Cálculo II Aula 08: Valores Máximos e Mínimos, Valores Máximos e Mínimos Absolutos.
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Cálculo II
Aula 08: Valores Máximos e Mínimos, Valores Máximos e Mínimos
Absolutos.
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Definição
Uma função de duas variáveis tem máximo local em em (a,b) se
para (x,y) próximo de (a,b). O número f (a,b) é um chamado valor máximo
local.
Se para (x,y) próximo de (a,b), então f (a,b) é um valor mínimo local.
( , ) ( , )f x y f a b
( , ) ( , )f x y f a b
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Máximo e mínimo absoluto
Se as inequações da definição anterior valerem para todos os pontos (x,y) do domínio de f, então f tem máximo absoluto ( ou mínimo absoluto) em (a,b)
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Graficamente
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Se uma função f tem um máximo ou mínimo local em (a,b) e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então
e( , ) 0xf a b
( , ) 0yf a b
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Pontos críticos
Um ponto (a,b) é dito ser um ponto crítico (ou ponto estacionário) de f se e , ou uma das derivadas parciais não existir.
( , ) 0xf a b ( , ) 0yf a b
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Exemplo 1
Determine os pontos críticos de 2 2( , ) 2 6 14.f x y x y x y
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Exemplo 2
Determine os valores extremos de 2 2( , ) .f x y y x
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Teste da derivada segunda
Suponha que as segundas derivadas parciais de f sejam contínuas em uma vizinhança de (a,b), e suponha que
fx(a,b) = 0 e fy(a,b) = 0. Seja2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )xx yy xyD D a b f a b f a b f a b
) Se 0 e 0,então ( , ) é um mínimo local.xxa D f f a b ) Se 0 e 0,então ( , ) é um máximo local.xxb D f f a b ) Se 0 ,então ( , ) não é um máx. nem mín. local.c D f a b
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Exemplo 3
Determine os valores de máximo e mínimo locais e os pontos de sela de
4 4( , ) 4 1.f x y x y xy
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Exemplo 3
Sela
Mínimo
Mínimo
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Exercício 4 p. 959
Utilize as curvas de nível da figura para predizer a localização dos pontos críticos de f e se f tem um ponto de sela ou um máximo ou mínimo locais em cada um desses pontos. Explique seu raciocínio. Em seguida empregue o Teste da Segunda Derivada para confirmar suas predições.
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Exercício 4 p. 959
Mínimo local Máximo
local
Pontode sela
Pontode sela
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Exemplo 4
Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m2 de papelão. Determine o volume máximo de tal caixa.
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Exemplo 4
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Idéia de conjunto fechado
Fechado Aberto Não FechadoNão Aberto
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Valor extremo
Se f for contínua em um conjunto fechado e limitado D de 2, então f atinge um valor máximo e um valor mínimo absoluto.
Procedimento:
• Determine os valores de f nos pontos críticos de f no interior de D.
• Estabeleça os valores extremos de f na fronteira de D.
• O maior dos valores dos passos 1 e 2 é o valor máximo absoluto; o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.
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Exemplo 5
Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função no retângulo .
2( , ) 2 2f x y x xy y {( , ) | 0 3,0 2}D x y x y
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Exemplo 5
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Material disponível emwww.mat.ufam.edu.br/calculo2