2 4| x 3| 2 x PERSAMAAN KUADRAT 2 atau x 0 atau x 2...
6
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII 23 future education, today SONY SUGEMA COLLEGE TKA - Saintek Matematika PERSAMAAN KUADRAT 6.1 Pengertian Persamaan kuadrat di sini adalah persamaan yang memuat 1 variabel dengan pangkat tertingginya 2. Bentuk Umum : ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) Akar – akar/penyelesaian dari persamaan disebut : x 1 dan x 2 . 6.2 Menentukan akar-akar PK. Pemfaktoran ax 2 + bx + c = 0 ac p q dengan p + q = b dan pq = ac x 1 = -p/a x 2 = -q/a Rumus ABC : dan 6.3 Sifat akar ditinjau dari diskriminan (D = b 2 – 4ac) Dari rumus ABC di atas bila ditentukan nilai D, didapat : D = 0 : akar kembar D > 0 : akar berlainan/berbeda D 0 : akar real D < 0 : akar khayal/imajinair/tidak real D = k 2 : akar rasional k 2 = Kuadrat sempurna = 0, 1, 4, 9,….,1/4, 4/9, dsb a, b, c rasional Contoh : Persamaan x 2 + px + (p + 3) = 0 mempunyai akar-akar real dan berbeda. Tentukan batas nilai p yang memenuhi ! Penyelesaian : x 2 + px + (p + 3) = 0 (a = 1, b = p, c = p + 3) Akar real dan berbeda (x 1 x 2 ) : D > 0 D = p 2 – 4.1.(p + 3) > 0 p 2 – 4p – 12 > 0 (p – 6)(p + 2) > 0 Jadi : p < 2 atau p > 6 6.4 Operasi akar – akar : Dari rumus ABC didapat operasi akar persamaan kuadrat berikut x 1 + x 2 = -b/a x 1 . x 2 = c/a x 1 – x 2 = D/a Bentuk Pengembangan : x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 2 x 1 . x 2 x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 – 3 x 1 .x 2 (x 1 + x 2 ) x 1 2 – x 2 2 = (x 1 + x 2 ).(x 1 – x 2 ) 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 . x x x x x x x x a D b x 2 1 + – + –2 6 2 2 b D x a
Transcript of 2 4| x 3| 2 x PERSAMAAN KUADRAT 2 atau x 0 atau x 2...
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
23future education, today
SONY SUGEMA COLLEGE
TKA - SaintekMatematika
PERSAMAAN KUADRAT 6.1 Pengertian
Persamaan kuadrat di sini adalah persamaan yang memuat 1 variabel dengan pangkat tertingginya 2. Bentuk Umum : ax2 + bx + c = 0 ( a 0 )
Akar – akar/penyelesaian dari persamaan disebut : x1 dan x2 . 6.2 Menentukan akar-akar PK.
Pemfaktoran ax2 + bx + c = 0
ac
p q dengan p + q = b dan pq = ac x1 = -p/a x2 = -q/a
Rumus ABC :
dan
6.3 Sifat akar ditinjau dari diskriminan (D = b2 – 4ac)
Dari rumus ABC di atas bila ditentukan nilai D, didapat : D = 0 : akar kembar D > 0 : akar berlainan/berbeda D 0 : akar real D < 0 : akar khayal/imajinair/tidak real D = k2 : akar rasional
k2 = Kuadrat sempurna = 0, 1, 4, 9,….,1/4, 4/9, dsb a, b, c rasional
Contoh : Persamaan x2 + px + (p + 3) = 0 mempunyai akar-akar real dan berbeda. Tentukan batas nilai p yang memenuhi !
