正弦型函数 y=ASin(x+ )+B 图像与正弦函数 y=sinx 图像之间的关系

--- 伸缩与平移变换规律探析

制片人：平阴三中 王信岭

现在研究正弦型函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象与 y=sinx 的图像的关系：

（ 1 ） y=Asinx 与 y=sinx 图象的关系（ 2 ） y=sinωx 与 y=sinx 图象的关系

（ 3 ） y=sin(x+φ) 与 y=sinx 图象的关系

1 、振幅变换： y=Asinx 与 y=sinx 图象的关系例 1 、作函数 y=2sinx 及 的简图xy sin

2

1

解： 列表

000 sinx

0-20202sinx

0-1010sinx

2ππ0x 2

2

3

2

1

2

1

2

1

描点作图

x

y

0

1

2

-1

-2

2

2

3

π2π

以上三个函数的图像之间有什么关系呢 ?

函数 与 y=sinx 的图象的关系y=2sinxy= sinx

y=Asinx（ A>0 且A≠1)

各点纵坐标伸长为原来的 2 倍

各点纵坐标缩短为原来的 倍

1.A>1 时 , 各点纵坐标伸长为原来的 A 倍

2.0<A<1 时 , 各点纵坐标缩短为原来的 A倍

( 横坐标不变 )

( 横坐标不变 )

( 横坐标不变 )

2

1 1

2

注： y=Asinx ，振幅是 A; x R∈ 的值域［ -A,A

］，最大值是 A ，最小值是 -A 。

2 、周期变换： y=sinωx 与 y=sinx 图象的关系例 2 、作函数 y=sin2x 及 的简图xy

2

1sin

解：

列表

2π

y

x0

1

-12

2

3π4

4

33π 4π

描点作图：

0-1010sin2x

2x

x

0 2ππ2

2

3

π02

4

4

3

我们先画在［ 0 ， π］上的简图 , 在 [0, ] 上作图 ,

函数 y＝ sin2x， x∈R 的周期 T＝2

2 ＝ π

y=sin2x

y=sinx

关系 ？

列表

2π

y

x0

1

-12

2

3π4

4

33π 4π

描点作图：

0-1010

4π3π2ππ0

sin x

x

x

2

1

2

1

2ππ02

32

2

1

2

12函数 y＝ sin x， x∈R 的周期 T＝ ＝ 4

π

我们画［ 0 ， 4π］上的简图，

1sin

2y xy=sinx

关系 ？

函数 与 y=sinx 的图象的关系y=sin2xy=sin

y=sinωx（ ω>0 且ω≠1)

各点横坐标伸长为原来的 2 倍

各点横坐标缩短为原来的 倍( 纵坐标不变 )

( 纵坐标不变 )

( 纵坐标不变 )

1

2

2

x

1.ω>1 时 , 各点横坐标缩短为原来的 倍1

¦Ø

2.0<ω<1 时 , 各点横坐标伸长为原来的 倍1

¦Ø

注 : ①ω决定函数的周期 T= , 它引起横 向伸缩 (可简记为 :小伸大缩 ).

2

¦Ø

结论结论 ::1 、振幅变换： y=Asinx 与 y=sinx 图象的关系

一般地，函数 y=Asinx （ A ＞ 0 且 A≠1 ）的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长（当 A ＞ 1 时 ）或缩短（当 0 ＜ A ＜ 1时 ）到原来的 A 倍（横坐标不变）而得到的。 y=Asinx ， x∈R 的值域是［ -A ， A ］，最大值是 A ，最小值是 -A 。

2 、周期变换： y=sinωx 与 y=sinx 图象的关系

一般地，函数 y=sinωx （ ω ＞ 0 且 ω≠1 ）的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短（当 ω ＞ 1 时 ）或伸长（当 0 ＜ ω ＜ 1 时 ）到原来的　 倍（纵坐标不变）而得到的。

