สรุปพิ้นฐาน ม ปลาย โดยครูอ้วน

1

เอกสารประกอบการสอน รายวชาคณตศาสตร

คอรสพนฐาน ม.ปลาย (ม.4-5-6)

จดท าโดย ครอวน ([email protected])

2

หนวยท 1 เซต (Set)

EX1 ขอความใดตอไปนไมเปนเซต 1. เซตของจ านวนธรรมชาต (Natural number) 2. เซตของจงหวดในประเทศไทยทขนดวยพยญชนะ “ฉ” 3. เซตของผลเฉลยทเปนจ านวนเตมบวกของอสมการ x2 < 1 4. เซตของรายชอนกเรยนทท าคะแนนโอเนตวชาคณตศาสตรเกน 90 คะแนน ในการสอบโอเนตปหนา

เซต เปนค าอนยาม (Undefined term) ในทางคณตศาสตรใชเซต เพอบอกถงกลมของสงตางๆ โดยสามารถระบไดแนนอนวาสงๆนนอยในเซตหรอไม และเรยกสงทอยในเซตวา สมาชกของเซต (Element of Set)

ขอตกลงเกยวกบสญลกษณ 1. ใชตวอกษรภาษาองกฤษตวพมพใหญ A, B, … แทนชอเซต และใชอกษรตวพมพเลก a, b, … แทนสมาชกในเซต

2. ใชสญลกษณ “” แทนการเปนสมาชก และใชสญลกษณ “” แทนการไมเปนสมาชก เชน ก าหนด A = {a, b, d} จะไดวา b A (แทนขอความ “b เปนสมาชกของ A”) และ c A (แทนขอความ “c ไมเปนสมาชกของ A”)

3. วธการเขยนเซต โดยทวไปม 2 วธ คอ 3.1) แบบแจกแจงสมาชก เขยนสมาชกทกตวลงในเครองหมายปกกา ({ } ) และใชเครองหมายจลภาค ( , ) คนระหวางสมาชกแตละตว เชน A เปนเซตของสระในภาษาองกฤษ เขยนเซตแบบแจกแจงสมาชกไดวา A = {a, e, i, o, u} 3.2) แบบบอกเงอนไข เขยนตวแปรแทนสมาชก หลกจากนนใชสญลกษณ “ ” (อานวา โดยท) และมการอธบาย คณสมบตของตวแปรนน เชน A เปนเซตของสระในภาษาองกฤษ เขยนเซตแบบบอกเงอนไดวา A = { x x เปนสระในภาษาองกฤษ}

4. จ านวนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย n(A)

5. สญลกษณแทนเซตของจ านวนตางๆ ทควรทราบดงน I แทนเซตของจ านวนเตม Q แทนเซตของจ านวนตรรกยะ N แทนเซตของจ านวนนบ Q หรอ Qc แทนเซตของจ านวนอตรรกยะ R แทนเซตของจ านวนจรง P แทนเซตของจ านวนเฉพาะ

3

EX2 พจารณาเซตตอไปน ขอใดสรปถกตอง (สวนกหลาบวทยาลย) 1. { x x เปนจ านวนคไมเกน 10} = {2, 4, 6, 8, 10}

2. { x I x = 2y + 1 เมอ y N} = {3, 5, 7, 9, 11, …} 3. { x I x หารดวย 3 ไดลงตว} = {3, 6, 9, 12, …} 4. { x N x เปนจ านวนเฉพาะทไมเกน 23} = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

EX3 พจารณาวาขอความตอไปน ก. ถา A = {12(3, 4, 5)} แลว n(A) = 3 ข. ถา B = {1, 2, {(3, 4), 5}} แลว n(B) = 4 ขอใดถกตอง (เตรยมอดมฯ) 1. ก. ถกเพยงขอเดยว 2. ข. ถกเพยงขอเดยว 3. ก. และ ข. ถก 4. ก. และ ข. ผด

EX4 พจารณาขอตอไปน ขอใดถกตอง (สาธตจฬาฯ) 1. A = { x R x2 < 0} เปนเซตวาง 2. B = { x I– x > – 100} เปนเซตอนนต 3. C = { x Q x2 = 2 x} เปนเซตจ ากด 4. D = { x I x < 5 และ x หารดวย 5 ลงตว} เปนเซตวาง

ประเภทของเซตทส าคญ 1. เซตจ ากด (Finite Set) หมายถง เซตทสามารถหาจ านวนสมาชกได เชน A = {1, 2, 3} B = {0.999….} C = { } ไดวา A, B และ C เปนเซตจ ากด

2. เซตไมจ ากด (Infinite Set) หมายถง เซตทมจ านวนสมาชกมากมายมหาศาล เชน D = {1, 2, 3, …} E = { x R 0 < x < 1} ไดวา D และ E เปนเซตไมจ ากด

3. เซตวาง (Empty Set) หมายถง เซตทไมมสมาชกอยเลย แทนดวย หรอ { }

4. เอกภพสมพทธ (Relative Universe) หมายถง เซตทก าหนดขอบเขตของสมาชกของ เซตทตองการจะศกษา เขยนแทนดวย U

4

EX5 ก าหนดให A = { , 1, {1}} ขอใดตอไปนผด (PAT’1 มนา 52) 1. A 2. { } A 3. {1,{1}} A 4. {{1},{1, {1}}} A

ความสมพนธระหวางเซต 1. การเทากนของเซต (Equality of set) เซต A เทากบเซต B กตอเมอ เซตทงสองมสมาชกเหมอนกนทกตว เขยนแทนดวย A = B

2. เซตทเทยบเทากน (Equivalent set) เซต A เทยบเทากบเซต B กตอเมอ เซตทงสองมจ านวนสมาชกเทากน เขยนแทนดวย A ~ B

3. สบเซต (Subset) และสบเซตแท (Proper subset) 3.1 เซต A เปนสบเซตของ B กตอเมอ สมาชกทกตวทอยใน A เปนสมาชกของ B เขยนแทนดวย A B 3.2 เซต A เปนสบเซตแทของ B กตอเมอ A B และ A B หมายเหต เซตวางเปนสบเซตของทกเซต นนคอ A

4. เพาเวอรเซต (Power set) เพาเวอรเซตของเซต A หมายถง เซตใหมทมสมาชกเปนสบเซตของ A ทงหมดเขยนแทนดวย P(A)

ขอสงเกต ส าหรบเซต A, B ใดๆ *1. เปนสบเซตของทกๆเซต นนคอ A *2. ตวมนเองเปนสบเซตของตวมนเอง นนคอ A A *3. ถา A มจ านวนสมาชก n ตว แลวจ านวนสบเซตของ A เทากบ 2n ตว *4. P(A) และ A P(A) เสมอ 5. P(A) และ{ } P(A) เสมอ **6. ถา A มจ านวนสมาชก n ตว แลวจ านวนสมาชกของ P(A) มทงหมด 2n ตว 7. ถา A B แลว P(A) P(B) *8. ถา A B และ B C แลว A C 9. A B และ B A กตอเมอ A = B

5

EX6 ก าหนดให A= {1, {1}, , { }} และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของ A จะไดวา ก) { } A และ { }P(A) ข) A และ P(A) ค) A และ P(A) มสมาชกซ ากน 3 ตว ขอสรปใดถกตอง (เตรยมอดมฯ) 1. ถกเฉพาะขอ ก) และขอ ข) 2. ถกเฉพาะขอ ข) และขอ ค) 3. ถกเฉพาะขอ ก) และขอ ค) 4. ถกหมดทง 3 ขอ

EX7 ขอใดกลาวถกตอง (สาธตจฬาฯ) 1. ถา A B แลว n(A) > n(B) 2. ถา A B และ B C แลว A = C 3. A B และ B A กตอเมอ A = B 4. ถา A เปนเซตจ ากด และ A B แลว B ตองเปนเซตอนนต

EX8 ก าหนดให A = { x x เปนจ านวนคบวก และ x < 100} และ B = { x x A และ 3 หาร x ลงตว} จ านวนสมาชกของ P(B) เทากบขอใดตอไปน (PAT’1 มนา 52) 1. 216 2. 217 3. 218 4. 219

จ าใหแมน !! 1. ถา A มจ านวนสมาชก n ตว แลวจ านวนสบเซตของ A เทากบ 2n ตว 2. ถา A มจ านวนสมาชก n ตว แลวจ านวนสมาชกของ P(A) มทงหมด 2n ตว

6

แผนภาพของเวนน – ออยเลอร (Venn – Euler Diagrams) การเขยนแผนภาพแทนเซตนนจะชวยใหเขาใจและท าใหคดโจทยไดเรวและชดเจนขน เรยกการเขยนแผนภาพแทนเซตนวา “แผนภาพของเวนน – ออยเลอร” หลกในการเขยนแผนภาพเวนน – ออยเลอร ทนยมใชกน เรมตนดวยการใชรปสเหลยมผนผา แทนเอกภพสมพทธ (U) และใชวงกลม หรอวงร แทนเซต A, B, C, … ซงเปนสบเซตของ U • ความสมพนธระหวางเซต 2 เซต แบงเปน 4 กรณส าคญๆ ไดดงน กรณท 1 Disjoint set **กรณท 2 Joint set เซต A และเซต B ไมมสมาชกใดซ ากนเลย เซต A และเซต B มสมาชกซ ากนบางสวน *กรณท 3 A is subset of B กรณท 4 Equality Set เซต A เปนสบเซตของเซต B เซต A เทากบเซต B • ความสมพนธระหวางเซต 3 เซต แบงเปน 2 กรณส าคญๆ ไดดงน กรณท 1 Disjoint set *กรณท 2 Joint set เซต A เซต B และเซต C ไมมสมาชกใดซ ากนเลย เซต A เซต B และเซต C มสมาชกซ ากนบางสวน

U

A B

U

A B

U

B

A

U

A B

U

A

B C

U

A B

C

7

EX9 ก าหนดให A และ B เปนเซต พจารณาขอความตอไปน ก. ถา A B แลว A B = A ข. ถา A B แลว A B = B ขอใดตอไปนถกตอง (ENT’40) 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด EX10 ถา A = {1, 2, 3, 4, …} และ B = {{1,2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8, …} แลว (A – B ) (B – A) มสมาชกกตว (ENT’42) 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8

การด าเนนการของเซต (Operation of Set) 1. ยเนยน (Union) ใชสญลกษณ เซต A ยเนยน B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกของเซต A หรอเซต B เขยนแทนดวย A B 2. อนเตอรเซกชน (Intersection) ใชสญลกษณ อนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B คอ เซตซงประกอบดวยสมาชกของเซต A และเซต B ทซ ากน เขยนแทนดวย A B 3. ผลตาง (Difference) ใชสญลกษณ – ผลตางระหวางเซต A และเซต B คอเซตทประกอบดวยสมาชกทกตวทอยในเซต A แตตองไมอยใน เซต B เขยนแทนดวย A – B 4. คอมพลเมนต (Complement) ใชสญลกษณ หรอ c คอมพลเมนตของเซต A คอเซตทประกอบดวยสมาชกของเอกภพสมพทธแตไมเปนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย A หรอ Ac

ขอแนะน าในการท าโจทย Operation of set 1. A B เอาทงหมดทอยใน A หรอ B 2. A B เอาตวทซ ากนของทง A และ B 3. A – B เซต A หกสวนของ B ทซ ากนกบ A 4. A ใน Universe หก A ออกไป

U

B

A

8

EX11 ใหเอกภพสมพทธคอ เซต U = {1, 2, 3, 4, 5} และ A, B, C เปนเซตซงมเงอนไขวา n(A) = n(B) = n(C) = 3 และ n(AB) = n(BC) = n(AC) = 2 ถา ABC = U แลวขอใดตอไปนผด (ENT’45) 1. n(AB) = 4 2. n(ABC) = 3 3. n(A (BC)) = 2 4. n(A – (BC)) = 1

