第四节 隐函数及参数方程所确定函数的 导数...
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第四节 隐函数及参数方程所确定函数的 导数 相关变化率
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第四节
隐函数及参数方程所确定函数的
导数 相关变化率
一、隐函数的导数
定义: .)( 称为隐函数由方程所确定的函数 xyy
.)( 形式称为显函数xfy
0),( yxF )(xfy 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1
.,
0
0
x
yx
dx
dy
dx
dyy
eexy
的导数
所确定的隐函数求由方程
解 ,求导方程两边对x
0dx
dyee
dx
dyxy
yx
解得 ,y
x
ex
ye
dx
dy
,0,0 yx由原方程知
000
yxy
x
xex
ye
dx
dy.1
例2
.
,)2
3,
2
3(
,333
线通过原点
在该点的法并证明曲线的切线方程点
上求过的方程为设曲线
C
CxyyxC
解 ,求导方程两边对x yxyyyx 333322
)2
3,
2
3(
2
2
)2
3,
2
3( xy
xyy
.1
所求切线方程为 )2
3(
2
3 xy .03 yx即
2
3
2
3 xy法线方程为 ,xy 即 显然通过原
点.
例3 .)1,0(,144 处的值在点求设 yyxyx
解 求导得方程两边对x
)1(04433 yyyxyx
得代入 1,0 yx ;4
1
10
yxy
求导得两边再对将方程 x)1(
04)(122123222 yyyyyxyx
得4
1
10
yxy,1,0 yx代入 .
16
1
10
yxy
二、对数求导法
观察函数 .,)4(
1)1( sin
2
3x
xxy
ex
xxy
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.
--------对数求导法 适用范围:
.)()( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xv
xu
例4
解
]14
2
)1(3
1
1
1[
)4(
1)1(2
3
xxxex
xxy
x
等式两边取对数得
xxxxy )4ln(2)1ln(3
1)1ln(ln
求导得上式两边对x
14
2
)1(3
1
1
1
xxxy
y
.,)4(
1)1(2
3
yex
xxy
x
求设
例5
解
.),0(sin
yxxyx 求设
等式两边取对数得 xxy lnsinln
求导得上式两边对x
xxxxy
y
1sinlncos
1
)1
sinln(cosx
xxxyy
)sin
ln(cossin
x
xxxx
x
一般地
)0)(()()()( xuxuxf
xv
)()(
1)(ln xf
dx
d
xfxf
dx
d又
)(ln)()( xfdx
dxfxf
])(
)()()(ln)([)()(
)(
xu
xuxvxuxvxuxf
xv
)(ln)()(ln xuxvxf
三、由参数方程所确定的函数的导数
.
,)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确
间的函数关系与确定若参数方程 xyty
tx
例如
,
,22
ty
tx
2
xt
22)
2(x
ty 4
2x
xy2
1
消去参数
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
t
),()(1
xttx 具有单调连续的反函数设函数
)]([1
xy
,0)(,)(),( ttytx 且都可导再设函数
由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy
dt
dxdt
dy 1
)(
)(
t
t
dt
dxdt
dy
dx
dy即
,)(
)(中在方程
ty
tx
,)(
)(二阶可导若函数
ty
tx
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd
dx
dt
t
t
dt
d)
)(
)((
)(
1
)(
)()()()(2
tt
tttt
.)(
)()()()(32
2
t
tttt
dx
yd
即
例6
解
dt
dxdt
dy
dx
dy
t
t
cos1
sin
taa
ta
cos
sin
2cos1
2sin
2
tdx
dy.1
.方程
处的切线在求摆线2)cos1(
)sin(
t
tay
ttax
.),12
(,2
ayaxt
时当
所求切线方程为 )1
2(
axay
)2
2(
axy即
例7
解
.)2(
;)1(
,2
1sin
,cos
,
,,
0
0
2
0
0
0
的速度大小炮弹在时刻
的运动方向炮弹在时刻求
其运动方程为发射炮弹
发射角以初速度不计空气的阻力
t
t
gttvy
tvx
v
x
y
o
v
xv
yv
0v
.
,
)1(
0
0
可由切线的斜率来反映
时刻的切线方向轨迹在
时刻的运动方向即在
t
t
)cos(
)2
1sin(
0
2
0
tv
gttv
dx
dy
cos
sin
0
0
v
gtv
.cos
sin
0
00
0
v
gtv
dx
dytt
轴方向的分速度为时刻沿炮弹在 yxt ,)2( 0
00)cos( 0 ttttx tv
dt
dxv
cos0
v
00)
2
1sin(
2
0 tttty gttvdt
dyv
00sin gtv
时刻炮弹的速度为在0
t
22
yx vvv 2
0
2
00
2
0sin2 tggtvv
例8
解
.sin
cos3
3
表示的函数的二阶导数求由方程
tay
tax
dt
dxdt
dy
dx
dy
)sin(cos3
cossin32
2
tta
tta
ttan
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd
)cos(
)tan(3
ta
t
tta
t
sincos3
sec2
2
ta
t
sin3
sec4
四、相关变化率
.
,
,
,)()(
变化率称为相关变化率
这样两个相互依赖的之间也存在一定关系
与从而它们的变化率之间存在某种关系
与而变量都是可导函数及设
dt
dy
dt
dxy
xtyytxx
相关变化率问题:
已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
例9
解
?
,500./140,
500
率是多少观察员视线的仰角增加
米时当气球高度为秒米其速率为上升
米处离地面铅直一汽球从离开观察员
则的仰角为
观察员视线其高度为秒后设气球上升
,
,,
ht
500tan
h
求导得上式两边对tdt
dh
dt
d
500
1sec
2
,/140 秒米dt
dh 2sec,500
2 米时当h
)/(14.0 分弧度dt
d仰角增加率
米500
米500
例10
解
?,20
,120,4000
,/80
3
水面每小时上升几米米时
问水深的水槽顶角为米形状是长为
水库秒的体流量流入水库中米河水以
则水库内水量为
水深为设时刻
),(
),(
tV
tht
234000)( htV
求导得上式两边对tdt
dhh
dt
dV 38000
,/288003 小时米
dt
dV
小时米 /104.0dt
dh 水面上升之速率
060
,20米时当 h
五、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;
对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;
参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解.
思考题
设
)(
)(
ty
tx
，由
)(
)(
t
tyx
)0)(( t
可知)(
)(
t
tyx
，对吗？
思考题解答
不对．
xx y
dx
dy
dx
dt
dt
yd x
)(
1
)(
)(
tt
t
t
