第三节 初等多值函数
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第三节 初等多值函数2.3.1 根式函数2.3.2 对数函数2.3.3 一般幂函数与一般指数函数2.3.4 具有多个有限支点的情形2.3.5 反三角函数和反双曲函数2.3.5 小结与思考
2
定义 2.8( 单叶函数)设函数 f(z) 在区域 D 内有定义 , 且对 D 内任意不
同的两点 z1 及 z2 都有 f(z1)≠f(z2), 则称函数 f(z) 在 D 内是单叶的 . 并且称区域 D 为 f(z) 的单叶性区域 .
显然 , 区域 D 到区域 G 的单叶满变换 w=f(z)
就是 D 到 G 的一一变换 .
f(z)=z2 不是 C 上的单叶函数 .
f(z)=z3是 C 上的单叶函数
3
2.3.0 幂函数的变换性质及其单叶性区域设有幂函数 : W=zn
令 z=rei,w=ei , 则:W=zn ei = rnein= rn, =n于是得到幂函数有如下的变换性质:
z 平面
w 平面射线 =0
射线 =n0
圆周 r=r0圆周 = r0
n
0 正实轴 0 正实轴
4
xo
zy
uo
wv
W=zn
z 平面
w 平面射线 =0
射线 =n0
圆周 r=r0圆周 = r0
n
0n0
角域 0<<0射线 0< <n0
) 0 ) 0nxo
zy
) 0n
5从原点起沿负实轴剪开的 w 平面
G0
z 平面
w 平面
W=zn
角域 0<<0 射线 0< <n0
0 :Tn n
角域 0 :G 角域
uo
wv
xo
zy
n
n
n
映射成负实轴的上岸π
π n
映射成负实轴的下岸
上岸
下岸
:
2 2nT
k k
n n n n
角域 :
2 2nG
k k
角域
6
映射特点 :
幂函数 w=zn (n>1) 单叶性区域是顶点在原点,张度不超过 2/n 的角形区域
的角形域 , 但张角变成为原来的 n 倍 .
2 2: 0,1, 1n
k kT k n
n n n n
角域
是幂函数的单叶性区域的一种分法
总之:
把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点
7
2.3.1 根式函数• 定义 2.9
若 z=wn, 则称 w 为 z 的 n 次根式函数,记为:nw z
i.e. 根式函数 为幂函数 z=wn 的反函数 .nw z
(1) 根式函数的多值性 .
0 0 0nz w
2
0 | |k
in nn
kk
z w z z e
0,1, 1k n
arg z z 的主辐角
8
(2) 分出根式函数的单值解析分支 .
2
0k
in nn n
kk
kiz w z re re
1) 产生多值的原因 .
2 arg 2= 0,1, 1k
k z kk n
n n
120 1
0n ni iw re w re
22 22
n iw re
2 ( 1)1
1n nn
niw re
2 kk nk
iw re
产生多值的原因是 : 当 z 取定后,其辐角不固定,可以连续改变 2的整数倍,对应的函数值连续改变到下一个值
9
2) 解决的办法 .
