1

( )

0

0

0

x

x

x

x

数列极限是考察数列在 n →∞ 这一过程中的变化总趋势 ( 即有无极限 ). 而对于函数 y=ƒ(x), 当考察它的变化总趋势时 , 因自变量的连续变化过程有许多情况 , 如 x→∞, x →-∞, x →0, x →x0

+, x →x0- 等 .

§2.2 函数的极限

1y

x

如图

arctany x

oo

x x

y y

0

x

x

x

2

xy e

( 0 , )x x

xy e

logay x

(0 1)a o

o

x

x

y

lny x

( , )x x ( , )x x

( 0 , )x x

由以上几例可看得出 , 同一个函数的自变量在不同的变化过程中 , 相应的函数变化趋势不一样 , 因而有必要分情况考察 .

一 · x → ＋∞ 时函数 ƒ(x) 的极限 　 1. 直观描述：对函数 ƒ(x), 当 x 取正值无限增大时( 即 x → ＋∞ ), 如果 ƒ(x) 无限接近某常数 A, 则称 A

是函数 ƒ(x) 当 x → ＋∞ 时的极限 .

3

由以上几例可看得出 , 同一个函数的自变量在不同的变化过程中 , 相应的函数变化趋势不一样 , 因而有必要分情况考察 .

一 · x→∞ 时函数 ƒ(x) 的极限

1· 直观描述：对函数 ƒ(x), 当 x 取正值无限增大时( 即 x→∞ ), 如果 ƒ(x) 无限接近某常数 A, 则称 A 是函数 ƒ(x) 当 x→∞ 时的极限 .

结论 1. 函数 y=1/x, y=arctan x, y=e-x 当 x→∞ 时 , 以某个确定的常数为极限 . 而 y=ln x, y=ex, y=logax 却不会与常数任意接近 .

4

注：函数 y =ƒ(x) 当 x→∞ 时有极限与数列极限的不同点在于自变量一个是连续递增的 , 一个是取自然数递增的 ( 是函数极限的特殊情形 ).

2. 函数 (“ε—M”) 定义 设函数 ƒ(x), 当 x>a 时有定义 . 对 使得当 x>M 时 ,|ƒ(x)–A|< ε 恒成立 . 则称函数 ƒ(x) 当 x→∞ 时以 A 为极限 . 记

0, 0,M

lim ( ) x

f x A

或 ( ) ( ).f x A x

则有 1lim 0, lim 0, lim arctan .

2x

x x xe x

x

仿数列“ ε—N” 定义有

5

及 y =A+ε. 则总存在区间 (M,+∞) ,

当 x→∞ 时 , 以什么为极限 ? 极限是否存在 ?

可作两条直线 y=A–ε0,

几何意义

( , )x M

ox

y

A+ε

A

A–ε

M

考虑 1

, arctan , ;

ln , , log

x

xa

y y x y ex

y x y e y x

y=ƒ(x)

当 　　　

时，对应的函数曲线介于这两条直线之间

6

3. 直观描述 : 对函数 ƒ(x), 当 x 取负值而绝对值无限增大时 ( 即 x→ －∞ ), 如果 ƒ(x) 无限接近某常数 A, 则称 A 是函数 ƒ(x) 当 x→ －∞ 时的极限 .

4. 函数 (“ε—M”) 定义 设函数 ƒ(x), 当 x<–a 时有定义 . 　　　使得当 x<–M 时 ,|ƒ(x)–A|< ε 恒成立 . 则称函数 ƒ(x) 当 x→ －∞ 时以 A 为极限 .

0, 0,M

lim ( ) x

f x A

记为 或 ( ) ( ).f x A x

则有 1lim 0, lim 0,

lim arctan .2

x

x x

x

ex

x

几何意义如右图 .o

x

y

A+ε

A–ε

A

–M

y=ƒ(x)

7

问题：如果既有 lim ( )x

f x A

lim ( )x

f x A

lim ( )x

f x A

定理 1. 函数 y =ƒ(x) 当 x→∞ 时极限存在且为 A 的充要条件是函数 y =ƒ(x) 当 x→ ＋∞ 与 x→ －∞ 时极限都存在且等于 A. 即

lim ( ) lim ( ) lim ( )x x x

f x A f x f x A

5. 精确定义 (“ε—M”) 设函数 ƒ(x), 当 |x|>a 时有定义 . 对 使得当 |x|>M 时 , |ƒ(x)–A|< ε 恒成立 . 则称函数 ƒ(x) 当 x→∞ 时以 A 为极限 . 记为

