V. prof. dr Marija Nefovska-Danilović Uvod u MAK

Beograd, 2021.

Sva autorska prava autora prezentacije i/ili video snimaka su zaštićena. Snimak ili prezentacija se mogu koristiti samo za nastavu na

daljinu studenta Građevinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu u školskoj 2020/2021 i ne mogu se koristiti za druge svrhe bez pismene

saglasnosti autora materijala.

Studijski program: GRAĐEVINARSTVO

Modul: KONSTRUKCIJE

Godina/Semestar: III/VI semestar

Naziv predmeta (šifra): MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA (B2K3MA)

Nastavnik: V. prof. dr Marija Nefovska-Danilović

Naslov predavanja:

Datum :

Univerzitet u Beogradu – Građevinski fakultet www.grf.bg.ac.rs

Katedra za tehničku mehaniku i teoriju konstrukcijawww.inp.grf.bg.ac.rs

23.02.2021.

Uvod u MAK

Sadržaj

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2021. 2

�Rekapitulacija osnovnih jednačina teorije štapa

�Uvod u Matričnu analizu konstrukcija (MAK)

� Onove MAK

� Istorijat


Linearna teorija štapa

� Nepoznate veličine:� Sile u preseku

� Pomeranja i obrtanja

� Deformacijske veličine


Linearna teorija štapa

� Jednačine:� Uslovi ravnoteže elementa štapa

� Veze između pomeranja i deformacije elementa štapa (Kinematičke jednačine)

� Veze između sila u preseku i defomacije (Konstitutivne jednačine)


Osnovne pretpostavke linearne teorije štapa

� Pretpostavka o malim pomeranjima (statička linearnost)

� Pretpostavka o malim deformacijama (geometrijska linearnost)

� Pretpostavlka o fizičkoj linearnosti (Hukov zakon)


0

0

0

t

n

dN p ds

dT p ds

dM Tds

+ =+ =− =

dsC'

C

pndsptds

X

Y

M

N

T

M+dM

N+dN

T+dT

(I)

Uslovi ravnoteže elementa štapa


Kinematičke jednačine

u+duds

CC1

X

Y

φ

(1+ε)ds

α

φ

v v+dv

uC'

C1

'

dx+du

dy+dv

dx

α dy

( )t

du dx dy

dv dy dx

d

ds

ε ϕε ϕ

ϕ ϕκ

= −= +

−= −

(II)


Deformacija štapa – dilatacija i promena krivine

( )1 td

ds

ϕ ϕκρ

−= = −′′

X

Y

φ

C1

ds

C1yCy

Cy

φ

(1+ε)ds

O'

O''

ρ''dφ

φt

φt+dφt

y

φ-φt

ρ'

(1+εy )ds

yy κεε +=)(


Deformacija štapa - klizanje

� ϕt - klizanje poprečnog preseka

� Pomeranja ekvidistantnog elementa

u(y)=u-y(φ-φt)

v(y)=v

X

Y

φ

O

O'

Bernulijeva teorija štapa

Timošenkova

teorija štapa

φt

osa štapa

v

v(y)

u

u(y)

C'(y)

C'

φ-φt

φ

y

C

C(y)


Konstitutivne jednačine

o

t

Nt

EFε α= +

t

M t

EI hκ α ∆= +

t

Tk

GFϕ =

(III)

y

O x

to

tu

toh

t(y)

t∆


0

0

0

t

n

dN p ds

dT p ds

dM Tds

+ =+ =− =

(I)

( )t

du dx dy

dv dy dx

d

ds

ε ϕε ϕ

ϕ ϕκ

= −= +

−= −

(II)

t

M t

EI hκ α ∆= +

o

t

Nt

EFε α= +

t

Tk

GFϕ =

(III)

Jednačine linearne teorije štapa

Ako iz jednačina (III) ε, κ i ϕt iskažemo u funkciji M,N i T i zamenimo u jednačine (II) dobija se sistem od 6 diferencijalnih jednačina sa 6 nepoznatih.


Nepoznate veličine linearne teorije štapa

� 6 nepoznatih veličina: � M, N, T

� u, v, φ

� Šta je potrebno da bismo mogli da rešimo sistem jednačina štapa?


