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TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES
1.1.- NÚMEROS RACIONALES
NÚMEROS NATURALES.-
Los números naturales son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……..
Hay infinitos números naturales.
El conjunto de los números naturales se denota por N .
NÚMEROS ENTEROS.-
Los números enteros son los números naturales y sus opuestos (los números enteros negativos):
……., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,……….
Hay infinitos números enteros.
El conjunto de los números enteros se denota por Z .
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS: Para operar correctamente con números enteros, es fundamental respetar la jerarquía de las
operaciones que es:
- Paréntesis.
- Corchetes.
- Llaves.
- Potencias.
- Multiplicaciones y divisiones.
- Sumas y restas.
FRACCIONES Y N ÚMEROS FRACCIONARIOS.-
Una fracción es el cociente indicado de dos números enteros. Dicho cociente puede ser un número
entero (si la división es exacta) o un número fraccionario si la división es inexacta.
Una fracción se representa por el cociente indicado b
a, donde a y b son números enteros y se llaman,
respectivamente, el numerador y el denominador de la fracción.
Dicho cociente puede ser entero (si el numerador es múltiplo del denominador: 21
2
3
6 ) o
fraccionario (si el numerador no es múltiplo del denominador 2
5).
Los números enteros sirven para contar elementos, pero no son tan buenos para expresar medidas.
Las medidas se suelen expresar mediante números fraccionarios.
A la unión de todos los números enteros y de todos los números fraccionarios se le llama el conjunto de
los números racionales y se designa por Q .
Los números racionales son los que se pueden poner en forma de fracción.
REPRESENTACIÓN EN LA RECTA: Los números fraccionarios se pueden representar en la recta junto con los números enteros.
Los números racionales (enteros y fraccionarios) se aglomeran en la recta de tal forma que, entre cada
dos de ellos, hay infinitos números racionales.
FRACCIONES EQUIVALENTES: Cada número racional puede expresarse mediante infinitas fracciones, por lo tanto vamos a obtener
un criterio para saber cuándo dos fracciones representan el mismo número racional.
Se dice que dos fracciones son equivalentes cuando, al simplificarlas, dan lugar a la misma fracción
irreducible. Esta fracción irreducible es la que tomaremos como expresión habitual del número
racional que representan ambas fracciones.
Dos fracciones b
a y
d
c son equivalentes y lo escribiremos
d
c
b
a cuando el producto de los extremos (
a y d son los extremos) es igual al producto de los medios ( b y c son los medios), es decir, cuando se
verifica que: cbda .
EJEMPLO:
Las fracciones 3
2 y
6
4 son equivalentes ya que: 4362
OBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES: Dada una fracción si se multiplican o dividen el numerador y el denominador de una fracción por un
mismo número se obtiene una fracción equivalente a la dada.
EJEMPLO:
Dada la fracción 15
12 , si multiplicamos su numerador y su denominador por 2 obtenemos la fracción
30
24 que es equivalente a la dada.
Dada la fracción , si dividimos su numerador y su denominador por 3 obtenemos la fracción 5
4
que es equivalente a la dada.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.-
Si el numerador y el denominador de una fracción se pueden dividir por un mismo número, al hacerlo
diremos que hemos simplificado o reducido la fracción.
Cuando una fracción no se puede reducir (simplificar) más (el numerador y el denominador son
números primos entre sí) y el denominador es positivo, diremos que la fracción es irreducible.
Simplificar una fracción es encontrar una fracción equivalente a la dada pero que tenga
números menores en el numerador y en el denominador, lo cual se consigue dividiendo el numerador y
el denominador por un mismo número.
La simplificación termina cuando llegamos a una fracción en la que el numerador y el
denominador son números primos entre sí, y se llama fracción irreducible.
EJEMPLO:
Expresa como fracción irreducible la fracción 630
1050.
Solución: Si simplificamos numerador y denominador sucesivamente por 2, 3, 5 y 7 se obtiene que:
3
5
21
35
105
175
315
525
630
1050 ; por lo tanto la fracción irreducible es
3
5.
15
12
EJEMPLO:
Dada la fracción 45
30 podemos simplificarla dividiendo numerador y denominador entre 3, con lo que
obtenemos la fracción 15
10; que a su vez podemos simplificarla dividiendo numerador y denominador
entre 5, con lo que obtenemos la fracción 3
2 que es una fracción irreducible porque 2 y 3 son números
primos entre sí.