0, 0,M

lim ( ) ( ) ( ).x

f x A f x A x

或

又有是否有 呢？

8

几何意义如右图 .

o x

y

A+ε

A–ε

A

M–M

y=ƒ(x)

例 3 用“ ε—M ”定义证明

1(1). lim 0;

1(2). lim 0 ( 0);

(3). lim 0.

x

kx

x

x

x

kx

e

9

1 1 10, 0 ,

1.

x x x

x

证(1) 要使不等式

只要 即可

1 10, 0, 0

1lim 0.x

M x Mx

x

取正数 则当 时, 有

恒成立.故由函数极限的定义知

1 10, 0 ,

1

k kx x

x

k

证(2) 要使不等式 只要

即可.

10, 0,

10

1lim 0 ( 0).

k

k

kx

M x M

x

kx

取正数 则当 时,

有 恒成立.故由函数极限的定义知

10

0( 1),

0 , lnx xe e x

证(3) 不妨假设 要使

不等式 只要

即可.

0, ln 0,

0

lim 0.

x

x

x

M x M

e

e

取正数 则当 时,

有 恒成立.故由函数极限的定义

知

11

二 . x→x0 时函数 ƒ(x) 的极限

当 x 从大于 1 和小于 1 的方向趋于 1 即当x→ 1 时 , 函数 ƒ(x) 无限接近于 1, 记为 f(x)→1

•

•

•

o x

y

1

1 y = x(1,1)

由前知 , ƒ(x) 与 1 的接近程度可由 |ƒ(x)–1|< ε 来刻划 ; 那么 x 与 1 的接近又怎样来刻划呢？

0

由 |ƒ(x)–1|= |x–1| 知 , 要使 |ƒ(x)–1|< ε, 只须 |x–1|<ε 即可 .

0,

0, 0, 1 ( ) 1 x f x 当 时， 恒成立.

例 4 函数 y =ƒ(x) = x ( 如右图 )

显然 , 此时可表示 x 与 1 的无限接近了 , 即 ε 可刻划 x 与 1 的接近程度 . 若记 δ = ε >0, 则有“ 当 x→ １时， f(x)→ １ ”的精确描述 :

12

1. 精确定义 (“ε—δ”) 函数 ƒ(x), 在 x0 的某邻域内 ( 可去心 ) 有定义 .

00, 0, 0 x - x 使得当 时

00lim ( ) ( ) ( ).

x xf x A f x A x x

或

恒有 | ƒ(x) – A |< ε 成立 .

则称函数 ƒ(x) 当 x→x0 时以 A 为极限 . 记为

从而 1 0lim 1 , limarctan 0 .x x

x x

13

几何意义

即在该去心邻域内对应的函数曲线一步 y=f(x) 介于这两条直线之间 , 如下图 .

0,

0

0( , ),U x 0

0 ( , ) x U x 当 时

º

°o x

y

A+ε

A

A–ε

y=ƒ(x)

0x 0x 0x

可作两条直线 y = A–ε 及 y = A+ε. 则在 x 轴上总存在以 x ０为心 , δ 为半径的去心

邻域

14

例 4 用“ ε—δ” 定义证明 ( 关键由 |ƒ(x)–A|< ε 解出 0<|x-x0|<g(ε ） , 得到 δ )

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

2

1

(1). lim (C );

(2). lim ( ) ;( 47

lim ,

, lim ,

0 , lim .

2 2(3).lim 4. (

1

x x

x x

x x

n n

x x

n n

x x

x

C C

ax b ax b p

x x

n x x

x x x

x

x

为常数

讲，看书 ）

特别地：

当 为正整数时

当 时

选讲）

15

22 2( )

1

xf x

x

0,

22 2( ) 4 2 2 2 1

1

xf x A x x

x

只须 12

x

0, 0, 0 -1 2

x 当 时，

恒有22 2

41

x

x

2

1

2 2lim 4.

1x

x

x

例 4 的 (3) 的证明由于当 x=1 时

要使 |ƒ(x)–A|< ε 即

无定义 , 则当 x≠1 时 ,

成立 . 即

即可 . 故可取 δ= ε/2.

16

注：此例中函数虽在 x=1 处无定义 , 但 x→ １时极限却存在 . 这说明函数在 x0 点的极限是否存在与函数

在 x0 处有无定义无关 . 这是因为函数在 x0 点的极限是函数在 x0 附近的变化趋势 , 而不是在 x0 处函数

值 . 这就是在定义中为啥假设 ƒ(x) 可在 x0 处无定义的原因了 .