_______________________________________________________

คณสมบตบางประการของเซต *1. AB A AB U *2. ถา A B แลว AB = B และ AB = A 3. ถา A B และ C D แลว (A C) (B D) และ (A C) (B D) 4. A = A และ A = 5. AB = กตอเมอ A = และ B = 6. = U และ U = 7. ถา A B แลว B A 8. (A ) = A *9. (AB) = A B และ (A B) = A B *10. A – B = A B 11. A A = U และ A A = *12. A (B C) = (AB) (AC) และ A (BC) = (AB) (AC) **13. n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) *14. n(A – B) = n(A) – n(AB) *15. n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(BC) – n(AC) + n(ABC) *16. (A – B) (B – A) = (AB) – (AB)

9

ตวอยางขอสอบเรองเซต 1) ก าหนดให A = {1, 2, {1, 2}, {1, 2, 3}} ขอใดตอไปนผด (PAT’1 กรกฎา 52) 1. {1, 2} A 2. {1, 2, 3} A 3. {1, 2} A 4. {1, 2, 3} A 2) ให A เปนเซตจ ากด และ B เปนเซตอนนต ขอความใดตอไปนเปนเทจ (O-NET’52) 1. มเซตจ ากดทเปนสบเซตของ A 2. มเซตจ ากดทเปนสบเซตของ B 3. มเซตอนนตทเปนสบเซตของ A 4. มเซตอนนตทเปนสบเซตของ B 3) ถา A – B = {2, 4, 6}, B – A = {0, 1, 3} และ AB = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} แลว AB เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน (O-NET’49) 1. {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2. {1, 2, 4, 5, 6, 8} 3. {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4. {0, 2, 4, 5, 6, 8} 4) ก าหนดให A และ B เปนเซต ซง n(AB) = 88 และ n[(A – B) (B – A)] = 76 ถา n(A) = 45 แลว n(B) เทากบขอใดตอไปน (O-NET’50) 1. 45 2. 48 3. 53 4. 55 5) ถา A = {0, 1} และ B = {0, {1}, {0, 1}} แลวขอใดเปนจรง (Ent’ 38) 1. A P(B) 2. {1} P(A) P(B) 3. จ านวนสมาชกของ P(AB) = 2 4. จ านวนสมาชกของ P(AB) = 8

10

6) ในการส ารวจความเหนของนกเรยนชนมธยมศกษาตอนปลายจ านวน 880 คน เพอสอบถามขอมลเกยวกบการศกษาตอ ปรากฎผลดงน มผตองการศกษาตอ 725 คน มผตองการท างาน 160 คน มผตองการศกษาตอหรอท างาน 813 คน ผทตองการศกษาตอและท างานดวยมจ านวนเทากบขอใดตอไปน (PAT’1 กรกฎา 52) 1. 67 คน 2. 72 คน 3. 85 คน 4. 90 คน 7) ในการส ารวจความชอบในการดมชาเขยวและกาแฟของกลมตวอยาง 32 คน พบวา ผชอบดมชาเขยวม 18 คน ผชอบดมกาแฟม 16 คน ผทไมชอบดมชาเขยวและไมชอบดมกาแฟม 8 คน จ านวนคนทชอบดมชาเขยวอยางเดยวเทากบขอใดตอไปน (O-NET’52) 1. 6 คน 2. 8 คน 3. 10 คน 4. 12 คน

8) ในการสอบถามพอบานจ านวน 300 คน พบวา มคนทไมดมทงชาและกาแฟ 100 คน มคนทดมชา 100 คน และ มคนทดมกาแฟ 150 คน พอบานทดมทงชาและกาแฟมจ านวนเทาใด (O-NET’49) 9) นกเรยนกลมหนงจ านวน 46 คน แตละคนมเสอสเหลองหรอเสอสฟาอยางนอยสละหนงตว ถานกเรยน39 คนมเสอเหลอง และ 19 คนมเสอสฟา แลวนกเรยนกลมนทมทงเสอสเหลองและเสอสฟามจ านวนเทากบขอใดตอไปน (O-NET’50) 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12

11

10) นกเรยนกลมหนงจ านวน 50 คน ม 32 คนไมชอบเลนกฬาและไมชอบฟงเพลง ถาม 6 คน ชอบฟงเพลงแตไมชอบเลนกฬา และม 1 คน ชอบเลนกฬาแตไมชอบฟงเพลง แลวนกเรยนในกลมนทชอบเลนกฬาและชอบฟงเพลงมจ านวนเทากบขอใดตอไปน (O-NET’51) 1. 11 คน 2. 12 คน 3. 17 คน 4. 18 คน

11) ในการสอบของนกเรยนชนประถมศกษากลมหนงพบวา มผสอบวชาตางๆ ดงน คณตศาสตร 36 คน สงคมศกษา 50 คน ภาษาไทย 44 คน คณตศาสตรและสงคมศกษา 15 คน ภาษาไทยและสงคมศกษา 12 คน คณตศาสตรและภาษาไทย 7 คน ทงสามวชา 5 คน จ านวนผสอบผานอยางนอยหนงวชามกคน (O-NET’53) 12) ให A และ B เปนเซตซง n(A) = 5, n(B) = 4 และ n(AB) = 2 ถา C = (A – B) (B – A) แลว n(P(C)) เทากบเทาไร(O-NET’ 54) 13) ให A = {1, 2, 3, …} และ B = {{1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8, …} ขอใดเปนเทจ (O-NET’53) 1. A – B มสมาชก 5 ตว 2. จ านวนสมาชกของเพาเวอรเซต B – A เทากบ 4 3. จ านวนสมาชกของ (A – B) (B – A) เปนจ านวนค 4. AB คอเซตของจ านวนนบทมคามากกวา 5

12

14) ก าหนดให A, B และ C เปนเซตใดๆ ซง A B พจารณาขอความตอไปน ก. (C – A) (C – B) ข. Ac

C AcB

ขอใดตอไปนถกตอง (O-NET’54) 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 15) ส าหรบเซต A และ B ใดๆ ขอใดตอไปนผด (O-NET’48) 1. ถา AB = แลว A B และ B A 2. A – (AB) = A – B 3. (AB) – A = B 4. ถา (AB) = A แลว A B 16) ถาก าหนดจ านวนสมาชกของเซตตางๆ ตามตารางตอไปน แลวจ านวนสมาชกของ (A B) C เทากบขอใดตอไปน (O-NET’51) 1. 23 2. 24 3. 25 4. 26

เซต A B A C B C A B C A B C จ ำนวนสมำชก 25 27 26 30 7

13

17) ก าหนดเซตและจ านวนสมาชกของเซตตามตารางตอไปน จ านวนสมาชกในเซต ABC เทากบขอใด (PAT’1 ตลา 52) 18) ให A = {1, {1}} และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของ A ขอใดตอไปนผด (PAT’1 มนา 53) 1. จ านวนสมาชกของ P(A) – A เทากบ 3 2. จ านวนสมาชกของ P(P(A)) เทากบ 16 3. {{1}} P(A) – A 4. { , A} P(A) 19) ก าหนดให A = {0, 1, 2, {0, 1, 2}} และ P(A) แทนเซตก าลงของ A พจารณาขอความตอไปน ก. A P(A) = {0, 1, 2} ข. n(A – P(A)) < n(P(A) – A) ขอใดตอไปนเปนจรง (PAT’1 ตลา 52) 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 20) ถา A = { , 0, 1, {0}, {0,1}} และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของ A แลว P(A) – A มสมาชกกตว (Ent’41)

เซต A B C AB BC AC (AB)C จ ำนวนสมำชก 15 17 22 23 29 32 28

14

21) ให A = { , { }, { , { }}} และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของเซต A ขอใดตอไปนถกตอง (PAT’ 1 กรกฎา 53) 1. จ านวนสมาชกของ P(A) เทากบ 16 2. จ านวนสมาชกของ P(A) – { , { }} เทากบ 7 3. { , { , { }}} P(A) – { , { }} 4. { , { }, {{ }}} P(A) 22) ถา A = {5, 6, 7, …, 20} และ B = {1, 2, 3, …, 15} แลวจ านวนสมาชกในเซต { x x เปนสบเซตของ A และ x ไมเปนสบเซตของ B} เทากบขอใดตอไปน (Ent’42) 1. 7 210 2. 31 211 3. 31 210 4. 63 211 23) ก าหนดให I แทนเซตของจ านวนเตม และ P(S) แทนเพาเวอรเซตของเซต S ให A = { x I 812 x } และ B = { x I 023 2 xx } ขอใดตอไปนถกตอง (PAT’ 1 ตลา 53) 1. จ านวนสมาชกของ P(A – B) เทากบ 4 2. จ านวนสมาชกของ P(I – P(AB)) เทากบ 2 3. P(A – B) = P(A) – P(AB) 4. P(A – B) – P(AB) = {{0}} 24) ส าหรบเซต X ใดๆ ให n(X) แทนจ านวนสมาชกของเซต X ก าหนดให U เปนเอกภพสมพทธทมสมาชก 240 ตว และ A, B, C เปนเซตทมสมบตดงน n(A) = 5x, n(B) = 5x, n(C) = 4x n(AB) = n(BC) = n(AC) = y n(ABC) = x, n[(ABC) ] = 60 ถา y – x = 20 แลว x เปนจรงตามขอใดตอไปน (Ent’47) 1. 18 < x < 21 2. 21 < x < 24 3. 24 < x < 27 4. 27 < x < 30

25) ก าหนดให A, B และ C เปนเซตจ ากด โดยท n(P(A)) = 4log2

, n(P(B)) = 256log5)5(

และ n(P(AB)) = 32log2 93 เมอ P(S) แทนเพาเวอรเซตของ S จงหาคาของn(P(A) P(B)) (PAT’1 มนา 54)

15

กำรใหเหตผล (Reasoning)

ตวอยางขอสอบเรองการใหเหตผล

การใหเหตผลทางคณตศาสตรทส าคญมอย 2 วธ ไดแก การใหเหตผลแบบอปนย และการใหเหตผลแบบนรนย

การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning) หมายถง วธการสรปผลในการคนหาความจรงจากการสงเกตหรอการทดลองหลายๆ ครงจากกรณยอยแลวน ามาสรปเปนความรทวไป เชน 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12,321 1111 x 1111 = 1,234,321 ….…………… = ………………. การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) หมายถง วธการสรปขอเทจจรงโดยการน าความรพนฐาน ความเชอ ขอตกลง หรอบทนยาม ซงเปนสงทรมากอนและยอมรบวาเปนจรง เพอหาเหตผลน าไปสขอสรป การใหเหตผลแบบนรนยประกอบดวยสองสวน คอ เหต (สมมตฐาน) และ ผล ถาการยอมรบเหตสามารถน าไปสการสรปสวนทเปนผลไดอยางสมเหตสมผล (Valid) จะถอวาการสรปผลนนถกตอง โดยการตรวจสอบความสมเหตสมผลนน วธหนงทนยมคอ การใชแผนภาพของเวนน – ออยเลอร วาดภาพตามเงอนไขของเหตในทกกรณทเปนไปได แลวพจารณาวาแผนภาพแตละกรณแสดงผลสรปตามทตงไวหรอไม – ถาแผนภาพทกกรณแสดงผลตามทก าหนดไว จะกลาววา การสรปนนสมเหตสมผล – ถามบางแผนภาพแสดงผลไมสอดคลองกบผลสรปทก าหนดไว จะกลาววา การสรปผลนนไมสมเหตสมผล