OBTENCIÓN DE LA FRACCIÓN IRREDUCIBLE: Para obtener la fracción irreducible podemos proceder de dos formas:
a) Dividiendo el numerador y el denominador por divisores comunes:
EJEMPLO:
Para hallar la fracción irreducible equivalente a la fracción 90
72 dividimos numerador y
denominador entre 2 obteniendo 45
36, esta nueva fracción dividimos su numerador y su denominador
entre 3 obteniendo , esta nueva fracción dividimos su numerador y su denominador entre 3
obteniendo 5
4 que ya es una fracción irreducible ya que 4 y 5 son números primos entre sí.
b) Dividiendo numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos.
EJEMPLO:
Para hallar la fracción irreducible equivalente a la fracción dividimos numerador y el
denominador entre el máximo común divisor de 72 y 90 que es 9 con lo que obtenemos la fracción
que es irreducible ya que 4 y 5 son números primos entre sí.
REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR: Reducir fracciones a común denominador es hallar otras fracciones, equivalentes a las
primeras, que tengan todas, los mismos denominadores.
Para reducir fracciones a común denominador seguiremos los siguientes pasos:
1º) Tomaremos como denominador común de todas las fracciones el mínimo común múltiplo de las
fracciones dadas.
2º) El nuevo numerador de cada una de las fracciones se obtiene multiplicando el numerador antiguo
por el cociente de dividir el mínimo común múltiplo por el denominador de la fracción
correspondiente.
EJEMPLO:
Para reducir a común denominador las fracciones 6
5 y
4
3 tomamos como denominador
común el mínimo común múltiplo de 4 y 6 (que son los denominadores de las fracciones dadas) que es
12, y procedemos de la siguiente forma:
12
10
26
25
6
52612
:
12
9
34
33
4
33412
: ; y las fracciones y
4
3 reducidas
a común denominador se con vierten en las fracciones 12
10 y
12
9.
15
12
90
72
5
4
6
5
COMPARACIÓN DE FRACCIONES.-
Para comparar fracciones tendremos en cuenta dos casos:
a) Si las fracciones que tienen igual denominador, será menor la que tenga menor numerador y
será mayor la que tenga mayor numerador.
b) Si las fracciones tienen distinto denominador, las reducimos a denominador común (hallando el
mínimo común múltiplo de los denominadores, y escribiendo las fracciones equivalentes que tengan
todas como denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores) y aplicamos el criterio del
apartado a).
EJEMPLO:
Comparar las fracciones 3
8,
3
7,
3
5 .
Solución: Como son fracciones que tienen el mismo denominador entonces será mayor la que tenga mayor
numerador y, en consecuencia, se tiene que 3
8
3
5
3
7
.
EJEMPLO:
Comparar las fracciones 32
11,
24
7,
16
5.
Solución: Como son fracciones que tienen distinto denominador las reducimos a denominador común hallando
el mínimo común múltiplo de los denominadores que es: 9632,24,16.. mcm y escribiendo las
fracciones equivalentes a las dadas que tengan como denominador 9632,24,16.. mcm , que son:
96
30
96
56
16
5616:96
;
96
28
96
74
24
7424:96
;
96
33
96
113
32
11332:96
Como ahora todas las fracciones tienen el mismo denominador será mayor la que tenga mayor
numerador y, en consecuencia, se tiene que 96
33
96
30
96
28 ; y por lo tanto se tiene que
32
11
16
5
24
7 .
EJEMPLO: Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:
18
13
4
3
9
5
6
4
12
7;;;; .
Solución: Como son fracciones de distinto denominador las reducimos a común denominador calculando el
mínimo común múltiplo de los denominadores que es 361849612 ,,,,m.c.m y se tiene que:
36
21
12
7 ,
36
24
6
4 ,
36
20
9
5 ,
36
27
4
3 y
36
26
18
13 ; como
36
21,
36
24,
36
20,
36
27 y
36
26 son fracciones que
tienen igual denominador, sabemos que es mayor la que tiene mayor numerador, por lo tanto:
36
27
36
26
36
24
36
21
36
20
4
3
36
27
18
13
36
26
6
4
36
24
12
7
36
21
9
5
36
20
4
3
18
13
6
4
12
7
9
5 .
