nπvknn ==ω

(11)

Estas são as frequências angulares dos modos normais de oscilação

da corda. Como elas são infinitas, o número de modos normais

também é infinito. Você pode entender isto lembrando do que foi

dito no começo da aula sobre uma corda contínua poder ser

modelada como um conjunto de N partículas presas a um fio no

limite em que N → ∞.

A solução obtida implica que as amplitudes possíveis das oscilações

de um ponto com coordenada x da corda são dadas por

( ) K,3,2,1 sen)( == nxkbxA nnn (12)

e que a solução geral do problema posto no início desta aula é

( ) ( ) K,3,2,1 cossen),( =+= ntxkbtxy nnnnn ϕω (13)

com kn e ωn dados por (10) e (11) respectivamente.

Assim como só existem alguns valores possíveis para o número de

onda, também só existem alguns valores possíveis para o

comprimento de onda, dados pelo conjunto discreto e infinito


6

.)1,2,3, ( 22

K=== nn

L

kn

n

πλ

(14)

É possível que existam ondas na corda com comprimentos de onda

diferentes dos valores acima, mas essas ondas não serão ondas

estacionárias. Elas serão ondas propagantes, e não correspondem ao

tipo de solução (modos normais) procurado nesta aula.

Uma corda de comprimento L presa em suas extremidades só pode

ter uma onda estacionária com um dos comprimentos de onda dados

por (14). Esses são os chamados comprimentos de onda dos modos

normais de vibração da corda e o índice n classifica o modo normal

(primeiro modo normal, segundo modo normal, etc).

Para cada valor de λn existe uma frequência fn associada. Essas

frequências são dadas por

.)1,2,3, ( 22

K=== nL

vnf n

n π

ω (15)

Essas freqüências são chamadas de frequências dos modos normais

de vibração da corda.

A frequência mais baixa é chamada de frequência fundamental e o

modo normal correspondente é chamado de modo fundamental. A

frequência fundamental é


7

L

T

L

vf

221

µ==

. (16)

A frequência fundamental de uma corda de comprimento L presa nas

suas extremidades é inversamente proporcional ao comprimento da

corda, proporcional à raiz quadrada da tensão e inversamente

proporcional à densidade linear de massa da corda.

Note que todas as demais frequências são dadas por múltiplos

inteiros da frequência fundamental:

.)1,2,3, ( 1 K== nnffn (17)

Essas frequências são chamadas de harmônicos. Por exemplo, a

frequência fn é chamada de n-ésimo harmônico.

Estes resultados são de grande importância prática para a fabricação

de instrumentos musicais de cordas.

Os músicos também costumam chamar as frequências a partir do

segundo harmônico de sobretons. Por exemplo, o segundo

harmônico também pode ser chamado de primeiro sobretom, o

terceiro harmônico também pode ser chamado de segundo sobretom,

etc.


8

A figura abaixo mostra os quatro primeiros modos normais de uma

corda fixa nas suas extremidades.

O fato de que a corda está fixa na sua extremidade direita implica

que qualquer onda que se propague por ela da esquerda para a direita

será refletida quando atingir a extremidade direita e passará a se

propagar no sentido oposto. O fato de que a extremidade da

esquerda da corda também está fixa implica que quando essa onda

propagando-se da direita para a esquerda atingir a extremidade da

esquerda ela será refletida e se propagará para a direita. Em resumo,

qualquer onda que seja gerada na corda acabará produzindo ondas

que se propagam por ela nos dois sentidos.


9

Vimos na aula 18 que quando ondas se propagam em uma corda em

sentidos opostos a sua superposição gerará ondas estacionárias.

Como este é o caso da corda fixa nas duas extremidades, podemos

concluir que as únicas ondas existentes em uma corda fixa nas suas

extremidade são ondas estacionárias. Como visto acima, estas ondas

estacionárias só podem oscilar com frequências bem definidas, que

pertencem a um conjunto discreto (mas infinito) de valores.

Este é um resultado geral sobre ondas que não vale apenas para

ondas em cordas: sempre que ondas forem produzidas em alguma

região limitada do espaço e ficarem confinadas a essa região, as

ondas resultantes serão estacionárias e, portanto, só poderão ter um

número discreto (porém infinito) de frequências.