ขอความ แผนภาพ

สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B

ไมมสมาชกตวใดของ A เปนสมาชกของ B

มสมาชกบางตวของ A เปนสมาชกของ B

A B

มสมาชกบางตวของ A ไมเปนสมาชกของ B

A B

B

A

A

B

16

1) ขอใดตอไปนไมเปนการใหเหตผลแบบนรนย 1. เหต 1) สงโตทกตวเปนแมว 2) แมวทกตวชอบจบหน ผล สงโตทกตวชอบจบหน 2. เหต 1) คนทมผวขาวและผมหยก จะอายยน 2) คณผกา มผวขาวและผมหยก ผล คณผกาอายยน 3. เหต 1) วนศกร ด.ช. นท ปสสาวะรดทนอน 2) วนเสาร ด.ช. นท ปสสาวะรดทนอน 3) วนอาทตย ด.ช. นท ปสสาวะรดทนอน ผล ด.ช. นท ปสสาวะรดทนอนทกวน 4. เหต 1) ผชายบางคนเปนคนด 2) ผชายบางคนชอบโกหก 3) คนโกหกทกคนไมใชคนด ผล มผชายทไมใชดและชอบโกหก 2) พจารณาการใหเหตผลตอไปน เหต 1) A 2) เหดเปนพชมดอก ผล เหดเปนพชชนสง ขอสรปขางตนสมเหตสมผล ถา A แทนขอความใด (O-NET’53) 1. พชชนสงทกชนดมดอก 2. พชชนสงบางชนดมดอก 3. พชมดอกทกชนดเปนพนชนสง 4. พชมดอกบางชนดเปนพชชนสง

17

3) ก าหนดเหตใหดงตอไปน เหต (ก) ทกจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานครเปนจงหวดทมอากาศด (ข) เชยงใหมเปนจงหวดทมอากาศไมด ขอสรปในขอใดตอไปนสมเหตสมผล (O-NET’52) 1. เชยงใหมเปนจงหวดทอยไมไกลจากกรงเทพมหานคร 2. นราธวาสเปนจงหวดทอยไมไกลจากกรงเทพมหานคร 3. เชยงใหมเปนจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานคร 4. นราธวาสเปนจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานคร 4) เหต (1) ไมมคนขยนคนใดเปนคนตกงาน (2) มคนตกงานทเปนคนใชเงนเกง (3) คนขยนทกคนไมเปนคนใชเงนเกง ผล ในขอใดตอไปนเปนการสรปจากเหตขางตนทเปนไปอยางสมเหตสมผล (O-NET’49) 1. มคนขยนทเปนคนใชเงนเกง 2. มคนใชเงนเกงทเปนคนตกงาน 3. มคนใชเงนเกงทเปนคนขยน 4. มคนตกงานทเปนคนขยน 5) จากรปแบบตอไปน โดยการใหเหตผลแบบอปนย 2a – b + c มคาเทากบขอใดตอไปน (O-NET’51) 1. 11 2. 22 3. 33 4. 44

1 2 4

7

2 4 8

14

3 6 12

21

a b c

77

...

18

6) แผนภาพทก าหนดตรงกบเหตในขอใด คนทไมเหนแกตว เดก ผใหญ 1. เหต 1) ผใหญบางคนเหนแกตว 2. เหต 1) เดกบางคนเหนแกตว 2) ผใหญทกคนไมใชเดก 2) เดกทกคนไมใชผใหญ 3) เดกทกคนไมเหนแกตว 3) ผใหญบางคนไมเหนแกตว 3. เหต 1) เดกบางคนไมเหนแกตว 4. เหต 1) เดกบางคนไมเหนแกตว 2) ผใหญทกคนไมใชเดก 2) คนทไมเหนแกตวบางคน เปนผใหญ 3) คนทไมเหนแกตวทกคนเปนผใหญ 3) เดกบางคนเปนผใหญ 7) จงพจารณาขอความตอไปน (O-NET’ 50) (1) นกกฬาทกคนมสขภาพด (2) คนทมสขภาพดบางคนเปนคนด (3) ภราดรเปนนกกฬา และเปนคนด แผนภาพในขอใดตอไปน มความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขอขางตน เมอจดแทนภราดร 1. 2. 3. 4.

19

8) จงพจารณาขอความตอไปน (O-NET’ 51) 1. คนตกอลฟเกงทกคนเปนคนสายตาด 2. คนทตกอลฟไดไกลกวา 300 หลา บางคนเปนคนสายตาด 3. ธงชยตกอลฟเกงแตตไดไมไกลกวา 300 หลา แผนภาพในขอใดตอไปน มความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขอขางตน เมอจดแทนธงชย 1. 2. 3. 4. 9) พจารณาการอางเหตผลตอไปน ก. เหต 1. ถาฝนไมตก แลว เดชาไปโรงเรยน 2. ฝนตก ผล เดชาไมไปโรงเรยน ข. เหต 1. รตนาขยนเรยน หรอ รตนาสอบชงทนรฐบาลได 2. รตนาไมขยนเรยน ผล รตนาสอบชงทนรฐบาลได ขอใดตอไปนถกตอง (O-NET’54) 1. ก. สมเหตสมผล และ ข. สมเหตสมผล 2. ก. สมเหตสมผล และ ข. ไมสมเหตสมผล 3. ก. ไมสมเหตสมผล และ ข. สมเหตสมผล 4. ก. ไมสมเหตสมผล และ ข. ไมสมเหตสมผล

20

10) ก าหนดให A เปนเซตซงสอดคลองกบเงอนไขตอไปน ก. 1 A

ข. ถา x A แลว x

1 A

ค. x A กตอเมอ x2 A จ านวนในขอใดตอไปนเปนสมาชกของ A (PAT’1 ตลา 52)

1. 2

1 2. 8

1 3. 16

1 4. 32

1

_______________________________________________________

หนวยท 2 ระบบจ ำนวนจรง

ระบบจ ำนวนจรง ( Real Number) แผนผงแสดงควำมสมพนธจ ำนวนชนดตำงๆ

จ านวนเชงซอน

จ านวนจรง จ านวนเชงซอนท ไมใชจ านวนจรง

จ านวนอตรรกยะ จ านวนตรรกยะ

จ านวนตรรกยะท ไมใชจ านวนเตม

จ านวนเตม

จ านวนเตมลบ ศนย จ านวนเตมบวก

หรอจ านวนนบ

21

จ ำนวนชนดตำง ๆ จ ำนวนนบ (N) เปนจ านวนชนดแรกทมนษยคดขนเพอใชนบจ านวนสตวเลยง

เซตของจ านวนนบเขยนไดดงน N = { 1 , 2 , 3 , 4 , … } จ ำนวนเตม () เมอสงคมของมนษยเจรญมากขน จนวนนบกไมเพยงพอแกการน าไปใช

จงไดมรการคดจ านวนชนดใหมขนโดยการน าจ านวนนบ 2 จ านวนมาลบกน ผลลพธทไดเรยกวา “จ านวนเตม” ซงแบงเปน 3 อยางคอ

1. จ านวนเตมบวก เกดจากการลบทตวตงมคามากกวาตวลบ เซตของจ านวนเตมบวกแทนดวย = { 1 , 2 , 3 , … }

2. จ านวนเตมศนย เกดจากการลบทตวตงเทากบตวลบ เซตของจ านวนเตมศนย = { 0 } มสมาชกตวเดยว

3. จ านวนเตมลบเกดจากการลบทตวตงมคานอยกวาตวลบ เซตของจ านวนเตมลบแทนดวย = { -1 , -2 , -3 , … } Note .::. จ านวนเตม = = { … , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }

จ ำนวนตรรกยะ (Q) เกดจากการน าจ านวนเตม 2 จ านวนมาหารกน โดยทตวหารไมเทากบ 0 อาจกลาวไดวาจ านวนตรรกยะคอ จ านวนทเขยนในรปเศษสวนได เซตของจ านวนตรรกยะเขยน

ไดดงน Q = {b

a│a,b I และ b 0 }

Note .::. 1. จ านวนตรรกยะมทงทเปนบวก เปนศนย และเปนลบ 2. จ านวนเตมทกจ านวนเปนเปนจ านวนตรรกยะดวย เพราะเขยนในรปเศษสวนได 3. จ านวนทเปนทศนยมรจบ กบจ านวนทเปนทศนยมไมรจบแบบซ าทกจ านวนเปนจ านวน ตรรกยะ เพราะแปลงเปนเศษสวนได

จ ำนวนอตรรกยะ (Q’) คอ จ านวนทเขยนในรปเศษสวนไมได ซงไดแกจ านวนทตดรากแตถอดรากไมได กบจ านวนทเปนทศนยมไมรจบแบบไมซ า

จ ำนวนจรง (R) คอ เซตของจ านวนทเกดจากการน าเซตของจ านวนตรรกยะยเนยนกบเซตของจ านวนอตรรกยะ

22

ลองท าด 1. ขอใดตอไปนเปนจรง

ก. ถา a และ b เปนจ านวนเตมลบ แลว a + b เปนจ านวนเตมลบ ข. ถา a และ b เปนจ านวนเตมลบ แลว a – b เปนจ านวนเตมลบ ค. ถา a และ b เปนจ านวนเตมลบ แลว a × b เปนจ านวนเตมลบ ง. ถา a และ b เปนจ านวนเตมลบ แลว a b เปนจ านวนเตมลบ

2. ขอใดตอไปนถกตอง

ก. ถา a และ b เปนจ านวนเตมบวก แลว a – b เปนจ านวนเตมบวก ข. ถา a เปนจ านวนตรรกยะ b เปนจ านวนอตรรกยะ แลว ab เปนจ านวนอตรรกยะ ค. ถา a และ b เปนจ านวนอตรรกยะ แลว ab เปนจ านวนอตรรกยะ

ง. ถา a* b = 2

ba แลว a* b = b * a

3. พจารณาขอความตอไปน (O-Net 52)

(ก) มจ านวนตรรกยะทนอยทสดทมากกวา 0 (ข) มจ านวนอตรรกยะทนอยทสดทมากกวา 0

ขอสรปใดตอไปนถกตอง ก. (ก) ถก (ข) ถก ข. (ก) ถก (ข) ผด ค. (ก) ผด (ข) ถก ง. (ก) ผด (ข) ผด 4.พจารณาขอความตอไปน (O-Net 53)

ก. จ านวนทเปนทศนยมไมรจบบางจ านวนเปนจ านวนอตรรกยะ ข. จ านวนทเปนทศนยมไมรจบบางจ านวนเปนจ านวนตรรกยะ

ขอใดถกตอง ก.ขอ ก และขอ ข ข. ขอ ก เทานน ค.ขอ ข เทานน ง.ขอ ก และ ขอ ข ผด

5.คาของ 2

13

เปนจรงตามขอใดตอไปน(O-Net 54) ก. เปนจ านวนอตรรกยะทนอยกวา 1.8 ข. เปนจ านวนอตรรกยะทมากกวา 1.8 ค. เปนจ านวนตรรกยะทนอยกวา 1.8 ง. เปนจ านวนตรรกยะทมากกวา 1.8

23

สมบตของจ ำนวนจรง

2). สมบตของระบบจ ำนวนจรงเกยวกบกำรบวก ก าหนด a, b, c เปนจ านวนจรงใดๆ

1. สมบตปดการบวก a + b เปนจ านวนจรง 2. สมบตการสลบทของการบวก a + b = b + c 3. สมบตการเปลยนกลมการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c 4. เอกลกษณการบวก 0 + a = a = a + 0 **นนคอ ในระบบจ ำนวนจรงจะม 0 เปนเอกลกษณกำรบวก** 5. อนเวอรสการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a **นนคอ ในระบบจ ำนวนจรง จ ำนวน a จะม -a เปนอนเวอรส ของกำรบวก**

1). สมบตกำรเทำกนของจ ำนวนจรง ก าหนด a, b, c เปนจ านวนจรงใดๆ

1. สมบตการสะทอน a = a 2. สมบตการสมมาตร ถา a = b แลว b = a 3. สมบตการถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c 4. สมบตการบวกดวยจ านวนทเทากน ถา a = b แลว a + c = b + c 5. สมบตการคณดวยจ านวนทเทากน ถา a = b แลว ac = bc

3). สมบตของระบบจ ำนวนจรงเกยวกบกำรคณ ก าหนด a, b, c, เปนจ านวนจรงใดๆ

1. สมบตปดการคณ ab เปนจ านวนจรง 2. สมบตการสลบทของการคณ ab = ba 3. สมบตการเปลยนกลมของการคณ a(bc) = (ab)c 4. เอกลกษณการคณ 1 · a = a = a · 1 **นนคอในระบบจ ำนวนจรง ม 1 เปนเอกลกษณกำรคณ** 5. อนเวอรสการคณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0 **นนคอ ในระบบจ ำนวนจรง จ ำนวนจรง a จะม a-1 เปนอนเวอรสกำรคณ ยกเวน 0** 6. สมบตการแจกแจง a( b + c ) = ab + ac ( b + c )a = ba + ca

