Valores Absolutos

download Valores Absolutos

of 33

  • date post

    16-Oct-2015
  • Category

    Documents

  • view

    23
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Valores Absolutos

  • 5/26/2018 Valores Absolutos

    1/33

    34

    El lgebra es la rama de la Matemtica que estudia la cantidad considerada

    del modo mas general posible.

    TEMA 1

    1.VALOR ABSOLUTO.

    El valor absoluto de una cantidad es el numero que representa la cantidad sinimportar el signo o sentido de la cantidad. Por ejemplo el valor absoluto de unnumero positivo es el mismo que el numero original; el valor absoluto de unnmero negativo, es el valor del numero pero sin el signo.

    Ejemplo.16 = 16; -16 = 16; 8 = 8 ; -8 = 8

    1.1 LEY DE LOS SIGNOS

    Suma y resta de nmeros con un mismo y con diferente signo.Cuando dos nmeros positivos se suman el resultado es positivo.

    Cuando dos nmeros negativos se suman el resultado es negativo.Cuando se suma un numero positivo y un numero negativo se toma el signo

    del nmero de mayor valor absoluto.Ejemplo:

    3+4 = 5 -3+(-5) = -8 -6 + 20 = 145+7= 12 -9+(-3) = -6 5 + (-20) = -15

    Multiplicacin y Divisin de nmeros con un mismo y con diferente signo.Cuando se multiplican o dividen dos nmeros con el mismo signo, el resultadoes positivo.Cuando se multiplican o dividen dos nmeros con diferente signo , el

    resultado es negativo.Ejemplo:

    6.5 = 30 5. (-7)= -3512 : 6 = 2 -3. 5 = 15(-3) . (-5) = 15 20 (-10) = -2(-25) (-5) = 5 -36 (6) = -6

    1.2 LEYES DE LOS EXPONENTES.

    Al revisar una potencia veremos que:

  • 5/26/2018 Valores Absolutos

    2/33

    1

    X = 1Como cualquier numero diferente de cero o una variable elevada a la potencia

    cero es indefinido.Al haber un numero son una variable o sin exponente se supone que estaelevado a la cero potencia. Por ejemplo.7= 7 y = y

    El exponente cero

    Este proviene de dividir potencias iguales de la misma base.

    1. a2: a2= a2-2 = a. 2.- y7 : y7 = y7-7 = y.

    En general existen 10 leyes de los exponentes:

    Al hacer una multiplicacin los exponentes se suman.

    1.-xa (x b ) = x a+b

    por ejemplo:

    a) x3 (x 4) = x3+4 = x4 = x3

    1.1 X3 (x4 ) = (x.x.x) (x.x.x.x) = x7

    Al hacer una divisin los exponentes se restan.

    2.-x / x = x

    por ejemplo:

    b)x / x = x = x = x

    2.1 x = x.x.x.x.x.x = (x.x.x.x) = xx x.x

    Al elevar a una potencia, los exponentes se multiplican.

  • 5/26/2018 Valores Absolutos

    3/33

    2

    3.- (x ) = x

    Por ejemplo:

    c).- ( x ) = x = x = x

    3.1 ( x ) = (x.x.x.x) (x.x.x.x) = x

    4.-(xy) = x (y )

    por ejemplo:

    d).- (xy) = x y = xy

    4.1.- (xy) =(xy) (xy) (xy) = (x.x.x) (y.y.y) = x y

    5.-(x/y) = x / y

    por ejemplo:

    e).- (x/y) = x / y = x / y o x/y

    5.1 x = (x) (x) (x) (x) = xy (y) (y) (y) (y) y

    6.- 1/x = x

    por ejemplo:

    f).- x / x = x = x = 1/x = x

    6.1 x = (x.x) = 1x (x.x.x) x

    7.- x = x

  • 5/26/2018 Valores Absolutos

    4/33

    3

    7.1 x = (x.x) = 1x (x.x.x) x

    8.- En esta regla , como dice la regla uno los exponentes de base comn sesuman en la multiplicacin, el exponente de x cuando se suman a si mismo,debe de ser igual a uno. Ya que + = 1, y el exponente de x es .As que, x . x = x . x = = x = 1

