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Sistemi lineari

Metodo di eliminazione di

Gauss

Motivazioni

Molti problemi si possono rappresentare mediante un sistema

lineare

La soluzione di un sistema lineare costituisce un sottoproblema di

moltissime applicazioni del calcolo

scientifico

Obiettivo

Studiare algoritmi per il calcolo della soluzione numerica di sistemi lineari

Numeri di macchina

Il problema

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Ipotesi su A Teorema di esistenza e

unicit

Metodi per il calcolo della soluzione

DIRETTI: con un numero finito di operazioni si calcola la soluzione.

ITERATIVI: si costruisce una successione di vettori che allinfinito si avvicina alla soluzione del sistema.

SISTEMI FACILI: diagonali

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SISTEMI FACILI: triangolari

inferiore superiore

Si pu dimostrare che linversa di una matrice triangolare inferiore (superiore) ancora una matrice triangolare inferiore (superiore)

Algoritmo di sostituzione allavanti

Algoritmo di sostituzione

allindietro Complessit computazionale degli

algoritmi di sostituzione allavanti e allindietro

Divisioni e

prodotti Somme

4

Sistemi qualunque

Calcolo dell inversa:

(floating point con =10, t=6)

Sistemi qualunque

Metodo di Cramer : esempio

Complessit computazionale del metodo di Cramer

Se 1 nsec per eseguire il prodotto e

Metodo di eliminazione

*

+

5

Metodo di eliminazione

*

+

Metodo di eliminazione

*

+

Metodo di eliminazione

Sistema triangolare equivalente (= ha le

stesse soluzioni del sistema iniziale)

Strategia:

Costruire un sistema equivalente pi semplice

Combinazioni lineari delle righe della matrice (= equazioni del

sistema)

I coefficienti della combinazione lineare si dicono moltiplicatori

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Cambiamo punto di vista

Le combinazioni lineari delle righe di una matrice si possono esprimere

come prodotti matrice-matrice.

Esempio

Esempi

1.

2.

Propriet delle matrici di

trasformazione

Hanno determinante uguale a 1.

Sono matrici non singolari.

Metodo di eliminazione

7

Metodo di eliminazione Trasformazioni di Gauss

Trasformazione elementare

di

Gauss applicata

alla 1 colonna

1 Passo 2 Passo

8

k Passo

Se

Dopo n-1 passi Se la trasformazione elementare di

Gauss definita e

Dopo n-1 passi

dove triangolare superiore

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Si dimostra che: Dimostrazione (1/4)

Dimostrazione (2/4) Dimostrazione (3/4)

Si verifica

k-esimo elemento

di

10

Dimostrazione (4/4) Fallimento dellalgoritmo L algoritmo ben definito se tutti i perni sono non nulli

Esistono matrici non singolari su cui lalgoritmo fallisce, poich si incontrano perni nulli.

Condizione sufficiente

Se i minori principali di A sono non nulli, tranne al pi lultimo, allora lalgoritmo ben definito Definizione: il k-esimo minore principale

di A

Inoltre si dimostra che

Dimostrazione per induzione(1/2)

Per k=1

Per k=2

poich la trasformazione di Gauss triangolare si ha luguaglianza

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Dimostrazione per induzione(2/2)

Hp di induzione:

Th:

poich le trasformazione di Gauss

triangolare si ha luguaglianza

Th

Riassumendo

Teorema

Se tutti i minori principali di A sono non

nulli, tranne al pi lultimo, allora esistono una matrice L triangolare inferiore con

diagonale unitaria ed una matrice

triangolare superiore R tali che

Inoltre

FATTORIZZAZIONE DI A

Unicit

Se A non singolare e ammette la fattorizzazione LR, allora essa unica

Dimostrazione:

triangolare inferiore con diagonale unitaria

triangolare superiore

diagonale unitaria

=

Viceversa

Se A ammette la fattorizzazione,

allora tutti i minori principali sono

non nulli.

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Algoritmo di fattorizzazione di Gauss

Si sovrascrivono gli elementi della matrice;

Elemento

perno o pivot

Complessit computazionale

Calcolo

moltiplicatori

Aggiornamento

degli

Passo Divisioni Somme e prodotti

1

2

k

n-1 1 1

Complessit computazionale della fattorizzazione di Gauss

Soluzione di un sistema

Sostituzione allavanti

Sostituzione allindietro

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Esempio