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5910233 – Física III (teórica) – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque – Aula 4

1

Linhas de Força

Mencionamos na aula passada que o físico inglês Michael Faraday

(1791-1867) introduziu o conceito de linha de força para visualizar a

interação elétrica entre duas cargas.

Para Faraday, as linhas de força não eram apenas um meio de

visualização, mas tinham existência real. Para ele, as forças elétricas

e magnéticas eram conduzidas por linhas elásticas que saiam dos

corpos eletrizados ou magnetizados e se estendiam pelo espaço. Ele

chamou essas linhas de linhas de força.

Hoje em dia, o conceito de linha de força é usado apenas como

ferramenta para visualização de campos elétricos e magnéticos.

Uma linha de força é uma linha imaginária tal que a sua tangente em

cada ponto forneça a direção e o sentido do campo naquele ponto.

Para obter a direção do campo, basta traçar a reta tangente à linha no

ponto desejado e, para obter o sentido, segue-se a orientação

indicada pela linha de força.

Veja a figura abaixo.


2

A figura abaixo mostra as linhas de força para algumas

configurações de cargas elétricas.

É importante notar que essas figuras são apenas cortes

bidimensionais (seções retas) por um plano que passa pelas cargas.

Na realidade, as linhas de força são tridimensionais.

No caso das figuras (a) e (b) acima, a configuração tridimensional

das linhas de força tem simetria esférica em torno da carga.


3

No caso das figuras (c) e (d) acima, a configuração tridimensional

das linhas de força é simétrica em torno do eixo que passa pelas

duas cargas.

Regiões do espaço onde o campo é mais intenso têm linhas de força

mais próximas entre si (a densidade de linhas de força é maior).

Veja, por exemplo, a região entre as duas cargas na figura (c).

Regiões do espaço onde a intensidade do campo é menor têm linhas

de força mais espaçadas (a densidade das linhas de força é menor).

Um exemplo deste último caso é a região entre as duas cargas na

figura (d).

Regiões do espaço onde o campo é uniforme têm linhas de força

retas e paralelas com igual espaçamento entre si.

Duas linhas de força não podem se cruzar, pois em tal caso haveria

duas possibilidades para a direção do campo elétrico 𝑬 no ponto de

cruzamento e isso é impossível (o vetor campo elétrico tem um valor

único em cada ponto do espaço).


4

Dipolos Elétricos

Uma distribuição de cargas muito simples, mas que tem muita

importância no eletromagnetismo porque pode ser usada como

modelo para várias situações de interesse é a formada por duas

cargas iguais e de sinais opostos (q e −q) separadas por uma

distância d. Uma distribuição de cargas desse tipo é chamada de

dipolo elétrico.

Vamos calcular o campo elétrico de um dipolo elétrico em um ponto

P localizado sobre o seu plano bissetor (veja a figura a seguir1).

1 Algumas vezes, neste curso, vetores serão indicados em negrito ao invés de por setas acima de seus símbolos. Portanto, E1 e 𝐸! são notações equivalentes.


5

Para simplificar, escolheu-se o sistema de eixos cartesianos de

maneira que o eixo z coincide com o eixo do dipolo. O plano

bissetor, portanto, é definido por z = 0.

O campo elétrico 𝐸 em um ponto P sobre o eixo y a uma distância R

do ponto médio entre as cargas e, portanto, à mesma distância r das

cargas q e −q é dado pela soma vetorial dos campos elétricos

individuais gerados pelas cargas q e −q, denominados

respectivamente de 𝐸! e 𝐸!: 𝐸 = 𝐸! + 𝐸!.

Note que as componentes de 𝑬𝟏 e 𝑬𝟐 ao longo do eixo y se anulam,

de maneira que o campo resultante 𝑬 aponta na direção negativa do

eixo z. O módulo de 𝑬 é dado pela soma das componentes de 𝑬𝟏 e

𝑬𝟐 ao longo do eixo z:

θθ coscos 2121 EEEEE zz +=+= .

Como o ponto P está à mesma distância r das cargas q e −q, E1 e E2

têm valores iguais a:

20

21 41rqEE

πε== .

Substituindo na expressão para E obtém-se:

θπε

cos241

20 rqE = .