Quando colocamos uma corda presa em suas extremidades para

vibrar, as frequências das ondas estacionárias produzidas também

serão as frequências das ondas sonoras geradas no ar ao redor da

corda. Essas ondas chegarão aos nossos ouvidos e perceberemos as

vibrações da corda como som.

A frequência fundamental, por ser a mais básica de todas as

frequências produzidas numa corda, define a propriedade mais

básica do som produzido pela corda, que é a sua altura.


10

A altura de um som musical é a propriedade que determina se ele é

grave ou agudo. Um som grave tem frequência fundamental baixa e

um som agudo tem frequência fundamental alta.

Segundo a equação (16), a frequência fundamental é inversamente

proporcional ao comprimento L da corda. Portanto, dadas cordas

igualmente tensionadas e de mesmo µ, aquelas de maior

comprimento produzirão os sons mais graves e aquelas de menor

comprimento produzirão os sons mais agudos. Pense em um baixo e

em um violono, por exemplo. Qual dos dois produz sons mais

graves? E qual mais agudos?

A equação (16) também mostra o efeito da afinação de um

instrumento de corda. Seja uma corda de comprimento L e

densidade linear de massa µ fixos (como a corda de um violão,

violino, etc). Se um músico quiser alterar a frequência da corda para

obter um som um pouco mais grave ou um pouco mais agudo, a

única opção que ele tem é ajustar a tensão T da corda.

Exemplo: A chamada corda “mi” de um violino deve produzir uma

frequência fundamental de 659,26 Hz. O comprimento da corda é 33

cm e a sua massa é 0,125 g. Qual deve ser a tensão necessária para

que ela produza essa frequência fundamental?


11

Da equação (16) temos

⇒===mL

T

m

TL

L

T

Lf

21

21

21

1µ

( )( )( ) N 7226,65933,01025,144 2421 ≈×==⇒ −mLfT

Em um instrumento de corda como o piano, o som é produzido pelo

impacto de um batente (ou martelo), acionado por uma tecla, sobre a

corda em um dado ponto. A corda então vibra e produz o som. No

momento do impacto e por um breve instante em seguida, a corda é

deformada em torno do ponto que recebeu o impacto e a sua forma

não tem nada a ver com a forma senoidal característica dos modos

normais. Logo depois, porém, ondas começam a se propagar nos

dois sentidos da corda, refletindo-se nas extremidades fixas e, muito

rapidamente, várias ondas estacionárias surgem na corda.

Normalmente, essas ondas estacionárias são a fundamental e alguns

de seus harmônicos mais baixos.

É importante que você entenda que todas essas ondas estacionárias

existem ao mesmo tempo na corda e que isso é consequência do

princípio de superposição. A equação de onda (equação 1), que é a

equação fundamental para a dinâmica das ondas na corda (e também

das ondas sonoras no ar, por exemplo) é uma equação linear, isto é,

a variável y só aparece nela elevada à primeira potência (y1 = y).


12

Isto significa que se temos várias soluções individuais da equação de

onda, correspondendo a diferentes harmônicos, que podemos

designar por y1, y2, y3, etc, então a soma dessas funções também

satisfaz a equação de onda. A consequência disso é que uma

situação em que vários harmônicos coexistam simultaneamente

numa corda, produzindo uma onda de forma complexa, pode ser

estudada em termos da decomposição dessa forma complexa nas

componentes individuais que a originam.

Este é o ponto de partida para a introdução à análise de Fourier que

será feita a seguir.

Suponha que temos uma corda de comprimento L presa em suas

extremidades. Então, conforme visto acima, essa corda será capaz de

vibrar em qualquer um dos seus infinitos modos normais.

A equação que descreve a forma da corda quando ela oscila no n-

ésimo desses modos normais é a equação (13)

( ) ( )nnnnn txkbtxy ϕω += cossen),( , (18)

onde

L

nkn

π=

(19)

e


13

vL

nπvknn ==ω

. (20)

Ou seja,

+

= nnn

L

vtn

L

xnbtxy ϕ

ππcossen),( . (21)

Nada nos impede de imaginar que todos os infinitos modos normais

da corda estejam presentes num dado momento. Neste caso, o

princípio de superposição implica que a forma da corda é dada pela

soma infinita

∑∞

=

+

=

1

cossen),(n

nnL

vtn

L

xnbtxy ϕ

ππ. (22)

Observe que a forma da função y(x, t) dada pela equação acima pode

ser muito complicada (difícil de desenhar e de entender). No

entanto, matematicamente, ela é escrita pela soma acima, que inclui

senos e cossenos (funções bem conhecidas).

