第一节 可测函数的定义及性质第一节 可测函数的定义及性质

第四章 可测函数

主讲：胡努春

新的积分（新的积分（ LebesgueLebesgue 积分积分 ,, 从分割值域入手））

i

n

iibamEdxxfL

1

0],[lim)()(

yi

yi-1

})(:{ 1 iii yxfyxE

iii yy 1

用 mEi 表示 Ei 的“长度”

问题：怎样的函数可使 Ei 都有“长度” ( 测度 )?

11 可测函数定义可测函数定义

][, afERa

例 例 (1) (1) 零集零集上的任何函数都是可测函数。上的任何函数都是可测函数。

注：称外测度为 0 的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集

定义：设 f(x) 是可测集 E 上的实函数 ( 可取 ) ，若 可测，则称 f(x) 是 E 上的可测函数

((2)2) 简单函数简单函数是可测函数是可测函数

i

n

iEE

1

)()(1

xcxfiE

n

ii

i

ii

ExEExE x

1

0)(

可测][, afERa 可测函数

注： Dirichlet 函数是简单函数0 1

若 若 ( E( Ei i 可测且两两不交），可测且两两不交）， f(x)f(x) 在在每个每个 EEii 上取常值 上取常值 ccii ，则称，则称 f(x)f(x) 是是 EE 上的简单函数；上的简单函数；

（（ 33 ）可测集）可测集 EE 上的上的连续函数连续函数 f(x)f(x) 必为可测函数必为可测函数

|)()(|||,0,0 00 xfxfxx 时，有当即

对比：设 f(x) 为 (a,b) 上有限实函数， 0( ) ( , )f x x a b在 处连续

)()(lim 00

xfxfxx

若

)),((),( 00 )(,0,0 xfx OOf 使得即

)),((),( 00 )(,0,0 xfx OxfOx 时，有当即

( ) ( ) ( )

],[0 bax f(x) 在 处连续 ( 对闭区间端点则用左或右连续 )

)),((),( 00)(,0,0 xfx OEOf 使得若

Ex 0设 f(x) 为 E 上有限实函数，称 f(x) 在 处连续

可测集可测集 EE 上的连续函数上的连续函数 f(x)f(x) 定为可测函数定为可测函数

为可测集故 EGE af ][

),()(,0,)( )),((),( aOEOfaxf xfxx x 使得对

( , ) [ ]xx f aO E E 即

证明：任取 x E[f>a], ∈ 则 f(x)>a, 由连续性假设知，

( ) x ０

f(x0)+εf(x0)f(x0)-εa

[ ]( , )x

f ax

x EG O

令

[ ] [ ]( , ) ( , ) [ ]( ) ( )

x xf a f a

x x f ax E x E

G E O E O E E

另外

则 G 为开集，当然为可测集，且

[ ][ ] ( , )( )

xf a

f a xx E

E O E G E

所以反之

⑷ ⑷ RR 中的可测子集中的可测子集 EE 上的单调函数上的单调函数 f(x)f(x) 必为可测函数。必为可测函数。

a

I a x1 x2

})(|{),[})(|{),(][ { axfxIIEaxfxIIEaf

aa

aaE

当当

由 f 单调增知下面的集合为可测集

})(|inf{ axfxIa 令

证明：不妨设 f 单调增，对任意 a R∈

⒊⒊ 可测函数的等价描述可测函数的等价描述

可测][,)2( afERa

可测][,)3( afERa

可测][,)4( afERa

[ ](5) , , , ( | ( ) | )a f ba b R a b E f x 可测充分性要求

证明：利用（ 1 ）与（ 4 ），（ 2 ）与（ 3 ）互为余集，以及

[ ] 1 [ ] [ ] [ ]1 1[ ]

[ ] 1 [ ] [ ] [ ]1 [ ]