1

巩固练习•1. 要得到函数 y= 2 sin x 的图象，只需将 y= sinx 图象（ ） A. 横坐标扩大原来的两倍 B. 纵坐标扩大原来的两倍 C. 横坐标扩大到原来的两倍 D. 纵坐标扩大到原来的两倍•2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象（ ） A. 横坐标扩大原来的 3 倍 B. 纵坐标扩大到原来的 3 倍 C. 纵坐标缩小原来的 1/3 倍 D. 横坐标缩小到原来的 1/3 倍

D

D

例 3 画出函数

Rx , )3π

sin(x(1)y

的简图。

Rx , )4π

sin(x(2)y

并与正弦函数 y=sinx 的

图像作一比较，有什么规律？

[0,2π]xsinx,y 函数

]3

5π,

3π

[x),3π

sin(xy

的图象如图 ]4

9π,

4π

[x),4π

sin(xy

2π π

2π

4π

6π

49

35

π43

4π

7 6

7π

32π

0 x

y

1

-1

[0,2π]xsinx,y

]3

5π,

3π

[x),3π

sin(xy

]4

9π,

4π

[x),4π

sin(xy

3π

函数 与 y=sinx 的图象的关系y=sin(x+ )

y=sin(x- )

y=sin(x+φ)

(φ≠0)

( 各点 ) 沿 x 轴方向向左平移 个单位

( 各点 ) 沿 x 轴方向向右平移 个单位

1. 当 φ>0 时 , 各点沿 x 轴方向向左平移 |φ| 个单位

2. 当 φ<0 时 , 各点沿 x 轴方向向右平移 |φ| 个单位

注 :φ 引起图象的左右平移，它改变图象的位置 , 不改变图象的形状 . 这种变换叫做相位变换 .

4

3

3

4

练习一：（ 1 ）将 y=sin2x 的图象向右平移 ，则所得图象解析式为 6

y=sin （ 2x- ）3

（ 2 ）将 y=sin( x+ ) 的图象经过 变换可得 y=sin x 的图象

2

13

2

1向右平移 个单位3

2

练习二：把函数 y=sin(2x+ ) 的图象向右平移 个单位，再将横坐标缩小到原来的 ，则其解析式为（ ）

（ A ） y=sin4x （ B ） y=sin(4x+ )

（ C ） y=sinx （ D ） y=sin(4x+ )

4

8

2

1

8

8

3

A

3. 要得到函数 y=sin （ x + π/3 ）的图象，只需将 y=sinx 图象（ ） A. 向左平移 π/6 个单 B. 向右平移 π/6 个单位C. 向左平移 π/3 个单位 D. 向右平移 π/3 个单位 4. 要得到函数 y=sin （ 2x － π/3 ）的图象 ,

只需将 y=sin2x 图象（ ） A. 向左平移 π/3 个单位 B. 向右平移 π/3 个单位 C. 向左平移 π/ 6 个单位 D. 向右平移 π/6 个单位

C

D

反馈练习

1 、要得到函数 y=3sin(2x-π/4) 个单位，只需将函数y=3sin2x 的图象上的点（ ）

(A) 向右平移 π/4 个单位 (B) 向左平移 π/4 个单位

(C) 向右平移 π/8 个单位 (D) 向左平移 π/8 个单位

B

C

2 、要得到函数 y=sin5x 的图象，只要把函数 y=sin(5x+ 1 /2) 的图象上所有的点（ ）

A 向左平移 π/10 个单位 B 向右平移 1/10 个单位

C 向左平移 π/2 个单位 D 向右平移 1/2 个单位返回

略解：

(2) 描点：

)0,6

(

)3,12

(

)0,3

(

)3,12

7(

)0,

6

5(

， ， ， ，

（ 3 ）连线：

（ 4 ）根据周期性将作出的简图左右

扩展。

y=3sin(2x+　 ) 　　