Imagine agora que tiremos uma fotografia instantânea da corda num

dado momento t0. A função y(x, t) para este tempo é

∑∞

=

+

=

1

00 cossen),(

n

nnL

vtn

L

xnbtxy ϕ

ππ. (23)


14

Como o tempo agora é fixo, podemos tratar a parte que envolve t0 na

equação acima como constante e escrever

∑∞

=

=

1

sen)(n

nL

xnBxy

π, (24)

onde

+= nnn

L

vtnbB ϕ

π 0cos . (25)

A equação (24) descreve a forma espacial da corda no tempo t0.

Vamos agora enunciar um resultado muito importante:

A soma infinita dada por (24) permite gerar qualquer forma espacial

para o perfil da corda, descrita como y(x) entre x = 0 e x = L (sujeita

às condições de contorno y(0) = y(L) = 0).

Este resultado parece arbitrário e até incrível e, no entanto, é válido.

Para tentar entendê-lo, usemos novamente o exemplo de um fio de

comprimento L no qual estão presas N partículas igualmente

espaçadas (o exemplo da questão 1 da 2a lista).


15

Neste caso, como temos um número finito N de partículas sabemos

que a determinação dos N modos normais do sistema permite

estabelecer qualquer movimento possível das N partículas

acopladas. Para tal, basta determinar duas constantes arbitrárias para

cada um dos N modos: a amplitude e a fase inicial de cada uma das

N partículas. De posse desses 2N valores, todos eles em princípio

mensuráveis, podemos descrever os movimentos do sistema de N

partículas acopladas, por mais complexos que sejam, em termos de

uma superposição de seus N modos normais. A conseqüência lógica

disso quando se faz N → ∞ é que se pode descrever qualquer

configuração da corda entre 0 e L como uma superposição dos

infinitos modos normais da corda.

Não existe na realidade nenhum sistema físico em que o número de

partículas seja infinito. Por exemplo, se a corda tiver 5 m de

comprimento e a imaginarmos como constituída por uma linha de

átomos igualmente separados por uma distância de 1 Å teríamos 5 ×

1010 modos normais. Este é um número enorme, mas não é infinito.

O importante, entretanto, é notarmos que esse número, embora não

seja infinito, é completo no sentido de que ele inclui todos os

possíveis modos normais do sistema. Ademais, ele é enumerável,

isto é, podemos contá-lo do primeiro ao último.


16

Com base na discussão dos dois parágrafos anteriores, podemos

dizer que fazer o número N de partículas de um sistema físico

crescer até o seu limite físico (um número enorme) corresponde, no

mundo da matemática, a fazer N → ∞.

As equações (24) e (25) estão na base de uma das técnicas mais

poderosas, populares e de maior utilidade prática de toda a

matemática aplicada: a análise de Fourier.

O grande matemático francês Lagrange, mencionado na aula 16,

desenvolveu a análise teórica das vibrações de uma corda de

comprimento L fixa nas extremidades mais ou menos como fizemos

nestas aulas. Ele chegou muito perto de enunciar o resultado de que

qualquer forma arbitrária da corda entre seus extremos pode ser

escrita pela soma infinita em (24), mas não o fez.

Quem chegou a este resultado foi outro matemático francês, Jean

Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), e é por isso que hoje em dia

esta técnica é chamada de análise de Fourier1.

1 É interessante mencionar que Fourier chegou ao seu resultado estudando não o problema das oscilações em uma corda vibrante, mas o da condução de calor por um material em que seja mantida uma diferença de temperatura constante entre duas de suas extremidades.


17

Consideremos novamente a função que descreve o comportamento

geral da corda no espaço e no tempo em termos da superposição de

modos normais (equação 22). Se agora nos concentrarmos em um

ponto qualquer x0 da corda, teremos

∑∞

=

+

=

1

00 cossen),(

n

nnL

vtn

L

xnbtxy ϕ

ππ. (26)

A parte que envolve o espaço nesta equação é constante, de maneira

que podemos escrever

∑∞

=

+=

1

cos)(n

nnL

vtnCty ϕ

π , (27)

onde

=

L

xnbC nn

0senπ

. (28)

A equação (27) descreve a variação temporal da coordenada y do

ponto x0 da corda. Ela indica que o movimento do ponto x0 no tempo

é dado por uma superposição de movimentos harmônicos simples de

frequências angulares ωn = nπv/L = nω1.