Penyelesaian : x2 + px + (p + 3) = 0 (a = 1, b = p, c = p + 3) Akar real dan berbeda (x1 x2) : D > 0 D = p2 – 4.1.(p + 3) > 0 p2 – 4p – 12 > 0 (p – 6)(p + 2) > 0 Jadi : p < 2 atau p > 6
6.4 Operasi akar – akar :
Dari rumus ABC didapat operasi akar persamaan kuadrat berikut x1 + x2 = -b/a x1 . x2 = c/a x1 – x2 = D/a Bentuk Pengembangan :
x12 + x2
2 = (x1 + x2)2 – 2 x1. x2 x1
3 + x23 = (x1 + x2)3 – 3 x1 .x2 (x1 + x2)
x12 – x2
2 = (x1 + x2).(x1 – x2)
12
22
21
1
2
2
1.xx
xxxx
xx
aDb
x21
+ – + –2 6
2 2b D
xa
13. Nilai-nilai x yang memenuhi 12|3x|4|3x| 2 adalah…
(A) 2 < x < 9 (B) 3 < x < 9 (C) x > 9 atau x < 1 (D) x > 9 atau x < 2 (E) x > 9 atau x < 3
14. Batas-batas x yang memenuhi 2x 6 3x 4 adalah ... (A) 2 < x < 2 (B) x < – 2 atau x > 2 (C) – 1 < x < 2 (D) x < – 1 atau x > 2 (E) – 2 < x < 1
15. Semua bilangan real x yang memenuhi 2 1
| | 1x xx
adalah … (A) 1 < x < 0 atau 0 < x < 1 (B) x 0 (C) 1 < x < 1 (D) x < 1 atau x > 1 (E) x < 1
16. Semua bilangan real x yang memenuhi 2| 2 | 4x x adalah …
(A) 2x atau 2x (B) 0x atau 1x (C) 2x atau 1x (D) 1 2 x (E) 2 1x
17. Himpunan penyelesaian dari
2 21 3 7
x 2x x 4 adalah...
(A) x 2 atau 0 x 1 atau x 2 (B) x 2 atau 0 x 1 atau x 2 (C) 2 x 0 atau 1 x 2 (D) 2 x 0 atau 1 x 2 (E) 2 x 1 atau 0 x 2
18. Himpunan penyelesaian 6 x x adalah… (A) { | 3 atau 2}x x x (B) { | 3 atau 2 6}x x x (C) { | 2 6}x x (D) { | 2 6}x x (E) { | 6}x x
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
24future education, today
SONY SUGEMA COLLEGE
TKA - SaintekMatematika
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
Contoh : 1. Persamaan x2 + (p + 1)x – 2p = 0 mempunyai akar-akar real x1 dan x2. Bila x1
2 + x2 2 = 28 maka p2 – p = …. Penyelesaian : x2 + (p + 1)x – 2p = 0 ( a = 1 , b = p + 1, c = -2p ) x1
2 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1 x2
28 = (-p – 1)2 – 2(-2p) 28 = p2 + 2p + 1 + 4p p2 + 6p – 27 = 0 (p + 9)(p 3) = 0 p = 9 atau p = 3
D = (p + 1)2 4 1 (2p) = (p + 1)2 + 8p p = 9 D = 64 72 = 8 (tidak memenuhi akar real) p = 3 D = 16 + 24 = 40 (memenuhi akar real) Jadi p2 – p = 9 3 = 6
2. Persamaan : x2 – 16x + 6p = 0 mempunyai akar-akar
x1 dan x2. Bila x1 = 3x2 maka x1 x2 + p = … Penyelesaian : x2 – 16x + 6p = 0 ( a = 1 , b = -16 , c = -2p ) x1 = 3 x2 x1 + x2 = 16
3 x2 + x2 = 16, 4x2 = 16, x2 = 4 dan x1 =3 (4) = 12 x1 x2 = 48
6p = 48, p = 8 Jadi x1 x2 + p = 48 + 8 = 56
D 6.5 Sifat tanda akar : x1 + x2
x1.x2 Akar – akar positif :
Syarat 1: D 0 Syarat 2: x1 + x2 > 0 Syarat 3: x1 . x2 > 0
Akar – akar negatif : Syarat 1: D 0 Syarat 2: x1 + x2 < 0 Syarat 3: x1 . x2 > 0
Akar – akar berlaianan tanda : Syarat 1: D > 0 Syarat 2: x1 . x2 < 0
Akar – akar berkebalikan : D > 0 a = c
Akar – akar berlawanan : D > 0 b = 0 x1 . x2 < 0
Contoh : Batas nilai p agar persamaan :
x2 + (p – 2)x + (p + 1) = 0 mempunyai 2 akar positif adalah Penyelesaian : Pokok persoalan berkaitan dengan sifat akar tertentu (tanda akar) maka ditinjau berdasar nilai D , x1 + x2 dan x1 x2.
x2 + (p – 2)x + (p + 1) = 0 (a = 1, b = p–2, c = p+1) x1 = bil. positif dan x2 = bil. positif.
