§3.5 函数的极值与最大值 最小值
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§3.5 函数的极值与最大值 最小值
燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪
第 3 章
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的一个极小值是函数就称均成立外除了点任何点
对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数
就称均成立外除了点任何点
对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点内的一个点
是内有定义在区间设函数
xfxf
xfxfxx
x
xfxf
xfxfxx
x
ba
xbaxf
定义
函数的极大值与极小值统称为极值 , 使函数取得极值的点称为极值点 .
注意 :
3x1x 4x2x 5x xa bo
y
41 , xx 为极大点52 , xx 为极小点
3x 不是极值点
1) 函数的极值是函数的局部性质 .
3) 函数的最值是函数的全局性质 .
2) 对常见函数 , 极值可能出现在驻点或导数 不存在的点 .
函数极值的判定法
由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点 .
定理 1 ( 取得极值的充分条件 )
,)( 0的某邻域内连续在设函数 xxf 且在空心邻域
内有导数 , ,0时由小到大通过当 xx
(1) )(xf “左正右负” , ;)( 0取极小值在则 xxf(2) )(xf “左负右正” ,
.)( 0取极大值在则 xxf
( 证明略 )
例如 , 2 , ( , )y x x
3 , ( , )y x x 而
容易验证 x=0
是的极小
值点 .
x=0 不是 的极值点 .
例 3 求函数 32
)1()( xxxf 的极值 .
解 1) 求导数23( )f x x
13
2( 1)
3x x
3
25 53
x
x
2) 求极值可疑点令 ,0)( xf 得 1
2;
5x 令 ,)( xf 得 02 x
3) 列表判别
x
)(xf )(xf
0520
0 33.0
)0,( ),0(52 ),(
52
0x 是极大值点,极大值为 0)0( f
是极小值点, 极小值为5
2x 33.0)(52 f
定理 2( 第二充分条件 )
证 )1(x
xfxxfxf
x
)()(lim)( 00
00 ,0
异号,与故 xxfxxf )()( 00
时,当 0x )()( 00 xfxxf 有 ,0
时,当 0x )()( 00 xfxxf 有 ,0
所以,函数)(xf在0x处取得极大值
设)(xf在0x处具有二阶导数,且 0)(0
' xf , 0)(0'' xf ,那末
(1)当 0)(0'' xf 时, 函数)(xf在0x处取得极大值;
(2)当 0)(0'' xf 时, 函数)(xf在0x处取得极小值.
)()( 00 xfxxf 有
)()( 00 xfxxf 有时,当 0x
)()( 00 xfxxf 有
)()( 00 xfxxf 有
时,当 0x
时,当 0x
)()( 00 xfxxf 有
)()( 00 xfxxf 有
异号,与故 xxfxxf )()( 00
时,当 0x
时,当 0x
)()( 00 xfxxf 有
)()( 00 xfxxf 有
xxfxxf
xfx
)()(lim)( 00
00
异号,与故 xxfxxf )()( 00
时,当 0x
时,当 0x
)()( 00 xfxxf 有
)()( 00 xfxxf 有
思考与练习
]1,0[ 上 ,0)( xf 则 ,)1(,)0( ff )0()1( ff
或 )1()0( ff 的大小顺序是 ( )
)0()1()0()1()( ffffA
)0()0()1()1()( ffffB
)0()1()0()1()( ffffC
)0()1()0()1()( ffffD
提示 : 利用 )(xf 单调增加 ,
)10()()0()1( fff
及
B
设在
则其最值只能在极值点或端点处达到 .
求函数最值的方法 :(1) 求 在 内的极值可疑点)(xf ),( ba
mxxx ,,, 21
(2) 最大值 maxM ,)( 1xf ,)( 2xf ,)(, mxf ,)(af )(bf
最小值 minm ,)( 1xf ,)( 2xf ,)(, mxf ,)(af )(bf
若函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续,
利用导数求函数的最值是导数的又一重要应用 .
特别 :
• ●当 在 内只有一个极值可疑点时 ,
)(xf ],[ ba
• ●当 在 上单调时 ,
)(xf ],[ ba 最值必在端点处达到 .
此点取极大 值 , 则也是最大 值 .
( 小)
• ● 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的
可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
( 小)
若在
最大利润问题
某制造商制造并出售球形瓶装的某种酒 .
瓶子的制造成本是 20.8 r
1) 瓶子半径多大时,能使每瓶酒获利最大?
半径,单位是厘米 .
(分),
2) 瓶子半径多大时,每瓶酒的获利最小?
商人可获利 0.2 分,
6 厘米,问
其中 r是瓶子的
假设每售出 1立方厘米的酒,
他能制作的瓶子最大半径为
解 瓶子半径为 r,每瓶酒能获利为 23 8.02.0
3
4)( rrrp 23 8.0
3
8.0rr
2
3
38.0 r
r 60 r
0)2(8.0)( 2 rrrp
当 0<r<2 时, 0)( rp ; 2<r<6 时, 0)( rp
由 得 r=2.
故 r=2 是的一个极小值点,所以也是最小值点;
r=6 时, p(r) 可达到最大值 .
但 p(2)<0 ,说明半径小于或等于 2 厘米的瓶装
酒,酒所获得的利润抵不上瓶子的成本 .
又由 p(3)=0 知,当瓶子的半径达 3cm 时,酒的
盈利与瓶子的成本恰好一样 .
制造商的盈利越多 .
而又要获得同等的盈利时,
装酒定价要高些 .
般比大包装的都要贵些。
瓶子的半径越大,
因而当商人要求售出同量酒
对半径小于 3cm 的瓶
所以,市场上小包装的货物一