As equações (27) e (28) são as análogas para o tempo da análise de

Fourier para o espaço dada pelas equações (24) e (25). Note, porém,

que há uma diferença entre a equação (27) e a equação (24).


18

Na equação (24), para y(x), a variável x está restrita a um intervalo

finito: 0 < x < L. Já na equação (27), para y(t), a variável t pertence a

um intervalo infinito: 0 < t < ∞. Uma análise mais cuidadosa da

equação (27) nos mostra, porém, que a função y(t) é periódica no

tempo, com período igual ao período do modo fundamental,

v

L

fT

21

11 ==

. (29)

Para verificar isso, veja abaixo:

( )

).(2cos)(

2cos)(

cos)(

11

11

1

11

tynL

vtnCTty

v

Lt

L

vnCTty

L

TtvnCTty

n

nn

n

nn

n

nn

=

++=+

⇒

+

+=+

⇒

+

+=+

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

πϕπ

ϕπ

ϕπ

Isto ocorre porque o período do modo fundamental engloba os

períodos de todos os outros modos. De (17) temos:

.1

n

TTn =

(30)

Portanto, embora a variável t seja ilimitada, a função y(t) que

obedece à equação (27) é periódica. Isto implica que não é

necessário estudá-la para tempos fora de um período (por exemplo,

0 < t < T1).


19

Isto torna a análise de Fourier no tempo, dada pela equação (27),

equivalente à análise de Fourier no espaço, dada pela equação (24).

Para que a análise de Fourier seja de fato aplicável na prática,

devemos ser capazes de determinar os coeficientes Bn e Cn que

aparecem nas equações (24) e (27). Isto é feito com base nas

propriedades das funções seno e cosseno.

Consideremos a expressão para y(x) dada por (24),

∑∞

=

=

1

sen)(n

nL

xnBxy

π.

Suponhamos que desejamos calcular o valor de Bn para um dado

valor de n, por exemplo n = m. Para encontrar esse valor, vamos

multiplicar os dois lados da equação acima por

L

xmπsen

e integrar em relação a x no intervalo entre 0 e L:

⇒

=

∫ ∑∫

∞

=

dxL

xnB

L

xmdx

L

xmxy

L

n

n

L

0 10

sensensen)(πππ

∫∑∫

=

∞

=

L

n

n

L

dxL

xm

L

xnBdx

L

xmxy

010

sensensen)(πππ

. (31)

Vamos agora destacar o termo da somatória do lado direito da

equação acima relativo a m. Fazendo isso, o lado direito fica:


20

∑ ∫∫

∑ ∫∫

∑ ∫

∞

≠=

∞

≠=

∞

=

+

=

=

+

=

=

mnn

L

n

L

m

mnn

L

n

L

m

n

L

n

dxL

xm

L

xnBdx

L

xmB

dxL

xm

L

xnBdx

L

xn

L

xmB

dxL

xm

L

xnB

1 00

2

1 00

1

1 0

.sensensen

sensensensen

sensen

πππ

ππππ

ππ

Consideremos as propriedades de uma integral cujo integrando é o

produto de dois senos, como no segundo termos do lado direito da

expressão acima. Dados dois ângulos quaisquer α e β, podemos

escrever (mostre como exercício),

( ) ( )[ ]βαβαβα +−−= coscos2

1sensen .

Esta identidade trigonométrica implica que

( ) ( )

+−

−=

L

xmn

L

xmn

L

xm

L

xn ππππcoscos

21

sensen .

Então,

( ) ( )dx

L

xmndx

L

xmndx

L

xm

L

xnLLL

∫∫∫

+−

−=

000

cos21

cos21

sensenππππ

,

Ou (note que n ≠ m neste termo, de maneira que podemos dividir por

n − m),


21

( )( )[ ]

( )( )[ ] 0sen

2sen

2sensen

0

=++

−−−

=

∫ π

ππ

π

ππmn

mn

Lmn

mn

Ldx

L

xm

L

xnL

,

pois n ± m é um número inteiro, e sen[(n − m)π] = 0.