1.2.- OPERACIONES CON FRACCIONES
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES.-
Para sumar (restar) fracciones vamos a tener en cuenta dos casos:
a) Para sumar (restar) fracciones del mismo denominador se deja el mismo denominador y se suman
(restan) los numeradores.
b) Para sumar (restar) fracciones del distinto denominador se reducen a denominador común
(hallando el mínimo común múltiplo de los denominadores y escribiendo las fracciones equivalentes
que tengan como denominador común el mínimo común múltiplo de los denominadores) y se procede
como en el apartado a).
EJEMPLO:
Efectuar las siguientes operaciones: a) 4
5
4
3 ; b)
7
5
7
3 .
Solución: a) Como es la suma de dos fracciones de igual denominador se deja el mismo denominador y se suman
los numeradores, con lo que se tiene que:
24
8
4
53
4
5
4
3
.
b) Como es la resta de dos fracciones de igual denominador se deja el mismo denominador y se restan
los numeradores, con lo que se tiene que:
7
2
7
53
7
5
7
3
.
EJEMPLO:
Efectuar la siguiente operación: 15
3
6
5
2
3 .
Solución: Como es la suma y resta de fracciones que tienen distinto denominador se reducen a igual
denominador, hallando el mínimo común múltiplo de los denominadores que es 3015,6,2.. mcm , y
se escriben las fracciones equivalentes que tienen como denominador 3015,6,2.. mcm , que son:
30
45
30
315
2
3152:30
30
25
30
55
6
556:30
30
6
30
32
15
3215:30
Como ahora las fracciones tienen igual denominador se deja el mismo denominador y se operan los
numeradores, con lo que se tiene que:
15
32
30
64
30
62545
30
6
30
25
30
45
15
3
6
5
2
3
.
PRODUCTO DE FRACCIONES.-
El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene como numerador el producto de los
numeradores de las fracciones dadas y como denominador el producto de los denominadores de las
fracciones dadas.
EJEMPLO:
Calcula la siguiente operación: 7
24
16
5 .
Solución:
14
15
28
30
56
60
112
120
716
245
7
24
16
5
.
INVERSA DE UNA FRACCIÓN.-
La inversa de una fracción es otra fracción que multiplicada por la primera es igual a la unidad.
La inversa de una fracción es otra fracción que tiene como numerador el denominador de la primera y
como denominador el numerador de la primera, es decir, la inversa de la fracción b
a es la fracción
a
b.
COCIENTE DE DOS FRACCIONES.-
El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la in versa de la segunda, es decir:
cb
da
c
d
b
a
d
c
b
a
: .
El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto del numerador de
la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, y como denominador el producto del
denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, es decir: cb
da
d
c
b
a
: .
EJEMPLO:
Efectuar las siguientes operaciones: a) 36
10:
16
5; b) 5:
6
55.
Solución:
a) 8
9
16
18
160
180
1016
365
10
36
16
5
36
10:
16
5
.
b) 6
11
30
55
56
155
5
1
6
55
1
5:
6
555:
6
55
.
OPERACIONES COMBINADAS:
EJEMPLO:
Calcular:
a) 12
25
8
7
6
7
4
3:
, b)
33
13
22
9
25
7
15
13.
Solución:
a) Primero hacemos la operación del paréntesis que es una suma de fracciones de distinto
denominador para lo que calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores que es
24864 ,,m.c.m y tenemos que , como ahora son fracciones que
tienen el mismo denominador, entonces sumamos los numeradores y tenemos que
24
21
24
28
24
18
8
7
6
7
4
3
; en consecuencia
2
1
24
12
2524
1225
12
25
24
25
12
25
8
7
6
7
4
3
:: .
b) Primero hacemos las operaciones de los paréntesis que es una suma de fracciones de
distinto denominador para lo que calculamos el mínimo común múltiplo de los
denominadores y se tiene que:
75
44
75
2165
75
21
75
65
25
7
15
13
;
66
1
66
2627
66
2627
66
26
66
27
33
13
22
9
.
Con lo cual tenemos que:
225
2
375
12
675
14
6675
144
66
1
75
44
33
13
22
9
25
7
15
13
.
EJEMPLO:
Calcular:
a)
14
3
14
3
2
1
; b)
5
6
3
42
3
1
5
33
; c)
4
3
2
1
25
46
15
2
5
3
4
13
; d)
13
4
6
5
12
7
6
5
4
3
9
5
3
2
.
Solución:
a) 7
3; b) 3; c)
7881
865
.; d)
72
1.