    8.- x = x

    por ejemplo:

    h) x = x

    8.1.- x . x . x = x, entonces x . x .x = x = x = x

    9.- x = x = (x )

    por ejemplo

    i) x = (x ) o (x )

    o tambin:

    4 = (4 ) = ( 4) = (+ 2) = + 8

    4 =(4 ) = (64) = 64 = + 8

    10.- 1/x = x

    j) x = 1/x = 1/(x ) o 1/(x )

    o tambin:

    10.1 27 = 1 = 1 = 1(27 ) (729) 9

    27 = 1 = 1 = 1(27 ) (3) 9

    POTENCIACIN

  • 5/26/2018 Valores Absolutos

    5/33

    4

    La potencia de una expresin algebraica es la misma expresin o el resultadode tomarla como factor dos o ms veces.

    As:

    La primera potencia de una expresin es la misma expresin:Ejemplo:(2a) = 2a

    La segunda potencia o cuadrado de una expresin es el resultado de tomarlacomo factor dos veces.Por ejemplo:(2a)2 = 2a x 2a = 4a2

    El cubo de una fraccin es el resultado de tomarla como factor tres veces.Por ejemplo:(2a)3 = 2a x 2a x 2a = 8a3

    as: (2a)n = 2a x 2a x 2a .........n veces.

    El signo de las potencias.

    Al elevar una potencia de una cantidad positiva evidentemente es positiva., yaque este equivale a un producto en que todos los factores son positivos.

    En el caso de las potencias de cantidades negativas:

    1.-Toda cantidad par de una cantidad negativa es positiva.2.- Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa.

    Se puede decir lo siguiente:

    (-2a)2 = (-2a) x (-2a) = 4a2

    (-2a)3= (-2a) x (-2a) x (-2a) = -8a3

    (-2a)4= (-2a) x (-2a) x (-2a) x (-2a) = 164a4.

    Potencias en polinomios

  • 5/26/2018 Valores Absolutos

    6/33

    5

    Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potenciay se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la

    potencia.Si el monomio es negativo, el signo de la potencia es + cuando el exponentees par, y es cuando es exponte es impar-

    Por ejemplo:

    a).-(3ab2)3

    (3ab2)3= 33 .a1x3.b2x3 = 27 a3b6.

    b).-(-3a2b3)2

    (-3a2b3)2= 32.a2x2.b3x2= 9a4b6

    Cuando el monomio es una fraccin, para elevarlo a una potencia cualquiera,se eleva su numerador y su denominador a esa potencia.As:

    -2x 4 = (2x)4 = 16x4

    3y2

    (3y2

    )4

    81y8

    Cubo de un binomio

    Se sabe que:

    (a+b)3= a3 + 3a2 + 3ab2 + b2.

    (a-b)3= a3 - 3a2 + 3ab2 - b2.

    Al llevar a efecto (4a3 +5a2b2)3.= (4a3)3 +(4a3)2 (5a2b2) + 3 (4a3) (5a2b2)2 + (5a2b2)3

    = 64a9 + 240a8b2 + 300 a7 b4 +125a6b6

  • 5/26/2018 Valores Absolutos

    7/33

    6

    El triangulo de pascal.Los coeficientes de los terminos del desarrollo de cualquier potencia de un

    binomio los da en seguida el triangulo de pascal.

    11 1

    1 2 11 3 3 1

    1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

    1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

    1 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1

    Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son losnmeros que se hallan en la fila horizontal en que despus del 1 esta elexponente del binomio.

    As, los coeficientes del desarrollo de (x + y)4 son los nmeros que estn en

    la fila horizontal en que despus del 1 est el 4, sea 1,4,6,4,1.Los coeficientes del desarrollo de (m + n)5 son los nmeros de la filahorizontal en que despus del 1 est el 5, sea 1, 5,10, 10, 5, 1.

    Los coeficientes del desarrollo de (2x-3y)7 son los nmeros de la filahorizontal en que despus del 1 est el 7, o sea 1,7,21, 35, 35, 21, 7, 1.En la practica, basta formar el triangulo hasta la fila horizontal en quedespus del 1 viene el exponente de binomio. Los nmeros de esta ultima filason los coeficientes que se necesitan.