24

จำกสมบตของระบบจ ำนวนจรงทไดกลำวไปแลว สำมำรถน ำมำพสจนเปนทฤษฎบทตำงๆ ไดดงน ทฤษฎบทท 1 กฎกำรตดออกส ำหรบกำรบวก เมอ a, b, c เปนจ านวนจรงใดๆ ถา a + c = b + c แลว a = b ถา a + b = a + c แลว b = c ทฤษฎบทท 2 กฎกำรตดออกส ำหรบกำรคณ เมอ a, b, c เปนจ านวนจรงใดๆ ถา ac = bc และ c ≠ 0 แลว a = b ถา ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c ทฤษฎบทท 3 เมอ a เปนจ ำนวนจรงใดๆ a · 0 = 0 0 · a = 0 ทฤษฎบทท 4 เมอ a เปนจ ำนวนจรงใดๆ (-1)a = -a a(-1) = -a

4). กำรลบจ ำนวนจรง

บทนยาม เมอ a, b เปนจ านวนจรงใดๆ a- b = a + (-b) นนคอ a - b คอ ผลบวกของ a กบอนเวอรส การบวกของ b

5). กำรหำรจ ำนวนจรง

บทนยาม เมอ a, b เปนจ านวนจรงใดๆ เมอ b ≠ 0

)1( abb

a

นนคอ b

a คอ ผลคณของ a กบอนเวอรส

การคณของ b

เขาใจมยเอย!! ^______^

25

ทฤษฎบทท 5 เมอ a, b เปนจ ำนวนจรงใดๆ ถา ab = 0 แลว a = 0 หรอ b = 0 ทฤษฎบทท 6 เมอ a เปนจ ำนวนจรงใดๆ a(-b) = -ab (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab

ตองลอง!!! 6.พจารณาขอความตอไปน (O-Net 52)

(ก) สมบตการมอนเวอรสการบวกของจ านวนจรงกลาววา ส าหรบจ านวนจรง a จะมจ านวนจรง b ท b + a = 0 = a + b (ข) สมบตการมอนเวอรสการคณของจ านวนจรงกลาววา ส าหรบจ านวนจรง

a จะมจ านวนจรง b ท ba =1 = ab ขอสรปใดตอไปนถกตอง ก. (ก) ถก (ข) ถก ข. (ก) ถก (ข) ผด ค. (ก) ผด (ข) ถก ง. (ก) ผด (ข) ผด 7.พจารณาขอความตอไปน (O-Net 54)

(ก) ถา a และ b เปนจ านวนจรงซง ba แลว 33 ba (ข) ถา a, b และ c เปนจ านวนจรงซง ac = bc แลว a = b

ขอใดตอไปนถกตอง ก. (ก) ถก (ข) ถก ข. (ก) ถก (ข) ผด ค. (ก) ผด (ข) ถก ง. (ก) ผด (ข) ผด 8.ก าหนดให a , b และ c เปนจ านวนจรงซง 03 cba (O-Net 54) พจารณาขอความตอไปน

(ก) ac > 0 (ข) bc > 0

ขอใดตอไปนถกตอง ก. (ก) ถก (ข) ถก ข. (ก) ถก (ข) ผด ค. (ก) ผด (ข) ถก ง. (ก) ผด (ข) ผด

26

9. ถา 4 a 2 และ 164

1b แลว a+b มคาเทากบเทาไหร (O-Net 49 )

10. คาของ

32

2282

2

1

2 เทากบขอใดตอไปน (O-Net 52)

1. -1 2. 1 3. 3 4. 5

11. ถา 4

3 เปนผลเฉลยหนงของสมการ 064 2 bxx เมอ b เปนจ านวนจรงแลว อกผลเฉลย

หนงของสมการมคาตรงกบขอใด (O-Net 53) ก. -2 ข. -1 ค. 1 ง. 2

12.ถาสมการ 0621 22

cxxx มรากทเปนจ านวนจรงเพยง 1 ราก คาของ c จะอยในชวงใดตอไปน (O-Net 54) ก.(0,3) ข. (3,6) ค. (6,9) ง.(9,12)

ชวงและกำรแกอสมกำร

1) ชวงของจ ำนวนจรง ก าหนดให a, b เปนจ านวนจรง และ a < b 1. ชวงเปด (a, b) (a, b) = { x | a < x < b }

2. ชวงปด [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }

27

3. ชวงครงเปด (a, b] (a, b] = { x | a < x ≤ b }

4. ชวงครงเปด [a, b) [a, b) = { x | a ≤ x < b }

5. ชวง (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a}

6. ชวง [a, ∞) [a, ∞) = { x | x ≥ a}

7. ชวง (-∞, a) (-∞, a) = { x | x < a}

8. ชวง (-∞, a] (-∞, a] = { x | x ≤ a}

2) อสมกำร อสมการ คอ ประโยคสญลกษณทกลาวถงความสมพนธของตวแปร กบจ านวนใดๆ โดยใชเครองหมาย ≠ , ≤ , ≥ , < , > , เปนตวระบความสมพนธของตวแปร และจ านวนดงกลาว ค าตอบของอสมการ คอ คาของตวแปรทท าใหอสมการเปนจรง เซตค าตอบของอสมการ คอ เซตของคาตวแปรทงหมดทท าใหอสมการเปนจรง

28

ไมท ำไมไดแลววววววว

คณสมบตของอสมกำรทส ำคญ ให x,y และ z เปนสมำชกของจ ำนวนจรง (R)

1. ถา x < y จะไดวา x a < y a ส าหรบทก a R 2. ถา x < y จะไดวา xa < ya ส าหรบทก a R+ ถา x < y จะไดวา xa > ya ส าหรบทก a R- 3. ถา x < y และ y < z จะไดวา x < z 4. ถา a < x < b และ c < y < d จะไดวา a + c < x + y < b + d ส าหรบทก a,b,c,d R 5. ถา a < x < b และ c < y < d จะไดวา ac < xy <bd ส าหรบทก a,b,c,d R+ 6. ถา 0 < x < y แลว 0 < x2 < y2

7. ถา 0 < x < y แลว 0 < y

1 < x

1

13.จงหาเซตค าตอบของอสมการ x 2 - 3x 10

14. จงหาเซตค าตอบของอสมการ )4(

)3)(2)(1(

x

xxx < 0

29

15.จงหาเซตค าตอบของอสมการ (x+3)12 (x-4)2(x+2)(x+5) 0

คำสมบรณ

บทนยำม นนคอ คาสมบรณของจ านวนจรงใดๆ ตองมคามากกวาหรอเทากบศนยเสมอ สมบตของคำสมบรณ เมอ x,y R

1. |x| = |-x| 2. |xy| = |x||y|

3. y

x = y

x

4. | x - y | = | y - x | 5. |x| 2 = x 2 6. | x + y | ≤ |x| +|y| 7. เมอ a เปนจ านวนจรงบวก |x| < a หมายถง -a < x < a |x| ≤ a หมายถง -a ≤ x ≤ a 8. เมอ a เปนจ านวนจรงบวก |x| > a หมายถง x < -a หรอ x > a |x| ≥ a หมายถง x ≤ -a หรอ x ≥ a

30

ทฤษฏบททชวยในกำรแกสมกำรและอสมกำรของคำสมบรณ เมอ a R+

1. ถา x = a แลว x = a หรอ x = -a 2. x < a กตอเมอ –a < x < a 3. x a กตอเมอ -a x a 4. x > a กตอเมอ x > a หรอ x < -a 5. x a กตอเมอ x a หรอ x -a

16.จงหาเซตค าตอบของอสมการตอไปน 32 x 5

17. จงหาเซตค าตอบของอสมการตอไปน 43 x 2x – 1

18. จงหาเซตค าตอบของอสมการตอไปน 15

3

2

2

xx

xx

19. จงหาเซตค าตอบของอสมการ 19851984

2

)3()7(2

)1)(4()5(

xxx

xxxx 0

31

20. ก าหนดให A เปนเซตค าตอบของอสมการ 12 + x – x2 < 0 และ B เปนเซตค าตอบของอสมการ 13 x เซต A B เปนสบเซตของชวงใดตอไปน ( Ent’45) ก. (-5 , -3) ข. (-3 , -1) ค. (1 , 3) ง. (3 , 5) 21. พจารณาสมการ 7x = 6 ขอสรปใดตอไปนเปนเทจ (O-Net 52) 1. ค าตอบหนงของสมการมคาระหวาง 10 และ 15 2. ผลบวกของค าตอบทงหมดของสมการมคาเทากบ 14 3. สมการนมค าตอบมากกวา 2 ค าตอบ 4. ในบรรดาค าตอบทงหมดของสมการ ค าตอบทมคานอยทสดมคานอยกวา 3 22.ผลเฉลยของสมการ 152 x อยในชวงใด (O-Net 53) ก. (-10,-5) ข.(-6,-4) ค. (-4,5) ง. (-3,6)

23. 2533425532534 เทากบเทาใด (O-Net 53)

ก. 0 ข. 180 ค. 192 ง. 200

32

หนวยท 3 เลขยกก ำลง

ตวอยางท 1

1.จงหาคาของ

2. จงหาคาของ n

33

n เปนจ ำนวนค n เปนจ ำนวนค

1. รากท n ของ x จะหาคาไดกตอเมอ 0x เทานน

2. ถา 0x แลวรากท n ของ x คอ 0 3. ถา 0x แลวรากท n ของ x จะม 2 จ านวน

จ านวนหนงเปนบวก และอกจ านวนหนงเปนลบ 4. ถา 0x แลว ไมสามารถหารากท n ของ x ไดในระบบจ านวนจรง

1. รากท n ของ x จะหาคาไดเสมอ ส าหรบจ านวนจรงทกจ านวน

2. ถา 0x แลวรากท n ของ x คอ 0 3. ถา 0x แลว รากท n ของ x จะมเพยงจ านวนเดยวและเปนจ านวนจรงบวก

4. ถา 0x แลว รากท n ของ x จะมเพยงจ านวนเดยวและเปนจ านวนลบ


(1) รากท 4 ของ 16 คอ 2 และ -2 เพราะวา 164

2 และ 164

(-2)

(2) รากท 3 ของ – 343 คอ -7 เพราะวา 343-3

(-7)

(3) รากท 5 ของ 243 คอ 3 เพราะวา 2435

3

(4) รากท 7 ของ 5 คอ เพราะวา 57

7 5

(5) รากท 4 ของ -81 ในระบบจ านวนจรง ไมม

(6) 3 เปนรากท 4 ของ 81 เพราะวา 814

3

34

ตวอยางท 3 1. = 2. =

3. 1 กำรบวกและลบของจ ำนวนทตดกรณฑ ตวอยำง จงหาคาของ 32712

วธท า 32712 = 3333322

= 33332

= 3)132(

= 34 ตวอยางท 4

1. จงหาคาของ 1254520

วธท า 1254520 =……………………………………………

=…………………………………………...

=……………………………………………

=……………………………………………

……………………………………………

2. จงหาคาของ 845182203

วธท า 845182203 =……………………………………………

=…………………………………………...

=……………………………………………

=……………………………………………

=……………………………………………

3. จงหาคาของ 33 54812818

วธท า 33 54812818 =……………………………………………

=…………………………………………...

=……………………………………………

=……………………………………………

=……………………………………………

3.2 กำรหำผลคณและผลหำรของกรณฑ ในการหาผลคณและผลหารของกรณฑ ถาอนดบของกรณฑไมเทากนตองท าใหอนดบของกรณฑ

เทากนเสยกอนจงจะคณหรอหารกนได และใชทฤษฎบทของกรณฑ เมอ x > 0 และ y > 0 ดงน 1. xyyx และ nnn xyyx

2. y

x

y

x และ n

n

n

y

x

y

x

\

35

ตวอยำง จงหาคาของ )7)(24)(53( 333

วธท า )7)(24)(53( 333 = )725)(143( 3

= 3 7012

ตวอยางท 5 จงท ำใหอยในรปอยำงงำย

1. 5

6

3

2

วธท า 5

6

3

2 =……………………………………………

=…………………………………………...

