中国船检 CHINA SHIP SURVEY 2014 · 方加强协作,创新技术,强化安全责任,积极维护油运安全。同时,交通运输部安全总监王金付、中国海运(集
第四节 极限的运算法则
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第四节 极限的运算法则一、极限的运算法则
设 lim f(x)=A, limg(x)=B, 则 lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x) (=A±B) .
( ) lim ( )lim ( )( ) lim ( )
f x f x Ag x g x B
设 limf(x)=A, limg(x)=B, 则
定理 1
定理 2lim(f(x)g(x))=(lim f(x))(limg(x))(=AB) .
设 limf(x)=A, limg(x)=B, 且 B≠0 ,定理 3则
一、极限的运算法则
注: (1) 以上的定理中,符号“ lim” 下方没有标明自变量的变化过程,意思是指以上定理对自变量的任何一种变化过程都成立.对每个定理,“ lim” 表示自变量的同一个变化过程. (2) 以上定理都要求 f(x), g(x) 的极限存在,商的法则还要求分母的极限不为零.
现证明定理 2 , 其中 α(x) 、 β(x) 为无穷小,并简记作 α 、 β ,
因为 limf(x)=A, limg(x)=B ,由第四节定理 1 ,
所以 f(x)·g(x) =(A+α)(B+β)=AB+(Bα+Aβ+αβ)
f(x)=A+α(x) , g(x)=B+β(x) ,
再由第四节定理 1 ,
由第四节定理 3 及其推论, Bα 、 Aβ 、 αβ都是无穷小,且 Bα+Aβ+αβ 也是无穷小,Lim[f(x)g(x)]=AB=[limf(x)][limg(x)] .
定理 1 和定理 2 可以推广到有限个函数的
如果 limf(x) 存在, c 为常数,则lim[f(x)+g(x)+h(x)]=limf(x)+limg(x)+limh(x) . 情形.例如 limf(x) 、 limg(x) 、 limh(x) 都存在,则
推论 1lim(cf(x))= c limf(x) .
如果 limf(x) 存在, n∈N, 则推论 2lim[f(x)]n =[limf(x)]n .
例 1 设 Pn(x)= a nx n+a n-1x n-1+…+a 1 x+a 0,
)( 00011
010 xPaxaxaxa nn
nn
n
证
由例 1 可见,
011
10000
limlimlimlim axaxaxaxxxx
n
xxnn
xxn
.)()(lim 00
xPxP nnxx
任意 x0∈R ,证明)(lim)(lim 01
11
00
axaxaxaxP nn
nnxxnxx
只要计算 Pn(x) 在 x0 的函数值 Pn(x0) .求当 x→x0 时多项式函数 Pn(x) 的极限,
例 2 求 )12(lim 23
2
xx
x解 )12(lim 23
2
xx
x1222 23 13
表示 x 的 n 次、 m 次多项式, Pm(x0)≠0 ,证明
例 3 设 )()()(
xPxPxQ
m
n , 其中 Pn(x) 、 Pm(x) 分别)()(lim 0
0
xQxQxx
证 由定理 3 和例 1 ,
)(lim
)(lim)(lim
0
0
0 xP
xPxQ
mxx
nxx
xx
)()(
0
0
xPxP
m
n )( 0xQ
例 4 求 1283lim 23
4
2
xxxx
x
解 因为 2·2 3 -22+1=13≠0 ,由例 3 , 1283lim 23
4
2
xxxx
x 1382324
132
例 5 求 1
2lim 2
2
1
xxx
x解 x→1 时, x2-1→0 , x2+x-2→0 .因此不能用商的极限的运算法则 .
通常记为“ 可能存在,也可能不存在,因此这种极限通常也称为不定式,它可以通过约去使分子、分母同时为零的因式来求解.例如
00
以上这种两个非零无穷小的比的极限,”.由于这种形式的极限,
12lim 2
2
1
xxx
x )1)(1()2)(1(lim
1
xx
xxx 1
2lim1
xx
x
1121
23
x→∞ 时,分子、分母都是无穷大, 所以不能直接用商的极限的运算法则 .
221lim 24
4
xxx
x例 6 求
这种两个无穷大的比的极限是不定式,解
通常记为“ ”.
因为分子、分母关于 x 的最高次幂是 x4, 所以这时可用 x4 同时去除分子、分母,然后取极限,得
221lim 24
4
xxx
x 42
4
)1(2)1(2
)1(1lim
xx
xx
21
1lim 2
2
1
xxx
x例 7 求 解 x→1 时, x2-1→0 ,但 x2+x→2(≠0) ,不能直接用商的极限的运算法则,
由于 011111lim 2
2
2
2
1
xxx
x
因此由第四节定理 4 ,
1lim 2
2
1 xxx
x
)1
21
(lim 21
xxx
x例 8 求 解 因为
所以不能用差的极限的运算法则,这种两个无穷大的差的极限也是不定式,通常记为“∞ -∞” .这时可以恒等变形
1
lim1 x
xx
1
2lim 21 xx
00成“”或“ ”的极限求解.
)1
21
(lim 21
xxx
x )1)(1()2)(1(lim
1
xx
xxx 2
3
证 因为 x0≠kπ+
2例 9 x 0∈ R , x0≠kπ+ (k∈Z) ,证明:
(k∈Z) ,0sinsinlim
0
xxxx
由商的极限运算法则,有
x
x
xx
xx
coslim
sinlim
0
0
0tantanlim0
xxxx
2
由第三节例 3 , 0coscoslim 0
0
xxxx,
xxx
tanlim0
0
0
cossin
xx
0tan x