Portanto, do lado direito da equação (31) só restou o termo que

envolve m:

∫∫

=

L

m

L

dxL

xmBdx

L

xmxy

0

2

0

sensen)(ππ

. (32)

Como [ ])2cos(121

)(sen2 αα −= , a integral do lado direito da

expressão acima pode ser escrita como

dxL

xmdxdx

L

xmdx

L

xmLLLL

∫∫∫∫

−=

−=

0000

2 cos21

21

cos121

senπππ

.

A integral que envolve o cosseno no lado direito da expressão acima

é zero (mostre como exercício), de maneira que a única contribuição

não nula do lado direito é a integral de dx entre 0 e L. A equação

(32) é então

2sen)(

0

LBdx

L

xmxy m

L

=

∫

π.

Como m representa qualquer um dos n índices, podemos escrever a

expressão acima com n no lugar de m:


22

2sen)(

0

LBdx

L

xnxy n

L

=

∫

π. (33)

O valor de Bn é, portanto:

∫

=

L

n dxL

xnxy

LB

0

sen)(2 π

. (34)

Esta equação nos diz como calcular os coeficientes (ou amplitudes)

Bn que aparecem na equação (24) para y(x) como uma série infinita

de funções trigonométricas.

A determinação dos coeficientes Cn da expansão em série de Fourier

para y(t) na equação (27) pode ser feita de maneira similar à feita

acima. Na realidade, o que se faz num caso como o da equação (27),

que contém uma fase (φn), é definir novas variáveis de maneira que

a fase seja incorporada em duas novas amplitudes. Por exemplo, a

equação (27) pode ser reescrita como (mostre como exercício)

∑∑∞

=

∞

=

−+

=

11

sen)(sencoscos)(n

nn

n

nnL

vtnC

L

vtnCty

πϕ

πϕ ,

ou

∑∑∞

=

∞

=

+

=

11

sencos)(n

n

n

nL

vtnE

L

vtnDty

ππ, (35)

onde


23

)(sen e cos nnnnnn CECD ϕϕ −== . (36)

Portanto, ao invés de determinar um coeficiente (Cn), temos que

determinar dois coeficientes (Dn e En). Eles podem ser determinados

de maneira similar à feita acima para determinar Bn.

Multiplica-se ambos os lados de (35) por

nmL

xm≠

senπ

e integra-se por um período, de t = 0 a t = T1 = 2L/v:

∑ ∫

∑ ∫∫∞

=

∞

=

+

+

=

1 0

1 001

11

.sensen

sencossen)(

n

T

n

n

T

n

T

dtL

vtm

L

vtnE

dtL

vtm

L

vtnDdt

L

vtmty

ππ

πππ

A integral que envolve o produto do cosseno pelo seno acima é zero

e a integral que envolve o produto dos dois senos também é zero,

com exceção do caso em que m = n em que ela vale T1/2. Vamos

mostrar abaixo que a integral do produto do cosseno pelo seno é

zero e deixar como exercício para casa a solução da outra integral.

Usando a identidade trigonométrica

( ) ( )[ ]βαβαβα −++= sensen21

cossen ,


24

podemos escrever

=

∫1

0

sencosT

dtL

vtm

L

vtn ππ

=

−+

+= ∫ ∫

1 1

0 0

)(sen

)(sen

21

T T

dtL

vtnmdt

L

vtnm ππ

.)(

cos)(

)(cos

)(21 11

00

−

−−

+

+−=

TT

L

vtnm

vtnm

L

L

vtnm

vtnm

L π

π

π

π

Substituindo o valor de T1 por 2L/v, temos que

01112)cos()(

cos1

0

=−=−±=

±π

πnm

L

vtnmT

,

De maneira que a integral é zero.