……………………………………………

2. 122

วธท า 122 =……………………………………………

=…………………………………………...

=……………………………………………

3. 2793

วธท า 2793 =……………………………………………

=…………………………………………...

=……………………………………………

4. 33 454

วธท า 33 454 =……………………………………………

=…………………………………………...

=……………………………………………

=……………………………………………

36

ตวอยางท 6 1.จงหาคาของ

2.จงหารปอยางงายของ

3.จงหารปอยางงายของ



เลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนตรรกยะ บทนยำม เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปน

n

1 เมอ n เปนจ านวนเตมบวก

เมอ a เปนจ านวนจรง n เปนจ านวนเตมทมากกวา 1 และ a มรากท n

nn aa

1

บทนยำม เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ ให a เปนจ านวนจรง p,q เปนจ านวนเตมท (p,q) = 1 เมอ q >0

p

qq aa

11


1. =

2. =

37

3. =

ตวอยางท 8 จงหาคาของ

ตวอยางท 9 จงหาคาของ

แนวขอสอบ

1.ถา

2.

3.

38

4. xxx

xx

48323

121 5

2

3 เมอ x เปนจ านวนจรงบวก

5. 323324 มคาเทาใด

1. มคาเทากบขอใดตอไปน (O-Net’49) 1) 60 2) 60 3) 100 4) 200

2. มคาเทากบขอใดตอไปน (O-Net’49)

1) 2) 3) 4)

3.คา X ทสอดคลองกบสมการ เทากบขอใด (O-Net’49)

1) 2 2) 3 3) 4 4) 5

4. อสมการในขอใดตอไปนเปนจรง (O-Net’49) 1) 2) 3) 4)

5. ถา (O-Net’49)

1) 0.25 2) 0.50 3) 0.75 4) 1.00


1) 2) 3) 2 4) 3

ตวอยำงขอสอบเรอง เลขยกก ำลง

39

7. มคาเทากบขอใดตอไปน (O-Net’50) 1) - 32 2) - 24 3) - 32 - 16 4) -24 - 16

8. ถา แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน (O-Net’50)

1) 2) 3) 4)

9. ถา แลว x มคาเทากบขอใด (O-Net’50)

1) 2) 3) 4)


1) 2) 3) 4)

11. ถา แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน (O-Net’51)

1) 2) 3) 4)

12. มคาเทากบขอใดตอไปน (O-Net’51) 1) -10 2) 10 3) 4)

13. คาของ เทากบขอใดตอไปน (O-Net’52)

1) -1 2) 1 3) 3 4) 5

14. มคาเทากบขอใด (O-Net’52) 1) 0 2) 180 3) 192 4) 200

15. ก าหนดให a เปนจ านวนจรงบวก และ n เปนจ านวนคบวก พจารณาขอความตอไปน

ก.

ข.

ขอใดถกตอง (O-Net’52) 1) ขอ ก. และขอ ข. 2) ขอ ก. เทานน

3) ขอ ข. เทานน 4) ขอ ก. และขอ ข. ผด *********************************************************************

40

1. ควำมสมพนธของดำน

c

a sin

a

cec cos

c

b cos

b

c sec

b

a tan

a

b cot

2. ควำมสมพนธของมม ตารางคาตรโกณมต

0 30 = 6

45 = 4

60 = 3

90 = 2

sin 0 2

1 2

2 2

3 1

cos 1 2

3 2

2 2

1 0

tan 0 3

1 1 3 หาคาไมได

AA cos)90(sin AA sin)90(cos AA cot)90(tan

ตวอยำง ก าหนดให 13

5cos A จงหาคาของ

AA

AA

cos9)90(cos4

)90(sin3sin2

อตรำสวนตรโกณมต

A C

B

a

b

c

41

3. เอกลกษณ

1cossin 22 1cotcos 22 ec 1tansec 22

4. กำรประยกตของอตรำสวนตรโกณมต ความรเกยวกบอตราสวนตรโกณมตสามารถน าไปใชในการค านวณระยะทางและความสงได ซงโจทยในลกษณะดงกลาวจะเกยวของกบมมกมและมมเงย

มมกม เปนมมทเกดจากการมองวตถทอยต ากวาระดบสายตา

มมเงย เปนมมทเกดจากการมองวตถทอยสงกวาระดบสายตา ตวอยำง จากยอดหนาผารมทะเล ชายคนหนงมองเหนเรอ 2 ล า อยในแนวเดยวกนเปนมมกม

60 และ 30 ถาหนาผาสงจากระดบน าทะเล 200 เมตร จงหาวาเรอ 2 ล า อยหางกนกเมตร

แนวระดบ

วตถ

ตา มมกม

แนวระดบ

วตถ

ตา มมเงย

42

โจทยทบทวนเรองอตรำสวนตรโกณมต

1. จงหาคาของ x จากสมการ 2 2sec 60 4tan 45 0x x ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 2. ถารปสามเหลยมหนาจวมฐานยาว 2 3 เมตร และสง 1 เมตร แลวมมยอดจะเทากบขอใดตอไปน ก. 30 องศา ข. 60 องศา ค. 90 องศา ง. 120 องศา 3. ก าหนดรปสามเหลยม ABD ซงมมม ABD = 30 องศา มม ADB = 60 องศา และดาน AC ตงฉากกบดาน BD โดยท BC ยาว 12 หนวย พนทของรปสามเหลยม ABD จะเทากบกตารางหนวย ก. 16 3 ข. 21 3 ค. 28 3 ง. 32 3 4. แดงยนอยบนพนราบแหงหนง มองเหนยอดเสาอากาศของสถานโทรทศนแหงหนงเปนมมเงย A และ B องศา เมอเขายนอยหางจากเสาอากาศเปนระยะทาง 100 เมตร 200 เมตร ตามล าดบ ถามมเงยทงสองรวมกนได 1 มมฉาก เสาอากาศสงกเมตร ก. 50 2 ข. 100 2 ค. 100 3 ง. 150 2 5. เมอดวงอาทตยท ามม 30 องศา กบแนวระนาบแลว ตกสง 150 เมตร จะทอดเงายาวเทากบกเมตร

ก. 150

3 ข.

150

2 ค. 150 3 ง. 150 2

43

ตวอยำงขอสอบโอเนต (O-NET) เรองอตรำสวนตรโกณมต 1. ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก มมม A เทากบ 30° และมพนทเทากบ 24 3 ตารางหนวย ความยาวของดาน AB เทากบขอใด (O-NET 49)

ก. 12 หนวย ข. 14 หนวย ค. 16 หนวย ง. 18 หนวย 2. ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก มดาน BC ยาวเทากบ 10 3 หนวย และดาน AB ยาวเทากบ 20 หนวย ถาลากเสนตรงจากจด C ไปตงฉากกบดาน AB ทจด D แลวจะไดวาดาน CD ยาวเทากบขอใด (O-NET 49) ก. 5 2 หนวย ข. 5 3 หนวย ค. 10 2 หนวย ง. 10 3 หนวย 3. ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมพนทเทากบ 15 ตารางหนวย และมมม C เปนมมฉาก ถา sin B = 3 sin A แลวดาน AB ยาวเทากบขอใด (O-NET 49) ก. 5 หนวย ข. 5 3 หนวย ค. 5 2 หนวย ง. 10 หนวย

44

4. ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก ถา cot A = 5

12

แลว 10 cosec A + 12 sec A มคาเทาใด (O-NET 49)

5. ถา ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก และ cos A = 53 แลว cos ( AB ) มคา

เทาใด(O-NET 49) 6. ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก และดาน BC ยาว 6 นว ถา D เปนจดบนดาน AC โดยท CDBˆ = 70° และ DBAˆ = 10° แลว ดาน AB ยาวเทากบขอใด (O-NET 50) ก. 4 3 นว ข. 5 3 นว ค. 8 นว ง. 10 นว

45

7. ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยม ซงมมม A เปนมมฉาก และมมม B = 30° ถา D และ E เปนจดบนดาน AB และ BC ตามล าดบ ซงท าให DE ขนานกบ AC โดยท DE ยาว 5 หนวย และ EC ยาว 6 หนวย แลว AC ยาวเทากบขอใด (O-NET 50) ก. 7.5 หนวย ข. 8 หนวย ค. 8.5 หนวย ง. 9 หนวย 8. วงกลมวงหนงมรศม 6 หนวย และ A , B , C เปนจดบนเสนรอบวงของวงกลม ถา AB เปนเสนผานศนยกลางของวงกลม และ C A B = 60° แลวพนทของรปสามเหลยม ABC เทากบขอใด (O-NET 50)

ก. 15 3 ตารางหนวย ข. 16 3 ตารางหนวย ค. 17 3 ตารางหนวย ง. 18 3 ตารางหนวย

46

9. ก าหนดใหตาราง A ตาราง B และตารางC เปนตารางหาอตราสวนตรโกณมตของมมขนาดตางๆดงน

ตาราง A ตาราง B ตารางC

’ sin ’ cos ’ tan

40 643.0 40 766.0 40 839.0 41 656.0 41 755.0 41 869.0 42 669.0 42 743.0 42 900.0

ถารปสามเหลยม ABC มมม B เปนมมฉาก มม C มขนาด 41 และสวนสง BX ยาว 1 หนวย แลวความยาวของสวนของเสนตรง AX เปนดงขอใดตอไปน (O-NET 52) ก. ปรากฏอยในตาราง A

ข. ปรากฏอยในตาราง B ค. ปรากฏอยในตาราง C

ง. ไมปรากฏอยในตาราง A B และC

10. โดยการใชตารางหาอตราสวนตรโกณมตของมมขนาดตางๆทก าหนดใหตอไปน ’ sin cos

72 951.0 309.0 73 956.0 292.0 74 961.0 276.0 75 966.0 259.0

มมภายในทมขนาดเลกทสดของรปสามเหลยมทมดานทงสามดานยาว 7 , 24 และ 25 หนวย มขนาดใกลเคยงกบขอใดมากทสด (O-NET 53) ก. 15 ข. 16

ค. 17 ง. 18

47

11. ก าหนดใหสามเหลยมมมฉาก ABC ม 90C ให D เปนจดบนดาน AB ซงท าให CD ตงฉากกบ AB ถา AB ยาว 20 หนวย และ CD ยาว 8 หนวย แลว AD มความยาวมากทสดกหนวย (O-NET 54) ก. 10 ข. 12

ค. 14 ง. 16 12. ถา 1coscos2 2 โดยท 900 แลว เปนมมกองศา (O-NET 54) 13. ก าหนดใหสามเหลยม ABC ม AD เปนเสนความสงโดยท D อยบนดาน BC ถาดาน AB ยาว 5 หนวย ดาน AD ยาว 3 หนวย และ DCADAB ˆˆ แลวดาน BC ยาวกหนวย (O-NET 54)

48

ควำมสมพนธและฟงกชน 1. คอนดบและผลคณคำรทเซยน คอนดบ (Ordered Pairs) ก าหนดใหสญลกษณ (a,b) ถกอานออกเสยงวา คอนดบ a, b โดยท a เปนสมาชกตวหนาและ b เปนสมาชกตวหลง ท ำใหทรำบวำ 1. คอนดบจะถอต าแหนงของสมาชกตวหนา และสมาชกตวหลงเปนส าคญ 2. ถาคอนดบมสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงไมเหมอนกน เมอเราสลบสมาชกหนาหลงแลวจะเกดคอนดบใหม ตวอยำง ถาก าหนดให (x,y) = (3,2x - 5) จงหาคาของ x และ y วธท ำ จาก (a,b) = (c,d) กตอเมอ a = c และ b = d จะได x = 3 ……….(1) y = 2x - 5 ……….(2) แกสมการ (1) และ (2) จะได x = 3 และ y = 1