D = (p – 2)2 – 4.1.(p + 1) 0 p2 – 8p 0 p(p – 8) 0 …… (1)
x1 + x2 > 0 (positif + positif) –(p – 2) > 0 didapat p < 2 …..(2)
+ – + 0 8
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
25future education, today
SONY SUGEMA COLLEGE
TKA - SaintekMatematika
x1 . x2 > 0 (positif x positif) (p + 1) > 0 didapat p > -1 …..(3)
(1)(2)(3) : -1 < p 0 6.6 Menyusun Persamaan Kuadrat :
Bila x1 dan x2 akar – akar suatu persamaan kuadrat maka: Persamaan Kuadrat tersebut Bentuk simetris (dikerjakan terhadap operasi yang sama) Misal :
x1 a, nx1, 1/x1, x12
x2 a, nx2, 1/x2, x22
Contoh : 1. Tentukan persamaan kuadrat dengan akar-akar 3 dan 7!
Penyelesaian : x1 = 3 dan x2 = 7 x1 + x2 = 10 dan x1 x2 = 21 Persamaan kuadrat : x2 – 10x + 21 = 0
2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 4 lebih kecil dari akar-akar persamaan : x2 – 3x + 5 = 0 ! Penyelesaian : x2 – 3x + 5 = 0 akar-akar : x1 dan x2 dan
x1 + x2 = 3 , x1 + x2 = 5 Misal : y1 dan y2 akar-akar persamaan kuadrat baru,
maka y1 = x1 – 4 dan y2 = x2 – 4 y1 + y2 = x1 + x2 – 8
= 3 – 8 = -5 y1 y2 = x1 x2 – 4(x1 + x2) + 16
= 5 – 4(3) + 16 = 9 Persamaan kuadrat baru : x2 – (y1 + y2)x + (y1 y2) = 0
x2 + 5x + 9 = 0 Atau dengan menggunakan cara lain : CARA INVERS / TRANSORMASI :
y1 = x1 – 4 y = x – 4 y2 = x2 – 4 x = y + 4 subst ke pers. asal Asal : x2 – 3x + 5 = 0 Baru : (y + 4)2 – 3(y + 4) + 5 = 0
y2 + 8y + 16 – 3y – 12 + 5 = 0 y2 + 5y + 9 = 0 (ganti x) x2 + 5x + 9 = 0
3. Persamaan : x2 – 4x + 2 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Tentukan persamaan kuadrat dengan akar-
akar :
x12 + x2
2 dan 1x
1 + 2x
1 !
Penyelesaian : PK asal : x2 – 4x + 2 = 0 , akar-akar x1 dan x2 .
x1 + x2 = 4 , x1 x2 = 2
-1 0 2 8
x2 – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0
Contoh : 1. Persamaan x2 + (p + 1)x – 2p = 0 mempunyai akar-akar real x1 dan x2. Bila x1
2 + x2 2 = 28 maka p2 – p = …. Penyelesaian : x2 + (p + 1)x – 2p = 0 ( a = 1 , b = p + 1, c = -2p ) x1
2 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1 x2
28 = (-p – 1)2 – 2(-2p) 28 = p2 + 2p + 1 + 4p p2 + 6p – 27 = 0 (p + 9)(p 3) = 0 p = 9 atau p = 3
D = (p + 1)2 4 1 (2p) = (p + 1)2 + 8p p = 9 D = 64 72 = 8 (tidak memenuhi akar real) p = 3 D = 16 + 24 = 40 (memenuhi akar real) Jadi p2 – p = 9 3 = 6
2. Persamaan : x2 – 16x + 6p = 0 mempunyai akar-akar
x1 dan x2. Bila x1 = 3x2 maka x1 x2 + p = … Penyelesaian : x2 – 16x + 6p = 0 ( a = 1 , b = -16 , c = -2p ) x1 = 3 x2 x1 + x2 = 16
3 x2 + x2 = 16, 4x2 = 16, x2 = 4 dan x1 =3 (4) = 12 x1 x2 = 48
6p = 48, p = 8 Jadi x1 x2 + p = 48 + 8 = 56
D 6.5 Sifat tanda akar : x1 + x2
x1.x2 Akar – akar positif :
Syarat 1: D 0 Syarat 2: x1 + x2 > 0 Syarat 3: x1 . x2 > 0
Akar – akar negatif : Syarat 1: D 0 Syarat 2: x1 + x2 < 0 Syarat 3: x1 . x2 > 0
Akar – akar berlaianan tanda : Syarat 1: D > 0 Syarat 2: x1 . x2 < 0
Akar – akar berkebalikan : D > 0 a = c
Akar – akar berlawanan : D > 0 b = 0 x1 . x2 < 0
Contoh : Batas nilai p agar persamaan :
x2 + (p – 2)x + (p + 1) = 0 mempunyai 2 akar positif adalah Penyelesaian : Pokok persoalan berkaitan dengan sifat akar tertentu (tanda akar) maka ditinjau berdasar nilai D , x1 + x2 dan x1 x2.