Depois de mostrar que a outra integral também vale zero para m ≠ n

e que vale T1/2 para m = n, o resultado final é

⇒=

∫ 2

sen)( 1

0

1T

EdtL

vtmty m

Tπ

∫∫

=

=

11

001

sen)(sen)(2

TT

n dtL

vtnty

L

vdt

L

vtnty

TE

ππ. (37)

Esta expressão nos dá o coeficiente En da expansão em série da

equação (35). Para obter o coeficiente Dn, temos que seguir um


25

procedimento inteiramente similar, só que agora multiplicando os

dois lados de (35) por

nmL

xm≠

cosπ

e integrando de 0 a T1. Façam isto como exercício para obter que

∫

=

1

0

cos)(T

n dtL

vtnty

L

vD

π. (38)

Em resumo: qualquer forma espacial y(x) que a corda possa ter

entre x = 0 e x = L, em qualquer instante de tempo, pode ser descrita

pela expansão em série

∑∞

=

=

1

sen)(n

nL

xnBxy

π (39)

onde os coeficiente Bn são dados por

∫

=

L

n dxL

xnxy

LB

0

sen)(2 π

. (40)

E qualquer função y(t) periódica de período T que descreva o

movimento de um ponto qualquer da corda pode ser descrita pela

expansão em série

∑∑∞

=

∞

=

+

=

11

sencos)(n

n

n

nL

vtnE

L

vtnDty

ππ (41)

com os coeficientes Dn e Em dados por


26

∫

=

T

n dtL

vtnty

TE

01

sen)(2 π

(42)

e

∫

=

T

n dtL

vtnty

L

vD

0

cos)(π

. (43)

Séries como as das equações (39) e (41) são chamadas de séries de

Fourier. Dada uma função conhecida y(x) ou y(t), o processo de

determinação dos valores dos coeficientes da série de Fourier para

ela é chamado de análise de Fourier.

Se a função y(x) ou y(t) para a qual se quer fazer a análise de Fourier

for descrita por uma expressão analítica exata, o cálculo das

integrais para a obtenção dos coeficientes pode ser feito

analiticamente. Por outro lado, se a função y(x) ou y(t) for uma curva

obtida empiricamente (como um sinal biomédico, por exemplo), a

única maneira de se estimar os coeficientes da expansão em série de

Fourier é por métodos gráficos ou numéricos.

Um aprofundamento da teoria da análise de Fourier está além dos

objetivos deste curso. Portanto, os resultados a seguir serão

enunciados sem demonstração.


27

A energia do n-ésimo modo normal de oscilação da corda é

proporcional ao quadrado do coeficiente Bn da expansão para y(x):

2nn BE ∝ . Ou seja, a energia é proporcional ao quadrado da

amplitude da oscilação, como visto antes quando tratamos da

energia de osciladores.

A energia total da corda quando ela oscila é dada pela soma das

energias contidas em cada modo normal, isto é, não há termos de

interferência combinando energias de diferentes modos. A

contribuição de cada modo normal para a energia total da corda é

dada pela energia do modo, independentemente dos demais:

∑∑∞

=

∞

=

==+++=1

2

1321

n

n

n

ntotal BEEEEE K . (44)

Como exemplo ilustrativo, vamos supor o caso em que a forma da

corda em um dado instante seja descrita pela função linear

kxxy =)( , (45)

onde k é uma constante.

A forma da corda está mostrada no gráfico da figura abaixo.


28

Para esta função y(x) o cálculo dos coeficientes Bn é dado por

∫

=

L

n dxL

xnkx

LB

0

sen2 π

. (46)

Resolvendo esta integral por partes (faça como exercício), chegamos

a

n

nkLBn

π

π

cos2−= . (47)

Os valores de Bn podem ser pares ou ímpares, dependendo de n.

π

kLBn n

2:par −=

π

kLBn n

2:ímpar = .

Podemos combinar essas duas expressões em uma só:


29

π

kLB n

n

2)1( 1+−= . (48)

A expansão em série de Fourier para y(x) = kx é então:

L

+

−

==

L

xkL

L

xkl

L

xkLkxxy

π

π

π

π

π

π

3sen

3

22sensen

2)( (49)

A figura abaixo mostra o resultado da expansão acima para os 2

primeiros termos da série, os 5 primeiros termos da série, os 7

primeiros termos da série e os 10 primeiros termos da série. Para

simplificar, fizemos k = 1 e L = 1. Note que a aproximação fica cada

vez melhor à medida que aumenta o número de termos na série.

No caso da função y(x) = kx, por causa da sua descontinuidade em x

= L, a convergência será bem lenta (serão necessários muitos termos

na série para que se tenha uma boa aproximação).

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