แบบฝกหด ถาก าหนด (2

2 1,

1

xx

xx ) = (4,2y) แลว จงหาคา y

ผลคณคำรทเซยน (Cartesian Product) ตวอยำง ก าหนดให A = {2,4,6} และ {1,3,5,7} จงหา

1) AB = {(2,1), (2,3), (2,5), (2,7), (4,1), (4,3), (4,5), (4,7), (6,1), (6,3), (6,5), (6,7)}

บทนยำม คอนดบ (a,b) เทำกบ คอนดบ (c,d) กตอเมอ a = c และ b = d

บทนยำม ผลคณคำรทเซยนของเซต A และ B คอ เซตของคอนดบ (a,b) ทงหมด โดยท a เปนสมำชกของเซต A และ b เปนสมำชกของเซต B เขยนแทนดวยสญลกษณ AB มภำษำคณตศำสตร เปน AB = { (a,b) | aA b B}

49

2) BA = {(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6), (7,2), (7,4), (7,6)}

3) AA = {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)}

จะไดวา จ านวนสมาชกของ AB = จ านวนสมาชกของ BA = ผลคณของจ านวนสมาชกของ A และ B แบบฝกหด (O-net’52) ก าหนดให A = {1,2} และ B = {a,b} คอนดบในขอใดตอไปนเปนสมาชกของผลคณคารทเซยน AB 1. (2,b) 2. (b,a) 3. (a,1) 4. (1,2)

คณสมบตของผลคณคำรทเซยน 1. A (B U C) = (A B) U (AC) 2. A (B C) = (AB) (AC) (A U B) C = (AC) U (BC) (AB) C = (AC) (AC) 3. A (B - C) = (AB) – (AC) 4. AB = กตอเมอ A = หรอ B = (A - B) C = (AC) – (BC) 5. ถา A C = AB และ C แลว A = B กำรหำจ ำนวนสบเซตทงหมดของผลคณคำรทเซยน ก าหนดให n(A) เปนจ านวนสมาชกของเซต A n(B) เปนจ านวนสมาชกของเซต B n(AB) เปนจ านวนสมาชกของเซต AB จะได n(AB) = n(A) n(B) และ จ านวนสบเซตทงหมดของ (AB) คอ 2 )( BAn = 2 )()( BnAn

50

2. ควำมสมพนธ จากบทนยาม จะไดวา 1. ถา r AB แลว r ถกเรยกวา “ ความสมพนธจาก A ไป B ” 2. ถา r AA แลว r ถกเรยกวา “ ความสมพนธใน A ” 3. เนองจาก เปนสบเซตของทกเซต จะได AB แสดงวา เปนความสมพนธจาก A ไป B ดวย 4. เนองจาก AB AB แสดงวา AB กเปนความสมพนธจาก A ไป B ดวยเชนกน หมำยเหต 1. เนองจากความสมพนธจดเปนเซตชนดหนง จงเขยนแสดงความสมพนธได 2 ลกษณะ ไดแก แจกแจงสมาชก และ บอกเงอนไข 2. ถาไมระบวาเปนความสมพนธจากเซตใดไปเซตใด จะหมายถงเซตจ านวนจรง R R แบบฝกหด ก าหนดให A = {2,3,4,5} B = {0,2,4,6,8} 1. ให r 1 แทนความสมพนธ “ มากกวา ” จาก A ไป B จะไดวา r 1 =……………………………………………………… 2. ให r 2 แทนความสมพนธ “ มากกวา ” จาก B ไป A จะไดวา r 2 = …………………………………………………….. 3. ให r 3 แทนแทนความสมพนธ “ หารลงตว ” จาก A ไป B จะไดวา r 3 = ………………………………………………… แบบฝกหด (Ent’39) ถา n(A) = 10 แลว จงหาจ านวนความสมพนธทงหมดจาก AA ไป A

3. โดเมนและเรนจของควำมสมพนธ

บทนยำม r เปนควำมสมพนธจำก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ AB

บทนยำม โดเมนของ r คอ เซตของสมำชกตวหนำของคอนดบ เรนจของ r คอ เซตของสมำชกตวหลงของคอนดบ

51

สญลกษณ โดเมนของ r เขยนแทนดวย D r , เรนจของ r เขยนแทนดวย R r นนคอ D r = {x | (x,y) r} และ R r = {y | (x,y) r } แบบฝกหด ก าหนดให A = {1,3,5} และ B = {4,5,6} จงหาโดเมนและเรนจ ของความสมพนธ “นอยกวา” จาก A ไป B

กำรหำโดเมนและเรนจของควำมสมพนธ(แบบบอกเงอนไข) การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธภายใน R ซงบอกมาเปนเงอนไข (สมการ) ใหพจารณาทเงอนไขวาหากมสงเหลานคอ การหาร, การถอดราก, คาสมบรณ, การยกก าลง จะมขอจ ากดเกดขน กลาวคอ

ถาม c

ba จะไดวา c ≠ 0

ถาม n ba ถา n เปนจ านวนค จะไดวา a ≥ 0 และ b ≥ 0 ถาม a b n ถา n เปนจ านวนค จะไดวา a ≥ 0 ถาม a | b | จะไดวา a ≥ 0

กำรหำโดเมน 1. พยายามเขยนเงอนไขทก าหนดมาใหอยในรป y = เทอมของ x ใหได 2. พจารณาวาคา x ใดบางทท าให y หาคาได 3. โดเมน คอ เซตของคา x ทงหมดทท าให y หาคาได กำรหำเรนจ 1. พยายามเขยนเงอนไขทก าหนดมาใหอยในรป x = เทอมของ y ใหได 2. พจารณาวาคา y ใดบางทท าให x หาคาได 3. เรนจ คอ เซตของคา y ทงหมดทท าให x หาคาได

52

ตวอยำง ก าหนดให r = {(x,y) RR | 1

2

x

xy } จงหา D r และ R r

วธท ำ กำรหำโดเมน 1. จดสมการใหอยในรป y = เทอมของ x

จะได y = 1

2

x

x

2. x เปนจ านวนจรงใดๆ ยกเวน x = -1 3. ดงนน D r = {x | x ≠ -1} = R – {-1} กำรหำเรนจ 1. จดสมการใหอยในรป x = เทอมของ y

y = 1

2

x

x

y(x + 1) = x + 2

yx + y = x + 2

yx - x = 2 - y

x(y - 1) = 2 - y

x = 1

2

y

y

2. y เปนจ านวนจรงใดๆ ยกเวน y = 1

3. ดงนน R r = {y | y ≠ 1} = R – {1}

แบบฝกหด (PAT 1’ 53)

ให f และ g เปนฟงกชนจากเซตของจ านวนจรงไปยงเซตของจ านวนจรง โดยท

f(x) = 4

12

x

x และ g(x) = 1)( xxf

จงพจารณาขอความตอไปน ก. D g = (2,∞) ข. คาของ x > 0 ทท าให g(x) = 0 มเพยง 1 คาเทานน ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก แต ข. ผด 3. ก. ผด แต ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

53

แบบฝกหด(O-net’52) จ านวนในขอใดตอไปนเปนสมาชกของโดเมนของฟงกชน

1

12

23 22

x

x

xx

xy

1. -2 2. -1 3. 0 4. 1

4. กรำฟของควำมสมพนธ “ กราฟของความสมพนธ r ” กคอ เซตของจดบนแกนมมฉาก (x,y) ซงแตละจดแทนสมาชกใน r (โดยใหสมาชกตวหนาเปนแกนนอน และสมาชกตวหลงเปนแกนตง) เชน ถา r 1 = {(1,2), (-1,2), (2,3), (-2,0), (0,-2)} r 2 = {(x,y) I I | y = x 2 } = {(0,0), (±1,1), (±2,4)} r 3 = {(x,y) RR | y = x 2 } จะไดกราฟดงภาพ เขยนกราฟของความสมพนธ จะชวยใหเหนโดเมนและเรนจไดชดเจนยงขน รปแบบของกราฟทควรรจกมดงน 1. กรำฟเสนตรง y = mx + c เมอ m คอ ความชน และ c คอ ระยะตดแกน y

54

2. กรำฟพำรำโบลำ y = ax 2 หรอ x = ay 2 เมอ a คอ คาคงทใดๆ ทไมใชศนย 3. กรำฟคำสมบรณ (ทคลำยพำรำโบลำ) y = a|x| หรอ x = a|y| 4. กรำฟวงกลม x 2 + y 2 = r 2 เมอ r คอ รศมของวงกลม (มากกวาศนย) 5. กรำฟคำสมบรณ (ทคลำยวงกลม) |x| + |y| = k เมอ k คอ คาคงททมากกวาศนย

55

6. กรำฟไฮเพอรโบลำมมฉำก xy = c เมอ c คอ คาคงทใดๆ ทไมใชศนย กราฟของความสมพนธอาจเปน “พนท (แรเงา)” ในระนาบ หากวาความสมพนธนนเปน “อสมการ” โดยมหลกการในการเขยนกราฟคอ คดวาเปนเครองหมายเทากบ แลวเขยนกราฟของสมการกอน จากนนตรวจสอบวาบรเวณใดของพนททตรงตามเงอนไขของอสมการ จงแรเงา (เสนกราฟทบแสดงวาจดบนเสนนนอยใน r , เสนประแสดงวาจดบนเสนนนไมอยใน r ) แบบฝกหด ใหหาขนาดพนท (ตารางหนวย) ของ r 1 r 2 เมอ r 1 = {(x,y) | 2 x + y } และ r 2 = {(x,y) | 4 yx }

56

แบบฝกหด ใหหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน โดยอาศยการเขยนกราฟ 1. r = {(x,y) | 4 yx } 2. r = {(x,y) | 22 yx } 3. r = {(x,y) | 222 xxy } 4. r = {(x,y) | 3,222 xxy < x 2}

5. ฟงกชน (Function) จากทศกษาผานมาแลววา ความสมพนธ คอเซตของคอนดบ (และทพบบอยจะเขยนอยในรปสมการ) หากความสมพนธใดมลกษณะดงตอไปนดวย จะเรยกวาเปนฟงกชน (Function : f) “ สมำชกตวหนำแตละตว จะคกบสมำชกตวหลงไดเพยงแบบเดยวเทำนน ” หรอกลาววา ส าหรบ x แตละตว จะคกบ y ไดเพยงแบบเดยวเทานน เชน r 1 = {(0,1), (1,2), (1,3), (2,4)} และ r 2 = {(0,1), (1,2), (3,1), (2,4)}

ไมเปนฟงกชน เปนฟงกชน

57

onto

1-1

1-1

onto

เปนฟงกชน 1-1 จำก Aไป B เปนฟงกชน 1-1 จำก Aไปทวถง B

ลกษณะของฟงกชน

1. ฟงกชนจำก A ไป B (from A into B หรอ f : A B) คอฟงกชนซง D f = A และ R f B 2. ฟงกชนจำก A ไปทงถง B (from A onto B หรอ f : A B) คอฟงกชนซง D f = A และ R f = B 3. ฟงกชนหนงตอหนงจำก A ไป B (one-to-one หรอ f : A B ) คอฟงกชนท D f = A และ R f B และ “ส าหรบ y แตละตว จะคกบ x เพยงตวเดยวดวย” 4. ฟงกชนหนงตอหนงจำก A ไป B (one-to-one correspondence หรอ f : A B) คอฟงกชนท D f = A และ R f = B และ “ส าหรบ y แตละตว จะคกบ x เพยงตวเดยวดวย”

58

กำรตรวจสอบควำมเปนฟงกชน 1. ถำควำมสมพนธทก ำหนดใหมำเปนแบบแจกแจงสมำชก

ถาสมาชกตวหนาของแตละคอนดบไมเหมอนกนเลย จะไดวาความสมพนธนนเปนฟงกชน

ถาสมาชกตวหนาของแตละคอนดบมตวทเหมอนกนอยางนอย 1 ค จะไดวาความสมพนธนนไมเปนฟงกชน

แบบฝกหด ความสมพนธทก าหนดใหขอใดตอไปนเปนฟงกชน 1. r 1 = {(1,6), (2,5), (1,7), (3,8)} ………… 2. r 2 = {(1,5), (3,6), (2,5), (4,7)} …………….