6

Da figura, temos que:

rd

r

d

22cos ==θ ,

que substituída na expressão para E nos dá:

304

1rqdE

πε= . (1)

Note que, embora os campos elétricos gerados pelas duas cargas

individualmente variem com a distância r de maneira inversa ao seu

quadrado, o campo combinado gerado pelas duas cargas varia com r

de maneira inversa ao seu cubo. Isto é devido ao cancelamento

parcial das cargas elétricas negativa e positiva que havíamos

comentado antes (veja aula 1).

A quantidade qd que aparece na equação (1) é uma grandeza que

depende apenas das variáveis que caracterizam o dipolo elétrico.

Um dipolo elétrico fica completamente determinado se dissermos (i)

qual é o valor da carga q das duas partículas, (ii) em que posições do

espaço estão as duas cargas (o que implica dizer onde está a carga

negativa, por exemplo, e qual é a distância d entre as cargas).

Define-se o momento de dipolo de um dipolo elétrico como o vetor

𝑝 que tem módulo dado por p = qd e aponta da carga negativa do

dipolo para a sua carga positiva (veja a figura abaixo).


7

Em termos do vetor momento de dipolo podemos escrever o campo

elétrico no ponto P (equação 1) como:

304

1rpE

πε−= . (2)

O sinal negativo indica que o campo elétrico aponta na direção

oposta à do momento de dipolo.

Uma maneira conveniente de escrever a equação (2) é em termos da

distância R que separa o ponto P do centro do dipolo. Olhando

novamente para a figura da página 4, vemos que:

23

22

322

2

44 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⇒+= RdrRdr .

Substituindo isto na fórmula para E:

( ) 232204

41

Rd

pE+

=πε .

A vantagem desta maneira de escrever o campo elétrico é que ela

nos dá o valor do campo em qualquer ponto que esteja a uma


8

distância R do centro do dipolo sobre o seu plano bissetor (pela

simetria da situação).

Para pontos P suficientemente distantes do centro do dipolo em

comparação com a separação d podemos fazer a aproximação R >>

d, de maneira que o campo pode ser aproximado por:

304

1RpE

πε= .

E temos novamente uma lei de decaimento com o inverso do cubo

da distância. A representação vetorial desta equação é:

.41

30 RpE

πε−=

(3)

Este é o campo elétrico de um dipolo elétrico em qualquer ponto do

plano z = 0 a grandes distâncias R do centro do dipolo.

Vamos agora calcular o campo em um ponto P ao longo do eixo z

(veja a figura abaixo).


9

O campo produzido pela carga positiva aponta na direção positiva

do eixo z e tem módulo

( )20 2/41

dzqE

−=+ πε .

O campo produzido pela carga negativa aponta na direção negativa

do eixo z e tem módulo

( )20 2/41

dzqE

+=− πε .

Portanto, o campo resultante tem direção ao longo do eixo z e a sua

componente ao longo desse eixo vale

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

+−

−=−= −+ 22

0 2/1

2/1

4 dzdzqEEEπε .


10

É conveniente escrever esta expressão em termos da razão entre d (a

separação entre as cargas) e z (a distância do ponto):

( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

+−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

−= 222

02222

0 2/11

2/11

42/11

2/11

4 zdzdzq

zdzzdzqE

πεπε.

O resultado acima é exato. Vamos supor agora que o ponto P está a

uma grande distância do centro do dipolo. Neste caso, podemos

assumir que a distância d é muito menor que z: d << z, ou

d/z << 1.

Em casos assim, é muito comum usar a expansão em série de (1+ x)n

em torno da origem (série binomial),

(1+ x)n =1+ nx + n(n−1)2!

x2 + n(n−1)(n− 2)3!

x3 +… (4)

na aproximação para x << 1,

nxx n +≅+ 1)1( . (5)

Com o auxílio da aproximação dada por (5) podemos escrever o

termo (1 ± d/2z)2 para d/z << 1 como

zd

zdzd 1221)2/1( 2 =≅± −

e obter a seguinte aproximação para o campo elétrico sobre o eixo z

a grandes distâncias do centro do dipolo:

30

20

20 2

24

114 z

qdzd

zq

zd

zd

zqE

πεπεπε==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−+= . (6)


11

Observe que podemos escrever o campo ao longo do eixo z em

termos vetoriais como

,21

30 RpE

πε=

(7)

onde R é a distância do centro do dipolo ao ponto sobre o eixo z.

