1Paola Suria Arnaldi OPERAZIONI CON TRINOMI DI II° GRADO a x 2 + b x + c Risolvere lequazione...

11Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

OPERAZIONI CON TRINOMI DI II° GRADOOPERAZIONI CON TRINOMI DI II° GRADO

a x2 + b x + c

Risolvere l’equazione

Risolvere la disequazione

Scomposizione del trinomio (se possibile)

Disegnare la parabola associata

Completamento di un quadrato

Servirsi della parabola per risolvere la disequazione


EquazioniEquazioni

Equazioni di II°: Equazioni di II°: a x2 + b x + c = 0

Se b è pari: formula ridotta (da sapere e da utilizzare !!)


EQUAZIONI DI II° GRADOEQUAZIONI DI II° GRADOE’ possibile risolverla in modo intuitivo?E’ possibile risolverla in modo intuitivo?

1.1. a x a x 2 2 + b x = 0+ b x = 0 (c=0; manca il termine noto!) (c=0; manca il termine noto!) raccolgo x: x (a x + b) = 0;raccolgo x: x (a x + b) = 0;

annullamento di un prodotto: x = 0 e (ax+b)=0; annullamento di un prodotto: x = 0 e (ax+b)=0; le soluzioni sono x = 0 e x = -b/a le soluzioni sono x = 0 e x = -b/a

2.2. a x a x 2 2 + c = 0+ c = 0 (b=0; manca il termine di I°) (b=0; manca il termine di I°) XX2 2 + 4 = 0 + 4 = 0 l’equazione non ammette soluzioni l’equazione non ammette soluzioni reali; reali;

XX2 2 - 4 = 0- 4 = 0 x = x = ± 2 oppure |x| = 2 (attenzione non ± 2 oppure |x| = 2 (attenzione non x = |2|) x = |2|)

3.3. a xa x22 = 0 ( b = c = 0); x = 0 è l’unica soluzione!! = 0 ( b = c = 0); x = 0 è l’unica soluzione!!


DISEQUAZIONI DI I° gradoDISEQUAZIONI DI I° grado

a x + b a x + b > > 0 x 0 x >> -b/a x -b/a x << - b/a - b/a

a x + b a x + b ≥≥ 0 0 x x ≥≥ -b/a x -b/a x ≤≤ - b/a - b/a

a x + b a x + b << 0 0 x x << -b/a x -b/a x >> - b/a - b/a

a x + b a x + b ≤≤ 0 0 x x ≤≤ -b/a x -b/a x ≥≥ - b/a - b/a

a > 0 a < 0


DISEQUAZIONI DI II ° GRADODISEQUAZIONI DI II ° GRADO(metodo algebrico)(metodo algebrico)

a

Calcoliamo Δ = b2 - 4 a c

x1

x2

a

x1

x2

aa x x 22 + b x + c + b x + c >> 00

aa x x 22 + b x + c + b x + c ≥≥ 001

aa x x 22 + b x + c + b x + c < 0< 0

aa x x 22 + b x + c + b x + c≤ ≤ 002

1: x < x1 v x > x 2

(-∞ , x1) U (x2 , + )

2: x 1 < x < x 2

1: x 1 < x < x 2

2: x < x1 v x > x 2


DISEQUAZIONI DI II ° GRADODISEQUAZIONI DI II ° GRADO((metodo algebrico-graficometodo algebrico-grafico))

1:

2:

a

a x1 = x2

x1 = x2

1:

2:

1:

2:

1:

2:


DISEQUAZIONIDISEQUAZIONI FRATTE FRATTE

1. Indipendentemente dal trovarsi nel caso 1 o 2, conviene (non è necessario, ma consigliabile) imporre :

2. Costruire una tabella che chiameremo di prodotto/rapporto oppure di segno oppure + + - -

3. Scegliere gli intervalli utili a seconda che ci si trovi nel caso 1 oppure nel caso 2

Tecnica di lavoro


La filosofia che sta alle spalle è che:La filosofia che sta alle spalle è che:

Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivopositivo

(negativo) se il numero di fattori negativi è (negativo) se il numero di fattori negativi è pari pari (dispari).(dispari).

DISEQUAZIONI FRATTEDISEQUAZIONI FRATTE



Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivopositivo

(negativo) se il numero di fattori negativi è (negativo) se il numero di fattori negativi è pari pari (dispari).(dispari).

Allora vado a cercare quando Allora vado a cercare quando tuttitutti i fattori sono i fattori sono positivi positivi

(automaticamente so anche dove sono negativi!) imponendo ai (automaticamente so anche dove sono negativi!) imponendo ai

singoli di essere positivi (i fattori a numeratore possono essere singoli di essere positivi (i fattori a numeratore possono essere

imposti imposti maggiori o uguali a zero!!!!maggiori o uguali a zero!!!! non quelli del non quelli del

denominatore)denominatore)




Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivopositivo (negativo) (negativo)

se il numero di fattori negativi è se il numero di fattori negativi è pari pari (dispari).(dispari).