2. ถำควำมสมพนธทก ำหนดใหมำเปนแบบบอกเงอนไข สมมตให (x,y) r และ (x,z) r แลวตรวจสอบวา y = z หรอไม

ถา y = z แลว ความสมพนธนจะเปนฟงกชน ถา y z แลว ความสมพนธนจะไมเปนฟงกชน

แบบฝกหด ความสมพนธตอไปนเปนฟงกชนหรอไม 1. r 1 = {(x,y) RR | y = x} 2. r 2 = {(x,y) RR | 1 yx }

59

เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน

3. ถำควำมสมพนธทก ำหนดใหมำเปนแบบกรำฟ ใหลากเสนขนานแกน y ตดกราฟของความสมพนธทก าหนดมาให ถาไมมเสนขนานแกน y เสนใดตดกราฟมากกวา 1 จด แลว ความสมพนธนนเปน

ฟงกชน ถามเสนขนานแกน y เพยงเสนเดยวตดกราฟมากกวา 1 จด แลว ความสมพนธนน

ไมเปนฟงกชน

6. โดเมนและเรนจของฟงกชน กำรหำโดเมนและเรนจของฟงกชน

กำรหำโดเมน 1. พยายามเขยนเงอนไขทก าหนดมาใหอยในรป y = เทอมของ x ใหได 2. พจารณาวาคา x ใดบางทท าให y หาคาได 3. โดเมน คอ เซตของคา x ทงหมดทท าให y หาคาได กำรหำเรนจ 1. พยายามเขยนเงอนไขทก าหนดมาใหอยในรป x = เทอมของ y ใหได 2. พจารณาวาคา y ใดบางทท าให x หาคาได 3. เรนจ คอ เซตของคา y ทงหมดทท าให x หาคาได

60

การหาโดเมนและเรนจของฟงกชนซงบอกมาเปนเงอนไข (สมการ) ใหพจารณาทเงอนไขวาหากม การหาร, การถอดราก, คาสมบรณ, การยกก าลง ใหพจารณาเหมอนกบการหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ แบบฝกหด ก าหนดให f = {(x,y) RR | y = 95 2 x } จงหา D f และ R f

7. ฟงกชนเพมและฟงกชนลด

แบบฝกหด ก าหนดให f(x) = (x - 3) 3 + 1 เมอ x R จงตรวจสอบวา f เปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด

บทนยำม ก าหนดให f เปนฟงกชนจากสบเซตของ R ไป R และ AD f 1. f เปนฟงกชนเพมใน A กตอเมอ ส าหรบสมาชก x 1 และ x 2 ใดๆ ใน A ถา x 1 < x 2 แลว f(x 1 ) < f(x 2 ) 2. f เปนฟงกชนลดใน A กตอเมอ ส าหรบสมาชก x 1 และ x 2 ใดๆ ใน A ถา x 1 < x 2 แลว f(x 1 ) > f(x 2 )

61

8. ฟงกชนประกอบ (Composite Function) ให f และ g เปนฟงกชนดงแผนภาพ จะไดวา f(0) = 3 และ g(3) = 7 อาจกลาววา g(f(0)) = 7 กได

ฟงกชน g(f(x)) เปนฟงกชนจาก A ไป C เขยนแทนดวยสญลกษณ g(f(x)) = (g o f)(x) เรยกวา ฟงกชนประกอบของ f และ g และอานวา จโอเอฟเอกซ หมำยเหต ฟงกชน (g o f)(x) จะหาคาไดเมอ มสมาชกบางสวนของ R f กบ D g รวมกน

หรอกลาววา (g o f)(x) จะหาได กตอเมอ R f D g

ตวอยำง ก าหนดให f(x) = 1x และ g(x) = x 2 จงหา D gof จะไดวา (g o f)(x) = g(f(x)) = g( 1x ) = x – 1 ดงนน (g o f)(x) = x – 1 ดจากลกษณะแลว คา x นาจะเปนจ านวนจรงใดๆ (D gof = R) แตทจรงแลว f(x) = 1x นน x ≥ 1 จากนนน า f(x) ไปใชกบ g พบวาใชไดทงหมด ดงนน จงสรปวา D gof = [1,∞) แบบฝกหด (A-net) ก าหนดฟงกชน f และ g จากเซตจ านวนจรง R ไปยง R โดย f(x) = 1 + x

g(x) = )(

1

xf

(g o f)(x) มคาเทากบเทาใด

62

แบบฝกหด (A-net) ก าหนดให f = {(x,y) RR | x 2 + 2y = 5} และ g = {(x,y) RR | 2x – y = 3} จงเขยนเซตของ g o f แบบบอกเงอนไข

แบบฝกหด (PAT 1’53) ก าหนดให R เปนเซตจ านวนจรง บทนยำม ให f : R R และ g : R R เปนฟงกชนใดๆ ก าหนดการด าเนนการ ของ f และ g ดงน ( f g)(x) = f(g(x)) - g(f(x)) ส าหรบทกจ านวนจรง x

ถา f(x) = x 2 - 1 และ g(x) = 2x + 1 ส าหรบทกจ านวนจรง x แลว ( f g)(1) เทากบเทาใด

9. ฟงกชนผกผน (Inverse Function) ก าหนด f = {(x,y)RR | y = f(x)} เปนฟงกชน เมอสลบทระหวางสมาชกตวหนากบสมาชกตวหลงในคอนดบเดยวกนทกคอนดบในฟงกชน ความสมพนธทไดเรยกวา อนเวอรสของฟงกชน ใชสญลกษณ f 1 และถา f 1 เปนฟงกชน จะเรยก f 1 วา ฟงกชนอนเวอรส หรอ ฟงกชนผกผน ขอสงเกต 1. ถา f เปนฟงกชน f 1 เปนฟงกชนกตอเมอ f เปน 1-1 2. D f = R 1f

และ D 1f= R f

3. กราฟของ f และ f 1 จะสมมาตรกนเมอเทยบกบเสนตรง y = x

63

แบบฝกหด ก าหนดให f(x) = x 3 + 1 จงหา D 1f และ f 1 (x)

แบบฝกหด ก าหนดให f(x) = x 2 + 2x – 1 และ g(x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 9 แลว (f o g 1 )(7) มคาเทาไหร

10. พชคณตของฟงกชน พชคณตของฟงกชน คอ การน าฟงกชนตงแต 2 ฟงกชนขนไปมา บวก ลบ คณ หรอหารกน

บทนยำม ก าหนดให f และ g เปนฟงกชนในเซตของจ านวนจรง 1. f + g = {(x,y) | y = f(x) + g(x) และ x D f D g } 2. f - g = {(x,y) | y = f(x) - g(x) และ x D f D g } 3. f g = {(x,y) | y = f(x) g(x) และ x D f D g }

4. g

f = {(x,y) | y = )(

)(

xg

xf เมอ g(x) 0 และ x D f D g }

64

แบบฝกหด ก าหนดให f = {(1,2), (2,4), (3,-2), (4,0)} g = {(1,3), (2,0), (3,5), (4,2)} จงหา

1. f + g = ……………………………………………………………………… 2. f - g = ……………………………………………………………………... 3. f g = ………………………………………………………………………

4. g

f = ………………………………………………………………………

แบบฝกหด(A-net) ก าหนดให (g o f)(x) = 3x - 2 และ g(x) = 5x + 1 จงหา f(x)

แบบฝกหด(A-net) ก าหนดให (f o g)(x) = 4x 2 + 1 และ g(x) = 2x จงหา f(x)

แบบฝกหด(PAT 1) ก าหนดให f(x + 1) = 3x + 2 + f(x) และ g(3x - 1) = 2x + 8 ถา f(0) = 1

แลว g 1 (f(2)) เทากบเทาใด

65

แบบฝกหด(PAT 1) ก าหนดให f(x) = 24 x และ g(x) = 29

1

x

จ านวนในขอใดตอไปน เปนสมาชกของ R gof

1. 2

1 2. 4

1 3. 8

1 4. 14

1

66

เอกสำรประกอบกำรเรยน เรองล ำดบและอนกรม รำยวชำคณตศำสตรพนฐำน กลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร

............................................................................................................................................................. 1. ล ำดบ (Sequence)

บทนยำม ล าดบ คอฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรกหรอเซตของจ านวนเตมบวกและเขยนเรยงตามล าดบไดดงน f(1) , f(2) , f(3) , … ,f(n),…

เรยก f(1) วาพจนท 1 เขยนแทนดวย 1a



:

:

เรยก f(n) วาพจนท n เขยนแทนดวย na

ล ำดบจ ำกด (Finite Sequence) คอ ล าดบทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรก เขยนไดดงน 1 2 3, , ,..., na a a a

ล ำดบอนนต (Infinite Sequence) คอ ล าดบทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก เขยนไดดงน 1 2 3, , ,..., ,...na a a a

ตวอยำงท 1.1 จงเขยน 5 พจนแรกของล าดบทก าหนดให

1. 2 1na n 2. ( 1)( 2)na n n n

3. 1na n

n

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

67

กำรหำพจนทวไปของล ำดบ

ใชหลกการสงเกตความสมพนธของแตละพจน และใชการใหเหตผลแบบอปนยสรปพจนทวไป ตวอยำงท 1.2 จงหาพจนทวไปของล าดบตอไปน 1. 0 , 2 , 6 , 12 , 20 , … 2. 1 , -8 , 27 , -64 , … 3. 1 , 4 , 9 , 16 , …

4. 1 2 3 4, , , ,...

2 3 4 5

5. 7 , 77 , 777 . 7,777 , … ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

68

2. ล ำดบเลขคณต (Arithmetic Sequence or Arithmetic Progression)

บทนยำม ล าดบเลขคณต คอล าดบทผลตางของพจนท n+1 ลบดวยพจนท n มคาคงตว คาคงตวนเรยกวา ผลตางรวม (common difference ) ใชสญลกษณ d แทนผลตางรวม

พจนทวไปของล าดบเลขคณต คอ 1 ( 1)na a n d ตวอยำงท 2.1 จงเขยน 5 พจนแรก ของล าดบเลขคณตทก าหนดคาตางๆ ใหในแตละขอ 1. 1a = 3 , d = 2

2. 1

2

3a , d = 3

3. 1 6a , 8 7a a = 5 ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ตวอยำงท 2.2 จงหาพจนท n ของล าดบเลขคณตทก าหนดใหในแตละขอตอไปน

1. 4 , 9 , 14 , … ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2. -5 , 1 , 7 , … ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

69

3. 1

8 , 1

4, 3

8, …

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ตวอยำงท 2.3 จงหาพจนท 7 ของล าดบเลขคณต 4 , 9 , 14 , … ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ตวอยำงท 2.4 จงหาพจนท 21 ของล าดบเลขคณต 5

2 , 2 , 3

2, …

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ตวอยำงท 2.5 ก าหนดให m , 5m , 6m+9 เปนล าดบเลขคณต จงหาคา m .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ตวอยำงท 2.6 จ านวนเตมตงแต 16 ถง 775 ทหารดวย 3 ลงตว มกจ านวน ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

70

ตวอยำงท 2.8 จ านวนเตมทอยระหวาง 72 กบ 300 ท 3 และ 7 หารไมลงตว มกจ านวน .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ตวอยำงท 2.9 ไมกองหนงวางซอนกนในแนวระดบเปนชนๆแตละชนมจ านวนไมมากกวาชนถดไปอย 5 ทอน ถาจ านวนไมชนบนสดม 57 ทอนและชนตดพนดนม 182 ทอน จงหาวาไมกองนมกชน .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ตวอยำงท 2.10 ล าดบเลขคณตชดหนงก าหนดให 5 2 8n na a เสมอ เมอ n > 2 จงหาคาของ 17 3a a .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ตวกลำงเลขคณต (Arithmetic Mean ; A.M.)