3

x

y

o

6

53

12

6

3

12

7

-3

R的简图。x),3π

3sin(2xy画出函数 4例

π65

127π

3π

12π

6π

2π 2

3π π

2π

0

0 3- 0 3 0)3π

3sin(2x

3π

2x

x

由图可以看出，它是怎样由 y=sinx 的图像变化而来？

1

- １

2

-2

ox

y

3

-3

2

6

53

6

3

3

5

y=sin(2x + 　 )② 　　3

y=sinx 　　

y=sin(x+ 　 )①　　

3

y=3sin(2x+ 　 )③ 　　 3

方法 1: 先平移后伸缩演示

1

- １

2

-2

ox

y

3

-3

2

6

53

6

3

3

5

y=sinx 　　

y=sin2x①　

方法 2: 先伸缩后平移演示

y=sin(2x + )②3

y=sin(2x + )②

3

y=sin(2x + )②

3

y=3sin(2x+ 　 )③ 　　 3

1

- １

2

-2

ox

y

3

-3

2

6

53

6

3

3

5

y=sinx 　　y=3sinx①

y=3sin2x②

其余方法演示 … .

y=3sin(2x+ )③3

y=3sin(2x+ )③

3

你能根据图像说明此种变化过程吗？

方法一、平移伸缩变换sinxy＝ ）＋（＝

6xsiny

sinxy＝

）＋（＝6

x2siny

）＋（＝6

x2sin3y

方法二、伸缩平移变换）（＝ x2siny ）＋（＝

6x2siny

注意：在横线上面填写变化条件。

）的图像是怎样由＋（＝、说出函数例6

x2sin3y5

函数 y=sinx 的图像变化而来？

图象的联系吗？

sinxy 与)Asin(ωxy

你能否得到

y=Sin( x+ ) 的图象

函数 y=Sinx y=Sin(x+ ) 的图象

（ 3 ）纵坐标伸长 (A>1) 或缩短 (0<A<1)

到原来的 A 倍（横坐标不变）y=ASin(x+ ) 的图象

（ 1 ）向左 ( >0) 或向右 ( <0)

平移 | | 个单位

（ 2 ）横坐标缩短 ( >1) 或伸长 (0<<1) 到

原来的 倍，（纵坐标不变）1

方法 1: 先平移后再伸缩规律：

请快速用笔抄下来！

y=Sin( x+ ) 的图象

（ 3 ）横坐标不变，纵坐标伸长 (A>1)

或缩短 (0<A<1) 到原来的 A 倍y=ASin(x+ ) 的图象

函数 y=Sinx y=Sin x 的图象(1) 横坐标缩短 ( >1) 或伸长 (0<<1)到

原来的 倍，纵坐标不变 1

（ 2 ）向左 ( >0) 或向右 ( <0)

平移 | | 个单位

方法 2: 先伸缩后再平移规律：

请快速用笔抄下来！

1 、要得到函数 y=4sin2x 的图象，只需将函数y=4sin(2x-π/3) 图象上所有的点向 平移 个单位。2 、要得到函数 y=-4sin2x 的图象，只需将函数 y=4sin(2x-π/3) 图象上所有的点向 ---- 平移 个单位。

左

6

返回

)]6

(2sin[4)3

2sin(4

)2

(2sin[4)2sin(42sin4

xxy

xxxy

左3

2

反馈练习

课堂小结 :

1.y=Asin(ωx+φ)+B (A>0,ω>0) 中 ,A 叫振幅 ,φ叫初相 .B 是平衡轴的标志， A 和 ω 的变化引起 ______ 变换 ,φ 和 B 的变化引起 ______变换 .

规律：横向变换可简记为 : 左加右减 , 小伸大 缩；纵向变换可简记为：上加下减，大神小缩

伸缩 平移

2 、由正弦函数 y=sinx 图像变化到 y=Asin(ωx+φ)+B 的图象可以有多种途径，但主要有三种变化：相位变换（左右平移）；周期变换（横坐标伸缩）；振幅变换（纵坐标伸缩）关键是横坐标的伸缩变化与平移变化的先后次序，要注意当先伸缩再平移时应平移 个单位，即应该先把 ---- 提出来；上下平移由 B 决定。