  • 5/26/2018 Valores Absolutos

    8/33

    7

    MINIMO COMUN MULTIPLO.

    COMUN MLTIPLO. De dos o ms expresiones algebraicas estoda expresin algebraica que es divisible exactamente porcada una de las expresiones dadas.

    As, 8ab es comn mltiplo de 2 y 4ab porque 8ab esdivisible exactamente por 2 y por 4ab ; 3x-9x+6 es comnmltiplo de x-2 y de x-3x+2 porque 3x-9x+6 es divisible

    exactamente por x-2 por x-3x+2.

    MINIMO COMUN MLTIPLO. De dos o mas expresionesalgebraicas es la expresin algebraica de menor coeficientenumrico y de menor grado que es divisible exactamente porcada una de las expresiones dadas .

    As , el m.c.m. es de 4 y 6 es 12 ; el m.c.m.de 2x , 6x y

    9x es 18x. La teora del m.c.m. es de suma importancia paralas fracciones y ecuaciones.

    M.C.M DE MONOMIOS.

    REGLA:Se halla el m.c.m de los coeficientes y a continuacin de

    ste se escriben todas las letras distintas, sean o no comunes ,

    dando a cada letra el mayor exponente que tenga en lasexpresiones dadas.

    (1) Hallar el m.c.m. de ax y ax.

    Tomamos a con sumayor exponente x y con su mayorexponente x y tendremos :m.c.m.=ax.

    (2) Hallar el m.c.m. de 8abc y 12ab 8abc=2abc

  • 5/26/2018 Valores Absolutos

    9/33

    8

    12ab=2.3ab

    el m.c.m.de los coeficientes es 2.3. A continuacinescribimos a con su mayor exponente b y c, luego:

    m.c.m.=2. 3abc.

    M.C.M.DE MONOMIOS Y POLINOMIOS.

    REGLA:Se descompone las expresiones dadas en sus factores

    primos .el m.c.m.es el producto de los factores primos ,comunes yno comunes, con su mayor exponente.

    (1) Hallar el m.c.m. de 6 , 3x 3.descomponiendo 6=2.3

    3x-3=3(x-1)

    m.c.m.=2.3(x-1)=6(x-1)

    (2) Hallar el m.c.m. de 14a , 7x-21

    descomponiendo 14a=2.7a

    7x-21=7(x-3)el m.c.m.=2.7.a (x-3)=14a(x-39)

  • 5/26/2018 Valores Absolutos

    10/33

    9

    (3) Hallar el m.c.m. de 15x ,10x + 5x , 54x

    como 15x est contenido en 45x , prescindimos de 15x

    descomponiendo :10x + 5x=5x(2x+1)45x=3 .5 .x

    m.c.m.=3 . 5.x (2x+1)=45x (2x+1)

    M.C.M. DE POLINOMIOS.

    La regla es la misma del caso anterior.

    (1) Hallar el m.c.m. de 4ax 8axy+ 4ay , 6bx-6by

    descomponiendo:4ax 8axy+4ay =4a (x-2xy+y )=2 .a(x-y)

    6bx-6by=6b(x-y) =2.3b (x-y)elm.c.m.=2 .3.ab (x-y) =12ab (x-y)2

    2) Hallar el m.c.m. de x3+2bx2,x3y + x2y2+ 4by2 + 4b2y2

    x3+2bx2=x2(x+2b)

    x3y-4b2xy=xy(x2-4b2) = xy(x+2b) (x-2b)x2y2+4bxy2+4b2y2=y2(x2+4bx+4b2)=y2(x+2b)2

    el m.c.m.= x2y2(x+2b)2(x-2b)

  • 5/26/2018 Valores Absolutos

    11/33

    10

    MAXIMO COMUN DIVISOR

    FACTOR COMUN O DIVISOR COMUN. De dos o masexpresiones algebraicas es toda expresin algebraica que estcontenida exactamente en cada una de las primeras.Asi , x es divisor comn de 2x y x2; 5ab es divisor comun de 103 b2

    y 154b.Una expresin algebraica es prima cuando slo es dividible por

    ella misma y por la unidad. As ,a , b ,a+b y 2x-1 son expresionesprimas.Dos o mas expre