反比例函数 的图像与性质

K>0 K<0

当 k ＞ 0 时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内， y 随 x 的增大而减小 .

当 k ＜ 0 时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内， y 随 x 的增大而增大 .

1. 反比例函数的图象是双曲线 ; 2. 图象性质见下表：

图象

性质

y=x

k

反比例函数的图象和性质：

一 . 填一填

1. 函数 是 函数，其图象为 ，其中 k= ，自变量 x的取值范围为 .

2. 函数 的图象位于第 象限 , 在每一象限内 ,y的值随 x的增大而 , 当 x＞ 0时 ,y 0, 这部分图象位于第 象限 .

x

2y

x

6y

反比例反比例 双曲线双曲线

22 x≠ x≠ 00

一、三一、三

减小减小＞＞ 一一

3. 函数 的图象位于第 象限 , 在每一象限内 ,y 的值随 x 的增大而 ,

当 x ＞ 0 时 ,y 0, 这部分图象位于第 象限 .

x

6y 二、四二、四

增大增大

＜＜ 四四

4.4. 函数 的图象在二、四象限内，函数 的图象在二、四象限内， mm 的取的取 值范围是值范围是 ______ .______ .x

my

2

m 2﹤

5. （挑战自我） 反比例函数 （ K 为常数）图象位于（　　） Ａ．第一、二象限 Ｂ．第一、三象限 Ｃ．第二、四象限 Ｄ．第三、四象限

x

ky

12

B

已知点 A （ 1 ， 4 ）是双曲线 的一点，过点 A 作 x 轴的垂线段 PA 垂足为 P ，过点 A 作 AB⊥y 轴于 B 点。得到长方形 OPAB 。(1) 你能说出长方形 OPAB 的面积吗？（ 2 ）若 A 点是该双曲线上的一个动点，分别过点 A 给坐标轴作垂线段得到的长方形面积是否发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，试说明理由。

A

O P x

y

B

二 . 动动脑x

y4

P(m,n)

Ao

y

x

BP(m,n)

Ao

y

x

B

说说你的推理

过点 P 分别作 x 轴， y 轴的垂线段，垂足为 A ， B ，

则 S 矩形 OAPB=OA.AP=|m|.|n|=|k|.

上任意一点是双曲线 :,)0(),( kx

kynmP

||2

1||||

2

1

2

1knmAPOAS OAP

P(m,n)

Ao

y

x

P(m,n)

Ao

y

x

则垂足为轴的垂线作过 ,,)1( AxP

有上任意一点是双曲线设 :,)0(),( kx

kynmP ≠=

P(m,n)A

o

y

x

P(m,n)

Ao

y

x

想一想若将此题改为过 P

点作 y 轴的垂线段 ,其结论成立吗 ?

||2

1||||

2

1

2

1knmAPOAS OAP

小结：

反比例函数 上一点 P （ x0 ， y0 ），过

点 P 作 PB y⊥ 轴， PA X⊥ 轴，垂足分别为A 、 B ，则四边形 AOBP 的面积为 ；

且 S AOP△ S BOP△ 。

ky

x

k

2

k=

B

1 、如图 , 点 P 是反比例函数 图象上的一点 ,PD⊥x 轴于 D. 则△ POD 的面积为 .

2y

x

Do

y

P

x

基础训练

22 、如图、如图 ,, 点点 PP 是反比例函数图象上的一点是反比例函数图象上的一点 ,, 过点过点 PP

分别向分别向 xx 轴、轴、 yy 轴作垂线轴作垂线 ,, 若阴影部分面积为若阴影部分面积为 12,12,

则这个反比例函数的关系式是则这个反比例函数的关系式是 __________ __________ 。。

x

y

oM

Np

基础训练

.__,3

,2

,11

,1

,1

,,,,1

,1

,1

,

,,,)0(1

,.3

则有的面积分别为

记边结三点

轴于交轴引垂线经过三点分别向

的图像上有三点在如图

SSSOCC

OBBOAAOCOBOA

CBAxx

CBAxx

y

A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3

B

A1o

y

x

A

C

B1 C1

S1

S3

提高训练

xy

14 、在 的图象中，阴影部分面积不为 1 的是（ ）．

提高训练

5 、如图，在 x 轴上点 P 的右侧有一点 D ，过点 D 作 x轴的垂线交双曲线 于点 B ，连结 BO 交 AP 于 C ，设△ AOP 的面积为 S1 ，梯形 BCPD 面积为 S2 ，则 S1

与 S2 的大小关系是 S1 S2 。（选填“ >”“<” 或

“＝”）

xy

1

O x

y

A

B

D

P

C

综合训练

1.1. 已知点已知点 A(-2,A(-2,yy11),B(-1,),B(-1,yy22) ) 在反比在反比

例函数 的图象上例函数 的图象上 ,, 则则 yy11 与与 yy22 的大小关系的大小关系 (( 从从

大到小大到小 )) 为为 ____________ . ____________ . x

y3

yy

xxo-1-1

yy1yy22AA

BB

-2-2

4

CCyy33

四、比一比

2. 已知点 A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3) 都在反比例函数 的图象上 ,试说明 y1 、 y2 与 y3 的大小关系( 从大到小 ) 。

xy

3

在反比例函数 的图象上有三点（ x1 ， y

1 ）、（ x2 ， y2 ）、（ x3 ， y3 ），若 x1>x2>0>x3 ，则下列各式中正确的是（ ）A 、 y3>y1>y2 B 、 y3>y2>y1

C 、 y2>y1>y3 D 、 y1>y3>y2

xy

2

练一练：

课堂小结

通过这节课的学习你有哪些收获？