x2 + (p – 2)x + (p + 1) = 0 (a = 1, b = p–2, c = p+1) x1 = bil. positif dan x2 = bil. positif.
D = (p – 2)2 – 4.1.(p + 1) 0 p2 – 8p 0 p(p – 8) 0 …… (1)
x1 + x2 > 0 (positif + positif) –(p – 2) > 0 didapat p < 2 …..(2)
+ – + 0 8
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
26future education, today
SONY SUGEMA COLLEGE
TKA - SaintekMatematika
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
PK baru : dengan akar-akar y1 dan y2 maka y1 = x1
2 + x22
= (x1 + x2)2 – 2x1 x2 = 16 – 2(2) = 12
y2 = 1x
1+
2x1
=21
12
xxxx
= 24
= 2 y1 + y2 = 14 dan y1 y2 = 24
Persamaan kuadrat baru : x2 – (y1 + y2)x + (y1 y2) = 0 x2 – 14x + 24 = 0
KAJI LATIH STANDAR
1. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x – 8 = 0
adalah 1x dan 2x . Jika 1 2x x maka 1 22 ...x x (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 14
2. Akar-akar persamaan kuadrat 6x2 – x – 2 = 0
adalah … (A) 1 atau 2 (B) 2 atau 1 (C) 4 atau 3
(D) 23
atau 12
(E) 23
atau 12
3. Himpunan penyelesaian dari 2x 4x 2 0
adalah … (A) 1 2 , 1 2
(B) 2 2 , 2 2
(C) 3 2 , 3 2
(D) 4 2 , 4 2
(E) 5 2 , 5 2
4. Salah satu akar dari persamaan kuadrat 2x (p 2)x 2p 7 0 adalah 5, maka nilai p
adalah ... (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 3 (E) 7
5. Akar yang lain pada soal no 4 adalah ...
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 3 (E) 7
6. Persamaaan kuadrat 2 3 0x bx b
mempunyai akar dan , jika 4 , maka ...
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
27future education, today
SONY SUGEMA COLLEGE
TKA - SaintekMatematika
7. Nilai 2 2 pada soal no 6 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 (E) 15
8. Persamaan kuadrat x2 – 4x + p = 0 mempunyai akar kembar untuk … (A) p = 4 (B) p = 2 (C) p = 2 (D) p = 4 (E) p = 16
9. Persamaan kuadrat 2 2 0x x c , mempunyai
akar-akar tidak real 1x dan 2x . Jika 3 31 2R x x ,
maka (A) 0R (B) 1R (C) 1R (D) 2R (E) 2R
10. Persamaan kuadrat 2x 2x 2p
x 1
memiliki dua
akar real berbeda, maka... (A) p 2 atau p 2 (B) p 2 atau p 1 (C) p 1 atau p 2 (D) 2 p 1 (E) 2 p 2
11. Akar persamaan kuadrat 2x 7x m 0 adalah
dan , jika 2 2 43 , maka 2 2 ... (A) 9 (B) 15 (C) 21 (D) 25 (E) 30
12. Persamaan kuadrat 2x 3x k 2 0 mempunyai
akar x1 dan x2. Jika 1 22x x 8 maka harga k yang memenuhi adalah... (A) – 8 (B) – 5 (C) – 2 (D) 12 (E) 14
13. Jika selisih akar-akar 2x 2cx 19 c 0
adalah 2, maka nilai 230 c c adalah .... (A) –20 (B) –10 (C) 0 (D) 10 (E) 20
14. Akar-akar persamaan kuadrat 22x 10x p 0 adalah dan . Jika 2 2 = 30, maka 2p = .... (A) 15 (B) 11 (C) 6 (D) 11 (E) 15
15. Jika dan adalah akar-akar tidak real persamaan
2 2(x 4x 5)(x 4x 6) 12 maka nilai ... (A) – 14 (B) – 2 (C) 2 (D) 9 (E) 15
16. Jumlah kuadrat kedua akar persamaan 2x 8x 8n 0 sama dengan jumlah pangkat