Certifique-se de que o sinal usado na equação (7) está correto.

A equação (7) dá o valor do campo elétrico ao longo do eixo do

dipolo a grandes distâncias do seu centro. Note que ele é muito

parecido com o campo ao longo do eixo perpendicular ao eixo do

dipolo que passa pelo seu centro (equação 3). Ele também é

proporcional ao momento de dipolo 𝑝 (só que agora é paralelo a 𝑝 e

tem o dobro do valor) e decai com a distância R de maneira cúbica.


12

A figura acima mostra as linhas de força de um dipolo elétrico

colocado na origem e alinhado com o eixo z (observe as direções do

campo elétrico nos quatro pontos indicados).

O conceito de dipolo elétrico é muito útil para o entendimento das

propriedades de átomos e moléculas.

Um exemplo típico é o da molécula de água, H20.

A molécula de água pode ser representada esquematicamente pelo

desenho acima. Por causa da ligação entre os dois átomos de

hidrogênio com o átomo de oxigênio, ocorre uma distribuição

desigual dos seus elétrons fazendo com que o centro do eixo que une

os dois átomos de hidrogênio fique com carga líquida positiva e a

região central do átomo de oxigênio fique com carga líquida

negativa.


13

Para distâncias maiores do que o diâmetro da molécula, o campo

elétrico gerado por ela é equivalente ao de um dipolo 𝑝 como o

mostrado na figura. O valor do momento de dipolo da água pode ser

medido experimentalmente e o seu valor é:

p = 6,2 x 10-30 C.m.

Usando este valor e supondo que a carga do dipolo é q = 2e,

podemos estimar a separação efetiva entre as cargas positiva e

negativa como:

A 0,5 m 10 x 510 x 1,6 x 2

10 x 2,6 11-19-

-30

=≈==qpd .

A água é uma molécula polar, isto é, possui um momento de dipolo

𝑝 permanente. É isto que dá à água a propriedade de ser solvente de

substâncias iônicas, como o sal de cozinha, por exemplo (veja a

figura abaixo).


14

O momento de dipolo permanente da água é consequência de a sua

distribuição de cargas não possuir um centro de simetria. Existem

muitas moléculas que também não possuem centro de simetria de

carga e, portanto, também são polares. Por outro lado, existem

moléculas que possuem um centro de simetria. Elas são chamadas

de apolares.

Moléculas apolares podem se comportar como dipolos elétricos na

presença de campos elétricos externos. O campo elétrico 𝐸 desloca

as cargas negativas da molécula no sentido oposto a 𝐸 e as cargas


15

positivas no sentido de 𝐸 (veja a figura abaixo). A molécula adquire

um momento de dipolo 𝑝 em decorrência dessa separação entre as

cargas. Dizemos que a molécula foi polarizada pelo campo elétrico.

O fato de que moléculas apolares podem adquirir momento de

dipolo na presença de um campo elétrico externo torna importante o

estudo de momentos de dipolo imersos em um campo elétrico.

Vamos estudar aqui o que acontece quando um dipolo elétrico 𝑝 é

colocado em um campo elétrico uniforme 𝐸. A situação está

ilustrada na figura abaixo. Observe que a força resultante é nula,

mas as duas forças formam um binário e o dipolo elétrico gira no

sentido anti-horário. Há um torque não nulo sobre o dipolo.


16

Vamos calcular o torque em relação ao centro do dipolo. Tanto para

a força 𝑭! como para a força 𝑭!, o braço da alavanca (distância

perpendicular entre a linha de ação da força e o centro do dipolo)

vale (d/2)senφ (veja a figura abaixo).

O módulo do torque feito pela força 𝑭! é

𝝉! = 𝑭𝒅𝟐𝐬𝐞𝐧𝝓 = 𝒒𝑬

𝒅𝟐𝐬𝐞𝐧𝝓.