( )f a f a a f a n fn nf an

f a a f b f a f bn f an

E E E E E

E E E E E

),)1(( ][ 可测即 afERa ⒈ 定义：设 f(x) 是可测集 E 上的实函数，则 f(x) 在 E 上可测

对前面等式的说明对前面等式的说明

)( ][1][1][ 11

nn afnafnaf EEE

)),[(),(),[ 1

1

1

1

nnnnaaa

( [a-1/n a

)( ][1][1][ 11

nn afnafnaf EEE

)),((),[),( 1

1

1

1

nnnnaaa

( [a a+1/n

⒋⒋ 可测函数的性质可测函数的性质

][1

][1][][1 afnn

afafaf EEEEE

⑴ 可测函数关于子集、并集的性质

nnEE

1反之，若 , f(x) 限制在 En 上是可测函数，

则 f(x) 在 E 上也是可测函数。

11 ,EEE 即 : 若 f(x) 是 E 上的可测函数 , 可测，

则 f(x) 限制在 E1 上也是可测函数；

若 m (E[f≠g])=0, 则称 f(x)=g(x) 在 E 上几乎处处成立 ,记作 f(x)=g(x) a.e. 于 E 。（ almost everywhere ）

注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性

证明：令 E 1= E[f≠g] ， E 2= E[f=g] ，则 m E1=0从而 g(x) 在 E1 上可测 ，

即： 设 f(x)=g(x) a.e. 于 E ， f(x) 在 E 上可测，则 g(x) 在 E 上也可测

注：用到了可测函数关于子集、并集的性质

另外 f(x) 在 E2 上可测，从而 g(x) 在 E2 上也可测 ，

进一步 g(x) 在 E=E1 E∪ 2 上也可测 。

⑵⑵ 可测函数类关于四则运算封闭可测函数类关于四则运算封闭

即 : 若 f(x),g(x) 是 E 上的可测函数 ,

则 f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)

仍为 E 上的可测函数。

可测，：只要证证明 ][][, gafagf EERa

[ ]

[ ] [ ]

, ( ) ( )

, ( ) ( )

( )

f a g

f r g a rr Q

x E f x a g x

r Q f x r a g x

x E E

任取 则

从而 使即

a-g(x) r f(x)

类似可证：设 f(x),g(x) 是 E 上可测函数，则 为可测集。][ gfE

[ ] [ ] [ ]( )f r g a r f a gr QE E E

反之 也成立

[ ] [ ] [ ]( )f a g f r g a rr Q

E E E 从而

[ ] [ ] [ ]( )f a g f r g a rr Q

E E E 从而 可测

证明中利用了Q 是可数集和R 中的稠密集两个性质

[ ]

[ ] [ ]

, ( ) ( )

, ( ) ( )

( )

f a g

f r g a rr Q

x E f x a g x

r Q f x r a g x

x E E

任取 则

从而 使即

a-g(x) r f(x)

若若 f(x),g(x)f(x),g(x) 是是 EE 上的可测函数上的可测函数 ,, 则则 f(x) g(x)f(x) g(x) 仍为仍为 EE 上的可测函数上的可测函数。。

作业：若 f(x),g(x) 是 E 上的可测函数 , 则 f(x) -g(x) ,f(x)/g(x)

为 E 上的可测函数

再利用 f(x)g(x) ={(f(x)+g(x))2 - (f(x) -g(x))2}/4 即可

2[ ] [ ]

00[ ]

{f a f a

E aE E af a

E

证明：首先 f2(x) 在 E 上可测，因为对任意 a R∈

⑶⑶ 可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。

推论：可测函数列的推论：可测函数列的极限函数极限函数仍为可测函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。

][1

][][1

][ afn

aafn

a nnEEEE

)}({infsup)(inflim

)}({supinf)(suplim

)}(inf{)()}(sup{)(

xfxf

xfxf

xfxxfx

mnmn

nn

mnmn

nn

nn

若 fn(x) 是 E 上的可测函数 , 则下列函数仍为 E 上的可测函数。

对上式的说明：对上式的说明：

][1

][ afn

a nEE

)}(inf{)( xfx n

xSxS ,)1( 的下界，即是数集

xSx

S

使得即的最大下界，是数集

,,0

)2(

Sinf下确界：

[ ] 1 11 1[ ] [ ]f a n nf a f a

n n

E E E

比较：

( [a-1/n a

例： 例： RR11 上的可微函数上的可微函数 f(x)f(x) 的导函数的导函数 f `(x)f `(x) 是可测函数是可测函数

利用了可测函数列的利用了可测函数列的极限函数极限函数仍为可测函数仍为可测函数 ..