1.3.- LA FRACCIÓN COMO OPERADOR
-- La parte P que corresponde a una fracción b
a de una cantidad C nos viene dada por C
b
aP .
EJEMPLO.-
¿Cuántas cartas le tocan repartir a un cartero al que le asignan 46
5 del total de 2990 cartas?
Solución:
32546
14950
46
299052990
46
5
.
Le corresponde repartir 325 cartas.
-- Si conocemos la parte P que corresponde a la fracción b
a de una cantidad total C , esa cantidad C
se obtiene dividiendo la parte P por la fracción b
a, es decir,
b
aPC : , o lo que es lo mismo, esa
cantidad C se obtiene multiplicando la parte P por la inversa a
b de la fracción
b
a, es decir,
a
bPC .
24
25
24
212818
24
21
24
28
24
18
8
7
6
7
4
3
EJEMPLO.-
Una persona posee los 30
7 de una compañía y este año le han correspondido 18900 € de ganancias.
¿Cuáles han sido las ganancias totales de la compañía?
Solución:
810007
567000
7
3018900
7
3018900
30
7:18900
.
Las ganancias totales de la compañía han sido 81000 €.
-- Para hallar una parte b
a de otra parte
d
c de una cantidad C , se multiplica C
d
c
b
a .
EJEMPLO.-
De una herencia de 312000€, Antonio posee los 5
2, Belén los
12
7 y María el resto. María emplea los
8
3
de su parte en pagar deudas. ¿Cuánto le queda a María después de pagar las deudas?
Solución: Calculamos la fracción que le corresponde a María que nos viene dada por:
60
1
60
35
60
24
60
60
12
7
5
21
Como María emplea 8
3 de su parte en pagar deuda, entonces le quedan
8
5 de su parte, con lo que la
cantidad que le queda a María después de pagar la deuda nos viene dada por:
3250480
1560000
608
31200015312000
60
1
8
5
.
A María le quedan 3250 € después de pagar la deuda.
1.4.- NÚMEROS DECIMALES
Un número decimal es la expresión de un número no entero que tiene una parte entera y una parte
decimal que va separada por una coma.
La parte decimal de los valores decimales se ubica al lado derecho de la coma y la parte entera se
ubica a la izquierda de la coma.
Todo número decimal se compone de parte entera, la coma y la parte decimal.
Los números decimales se leen de la siguiente manera:
Primero: Nombramos la parte entera seguida de la palabra “unidades”.
Segundo: Nombramos el número que está a la derecha de la coma, dándole el nombre de la
unidad decimal que aparece.
Parte
entera
Coma Décimas Centésimas Milésimas Diez
milésimas
Cien
milésimas
Millonésimas
12,23 se lee: Doce unidades veintitrés centésimas.
0,0734 se lee: Cero unidades setecientas treinta y cuatro diezmilésimas.
3,25 se lee: Tres unidades veinticinco centésimas.
12,0456 se lee: Doce unidades cuatrocientas cincuenta y seis diezmilésimas.
EJEMPLO:
Escribir como se leen los siguientes números:
a) 107,5402 b) 9,706 c) 30,07 d) 902,8 e) 15,73 f) 0,094 g) 1,01 h) 7,0205 i) 0,39.
Solución:
a) 107 unidades y cinco mil cuatrocientas dos diezmilésimas.
b) Nueve unidades y 706 milésimas.
c) Treinta unidades y siete centésimas.
d) Novecientas dos unidades y ocho décimas.
e) Quince unidades y setenta y tres centésimas.
f) Noventa y cuatro milésimas.
g) Una unidad y una centésima.
h) Siete unidades y doscientas cinco diezmilésimas.
i) Treinta y nueve centésimas.
EJEMPLO:
Escribe con cifras los siguientes números:
a) Doce unidades tres milésimas.
b) Cuatrocientas veinticinco diezmilésimas.
c) Ochenta y tres unidades cinco décimas.
d) Siete unidades trece milésimas.
e) Cinco unidades siete centésimas.
f) Doscientas unidades dos milésimas.
g) Una unidad una diezmilésima.
h) Veintiséis unidades tres centésimas
i) Cuatro unidades catorce centésimas
Solución:
a) 12,003 b) 0,0425 c) 83,5 d) 7,013 e) 5,07 f) 200,002 g) 1,0001 h) 26,03 i) 4,14.
TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES:
Expresión decimal: Es una expresión numérica formada por unidades naturales (que se
llaman parte entera de la expresión decimal) y de unidades decimales separadas de la parte
entera por una coma. La parte entera figura a la izquierda de la coma y la parte decimal a la
derecha de la misma
Ejemplo:
En la expresión decimal 38,325 la parte entera es 38 y la parte decimal es 325.
Clasificación de las expresiones decimales:
Las expresiones decimales pueden ser:
.......33373733733373,2:
3452,8...2345345345,8:
73,12....737373,12:
72,0:
periodicaNo
Mixta
PuraPeriódica
Infinita
Finita
Decimal
Finitas (que también se llaman limitadas o exactas), por ejemplo 3,24, que son aquellas que
tienen un número finito de cifras, distintas de cero, después de la coma.
Infinitas (que también se llaman ilimitadas o inexactas), por ejemplo ....,6767672 que suele
escribirse abreviadamente como 672, , que son aquellas que tienen un número infinito de
cifras, distintas de cero, después de la coma.
Las expresiones decimales infinitas pueden ser:
Periódica que es una expresión decimal infinita en la que hay una o varias cifras decimales
que se repiten indefinidamente y en el mismo orden a partir de cierto lugar después de la
coma. A la cifra o grupo de cifras que se repiten se llama el período (parte periódica) y a las
cifras decimales que no se repiten se les llaman el ante período (parte no periódica). El
período se suele expresarse por medio de un arco que abarca a todas las cifras que lo forman.
No periódica que es una expresión decimal de infinitas cifras no periódicas, es decir, no
contiene una cifra o un grupo de cifras que se repitan indefinidamente y en el mismo orden.
Estas expresiones no provienen de un número racional, son números irracionales.
EJEMPLO:
Indica que tipo de número decimal es cada uno de los siguientes:
a) 3,52; b) 82, ; c) 541, ; d) ......,732050813 ; e) 372, ; f) 3,5222……; g)
......,141592612π
Solución:
a) Exacto; b) Periódico puro; c) Periódico puro; d) No periódico; e) Periódico mixto;
f) Periódico mixto; g) No periódico.
EJEMPLO:
Expresar con notación abreviada las siguientes expresiones decimales y decir cual es la parte
entera, el período y la parte no periódica:
a) 0,3333…. se escribe de forma abreviada 30, la parte entera es 0 (no tiene parte entera), el
período es 3 y no tiene parte no periódica porque es un decimal periódico puro.
b) 0,121212... se escribe de forma abreviada 120, la parte entera es 0 (no tiene parte entera),
el período es 12 y no tiene parte no periódica porque es un decimal periódico puro.
c) 0,08333…. se escribe de forma abreviada 3080, la parte entera es 0 (no tiene parte entera),
el período es 3 y la parte no periódica es 08.
d) 0,23535… se escribe de forma abreviada 3520, la parte entera es 0 (no tiene parte entera),
el período es 35 y la parte no periódica es 2.
e) 12,4545… se escribe de forma abreviada 4512, la parte entera es 12, el período es 45 y no
tiene parte no periódica porque es un decimal periódico puro.
f) 7,51919…. se escribe de forma abreviada 1957, la parte entera es 7, el período es 19 y la
parte no periódica es 5.
g) 132,12546546546…. se escribe de forma abreviada 54612132, la parte entera es 132, el
período es 546 y la parte no periódica es 12.
EJEMPLO:
Ordena de menor a mayor los siguientes números: 52, ; 52, ; 532, ; .............,5050052
Solución:
52505005252532 ,..........,,,
EJEMPLO:
Escribe tres números decimales comprendidos entre 52, y 52, .
Solución:
2,51; 2,52; 2,53.
PASO DE FRACCIÓN A DECIMAL.-
Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división entre el numerador y el
denominador y el decimal puede ser:
a) Un número entero.
b) Un decimal exacto.
c) Un decimal periódico puro.
d) Decimal periódico mixto.
Por lo tanto si un número decimal es no periódico y no exacto no puede ser la expresión decimar de un
número racional, es decir, un número decimal no periódico y no exacto es la expresión decimal de un
número irracional.
Como conocer el tipo de expresión decimal que representa una fracción sin hacer la división:
1º) Se convierte la fracción en irreducible.