Allora vado a cercare quando Allora vado a cercare quando tuttitutti i fattori sono i fattori sono positivi positivi

(automaticamente so anche dove sono negativi!) imponendo ai (automaticamente so anche dove sono negativi!) imponendo ai

singoli di essere positivi (i fattori a numeratore possono essere singoli di essere positivi (i fattori a numeratore possono essere

imposti imposti maggiori o uguali a zero!!!!maggiori o uguali a zero!!!! non quelli del denominatore)non quelli del denominatore)

Costruisco una tabella di segno e vedo che segno avrebbe il Costruisco una tabella di segno e vedo che segno avrebbe il

rapporto/prodotto nei singoli intervallirapporto/prodotto nei singoli intervalli




Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivopositivo (negativo) se il (negativo) se il

numero di fattori negativi è numero di fattori negativi è pari pari (dispari).(dispari).

Allora vado a cercare quando Allora vado a cercare quando tuttitutti i fattori sono i fattori sono positivi positivi (automaticamente (automaticamente

so anche dove sono negativi!) imponendo ai singoli di essere positivi (i so anche dove sono negativi!) imponendo ai singoli di essere positivi (i

fattori a numeratore possono essere imposti fattori a numeratore possono essere imposti maggiori o uguali a zero!!!!maggiori o uguali a zero!!!!

non quelli del denominatore)non quelli del denominatore)

Costruisco una tabella di segno e vedo che segno avrebbe il Costruisco una tabella di segno e vedo che segno avrebbe il

rapporto/prodotto nei singoli intervallirapporto/prodotto nei singoli intervalli

Individuo gli intervalli utiliIndividuo gli intervalli utili



ESEMPIOESEMPIO primi passi nello studio di funzione 1

Prendiamo una funzione assegnata ad un esame:Prendiamo una funzione assegnata ad un esame:

1. Cerchiamo il dominio (l’insieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x per trovare una y reale!!!





2. Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di essere diverso da zero

x 2 – 4 ≠ 0 |x| ≠ 2

- 2 2

y

x






x 2 – 4 ≠ 0 |x| ≠ 2

1. domf: (- ∞, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ∞)

2. Cerchiamo gli zeri della funzione ovvero dove f(x)=0 (x 2 – 1 )/(x2 – 4) = 0- 2 2

y

x






x 2 – 4 ≠ 0 |x| ≠ 2

1. domf: (- ∞, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ∞)

2. Cerchiamo gli zeri della funzione ovvero dove f(x)=0 (x 2 – 1 )/(x2 – 4) = 0

3. Ma per la legge di annullamento di un rapporto x2 – 1 = 0 |x| = 1

- 2 2

y

x






x 2 – 4 ≠ 0 |x| ≠ 2

1. domf: (- ∞, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ∞)

2. Cerchiamo gli zeri della funzione ovvero dove f(x)=0 (x 2 – 1 )/(x2 – 4) = 0

3. Ma per la legge di annullamento di un rapporto x2 – 1 = 0 |x| = 1

4. Cerchiamo il segno della f(x): cerchiamo cioè dove f(x) >0 (+) e dove f(x) < 0 (-) (è sufficiente trovare dove f(x) >0, e, per esclusione, sapendo dove f(x) =0 e dove f(x)>0 sappiamo anche dove f(x)>0

- 2 2

y

x


RICORDARICORDA

1.1. ESISTENZA DI UN RAPPORTOESISTENZA DI UN RAPPORTO: : è possibile dividere due numeri reali (a / b) possibile dividere due numeri reali (a / b) se e solo sese e solo se il il

denominatore è diverso da zero (denominatore è diverso da zero (b b ≠ 0≠ 0))

2.2. ANNULLAMENTO DIANNULLAMENTO DI UN RAPPPORTOUN RAPPPORTO: : un rapporto è nullo se e solo se è nullo il numeratore (e

contemporaneamnete il denominatore è diverso da zero):

a / b = 0 se e solo se a = 0

3.3. ANNULLAMENTO DIANNULLAMENTO DI UN PRODOTTOUN PRODOTTO:: un prodotto di più fattori è nullo se e solo se è nullo almeno

uno dei fattori

a * b * c ... = 0 se e solo se a = 0; oppure b=0; oppure....


RICORDARICORDA (esempio)(esempio)

1. Il rapporto esiste (dominio della funzione) se e solo se x+2 ≠ 0 x ≠ -2

2. Il rapporto si annulla (f(x)=0) (zeri della funzione) se e solo se x-1=0 x= -1

1. Il prodotto esiste (dominio della funzione) sempre, per ogni valore reale di x

2. Il prodotto si annulla (f(x)=0) (zeri della funzione) se e solo se x - 1=0 oppure x – 2 = 0 x = 1 oppure x = 2



f(x)>0:

x2 – 1 > 0 |x| > 1 oppure x< -1 V x >1

x2 – 4 > 0 |x| >2 oppure x<-2 V x > 2

-2 - 1 1 2

+++++++++++++++++++--------------------------+++++++++++++++++

++++++++ ------------------------------------------------------------- +++++++

f(x) +++++ - - - - - - ++++++++++++ - - - - - - - - - ++++++

l’ultima riga fornisce informazioni sul segno della funzione: per tutte le x < -2 la funzione è positiva; per le x comprese tra -2 e -1 la funzione è negativa....