从而 f `(x) 是一列连续函数（当然是可测函数）

的极限，故 f `(x) 是可测函数 .

n

n

nox

xfxf

x

xfxxfxf

1

1 )()(lim

)()(lim)('

证明：由于

gn(x)

例 设例 设 {f{fnn}} 是可测函数列，则它的收敛点全体和是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集发散点全体是可测集 ..

注意：函数列收敛与函数列收敛于 f 之间的不同 .

[lim lim ]n nn n

E f f

[lim lim ]n nn n

E f f

证明：发散点全体为

收敛点全体为lim limn nn n

f f

在利用 和 是可测函数即可再

⒌⒌ 可测函数与简单函数的关系可测函数与简单函数的关系

可测函数 f(x) 总可表示成一列简单函数的极限

12|)()(|

nn

mMxfx

M

m

M

m

M

m

n

0

次等分nn 2

可测函数与简单函数的关系可测函数与简单函数的关系

注：当注：当 f(x)f(x) 是有界函数时，上述收敛可做到是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛一致收敛

1

2 2[ ] 0,1,2, , 2 12

[ ]

( )nn k k

n n

kf k n

n

f n

x Ex

n x E

)(lim)( xxf nn

|)(||)(| 21 xx )}({ xn若 f(x) 是 E 上的可测函数 , 则 f(x) 总可表示成一列简

单函数的极限 ，而且还可办到

例：设例：设 f(x)f(x) 是是 RR 上上连续函数连续函数，， g(x)g(x) 是是 EE 上上可测函数可测函数，，则则 f( g(x))f( g(x)) 是可测函数。是可测函数。

证明：要证 f( g(x)) 是可测函数，只要证对任意 a ，E[f g>a]={x| f( g(x))>a} 可测即可 ,

g 可测 f 连续

{x| f( g(x))>a}= (f g)-1((a,+∞)) = g-1(f-1((a,+∞)))

f-1((a,+∞)) = ),( iii

ba ))),((()),(( 11ii

iii

ibagbag

例：设例：设 f(x)f(x) 是是 RR 上上连续函数连续函数，， g(x)g(x) 是是 EE 上上可测函数可测函数，，则则 f( g(x))f( g(x)) 是可测函数。是可测函数。

注：注： f(x)f(x) 是是 RR 上可测函数，上可测函数， g(x)g(x) 是是 RR 上连续函数，上连续函数， f( g(x))f( g(x)) 不不一定是可测函数一定是可测函数（利用 Cantor 函数构造，参见：《实变函数》，周民强， p114)

证明：要证 f( g(x)) 是可测函数，只要证对任意 a ，

m (E[f g>a])={x| f( g(x))>a} 可测即可 ,

由于 f 在 F=R 上连续，故 F[f>a] 为 R 中的开集，

),(][ iii

af baF

又直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的开区间的并，故不妨令

[ ] [ ]i ifg a a g bi

E E 为可测集再由 g 可测，可知

例：设例：设 f(x)f(x) 是是 RR 上上连续函数连续函数，， g(x)g(x) 是是 EE 上上可测函数可测函数，，则则 f( g(x))f( g(x)) 是可测函数。是可测函数。

1

1

( ) ( )

( ( )) ( ) ( )

i

i

n

i Ei

n

i Ei

x c x

f x f c x E

若 为简单函数，

则 仍为 上简单函数。

注：

)(lim)( xxg nn

)}({ xn另证：若 g(x) 是 E 上的可测函数 , 则 g(x) 总可表示成一列简单函数 的极限

))((lim))(lim())(( xfxfxgf nn

nn

因为 f(x) 连续，故

所以 f( g(x)) 是简单函数列的极限，故为可测函数