t iga kedua akar persamaan 2x 2x 2n 0 . Nilai n yang memenuhi adalah … (A) 13 (B) 4 (C) 5 (D) 18 (E) 27
17. Jika dan akar-akar persamaan kuadrat
2x 3x 1 0 , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 2 dan 3 3 adalah... (A) x2 + 5x + 3 = 0 (B) x2 5x + 18 = 0 (C) x2 + 25x + 48 = 0 (D) x2 25x + 126 = 0 (E) x2 + 30x + 200 = 0
18. Jika 1x dan 2x akar-akar persamaan kuadrat
2 3 1 0x x , maka persamaan kuadrat dengan
akar-akar 2
1
2 xx
dan 1
2
2 xx
adalah…
(A) 2 11 19 0x x (B) 2 11 19 0x x (C) 2 11 19 0x x (D) 2 19 11 0x x (E) 2 19 11 0x x
PK baru : dengan akar-akar y1 dan y2 maka y1 = x1
2 + x22
= (x1 + x2)2 – 2x1 x2 = 16 – 2(2) = 12
y2 = 1x
1+
2x1
=21
12
xxxx
= 24
= 2 y1 + y2 = 14 dan y1 y2 = 24
Persamaan kuadrat baru : x2 – (y1 + y2)x + (y1 y2) = 0 x2 – 14x + 24 = 0
KAJI LATIH STANDAR
1. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x – 8 = 0
adalah 1x dan 2x . Jika 1 2x x maka 1 22 ...x x (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 14
2. Akar-akar persamaan kuadrat 6x2 – x – 2 = 0
adalah … (A) 1 atau 2 (B) 2 atau 1 (C) 4 atau 3
(D) 23
atau 12
(E) 23
atau 12
3. Himpunan penyelesaian dari 2x 4x 2 0
adalah … (A) 1 2 , 1 2
(B) 2 2 , 2 2
(C) 3 2 , 3 2
(D) 4 2 , 4 2
(E) 5 2 , 5 2
4. Salah satu akar dari persamaan kuadrat 2x (p 2)x 2p 7 0 adalah 5, maka nilai p
adalah ... (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 3 (E) 7
5. Akar yang lain pada soal no 4 adalah ...
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 3 (E) 7
6. Persamaaan kuadrat 2 3 0x bx b
mempunyai akar dan , jika 4 , maka ...
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
28future education, today
SONY SUGEMA COLLEGE
TKA - SaintekMatematika
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
19. Persamaan 2x (q 5)x q 2 0 memiliki akar-akar yang saling berkebalikan maka q ... (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
20. Agar persamaan 2 (3 18) 2 0x p x p memiliki akar-akar yang saling berlawanan tanda maka p = ... (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
21. Persamaan kuadrat 2x mx 2m 3 0
mempunyai dua akar-akar negatif berbeda, jika... (A) m 2 atau m 6
(B) 3m2
(C) 3 m 22
atau m 6
(D) 2 m 6 (E) m 6
22. Persamaan kuadrat 2 2 4 0 x x c
mempunyai akar-akar 1x dan 2x . Jika 1 1 x dan 2 1 x , maka …. (A) 1c atau 5c (B) 1 5 c (C) 1 5 c (D) 1c (E) 5c
23. Jika p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat 2 2x (2p 6)x p 24 0 , maka 3 3p q ...
(A) 56 (B) 88 (C) 117 (D) 224 (E) 756
24. Jika dan akar-akar persamaan 2x 3x 5 0
maka 3 ...
(A) 351
(B) 152
(C) 252
(D) 452
(E) 153
25. Jika a dan b akar-akar persamaan kuadrat
2 3 0x x , maka 2 22 ...a b a (A) 10 (B) 9 (C) 7 (D) 6 (E) 4
