Actividad 02 Automatas

7/21/2019 Actividad 02 Automatas

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Act. 2 Reconocimiento del Curso

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

Escuela de Ciencias Básicas Tecnologías e Ingeniería

Autómatas y Lenguajes Formales l. Código 3014!"#$

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD – www.unad.edu.co 1 / 14 PTU: www.unadvirtual.org /

AUTÓMATAS Y LENGUAJES FORMALESGRUPO 401405_17

ACTIVIDAD N° 02

RECONOCIMIENTO DEL CURSO

PRESENTADO PORSHIRLEY OLARTE GÓMEZ – Código 40922391

CARLOS ALBERTO AMAYA TARAZONATutor

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA –UNAD-ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

INGENIERÍA DE SISTEMASRIOHACHA, LA GUAJIRA

FEBRERO 2014








INTRODUCCIÓN

La siguiente actividad de reconocimiento marca la pauta del comienzo del Curso de Autómatas y

Lenguajes Formales el cual se realiza acorde a la guía de actividades, donde se conocerá el

contenido y algunas herramientas útiles para el desarrollo del trabajo planteado.

Es un curso de carácter teórico, donde el estudiante a medida que se desarrolla el curso

demuestra la asimilación de los conceptos y mecanismos fundamentales para la definición de

lenguajes (expresiones regulares, gramáticas independientes del contexto y gramáticas

generales).

También se repasará el tema de Teoría de Conjuntos para reforzar nuestros conceptos y así,

asimilar con más rapidez el desarrollo de las actividades que se presentan a lo largo del presente

curso.








JUSTIFICACIÓN

En la presente actividad se presentan algunas operaciones con conjuntos, con las cuales el

estudiante debe reforzar e interpretar las funciones básicas de los conjuntos, para lograr entender

con claridad cómo se desarrolla cada una de las propiedades que presenta la teoría de conjuntos.

De igual manera aprender a utilizar el Diagrama de Venn para la representación simbólica de los

conjunto.








ACTIVIDAD A DESARROLLARSean A, B, C conjuntos y U el conjunto Universal: Demuestre las siguientes propiedades con un

ejemplo (asigne libremente símbolos a sus conjuntos) y explica en que consiste cada propiedad

(identifíquela) en caso de que la sea:

1. A U Φ = ?

2. A ∩ Φ = ?

3. A – Φ = ?

4. A U U = ?

5. A ∩ U = ?

6. A U Ac = ?

7. A ∩ Ac = ?

8. A – A = ?

9. (A ∩ B)c = Ac U Bc

10. A U (B - A) = A U B

11. (A U B) – (A ∩ B) = (A – B) U (B – A)

12. A U (B U C) = (A U B) U C

13. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B ) ∩ C

14. A U (B ∩ C) = (A U B ) ∩ (A U C)

15. A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

16. A U B = B U A

17. A ∩ B = B ∩ A

18. A ∆ B = (A U B) \ (A ∩ B)








DESARROLLO:1. A U Φ A → Ley de Identidad Propiedad del Conjunto Vacio

Demostración:

A U Φ A En efecto, sea x es un elemento aritrario de U ! Entonces,

x " #A $ %& ' x " A ( x " % )*e+nicin de unin-

' x " A )x " % es falso siempre-

Luego

./ 0/ " # 1 $ %& 23 / " 14

56 789: 896 1 $ % 1

2. A ; Φ % → Ley de Ientidad Propiedad del Conjunto Vacio

Demostración:

A U Φ A <i x es un cual=uiera de U ! Entonces,

x " #A ; %& ' x " A > x " % )*e+nicin de unin-

' x " % )x " % es falso siempre-

Luego 1 ; % %

1 )?,@,-

1 ; % )B-

1 ; % %

3. A B Φ A → Propiedad de la *iferencia

1 )?,@,-

1 B % )?,@,-

1 B % 1

4.