2º) Se hace la factorización del denominador y se tiene que:
a) Si los factores primos del denominador son el 2, el 5 o ambos entonces el numero
decimal es exacto.
b) Si los factores primos del denominador son distintos de 2 y de 5 entonces el número
decimal es periódico puro.
c) Si los factores primos del denominador son el 2 o el cinco o ambos acompañados de
otros factores entonces el número decimal es periódico mixto.
EJEMPLO:
Sin hacer la división decir que tipo de expresión decimal tienen las siguientes fracciones:
a) 500
313
Primero la convertiríamos en irreducible, como ya lo es factorizamos el denominador, cuya
factorización es 32 52500 ; por lo tanto su expresión decimal es exacta ya que solo tiene
como factores primos el 2 y el 5.
b) 21
5
Primero la convertiríamos en irreducible, como ya lo es factorizamos el denominador, cuya
factorización es 7321 ; por lo tanto su expresión decimal es periódico pura ya que los
factores primos son distintos de 2 y de 5.
c) 150
122
Primero la convertimos en irreducible y obtenemos la fracción 75
61.
Segundo factorizamos el denominador, cuya factorización es 25375 , por lo tanto la
expresión decimal es periódico mixto ya que los factores primos son el 5 y el 3.
EJEMPLO:
Sin efectuar la división, y atendiendo solo al denominador de la fracción simplificada, di si las
siguientes fracciones darán lugar a decimales exactos o periódicos:
a) 150
44; b)
150
42; c)
1024
101; d)
500
1001.
Solución:
a) Convertimos la fracción en irreducible y tenemos que:
75
22
150
44 y como el denominador
25375 tiene como factor al 2 y factores distintos de 2 y
de 5 la fracción dará lugar a un decimal periódico mixto.
b) Convertimos la fracción en irreducible y tenemos que:
25
7
75
21
150
42 y como el denominador
2525 no tiene factores distintos de 2 y de 5 la
fracción dará lugar a un decimal exacto.
c) Como la fracción 1024
101es irreducible y el denominador
1021024 no tiene factores distintos
de 2 y de 5 la fracción dará lugar a un decimal exacto.
d) Como la fracción 500
1001es irreducible y el denominador
32 52500 no tiene factores
distintos de 2 y de 5 la fracción dará lugar a un decimal exacto.
1.4.- PASO DE DECIMAL A FRACCIÓN. FRACCIÓN GENERATRIZ
FRACCIÓN GENERATRIZ DE UNA EXPRESIÓN DECIMAL:
Es la fracción irreducible de que procede toda expresión decimal. Vamos a ver cuál es la fracción que corresponde a un número decimal, que llamaremos la fracción
generatriz del número decimal.
FRACCIÓN GENERATRIZ DE UNA EXPRESIÓN DECIMAL EXACTA: La fracción generatriz de un número decimal exacto es una fracción que tiene como numerador el
decimal sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales
tiene el número decimal.
EJEMPLO:
Hallar la fracción generatriz del número decimal 7,24.
Solución:
25
181
50
362
100
72424,7 .
FRACCIÓN GENERATRIZ DE UNA EXPRESIÓN DECIMAL PERIÓDICO PURA: La fracción generatriz de un decimal periódico puro es una fracción que tiene como numerador el
decimal sin la coma menos la parte4 entera del decimal y como denominador ntantos nueves como
cifras decimales tiene el periodo.
EJEMPLO:
Calcular la fracción generatriz del número decimal 13,275275275…..
Solución:
999
13262
999
1313275275,13.......275275275,13
.
FRACCIÓN GENERATRIZ DE UNA EXPRESIÓN DECIMAL PERIÓDICO MIXTA: La fracción generatriz de un número decimal periódico mixto es una fracción que tiene por
numerador el decimal sin la coma menos la parte entera seguida de la parte no periódica y como
denominador tantos nueves como cifras tiene el período seguidos de tantos ceros como cifras tiene la
parte decimal no periódica.
EJEMPLO:
Calcular la fracción generatriz del número decimal 5,2353535……..
Solución:
990
5183
990
525235352,5....235353535,5
.
DECIMALES NO EXACTOS Y NO PERIÓDICOS.-
Como los números decimales no exactos y no periódicos no son números racionales, no pueden ponerse
en forma de fracción.
1.5.- CÁLCULOS CON PORCENTAJES
CÁLCULO DEL TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD.-
Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, se expresa el tanto por ciento en forma de decimal
(tanto por uno) y se multiplica la cantidad por el tanto por ciento expresado en forma decimal.
