二次函数 y=ax2的图像和性质

x

y

一 . 平面直角坐标系 :

1. 有关概念 :

x( 横轴 )

y( 纵轴 )

o

第一象限第二象限

第三象限 第四象限

P

a

b(a,b)

2. 平面内点的坐标 :

3. 坐标平面内的点与有序 实数对是 :一一对应 .

坐标平面内的任意一点 M, 都有唯一一对有序实数 (x,y) 与它对应 ;任意一对有序实数 (x,y), 在坐标平面内都有唯一的点 M 与它对应 .

4. 点的位置及其坐标特征 :

①. 各象限内的点 :

②. 各坐标轴上的点 :

③. 各象限角平分线上的点 :

④. 对称于坐标轴的两点 :

⑤. 对称于原点的两点 :

x

y

o

(+,+)(-,+)

(-,-) (+,-)

P(a,0)

Q(0,b)

P(a,a)

Q(b,-b)

M(a,b)

N(a,-b)

A(x,y) B(-x,y)

C(m,n)

D(-m,-n)

xy

1

xy

2

x

y=x2

y= - x2

...

...

...

...

...

...

0-2 -1.5 -1 -0.5 1 1.50.5 2

函数图像画法

列表

描点

连线

0 0.25 1 2.25 40.2512.254

描点法描点法

用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要

自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结

用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要

自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要

自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要

自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要

自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要

自左向右顺次连结

0 -0.25 -1 -2.25 -4-0.25-1-2.25-4

注意：列表时自变量取值要均匀和对称。

画出下列函数的图像。

2

2

2

3

2)3(

2)2(

2

1)1(

xy

xy

xy

2xy

2xy

x

y=2x2

...

......

...

0-2 -1.5 -1 -0.5 1 1.50.5 2

x

y=x2

...

......

...

0-4 -3 -2 -1 2 3 1 42

2

1xy 0 0.5 2 4.5 80.524.58

列表参考

0 0.5 2 4.5 80.524.58

x

y=2x2

...

......

...

0-3 -1.5 -1 1.51-2 2 32

3

2xy 0 3

2 1.5 3

8 -63

21.53

8-6

2

2

1xy

22xy

2

3

2xy

二次函数 y=ax2 的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。

22xy

2

3

2xy

2

2

1xy

2xy

2xy

这条抛物线关于 y 轴对称， y 轴就是它的

对称轴。

这条抛物线关于 y 轴对称， y 轴就是它的

对称轴。

这条抛物线关于 y 轴对称， y 轴就是它的

对称轴。 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。

对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。

对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。

2xy

2xy

1、观察右图，并完成填空。

抛物线 y=x2 y=-x2

顶点坐标对称轴位置开口方向增减性

极值

（ 0 ， 0 ） （ 0 ， 0 ）y 轴 y 轴

在 x 轴的上方（除顶点外）在 x 轴的下方（除顶点外）

向上 向下

当 x=0 时，最小值为 0 。当 x=0 时，最大值为 0 。

二次函数 y=ax2 的性质

１、顶点坐标与对称轴

２、位置与开口方向

３、增减性与极值

2 、练习 23 、想一想

在同一坐标系内，抛物线 y=x2 与抛物线 y= -x2 的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内 画函数 y=ax2 与 y= -ax2 的图像，怎样画才简便？

4 、练习 4

动画演示

在同一坐标系内，抛物线 y=x2 与抛物线 y= -x2 的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内

画函数 y=ax2 与 y= -ax2 的图像，怎样画才简便？

答：抛物线抛物线 y=x2 与抛物线 y= -x2 既关于 x 轴对称，又关于原点对称。只要画出 y=ax2 与 y= -ax2

中的一条抛物线，另一条可利用关于 x 轴对称或关于原点 对称来画。

2xy

2xy

当 a>0 时，在对称轴的左侧， y 随着 x 的增大而

减小。

当 a>0 时，在对称轴的右侧， y 随着 x 的增大而

增大。

当 a<0 时，在对称轴的左侧， y 随着 x 的增大而

增大。

当 a<0 时，在对称轴的右侧， y 随着 x 的增大而

减小。

当 x=-2 时， y=4当 x=-1 时， y=1

当 x=1 时， y=1当 x=2 时， y=4

当 x=-2 时， y=-4当 x=-1 时， y=-1

当 x=1 时， y=-1当 x=2 时， y=-4

1 、抛物线 y=ax2 的顶点是原点，对称轴是 y轴。

2 、当 a>0 时，抛物线 y=ax2 在 x 轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且 向上无限伸展； 当 a<0 时，抛物线 y=ax2 在 x 轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且 向下无限伸展。

3 、当 a>0 时，在对称轴的左侧， y 随着 x 的增大而减小；在对称轴右侧， y 随着 x 的增大而增大。当 x=0 时函数 y 的值最小。当 a<0 时，在对称轴的左侧， y 随着 x 的增大而增大；在对称轴的右侧， y 随着 x 增大而减小，当 x=0 时，函数 y 的值最大。

二次函数 y=ax2 的性质二次函数 y=ax2 的性质2xy

2xy

22xy

2

3

2xy

2 、根据左边已画好的函数图像填空：（ 1 ）抛物线 y=2x2 的顶点坐标是 ,

对称轴是 ，在 侧，y 随着 x 的增大而增大；在 侧，y 随着 x 的增大而减小，当 x= 时，函数 y 的值最小，最小值是 , 抛物线 y=2x2 在 x 轴的 方（除顶点外）。

（ 2 ）抛物线 在 x 轴的 方（除顶点外），在对称轴的

左侧， y 随着 x 的 ；在对称轴的右侧， y 随着 x 的

，当 x=0 时，函数 y 的值最大，最大值是 ，

当 x 0 时， y<0.

2

3

2xy

（ 0 ， 0 ）y 轴 对称轴的右

对称轴的左0

0

上

下

增大而增大增大而减小 0

1 、已知抛物线 y=ax2 经过点 A （ -2 ， -8 ）。 （ 1 ）求此抛物线的函数解析式； （ 2 ）判断点 B （ -1 ， - 4 ）是否在此抛物线上。 （ 3 ）求出此抛物线上纵坐标为 -6 的点的坐标。

解（ 1 ）把（ -2 ， -8 ）代入 y=ax2, 得-8=a(-2)2, 解出 a= -2, 所求函数解析式为y= -2x2.

（ 2 ）因为 ，所以点 B （ -1 ， -4 ）不在此抛物线上。

2)1(24

（ 3 ）由 -6=-2x2 , 得 x2=3, 所以纵坐标为 -6 的点有两个，它们分别是

3x

)6,3()6,3( 与

y=-2xy=-2x22

3 3

)6,3( )6,3(