Continua segno funzioneContinua segno funzionef(x) = 0 ↔ x = - 1 e x = 1

f(x) > 0 ↔ (-∞, -2) U (-1, 1) U (2, + ∞)

f(x) < 0 ↔ (-2, -1) U (1, 2)

y

x -2 -1 1 2


QUANDO PIU’ CONDIZIONI DEVONO ESSERE QUANDO PIU’ CONDIZIONI DEVONO ESSERE VERIFICATE CONTEMPORANEAMENTEVERIFICATE CONTEMPORANEAMENTE

I SISTEMII SISTEMI

Tecnica di lavoro

1. Si risolvono tutte le disequazioni date

2. Si costruisce una tabella (non di segno!!!!) dove:

• la linea continua significa che la condizione è soddisfatta

• La linea tratteggiata significa che la condizione non è soddisfatta

3. La soluzione sarà l’insieme di tutti quegli intervalli in cui sono soddisfatte tutte le condizioni contemporaneamente


ESEMPIO DI APPLICAZIONE DEI SISTEMIESEMPIO DI APPLICAZIONE DEI SISTEMI

Tecnica di soluzione

La legge della funzione presenta tre radici, due di indice pari e una di indice dispari.

Le operazioni tra numeri reali ci impongono che gli argomenti delle radici di indice pari siano, contemporaneamente, non negativi, cioè maggiori o uguali a zero!

Le condizioni sono verificate contemporaneamente nell’intervallo tra 1 e 3

Dom f [1, 3]

1 3


Dalla ricerca dei risultati alla loro Dalla ricerca dei risultati alla loro rappresentazione grafica...rappresentazione grafica...

1 3

Non ci poniamo il problema di trovare zeri e segno della funzione, perché l’espressione algebrica non è facile da manipolare!


Ancora un esempio...con radiciAncora un esempio...con radiciConfrontiamo dominio, zeri e segno di due funzioni, con una legge

apparentemente molto simile!!!

Constatiamo, con valori numerici semplici, che le due funzioni sono diverse

Per alcuni valori della variabile indipendente si ottengono gli stessi risultati, per altri invece....


RICERCA DEL DOMINIO: RICERCA DEL DOMINIO: funzione 1funzione 1

L’algebra dei numeri reali impone che l’argomento della radice di indice pari sia non negativa e il denominatore sia diverso da zero.

E’ un sistema! Le due condizioni devono essere verificate contemporaneamente.

La prima disequazione è una frazione, l’algebra delle disequazioni fratte consiglia di cercare dove i singoli fattori sono positivi e poi leggere i risultati su una tabella di segno

-2 1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

f(x) + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + +

Risolvendo il sistema si vede che la II condizione è già compresa nella prima

Domf (- ∞, -2) U [1, + ∞)


....Continuiamo a cercare le prime informazioni per lo studio di ....Continuiamo a cercare le prime informazioni per lo studio di funzione e, poi, a mettere tali condizioni su un grafico (funzione e, poi, a mettere tali condizioni su un grafico (funzione 1funzione 1))

• Zeri della funzione: f(x)=0; la legge di annullamento di una radice, prima, e

di un rapporto poi, ci consente di scrivere f(x)=0 ↔ x = 1.

• Segno della funzione: f(x) >0; per l’algebra delle radici di indice pari, una radice di indice pari, dove consente di ottenere un risultato, produce sempre un risultato positivo

Riassumiamo:

f(x) = 0 ↔ x = 1

f(x) > 0 ↔ qualunque x appartenente al domf

f(x) < 0 ↔ per nessuna x appartenente al dominio


Dai calcoli al grafico...Dai calcoli al grafico...funzione 1funzione 1

-2 1

y

x


RICERCA DEL DOMINIO: RICERCA DEL DOMINIO: funzione 2funzione 2

L’algebra dei numeri reali impone che i due radicandi siano, contemporaneamente, positivi. L’avverbio contemporaneamente ci ricorda che siamo in presenza di un sistema! Ma siamo anche in presenza di una frazione e quindi il denominatore deve essere diverso da zero. Imporremo questa condizione automaticamente, perché non accetteremo l’annullamneto del denominatore.

- 2 1

dom f: x ≥ 1 oppure [1, + ∞)

Zeri della funzione: x =1

f(x) > 0 : qualunque x appartenente al dominio

f(x) < 0 : nessuna x appartenente al dominio


Dai calcoli al grafico...Dai calcoli al grafico...funzione 2funzione 2

1

y

x

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