限制 z 的辐角的变换,使其辐角的该变量 argz<2 理论上的的做法: 从原点 O 起到点∞任意引一条射线将 z 平面割破,该直线称为割线,在割破了的平面 ( 构成以此割线为边界的区域,记为 G) 上, argz<2,从而可将其转化为单值函数来研究
常用的做法: 从原点起沿着负实轴将 z平面割破:
z
xo
zy
G
10
( ) 2
( )z k
in nn
kk
w z r z e
结论: 从原点起沿着负实轴将 z 平面割破 , 即可将根式函数 : nw z 分成如下的 n 个单值函数:
定义域为2 2
: n
k kT
n n n n
值域
: 2 2kG k k
wk在 Gk 上解析 , 且
1n
knk
k
zw z
n z
11
3w z例:
xo
zy
G13 xo
zy
G0
-
-
T03
3
T1
T2 53
u
wv
o
xo
zy
G2
3
5
23
0,1, 2
ki
nkw re
k
30
inw re
23
1
inw re
43
2
inw re
30
inw re
0 : -3 3
T 值域
0 :G 定义域
23 3
1
iw re
1 : 3
T 值域
1 : 2 3G 定义域
43 3
2
iw re
2
5:
3T
值域
2 : 3 4 5G 定义域
12
2.3.2 对数函数
1. 定义 : ( 0) ,
Ln
we z z w z
w z
若 则称 为 对数函数 记为:
说明:w=Lnz 是指数函数 ew=z 的反函数
Lnz 一般不能写成 lnzLn ze z
2. 计算公式及多值性说明: ,iz e w u iv
13
= ln = = w u iv iw z e z e re
= , 2 ( )ue r v k k E =ln ( ), 2 ( )u r v k k E Argz 实对数
Ln ln ( 2 )( )w z r i k k E Ln ln| |z z iArgz
由于 Argz 的多值性导致 w=Lnz 是一个具有无穷多值的多值函数规定:ln ln ln arg .z r i z i z
为对数函数 Lnz 的主值于是: Ln ln 2 ( )w z z k i k E
14
. Ln
, ,
的一个分支称为上式确定一个单值函数对于每一个固定的
z
k
特殊地 ,
.
,lnln Ln , 0
是实变数对数函数的主值时当 xzzxz
15
例 4
解
. )1(Ln ,2Ln 以及与它们相应的主值求
,22ln2Ln ik因为
ln2. Ln2 的主值就是所以
)1(Arg1ln)1(Ln i因为
)()12( 为整数kik
. 1)Ln( i 的主值就是所以
注意 : 在实变函数中 , 负数无对数 , 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广 .
16
例 5
解
.031 ie z解方程
,31 ie z 因为
)31(Ln iz 所以
kii 2
331ln
ki 2
32ln
),2,1,0( k
17
例 6
解
).3(Ln)3();33(Ln)2();32((1)Ln
:
ii
求下列各式的值
)32((1)Ln i
)32(Arg32ln iii
.223
arctan13ln21
ki
),2,1,0( k
18
.6
232ln
ki ),2,1,0( k
)3(Ln)3( )3(Arg3ln i
.)12(3ln ik ),2,1,0( k
)33(Ln)2( i
)33(Arg33ln iii
ki 2
33
arctan32ln
19
2. 性质
,LnLn)(Ln)1( 2121 zzzz
,LnLnLn)2( 212
1 zzzz
且处处可导和其它各分支处处连续主值支的复平面内包括原点在除去负实轴
, ,
,)( )3(
.1
)Ln(,1
)(lnz
zz
z
20
(3)(4)错了
例:
22(1) z z
22(2)Ln Lnz z
(4)2Ln 2Lnz z
(5)Ln Lnz z
荒谬透顶!!!
Ln( 1) (2 1) 0, 1, 2,
Ln(1) 2 0, 1, 2,
k i k
k i k
因为决不会相等!!!
原因Bernoulli悖论
(3)Ln Ln Ln Lnz z z z
Lnz 是集合记号,应该理解为两个
集合相加
A={0,1}A+A={0,1,2}
2A={0,2}A+A2A
21
证 (3) , iyxz 设 ,0时当 x
,arglim0
zy
,arglim0
zy
.
ln , ,
处处连续在复平面内其它点除原点与负实轴所以 z
,
ln arg
是单值的内的反函数在区域 zwzez w
wez
zw
dd
1dlnd
[ 证毕 ]
.1z
22
3. 分出 w=Lnz 的单值解析分支从原点起沿着负实轴将 z 平面割破,就可将对数函数 w=Lnz 分成如下 n 个单值解析分支: Ln ln ( 2 )
0, 1, 2, 3,
k kw z r i k
k
定义域为: 2 Im 2kB k v z k 值域
: 2 2 2kG k k k
wk在 Gk 上解析 , 且
1Lnk k
w zz
23
2.3.3 一般幂函数与一般指函数1. 一般幂函数
Ln11 = ( 0, , ) zaazDef w e z a 为复常数
称为 z 的一般幂数函数
2. 一般指数函数Ln12 = ( 0, , ) z azaDef w e a 为复常数
称为 z 的一般指数函数
Ln ze z
都是多值函数,适当割破 z 平面,都可转化为单值函数
24
1. 一般幂函数
, ,
, Lnabb ea
ba
定义为乘幂复数
为任意一个为不等于零的一个复数设
. Lnabb ea 即
注意 :
.