Granični uslovi

� Po silama

� Po pomeranjima

Ni

Mi

Ti

Mk

Tk

Nk

φi

vi vk

uiuk

φk


Podela linijskih nosača

Linijski nosači

Ravanski Prostorni



Aslam Kassimali: Matrix analysis of structures



Linijski nosači

Statički određeni Statički neodređeni


Metode analize linijskih nosača

� Prema pristupu:

� Metode klasične statike konstrukcija

� Matrična analiza konstrukcija

� Prema izboru nepoznatih:

� Metoda sila

� Metoda deformacije


Klasična statika konstrukcija

� Analizira nosač u celini, kao sistem povezanih štapova

� Utvrđuje se statička/deformacijska neodređenost

� Usvaja se metoda za rešavanje

� Formiraju se jednačine za određivanje nepoznatih

� Određuju se sile u presku, pomeranja, deformacija....


Matrična analiza konstrukcija – metoda deformacije

� Od 1960-te godine sa ekspanzijom računara, MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA (metoda deformacije) se sve više primenjuje u analizi linijskih nosača.

� Metoda je u literaturi poznata i kao DIRECT STIFFNESS METHOD(Direktna metoda krutosti). Ime potiče od matrice krutosti koja daje vezu između sila i pomeranja krajeva štapa.

� Iz ove metode se praktično razvila METODA KONAČNIH ELEMENATA, mnogo opštija metoda, koja se primenjuje u statičkoj i dinamičkoj analizi složenih konstrukcija.


Matrična analiza konstrukcija

� Analiza štapa� Štap je osnovni element nosača

� Posmatra se nezavisno od ostalih štapova u nosaču

� Na osnovu teorije štapa uspostavljaju se veze između sila i pomeranja na krajevima štapa u matričnom obliku:

R = K·q - Q - osnovna relacija MAK

� Analiza nosača� Nosač se posmatra kao sistem međusobno povezanih štapova u čvorovima

nosača

� Za nepoznate veličine usvajaju se parametri u čvorovima nosača (sile u metodi sila/pomeranja u metodi deformacije)

� Formiraju se jednačine za određivanje nepoznatih parametara u čvorovima (uslovi kompatibilnosti u metodi sila/uslovi ravnoteže u metodi deformacije)


Osnove Matrične analize konstrukcija

Realna konstrukcija (Fizički model)

Matematički model

Rešenje diskretnog modela

IDEALIZACIJA DISKRETIZACIJA

Diskretan model

REŠENJE


Idealizacija

IDEALIZACIJA

element

oslonac

čvor

Konstrukcija

Matematički model

Slika je preuzeta i prilagođena iz on line book, Carlos Felippa: Introduction to FEM, http://bib.tiera.ru/DVD-

013/Felippa_C.A._Introduction_to_finite_element_methods_(2001)(en)(489s).pdf


Idealizacija


Diskretizacija

� Nosač sa posmatra kao sistem sastavljen od diskretnih elemenata – štapova koji su povezani u čvorovima nosača

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10

ČVOROVI

ŠTAPOVI

Broj čvorova 10

Broj štapova 9

4 54

8 9

3 41 2 5 6 7

Y

X


Matrična analiza konstrukcija - nepoznate

�Osnovne nepoznate veličine su:

� Komponente pomeranja čvorova: u, v

� Uglovi obrtanja čvorova u kojima postoji bar jedan krut ugao: ϕ� Ukupan broj deformacijski nepoznatih veličina je:


Primer


Matrična analiza konstrukcija – uslovne jednačine

�Jednačine iz kojih se određuju nepoznate veličine u MAK su uslovi ravnoteže u čvorovima nosača

}2K0

0

0

X

Y

M

=

=

=

∑

∑

∑ } m1jR

2jR

Pi,x

Mi Pi,y

i

k

αik

X

3jR

Y

* * *=K q S


Matrična analiza konstrukcija – princip superpozicije

dati nosač

Qe+

ekvivalentni nosač

Qe – ekvivalentno opterećenje

=

deformacijski određen sistem datog nosača

�Vektor ekvivalentnog opterećenja jednak je negativnim vrednostima reakcija oslonaca štapa kome su sprečena pomeranja krajeva, usled zadatog opterećenja

V. prof. dr Marija Nefovska-Danilović Uvod u MAK

Documents

Transcript of V. prof. dr Marija Nefovska-Danilović Uvod u MAK