2 ． 9 　 正弦函数、余弦函数的图象和性质 ( 二 )　 一、素质教育目标( 一 ) 知识教学点正弦函数和余弦函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性．( 二 ) 能力训练点1 ．经过观察和推证揭示正弦函数和余弦函数的性质．2 ．应用正弦函数和余弦函数的性质解决一些简单的问题．( 三 ) 德育渗透点在揭示正弦函数和余弦函数的性质的过程中，注意培养学生多观察、勤思考、善应用的品格．二、教学重点、难点、疑点及解决办法( 一 ) 教学重点：正弦函数 y=sinx ， x∈R 的性质．( 二 ) 教学难点：周期函数的概念．( 三 ) 教学疑点：周期函数是否一定有最小正周期．三、课时安排本课题安排 1 课时．

四、教与学课程设计( 一 ) 复习正弦函数、余弦函数的图象师：上一节课我们研究了正弦函数、余弦函数的画法，现在请一位同学来讲怎样画正弦函数和余弦函数的图象 ( 师用幻灯打出正弦函数、余弦函数的图象 ) ．生：在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ，以 O1 为圆心作单位圆，从这个圆与 x 轴的交点 A 起把圆分成 12 等份，作出对应于角 O1分成 12 等份，把角 x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点，连线即得正弦函数 y=sinx ， x∈[0 ， 2π] 的图象．余弦函数的图象，只要把余弦线“竖立”起来，就同样可以得到余弦函数y=cosx ， x∈[0 ， 2π] 的图象．然后向左、右平移．师：回答正确．今天，我们要研究正弦函数和余弦函数的性质．( 二 ) 正弦函数和余弦函数的性质师：我们观察正弦函数 y=sinx 和余弦函数 y=cosx ，它们的定义域是什么？

生：都是 (-∞ ， +∞) ．师：值域是什么？生：都是 [-1 ， 1]师：最值是什么？当 x 为何值时，取得最佳？

函数 y=cosx 在 x=2kπ ， k∈Z 时取最大值 y=1 ；在 x=(2k+1)π ， k∈Z 时取最小值 y=-1 ．师：观察正弦函数 y=sinx 和余弦函数 y=cosx ，发现它们的值按照一定的规律不断重复出现．由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx ， cos(x+2kπ)=cosx(x∈R) ，也能知道它们的值按照一定的规律不断重复出现．这就是它们的一个重要性质．一般地，对于函数 y=f(x) ，如果存在一个不为零的常数下，使得当 x 取定义域内的每一个值时， f(x+Y)=f(x) 都成立，那么就把函数 y=f(x) 叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周期．例如，对于

正弦函数 y=sinx ， x∈R 来说， 2π ， 4π ，…， -2π ， -4π ，…都是它的周期，一般地， 2kπ(k∈Z ，且k≠0) 都是它的周期．对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期．例如， 2π 是正弦函数 y=sinx ，x∈R 的所有周期中的最小正数，因而 2π 是这个函数的最小正周期．正弦函数 y=sinx ， x∈R 和余弦函数 y=cosx ， x∈R都是周期函数， 2kπ(k∈Z ，且 k≠0) 都是它们的周期，最小正周期是 2π ．今后读到三角函数的周期时，一般指的是三角函数的最小正周期．师：现在我们来研究正弦函数和余弦函数的多奇性．什么叫做奇函数？什么叫做偶函数？生：如果对于函数定义域内任意一个 x ，都有 f(-x)=f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做奇函数．如果对于函数定义域内任意一个 x ，都有 f(-x)=f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做偶函数．

师：正弦函数和余弦函数是奇函数还是偶函数？为什么？生：∵　 sin(-x)=-sinx ，∴　 正弦函数 y=sinx ， x∈R 是奇函数．∵ 　 cos(-x)=cosx ，∴　 余弦函数 y=cosx ， x∈R 是偶函数．师：回答正确．我们还要知道它们的图象的特征，正弦函数是奇函数，则正弦曲线关于原点 O 对称；余弦函数是偶函数，则余弦曲线关于 y 轴对称．

减小到 -1 ．由正弦函数的周期性可知：

π](k∈Z) 上，都从 1 减小到 -1 ，是减函数．也就是说，正弦函数 y=sinx

观察余弦曲线可得到什么结论？生：由余弦曲线可以看出，函数 y=cosx在每一个闭区间[(2k-1)π， 2kπ](k∈Z)上都从 -1增大到 1，是增函数；在每一个闭区间 [2kπ， (2k+1)π](k∈Z)上，都从 1减小到 -1，是减函数．也就是说，余弦函数 y=cosx的单调区间是 [(2k-1)π， kπ]及 [2kπ， (2k+1)π]， (k∈Z)．师：完全正确．上面我们研究了正弦函数和余弦函数的五个性质：定义域，值域，周期性，奇偶性、单调性．下面请同学们做几起练习．(三 )例题

例 1 　 求使下列函数取得最大值的 x 的集合，并说出最大值是多少？(1)y=2sinx ， (2)y=cosx+2 ， (3)y=sin2x ， (4)y=3cos2x ．

函数 y=2sinx 的最大值为 2 ．(2) 使 y=cosx+2 取最大值的 x 的集合为 {x|x=2kπ ， k∈Z} ，函数 y=cosx+2 的最大值为 3 ．

(4)2x=2kπ ， x=kπ ．∴ 　 使 y=3cos2x 取最大值的 x 的集合为 {x|x=kπ ， k∈Z} ，函数 y=3cos2x 的最大值为 3 ．例 2 　 求下列函数的周期：

解： (1) 因为 sinx 的最小正周期是 2π ，所以当自变量 x(x∈R) 增加到 x+2π 且必须增加到 x+2π 时，函数 sinx 的值重复出现，函数 3sinx 的值也重复出现，因此 y=3sinx 的周期是 2π ．(2) 把 2x 看成是一个新的变量 z ，那么 z 的最小正周期是 2π ，就是说，当 z 增加即 z+2π 且必须增加到 z+2π 时，函数 cosz 的值重复出现，而 z+2π=2x+2π=2(x+π) ，所以当 x 增加到 x+π 且必须增加到 x+π时，函数值重复出现，因此 y=cos2x 的周期是 π ．

师：我们看到，例 2 中函数周期的变化仅与自变量 x 的函数有关．一

根据这个结论，我们可以由正弦函数式或余弦函数式直接写出它的

例 3 　 判定下列函数是偶函数，还是奇函数，或者都不是．(1)y=xsinx ， (2)y=|sinx| ， (3)y=cos2x+secx ， (4)y=sinx+cosx ，

解： (1)∵　 f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x) ，∴　 y=xsinx 为偶函数．(2)∵　 f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x) ，∴　 y=|sinx| 为偶函数．(3)∵　 f(-x)=cos2(-x)+sec(-x)=(cos2x+secx=f(x) ，∴　 y=cos2x=secx 为偶函数．(4) 都不是．(5)y=sin(π+x)=-sinx ．∵　 f(-x)=-sin(-x)=sinx=-f(x) ，∴ y=sin(π+x) 为奇函数．

例 4 　 不通过求值，指出下列各式大于零，还是小于零．

( 四 ) 总结本节课我们学习了正弦函数和余弦函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性，以及它们的简单应用．五、作业P ． 191 中 3 、 4 、 5(1) 、 6 、 7 ．六、板书设计

七、参考资料