, )2arg(lnLn
也是多值的
因而是多值的由于ba
kaiaa
, )1( 为整数时当b Lnabb ea )]2arg([ln kaiabe
25
ikbaiabe 2)arg(ln ,lnabe .具有单一的值ba
,0) ,( )2( 时为互质的整数与当 qqpqp
b
)]2arg([ln
kaia
qp
b ea)2arg(ln
ka
qp
iaqp
e
)π2arg(sin)π2arg(cos
ln
kaqp
ikaqp
ea
qp
, 个值具有 qab .)1(,,2,1,0 时相应的值即取 qk
26
特殊情况 :
,)( )1 时正整数当 nb
Lnann ea LnLnLn aaae ) ( 项指数 n
LnLnLn aaa eee ) ( 个因子 n
.aaa ) ( 个因子 n
,)( 1
)2 时分数当n
b
Ln
11a
nn ea
nka
in
kae
an 2arg
sin2arg
cos ln
1
27
nka
in
kaa n
2argsin
2argcos
1
,n a
.)1(,,2,1,0 nk 其中
;
, bzw
za
就得到一般的幂函数为一复变数如果
.
, 1
1nnn
n
zzwwz
zwn
nb
的反函数及
数就分别得到通常的幂函时与当
28
例 7 . 1 2 的值和求 ii
解 Ln1221 e 22 ike
)22sin()22cos( kik .,2,1,0 k其中
iii ei Ln
ikii
e2
2
k
e2
2 .,2,1,0 k其中
答案
课堂练习 .3)( 5计算
),2,1,0(
].)12(5sin)12(5[cos3)3( 55
k
kik
29
例 8 . )(1 的辐角的主值求 ii
解 )Ln(1)1( iii ei
ikii
e2
42ln
21
.,2,1,0 k其中
)]1(Arg1ln[ iiiie
2ln21
24
ik
e
2ln21
sin2ln21
cos 2
4 iek
ln2.21
)(1 的辐角的主值为故 ii
30
2. 幂函数的解析性 , )1( 的在复平面内是单值解析幂函数 nz
.)( 1 nn nzz
. , )2(1
个分支具有是多值函数幂函数 nzn
它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的 ,
nn zz
1
zne
Ln1
.1 1
1
nzn
31
它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的 ,
,
) 1
( (3)
也是一个多值函数
两种情况外与除去幂函数n
nbzw b
.)( 1 bb bzz
., 是无穷多值的为无理数或负数时当b
32
2.3.4 反三角函数和反双曲函数1. 反三角函数的定义
.cosArc
, ,cos
zw
zwwz
记作的反余弦函数为那么称设
,2
cos iwiw ee
wz由 ,012 2 iwiw zee得
,1 2 zze iw方程的根为 两端取对数得
).1Ln(cosArc 2 zziz
33
同样可以定义反正弦函数和反正切函数 ,
重复以上步骤 , 可以得到它们的表达式 :
),1Ln(Arcsin 2ziziz
.11
Ln2
Arctanizizi
z
2. 反双曲函数的定义
),1Ln( Arsinh 2 zzz反双曲正弦
),1Ln(osh Ar 2 zzzc反双曲余弦
.11
Ln21
Artanhzz
z反双曲正切
34
例 14
解
).32tan( Arc i求函数值
)32tan( Arc i)32(1)32(1
Ln2 ii
iii
53
Ln2
ii
ki
i2
31
arctan52
ln2
.31
arctan21
21
52
ln4
k
i
. ,2 ,1 ,0 k其中
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2.3.5 小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广 , 它既保持了后者的某些基本性质 , 又有一些与后者不同的特性 . 如 :
1. 分成单值解析分支的方法2. 负数无对数的结论不再成立