A $ U U → Propiedad de Identidad

Demostración:

A U U U <ea x es un elemento cual=uiera de U ! Entonces,

A UΦ =A

1 ; % %

A %

1 2

3

U

1 B % 1

A %

1 2

3








x " #A $ U& ' x " A ( x " % )*e+nicin de unin-

' x " U )x " U es erdad siempre- Luego

./ 0/ " # 1 $ D& ' / " 14

6 F6GH 1 $ D D

D )?,@,,J-

1 )?,@-

1 $ D )?,@,,J-

5. A ; U A → Propiedad de Identidad

Demostración:

A U Φ A <ea x es un elemento aritrario de U ! Entonces,

x " #A $ U& ' x " A > x " U )*e+nicin de Interseccin-

' x " A )x " U es erdad siempre-

Luego 1 ; D 1

D )?,@,,J-

1 )?,@-

1 ; D )?,@,,J-

1 ; D 1

6. A $ 1K U → Propiedad de Complemento

A $ 1K U En efecto,sea x cual=uier elemento de U! Entonces

x " #A $ 1K& ' x " A ( x " 1K )*efinicin de unin-

' x " A ( x " 1 )Complementario-

' / " 1 ( #/ " 1& )M6N7GHO-

' / " D )79QRSRN:7-

Luego,

./ 0/ " #1 $ 1T& ' / " D 4

R SR Q7OQR, 1 $ 1T D

A

1

2

U

1

2

3

4

A U U = U

A

1

2

U

1

2

3

4

A ∩ U = A








D )?,@,,J- 1 )?,@-

1 $ 1T )?,@,,J,-

1 $ 1T D

7. A ; 1K % → Propiedad de Complemento

A ; 1K % En efecto,

A ; 1K )x " U x " A > / " 1T- )x " U x " A > / " 1T-

D )?,@,,J-

1 )?,@-

1 ; 1T )B-

1 $ 1T %

8. A B A % → Propiedad de la *iferencia

1 )?,@,,J-

1 B 1 )B-

1 B 1 )%-

9. # A; W&K 1K $ WK → Ley de XorYan

# A$ W&K 1K ; WK En efecto, sea x un elemento aritrario del conjunto U

Entonces,

x " #A $ W&K ' " #1K $ WK& )*efincin de complementario-

' 0x " #A $ Z&4)[eYacin-

' 0#x " A& ( #x " Z&4)*efinicin de unin-

1

2

3

4

5

A A

1

2

3

4

5

AA

U

1 3

2 4

1 3

4

2

A A

U

1 $ 1T D U

1 $ 1T %








' #x " A& > #x " Z&)*e XorYan para (-

' #x \ A& > #x \ Z&)[eYacin- ' #/ " 1T& > #/ " WT &)*efinicin de complementario-

' / " # 1T ; WT &)*efinicin de Interseccin-

] 7S 6 / 9O 6S6^6OQR 7_HQ7HR F6 D, 6 HN96 896

./ 0/ " # 1 $ W&T ' / " # 1T ; WT&4

Luego se prueba que

# A; W&K 1K $ WK

D )?,@,,J,`-

1 )?,@-

W ),,J-

1K ),J,`-

WK )?,@,`-

# 1 ; W& % #1 ; W &K )?,@,,J,`-

1K $ WK ),J,?,@,`-

10. A U (B - A) = A U B

1 $ #W B 1& 1 $ #W ; 1K& )R S7 S6] F6 FH66OGH7 F6 GROb9OQR}

#A $ Z& ; #A $ 1&K )R S7 S6] FHQH_9QH7-

#A $ Z& ; D )R S7 S6] F6 GR^S6^6OQR-

1 $ W

D )?,@,,J,`-

1 )?,@,,J-

W )@,`-

W B 1 )`-

1 $ #W B 1& )@,?,,J,`-

1 $ W )?,@,,J,`-

BA

U

1

2

4

35

BA1 4

3 2

2

5

U

#A ; W&K 1K $ WK

A U (B - A) = A U B








11. (A U B ) – ( A ∩ B) = (A – B) U ( B – A ) Ley Asociativa

Demostración 1 )?,@,- W )J,`-

# 1 $ W& )?,@,,J,`-

#1 ; W % # 1 $ W& B # 1 ; W& )?,@,,J,`-

# 1 B W& )?,@,-

#W B 1& )J,`-

#1 B W& $ #W B 1& )?,@,,J,`-

12.