ก. ให x เปนตวกลางเลขคณต และ a , x , b เปนล าดบเลขคณต

ดงนน 2

a bx

ข. ให 1 2 3, , ,..., kx x x x เปนตวกลางเลขคณต k พจน

และ 1 2 3, , , ,..., ,ka x x x x b เปนล าดบเลขคณต จะได 1

b ad

k

ดงนนตวกลางเลขคณต k พจนทอยระหวาง a และ b คอ a+d , a+2d , … , a+kd

71

ตวอยำงท 2.11 จงหาตวกลางเลขคณต 5 จ านวนระหวาง -5 กบ 49 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3. ล ำดบเรขำคณต (Geometric Sequence or Geometric Progression)

บทนยำม ล าดบเรขาคณต คอล าดบทอตราสวนของพจนท n+1 ตอ พจนท n มคาคงตว คาคงตวนเรยกวา อตราสวนรวม (common ratio ) ใชสญลกษณ r แทนอตราสวนรวม

พจนทวไปของล าดบเรขาคณต คอ

1

1

n

na a r เมอ 1 0a และ 0r ตวอยำงท 3.1 จงเขยน 5 พจนแรก ของล าดบเรขาคณตทก าหนดคาตางๆ ใหในแตละขอ 1. 1a = 3 , r = 2

2. 1

2

3a , r = 3

3. 1

1

5a , r = 2

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

72

ตวอยำงท 3.2 จงหาพจนท n ของล าดบเรขาคณตทก าหนดใหในแตละขอตอไปน 1. 8 , 4 , 2 , …

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. 2. -9 , 3 , -1 , …

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

3. 14 , 2 , 2

7 , 2

49, …

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

ตวอยำงท 3.3 จงหาพจนท 7 ของล าดบเรขาคณต 6 , 9 , 27

2 , …

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ตวอยำงท 3.4 จงหาพจนท 15 ของล าดบเรขาคณต 3 ,3 2 ,6 3 , …

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

ตวอยำงท 3.5 จงหาวา 4,096 เปนพจนทเทาใดของล าดบ 1

16,1

8,1

4, …

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

73

ตวอยำงท 3.6 ถาพจนท 1 และพจนท 4 ของล าดบเรขาคณต มคาเทากบ 6 และ -48 ตามล าดบแลว จงหาพจนท 11 ของล าดบน .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ตวอยำงท 3.7 ถาพจนท 2 และพจนท 4 ของล าดบเรขาคณต มคาเทากบ 81 และ 9 ตามล าดบแลว จงหาพจนท 9 ของล าดบน .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ตวอยำงท 3.8 คนสามคนอาย 10 , 18 และ 30 ป จงหาวาอกกปอายของคนทงสามจะเรยงเปน ล าดบเรขาคณต .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

74

ตวอยำงท 3.9 ถา 1 2 3, , ,..., na a a a เปนล าดบเรขาคณต โดยทผลบวกของสามพจนสดทายมคา เปน 10 เทาของผลบวกของ 3 พจนแรก และพจนทสามเทากบ 100 จงหาพจน สดทาย .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ตวอยำงท 3. 10 ถาพจนท 3 และพจนท 6 ของล าดบเรขาคณต มคาเทากบ 20 และ -160 ตามล าดบ จงหา 1) พจนทวไป 2) 1,280 เปนพจนทเทาใดของล าดบ .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ตวกลำงเรขำคณต (Geometric Mean ; G.M.)

ข. ให x เปนตวกลางเรขาคณต และ a , x , b เปนล าดบเรขาคณต ดงนน 2x ab เมอ ab > 0 ข. ให 1 2 3, , ,..., kx x x x เปนตวกลางเรขาคณต k พจน และ 1 2 3, , , ,..., ,ka x x x x b เปนล าดบเรขาคณต

ถา k เปนจ านวนคบวกแลว r = 1kb

a

ถา k เปนจ านวนคบวกแลว r = 1kb

a เมอ ab > 0

75

ตวอยำงท 3.11 จงหาตวกลางเรขาคณต 5 จ านวนระหวาง 5

2 กบ 160

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ตวอยำงท 3.12 จ านวนสองจ านวนมตวกลางเลขคณตเทากบ 52 และมตวกลางเรขาคณตเทากบ 20

จงหาจ านวนทงสอง .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4. สญลกษณแทนกำรบวก ใชสญลกษณ “ ” แทนการบวก ( อานวา ซกมา ) กลาวคอ จะเขยนแทน

1 2 3 ... na a a a ดวย 1

n

i

i

a

( อานวา การบวก ta เมอ i = 1 ถง i = n ) เรยก i วาดชน เรา

อาจใชตวอกษรตวอนแทนกได

เชน 4

0

0 1 2 3 4i

i

1 2 3

0

... ...i n

i

a a a a a

3

2 2 2 2 2 2 2

2

( 2) ( 1) 0 1 2 3k

k

สมบตของ ทควรทรำบ

1. 1

n

i

c cn

เมอ c เปนคาคงตว

2. 1 1

n n

i i

i i

ca c a

เมอ c เปนคาคงตว

3. 1 1 1

( )n n n

i i i i

i i i

a b a b

76

ตวอยำงท 4.1 (1) 25

1

3 3 3 3 ... 3n

(25 พจน)

= (3)(25) = 75

ตวอยำงท 4.2 ก าหนดให 100

1

20n

n

a

และ 100

1

30n

n

b

จงหาคาของ 100

1

(2 5 1)n n

n

a b

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ผลบวกทควรจ ำ

1. 1

( 1)1 2 3 ...

2

n

i

n ni n

2. 2 2 2 2 2

1

( 1)(2 1)1 2 3 ...

6

n

i

n n ni n

3. 2

3 3 3 3 3

1

( 1)1 2 3 ...

2

n

i

n ni n

ตวอยำงท 4.3 จงหาผลบวกในแตละขอตอไปน

1) 8

1

5i

i

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

2) 1

( 2)n

i

i

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

77

3) 20

1

( 1)i

i i

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

4) 3

1

5n

i

i

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

5) 5

2

3

( 2 )i

i i

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

6) 19

2

5

(2 3)i

i

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

78

ตวอยำงท 4.4 จงหาผลบวกของจ านวนเตมคตงแต 31 ถง 101 ............................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5. อนกรม (Series)

บทนยาม 5.1 1) ถา 1 2 3, , ,..., na a a a เปนล าดบจ ากด เราจะเรยก 1 2 3 ... na a a a วาเปนอนกรมจ ำกด 2) ถา 1 2 3, , ,..., ,...na a a a เปนล าดบอนนต เราจะเรยก 1 2 3 ... ...na a a a วาเปนอนกรมอนนต บทนยาม 5.2 ก าหนดอนกรม 1 2 3 ...a a a

ผลบวก n พจนแรกของอนกรม หมายถง ผลบวกตงแตพจนท 1 ถง พจนท n ซงตอไปนจะใชสญลกษณ nS

1 2 3

1

...n

n n i

i

S a a a a a

จากบทนยาม 5.2 จะไดวา 1 2 3

1

...n

n n i

i

S a a a a a

… (1)

นนคอ 1 1S a

2 1 2S a a 3 1 2 3S a a a : : 1 1 2 3 1...n nS a a a a …(2) (1) – (2) ; 1n n na S S

79

ตวอยำงท 5.1 ก าหนด 3 2ka k k จงหา nS และ 50S ............................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ตวอยำงท 5. 2 ก าหนด 22 3na n n จงหาผลบวก n พจนของอนกรมทก าหนด na ............................................................................................................................................................. ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ตวอยำงท 5.3 จงหา nS และ 9S ของอนกรม 1 1 1 1...

3 5 5 7 7 9 (2 1)(2 3)n n

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

80

ตวอยำงท 5.4 จงหา nS และ 9S ของอนกรม 1 1 1...

5 9 9 13 13 17

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ตวอยำงท 5.6 จงหา na เมอก าหนดอนกรม ม 22 3nS n n ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ตวอยำงท 5.7 อนกรมชดหนงม จงหาผลบวกของอนกรมนตงแตพจนท 6 ถงพจนท 10 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

81

ตวอยำงท 5.8 จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรม 9 + 99 + 999 + 9999 + ….+(999…9)+… ............................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 6. อนกรมเลขคณต (Arithmetic Series)

บทนยาม ถา 1 2 3, , ,..., na a a a เปนล าดบเลขคณต เราจะเรยก 1 2 3 ... na a a a วาเปนอนกรมเลขคณต

ให nS เปนผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเลขคณตทม 1a เปนพจนแรก และ d เปนผลตางรวม จะได 1 1 1 1( ) ( 2 ) ... ( 1)nS a a d a d a n d

ผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเลขคณต 1[2 ( 1) ]2

n

nS a n d

หรอ 1[ ]2

n n

nS a a

ตวอยำงท 6.1 อนกรมเลขคณตชดหนง ม 1 4a , n = 10 และ 10 49a จงหา d และ nS ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

82

ตวอยำงท 6.2 อนกรมเลขคณตชดหนง ม 23na , d = 3 และ 98nS จงหา 1a และ n ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ตวอยำงท 6.3 จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมทก าหนดให ตอไปน

1. 3 , 8 , 13 , … 2. 3 , 7 , 11 , … 3. -5 , -2 , 1 , …

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

83

ตวอยำงท 6.4 จงหาผลบวกของอนกรมเลขคณตทมพจนท 3 เทากบ 35 และพจนท 20 เทากบ -33 ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ตวอยำงท 6.5 จงหาผลบวกของจ านวนเตมคทอยระหวาง 50 และ 100 ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ตวอยำงท 6.6 จงค านวณหา n ทท าให nS ของอนกรมเลขคณต 24 + 22 + 20 + … มคาเทากบ 150 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

84

ตวอยำงท 6.7 นายคณตสอบได 64 คะแนน ในการทดสอบครงท 1 และสอบไดคะแนนเพมมากขนครงละ 7 คะแนน ในการสอบครงตอๆไป เขาจะสอบไดกคะแนนในการทดสอบครงท 5 และคะแนนเฉลยในการทดสอบทงหาครงเทากบกคะแนน ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

7. อนกรม เรขำคณต (Geometric Series)

บทนยาม ถา 1 2 3, , ,..., na a a a เปนล าดบเรขาคณต เราจะเรยก 1 2 3 ... na a a a วาเปนอนกรมเรขำคณต

ให nS เปนผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเรขาคณตทม 1a เปนพจนแรก และ

r เปนอตราสวนรวม จะได 2 1

1 1 1 1... n

nS a a r a r a r ผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต

1

1

1

( 1); 1

1

; 1

(1 ); 1

1

n

n

n

a rr

r

S na r

a rr

r

85

ตวอยำงท 7.1 ก าหนดอนกรมเรขาคณต 2 + 6 + 18 + … จงหา 1) พจนท 6 2) พจนท n 3) ผลบวก n พจนแรกของอนกรม 4) ผลบวกของ 10 พจนแรก

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

ตวอยำงท 7.2 ถาพจนท 1 และอตราสวนรวมของอนกรมเรขาคณตหนงมคาเทากบ 160 และ 3

2

ตามล าดบ จงหาคา n ทท าให 2,110nS ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

86

ตวอยำงท 7.3 ก าหนดอนกรมเรขาคณต ทมพจนท 1 และพจนท n เทากบ 3 และ 96 ตามล าดบ ถาผลบวกของ n พจนแรก เทากบ 189 จงหา

1) อตราสวนรวม 2) คา n 3) ผลบวก 10 พจนแรก

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ตวอยำงท 7.4 ก าหนดอนกรม 6 + 7 + 9 + 13 + 21 + … +( 12 5n ) +… จงหาผลบวกของ 11 พจนแรกของอนกรมน ............................................................................................................................................................ .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

สรุปพิ้นฐาน ม ปลาย โดยครูอ้วน

Education

Transcript of สรุปพิ้นฐาน ม ปลาย โดยครูอ้วน