17

中所讨论的 x→x0 即 x 可从 x0 的左右

如三 . 函数 ƒ(x) 的左、右极限

0

lim ( )x x

f x A

( 0)y x x

1. 左极限的直观描述及精确定义 (“ε—δ”)

当 x 从 x0 左侧 ( 小于 ) 趋于 x0 时 , ƒ(x) 以 A

为极限 . 则 A 是 ƒ(x) 在 x0 处的左极限 . 记为0

0lim ( ) ( ) .x x

f x A f x A

或

00, 0, 0 ( ) .x x f x A 当 时， 恒成立

“ε—δ” 定义

则只能考察 x 从 0 的右侧趋于0 时的极限 . 因而必须引进左、右极限的概念 .

两侧趋于 x0 . 但有时可考察 x 仅从 x0 的左侧或右侧趋近时函数 ( 特别是分段函数在分段点处 ) 的极限 .

18

2. 右极限的直观描述及精确定义 (“ε—δ”)

当 x 从 x0 右侧 ( 大于 ) 趋于 x0 时 , ƒ(x) 以 A 为极限 . 则 A 是 ƒ(x) 在 x0 处的右极限 . 记为

00lim ( ) ( ) .

x xf x A f x A

或

“ε—δ” 定义

00, 0, 0 ( ) .x x f x A 当 时， 恒成立

左极限和右极限统称为单侧极限 . 它们之间有如下关系 :定理 2. 函数 y = ƒ(x) 当 x→x0 时极限存在且为 A 的充要条件是函数 y = ƒ(x) 的左极限和右极限都存在且等于A. 即

注：0 0

1 1lim , lim .x xx x

19

此定理给出了怎样利用单侧极限判断函数极限存在的方法 ; 特别对分段函数适用 .例 5. 设 ƒ(x)=|x| , 求 , 0

, 0

x xx

x x

0lim ( ).x

f x

解 因

0 0

0 0

(0 ) lim ( ) lim 0,

(0 ) lim ( ) lim ( ) 0.

x x

x x

f f x x

f f x x

则

故0

lim 0.x

x

讨论下列函数当 x→ ０ 时的极限 .(1). ( ) ; 49 5

(2). ( ) . 45 2

f x x x p

xf x p

x

（ 习题 ）

（ 例 ）

o x

y

•

y =|x|

0

lim ( )x x

f x A

0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x f x A

20

例 6. y = [x] 在 x→1 时极限是否存在？

解 因 1

1

(1 ) lim ( ) 1,

(1 ) lim ( ) 0.

x

x

f f x

f f x

故1 1

lim lim[ ] x x

y x

不存在. o x

y

°•°•

1

1

2 , 0 1

( ) 0 , 1 , lim ( ).

3 , 1 2x

x x

f x x f x

x x

求例7.

解 因1 1

1 1

(1 ) lim ( ) lim(3 ) 2,

(1 ) lim ( ) lim 2 2.

x x

x x

f f x x

f f x x

1lim ( ) 2.x

f x

由定理2有

21

例8. 2

1

2 1, 1

( ) , lim ( ).1 , 1

x

x xx

f x f xxx x

求

解 因

1 1

2

1 1

2

1

( 1 ) lim ( ) lim 1,

2 1( 1 ) lim ( ) lim

1

2( 1) 3( 1) lim 3.

1

x x

x x

x

f f x x

x xf f x

x

x x

x

由于左右极限存在但不相等 , 所以 f (x) 的极限不存在 .

22

四 . 函数极限的几个重要性质

为了叙述方便 , 将 ƒ(x) 在 x→∞ 或 x→x0 时的极限

A 统一表述为 : 对 总存在那么一个时刻 , 在此时刻以后 , 就恒有 | ƒ(x) – A |< ε, 并记为

0,

定理 3.( 唯一性 ) 若 lim ƒ(x) = A 存在 , 则极限值 A 唯一 .

其证明同 §2.1 的性质 1.(略 ){( 1) }.n

lim ƒ(x) = A

注 : 若不唯一 , 变化趋势不定 . 例

23

定理 4.( 有界性 ) 若 lim ƒ(x) = A 存在 , 则一定存在那么一个时刻 , 在此时刻以后 , ƒ(x) 必定有界 .

其理论证明 (略 ). 直观地可由几何意义 ( 介于 A–ε 及 y =A+ε 之间 ) 说明 .