1 D #W D & # 1 D W&D

Demostración

En efecto, sea x es un elemento arbitrario de U. Entonces

/ " 1 D #W D & ' / " 1 ( 0/ " #WD&4 )56HOGHO F6 9OHO-

' / " 1 ( #/ " W ( / " )56HOGHO F6 9OHO-

' #/ " 1 ( / " W& ( / " ) 1RGH7QH7 F6 -

' / " # 1 D W& ( / " )56HOGHO F6 9OHO-

' / " 1 $ W& $ )56HOGHO F6 9OHO-

De la arbitrariedad de x se sigue que

./ 0/ " 1 $ #W $ & 23 / " #1 $ W& $ 4

56 789: 896 1 $ #W $ & #1 $ W& $

1.

2.

3.

4.

5.








1 )?,@-

W ),J-

)`,g-

#W $ & ),J, ,̀g-

#1 $ W& $ )?,@,,J,`,g-

# 1 $ W& )?,@,,J-

#1 $ W& $ )?,@,,J,`,g-

13.

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B ) ∩ C Propiedad Asociativa de la Intersección

Sean 1 )?,@,,J,`- W )h,@,J,g,- )?,,`,,k-

i. 1 )?,@,,J,`-

W ; )%-

1 ; #W ; & )%-

ii. 1 ; W )@,J-

)?,,`,,k-

#1 ; W& ; )%-

7C U

A B

C

1

2

3

4

5

6 U








14. A U (B ∩ C) = (A U B ) ∩ (A U C) Propiedad Distributiva

Sean 1 )?,@,,J,`- W )h,@,J,g,- )?,,`,,k- i. 1 )?,@,,J,`-

W ; )%-

1 $ #W ; & )?,@,,J,`-

ii.

1 $ W )?,@,,J,`,g,-

1 $ )?,@,,`,,k-

#1 $ W& ; )?,@,,J,`-

15.

A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

Sean 1 )?,@,,J,`- W )h,@,J,g,- )?,,`,,k-

i. 1 )?,@,,J,`-

W $ )h,?,@,,J,`,,,k-

1 ; #W $ & )?,@,,J,`-

ii. 1 ; W )@,J-

1 ; )?,,`-

#1 ; W& $ #1 ; & )?,@,,J,`-

C U7

9

4 3 5

1 2








16.

A U B = B U A

Sean 1 )?,@,,J,`- W )h,@,J,g,-

i. 1 $ W )h,?,@,,J,`,-

ii. W $ 1 )h,?,@,,J,`,g,-

17. A ∩ B = B ∩ A

Sean 1 )?,@,,J,`- W )h,@,J,g,-

i. 1 ; W )@,J-

ii.

W ; 1 )@,J-

C

7

9 U

1 35

2

4

1 3

5

2

4

0 8

6

A B

U








18. A ∆ B = (A U B) \ (A ∩ B) Diferencia Simetrica

Sean 1 )?,@,,J,`- W )h,@,J,g,-

i. 1W )h,?,,`,g,-

ii. W ; 1 )h,?,@,,J,`,g,-

1 ; W )@,J-

#1 $ W&#A ; Z& )h,?,,`,g,-








REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/01.%20Teoria%20de%20Conjuntos.

pdf

http://matematica1.com/wp-content/uploads/2013/04/LIBRO-DE-ARITMETICA-DE-

PREPARATORIA-PREUNIVERSITARIA.pdf

http://www.cs.buap.mx/~fjrobles/Conjun2.pdf

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