O módulo do torque feito pela força 𝑭! é

𝝉! = 𝑭𝒅𝟐𝐬𝐞𝐧𝝓 = 𝒒𝑬

𝒅𝟐𝐬𝐞𝐧𝝓.

O módulo do torque resultante é τ+ + τ-:

𝝉 = 𝒒𝒅𝑬 𝐬𝐞𝐧𝝓 = 𝒑𝑬 𝐬𝐞𝐧𝝓 . (𝟖)

O vetor torque é perpendicular ao plano do desenho e, pela regra da

mão direita, aponta para fora (saindo) do plano.

Note que o torque sobre o dipolo elétrico pode ser escrito como

𝝉 = 𝒑×𝑬. (𝟗)


17

Para mostrar isto, observe a figura abaixo e lembre-se da definição

de produto vetorial (os vetores 𝒑 e 𝑬 estão no plano definido pelos

vetores unitários ! e !).

O produto vetorial do vetor 𝒑 pelo vetor 𝑬 é um vetor cujo módulo

vale pEsenα = pEsen(π − φ) = pEsenφ. O produto vetorial de 𝒑 por

𝑬 pode ser calculado pelo determinante

! ! 𝒌𝒑𝒙 𝒑𝒚 𝒑𝒛𝑬𝒙 𝑬𝒚 𝑬𝒛

=! ! 𝒌

−𝒑 𝐜𝐨𝐬𝝓 −𝒑 𝐬𝐞𝐧𝝓 𝟎𝑬 𝟎 𝟎

,

que nos dá o resultado

𝝉 = 𝒑𝑬 𝐬𝐞𝐧𝝓𝒌.

O módulo deste vetor é o mesmo dado pela equação (8) e a sua

direção e sentido são as mesmas daquele resultado (o vetor aponta

para fora do plano).

Portanto, a equação (9) representa o torque sobre o momento de

dipolo 𝒑 quando ele está imerso num campo elétrico uniforme 𝑬.

O trabalho feito pelo torque 𝝉 quando o dipolo elétrico gira por um

ângulo Δα é


18

𝚫𝑾 = −𝝉𝚫𝜶 = −𝒑𝑬 𝐬𝐞𝐧𝜶𝚫𝜶.

O sinal negativo nesta expressão decorre do fato de que o torque

sobre o momento de dipolo faz com que ele gire no sentido anti-

horário, ou seja, ele faz o ângulo α diminuir (veja a figura na página

anterior).

O trabalho feito pelo torque quando o momento de dipolo faz um

giro do ângulo inicial α1 ao ângulo final α2 é dado por

𝑾𝜶𝟏→𝜶𝟐 = −𝒑𝑬 𝐬𝐞𝐧𝜶𝒅𝜶

𝜶𝟐

𝜶𝟏

= 𝒑𝑬 𝐜𝐨𝐬𝜶𝟐 − 𝒑𝑬 𝐜𝐨𝐬𝜶𝟐.

Lembrando das aulas de Física I, o trabalho é igual ao negativo da

variação na energia potencial: ΔW = −ΔU = U(α1) − U(α2).

Comparando esta expressão com a equação acima, podemos definir

a energia potencial de um dipolo elétrico num campo elétrico

uniforme como

𝑼 𝜶 = −𝒑𝑬 𝐜𝐨𝐬𝜶 . (𝟏𝟎)

Esta equação pode ser escrita em termos dos vetores 𝒑 e 𝑬 como

𝑼 = −𝒑 ∙ 𝑬, (𝟏𝟏)

onde o ponto na equação acima indica o produto escalar entre os

vetores 𝒑 e 𝑬.


19

A partir da equação (10) podemos construir o gráfico da energia

potencial do dipolo imerso num campo elétrico uniforme em função

do ângulo α que dá a orientação do dipolo em relação ao campo. A

figura abaixo mostra esse gráfico para 0 ≤ α ≤ π.

Observe que o valor mínimo de U ocorre para α = 0, isto é, quando

𝒑 e 𝑬 são paralelos. A energia potencial vale zero quando α = π/2 (𝒑

e 𝑬 são ortogonais) e o valor máximo de U ocorre para α = π, ou

seja, quando 𝒑 e 𝑬 são antiparalelos.

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