EJEMPLO:
Calcular el 25% de 83200 €.
Solución:
Como 25,0100
25 , entonces se tiene que el 25% de 83200 € son:
€2080025,083200 .
OBTENCIÓN DEL TANTO POR CIENTO CORRESPONDIENTE A UNA PROPORCIÓN.-
Para hallar que tanto por ciento representa una cantidad a respecto a una cantidad total C , se
efectúa la siguiente operación: 100C
a.
EJEMPLO:
En una población de 4200 habitantes, 1470 son simpatizantes de un cierto partido político. ¿Qué
porcentaje del total representan?
Solución:
354200
147000100
4200
1470
Representan el 35% del total.
CÁLCULO DE AUMENTOS PORCENTUALES.-
Cuando tenemos una cantidad inicial que se aumenta en un cierto porcentaje, el número por el que
hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación.
VARIACIÓNDEÍNDICEINICIALVALORFINALVALOR .
En aumentos porcentuales el índice de variación es la unidad más el aumento porcentual expresado en
forma decimal.
EJEMPLO:
Un artículo de regalo que costaba 70 € aumenta su precio en un 20%. ¿Cuál es el valor del artículo
tras el aumento de precio?
Solución:
2,12,01100
201 VARIACIÓNDEÍNDICE
€842,170 VARIACIÓNDEÍNDICEINICIALVALORFINALVALOR .
CÁLCULO DE DISMINUCIONES PORCENTUALES.-
Cuando tenemos una cantidad inicial que se disminuye en un cierto porcentaje, el número por el que
hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación.
VARIACIÓNDEÍNDICEINICIALVALORFINALVALOR .
En disminuciones porcentuales el índice de variación es la unidad menos el aumento porcentual
expresado en forma decimal.
EJEMPLO:
Un electrodoméstico valía 1860 €, si se rebaja un 45 %, ¿Cuánto VALE AHORA?
Solución:
55,045,01100
451 VARIACIÓNDEÍNDICE
€102355,01860 VARIACIÓNDEÍNDICEINICIALVALORFINALVALOR
CÁLCULO DE LA CANTIDAD INICIAL CONOCIENDO LA VARIACIÓN PORCENTUAL Y LA
CANTIDAD FINAL.-
Si conocemos la cantidad final después que resulta de haber realizado una variación porcentual, la
cantidad inicial se obtiene dividiendo la cantidad final entre el índice de variación.
VARIACIÓNDEÍNDICEFINALVALORVALORINICIALVALOR : .
EJEMPLO:
Un ordenador cuesta 820 € tras aumentar su precio en un 40%. ¿Cuánto costaba el ordenador antes
del aumento de precio?
Solución:
4,14,01100
401 VARIACIÓNDEÍNDICE
6004,1:840: VARIACIÓNDEÍNDICEFINALVALORVALORINICIALVALOR .
El ordenador costaba 600 € antes de aumentar su precio en un 40%.
ENCADENAMIENTO DE VARIACIONES PORCENTUALES.-
Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplican los índices de variación de los
sucesivos pasos.
EJEMPLO:
El precio de una enciclopedia de 640 € sube un 15%, después, sube un 35% y, finalmente baja un 40%.
a) ¿Cuál es el precio final de la enciclopedia?
b) ¿Cuál es el porcentaje total de aumento o disminución?
Solución: a) El índice de variación total nos viene dado por:
9315,06,035,115,1 TOTALVARIACIÓNDEÍNDICE .
Por lo tanto el precio final de la enciclopedia es: €16,5969315,0640 .
b) Como el índice de variación total es 0,9315.
0,9315-1= -0,0685
Por lo tanto este índice de variación corresponde a una disminución del 6,85%.
1.5.- INTERÉS COMPUESTO
El capital final FC (capital más intereses) que tenemos al cabo de n años de depositar un capital C al
%r de interés compuesto anual nos viene dado por:
n
F
rCC
1001
EJEMPLO:
¿En cuánto se transforma un capital de 20.000€ colocado al 3,6% anual durante 5 años?
Solución:
7,868.23036,1000.20100
6,31000.20
1001 5
5
n
F
rCC €.
EJEMPLO:
¿En cuánto se transforma un capital de 20.000€ colocado al 3,6% anual durante 5 años, con
pago de intereses mensuales?
Solución:
9,937.23003,1000.20100
126,3
1000.20100
1 60
125
n
F
rCC €.